La fecha de la entrega

Os dejo un problema para esta semana. Ahí va:

Debo entregar un importante paquete todos los meses a las 18 horas, pero no sé qué día debo hacerlo. Ese dato se me indica por teléfono en algún día anterior a esa entrega. Como hay posibilidad de que la conversación sea escuchada me dan el día exacto mediante una ecuación con variables x,y, siendo x la cifra de las decenas y siendo y la cifra de las unidades.

El día 12 de junio me telefonean para indicarme dicha ecuación. No la apunto en el momento pensando que la recordaré. Craso error. Horas después intento recordarla pero no puedo. Hago memoria y recuerdo que era una de estas dos:

(x+y) \cdot 2=x \cdot y+2

ó

x+y+2=x \cdot y \cdot 2

Me pongo a pensar…¡y consigo descubrir la fecha! ¿Cómo lo hice?

Autor: ^DiAmOnD^ | Publicado el 10 de Junio de 2008 | 14 Comentarios
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Encontremos la matrícula

El problema de esta semana está sacado de un libro de la colección Desafíos Matemáticos de RBA, pero no voy a decir qué libro es hasta que no se haya resuelto. Vamos con él:

Tres estudiantes de Matemáticas que iban paseando vieron que un coche cometía una infracción de tráfico. Ninguno de los tres logró memorizar el número de cuatro cifras de la matrícula (algo extraño por cierto), pero cada uno de ellos se dio cuenta de alguna particularidad del número en cuestión. Uno de ellos observó que las dos primeras cifras coincidían, otro vio que las dos últimas también coincidían y otro se dio cuenta de que el número era un cuadrado perfecto (vale, sí, es extraño que sepa que es un cuadrado perfecto sin haber memorizado el número, pero el problema es así). Sabiendo que no era el 0000, ¿podemos determinar solamente con estos datos el número de la matrícula del coche?

Ánimo, que es sencillo.

Autor: ^DiAmOnD^ | Publicado el 3 de Junio de 2008 | 27 Comentarios
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Encuentra el término general

XKwazer, lector de Gaussianos, me manda un mail comentándome un problema que le ha surgido y me ha pedido que lo comente en el blog para ver si alguien le puede ayudar. El problema es el siguiente:

Encontrar el término general de la siguiente sucesión expresada en forma recurrente:

a_1=0, a_n=\sqrt{2+a_{n-1}}

A ver si alguien puede echarle una mano.

Autor: ^DiAmOnD^ | Publicado el 27 de Mayo de 2008 | 8 Comentarios
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Encontrar función a partir de ciertas condiciones

Os dejo el problema de la semana:

Para cada \varepsilon > 0,k > 0 obtener la expresión analítica de alguna función f(x) continua y derivable en todo \mathbb{R} verificando las siguientes condiciones:

1) f(0)=0 y f^\prime(0)=1
2) f(x)=\varepsilon, \forall x\geq K
3) f^\prime(K)=0
4) f simétrica respecto al origen: f(-x)=-f(x)
5) f creciente en todo \mathbb{R}, es decir, con derivada no negativa.

Responder a la misma cuestión exigiendo además

6) f es de clase C^\infty, esto es, f es infinitamente derivable con derivadas continuas en todo punto.

Vamos a por él.

Autor: ^DiAmOnD^ | Publicado el 20 de Mayo de 2008 | 36 Comentarios
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Calcular la suma

El problema de la semana trata del cálculo de la suma de una serie. Vamos con él:

Calcular el valor de la siguiente suma:
\displaystyle{\sum_{n \geq 0} 3^n sen^3 \left (\cfrac{x}{3^n} \right )}

A por él.

Autor: ^DiAmOnD^ | Publicado el 13 de Mayo de 2008 | 11 Comentarios
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Conjetura sobre combinaciones lineales de enteros y números primos

Sebastián me manda por mail a gaussianos (arroba) gmail (punto) com una conjetura sobre números primos que se le ha ocurrido a él mismo. No sabe si es cierta o falsa. Os la propongo como problema para ver qué sacamos en claro:

Sea n un número par. Para todo k\in\mathbb{N} tal que 2 \le k \le \textstyle{\frac{n}{2}} existen una o más combinaciones lineales de enteros de la forma:

a_1 \cdot p_1+a_2 \cdot p_2+ \ldots +a_m \cdot p_m=n

con a_i \ge 0, a_1+a_2+ \ldots +a_m=k y p_1,p_2, \dots ,p_m todos los números primos menores o iguales que n.

Ejemplo:

n=10, \cfrac{n}{2}=5

p_1=2,p_2=3,p_3=5,p_4=7

2 \cdot 5=10 \Rightarrow a_1=0,a_2=0,a_3=2,a_4=0, \displaystyle{\sum a_i=2}

1 \cdot 3+1 \cdot 7=10 \Rightarrow a_1=0,a_2=1,a_3=0,a_4=1, \displaystyle{\sum a_i=2}

1 \cdot 2+1 \cdot 3+1 \cdot 5=10 \Rightarrow a_1=1,a_ 2=1,a_3=1,a_4=0, \displaystyle{\sum a_i=3}

2 \cdot 2+2 \cdot 3=10 \Rightarrow a_1=2,a_2=2,a_3=0,a_4=0, \displaystyle{\sum a_i=4}

5 \cdot 2=10 \Rightarrow a_1=5,a_2=0,a_3=0,a_4=0, \displaystyle{\sum a_i=5}

Pregunta 1: ¿Esta conjetura es cierta o es falsa?
Pregunta 2: ¿Podemos obtener la conjetura de Goldbach como caso particular de esta conjetura?

Vamos a ver si le sacamos jugo al asunto.

Autor: ^DiAmOnD^ | Publicado el 6 de Mayo de 2008 | 6 Comentarios
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Encontrando la suma a partir del divisor

Os dejo aquí el problema de la semana:

Sea a un número natural. Probar que existe otro número natural b tal que para todo natural n se verifica que:

a divide a 1^n+2^n+3^n+ \ldots +b^n.

A por él.

Autor: ^DiAmOnD^ | Publicado el 29 de Abril de 2008 | 5 Comentarios
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Producto con cosenos

Semanas difíciles estas últimas por varias cosas. De todas formas pronto volverán a aparecer con la frecuencia habitual artículos más largos y elaborados. Mientras tanto os dejo con el problema de la semana:

Para cada natural n \ge 3 calcular:

\displaystyle{\prod_{k=1}^{\lfloor \frac{n-1}{2} \rfloor}} \left (3+2 cos(\cfrac{2k \pi}{n}) \right )

El límite superior del producto es la parte entera de \textstyle{\frac{n-1}{2}}.

A por él.

Autor: ^DiAmOnD^ | Publicado el 22 de Abril de 2008 | 6 Comentarios
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Sumando potencias

El problema de esta semana relaciona sumas de potencias enteras y números primos. Vamos con su enunciado:

Sea \displaystyle{f(n)=\sum_{i , j=1}^n i^j}. Probar que si p es un número primo distinto de 3, entonces f(p+1) es múltiplo de p.

Ánimo y a por él.

Autor: ^DiAmOnD^ | Publicado el 15 de Abril de 2008 | 5 Comentarios
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Coseno irracional

El problema de esta semana es corto pero directo:

Demostrar que cos(1^\circ) es irracional.

Probablemente no os resulte demasiado complicado, pero quiero ver qué se os ocurre. Ánimo y suerte a todos y todas.

Autor: ^DiAmOnD^ | Publicado el 8 de Abril de 2008 | 13 Comentarios
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