Porque todo tiende a infinito…
En ocasiones nos encontramos con que algunas características de ciertos tipos de números son realmente sorprendentes, casi místicas en algunos casos. Pero no podemos dejar que ese aparente misticismo nos nuble la vista, ya que eso que parece tan sorprendente quizás sea algo relativamente evidente que no acertamos a ver, puede que por estar poseídos por esa sorpresa.
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En un curso de Álgebra en el que se traten conjuntos y relaciones definidas en conjuntos, uno de los temas a estudiar son las relaciones de equivalencia. Una de las propiedades que debe cumplir una relación para ser “de equivalencia” es la propiedad transitiva, que viene a decir lo siguiente:
Dado un conjunto
y una relación
en
de elementos de
está relacionado con
y
, entonces
Se ha entendido, ¿verdad? Un par de ejemplos:
Ahora sí, ¿no? Bien, pues lo habitual es que los alumnos entiendan con cierta facilidad lo que significa esta propiedad, y además la vean “lógica”. Es algo así como que de pronto le ponen nombre a algo con lo que han estado en contacto siempre, como si por fin saben cómo se llama eso que han tenido tan cerca desde que su mente acierta a recordar…
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El concepto de infinito es un concepto complicado de entender (de hecho no sé si alguien es capaz de comprenderlo a la perfección), como ya hemos comentado en una gran cantidad de ocasiones. Pero si es complicado ahora, mucho más lo era en el siglo XIX, cuando Georg Cantor realizó sus importantes estudios sobre los cardinales infinitos y dejó la famosa conjetura denominada hipótesis del continuo.
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Decir que un teorema es “el teorema más maravilloso de las matemáticas” es mucho decir teniendo en cuenta la gran cantidad de maravillas en forma de resultado matemático que podemos encontrar a lo largo y ancho del conocimiento de esta ciencia. Pero lo que no se le podrá negar al teorema que os presento en este post es que reúne una gran cantidad de detalles (enunciado simple, conclusión realmente sorprendente e inesperada y demostración relativamente elemental) de esos que convierten un resultado matemático en un teorema maravilloso.
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En internet podemos encontrar tablas periódicas de todo lo que se nos pueda ocurrir (hasta de elementos químicos, y algunas muy distintas a la que estamos acostumbrados a ver). Y la verdad es que después de completarse la clasificación de grupos simples finitos era cuestión de tiempo que apareciera una con ellos.
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La resolución de ecuaciones polinomicas es un tema al que quien más quien menos se ha acercado en su etapa de estudiante. Todos sabemos cómo resolver una ecuación de primer grado (despejando la incógnita) y la gran mayoría recordamos la famosa fórmula para resolver ecuaciones de segundo grado. También muchos, aunque posiblemente menos, sabrán que hay fórmulas del mismo tipo para las ecuaciones de grados tres y cuatro. Y algunos menos que no se puede resolver de manera general la ecuación de quinto grado. Pero, ¿sabemos por qué?
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En los últimos días se ha nombrado en los comentarios del post Una posible demostración maravillosa del UTF un resultado conocido como regla de los signos de Descartes, relacionado con el número de soluciones positivas de una ecuación polinómica. Este artículo va a servir para presentar esta regla, dar alguna pincelada de su historia y también para demostrarla.
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El lunes pasado, en el post donde se desarrollaba un método para resolver ecuaciones diofánticas lineales, comentábamos la existencia de un método para el cálculo del máximo común divisor que no desarrollamos. Dicho método se atribuye a Euclides y este post va a servir para presentarlo.
El problema inicial es el siguiente:
Encontrar el máximo común divisor entre dos números enteros positivos
Todos conocemos el método que se nos enseña en el colegio para ello:
Aunque es un método bastante útil y sencillo para conseguirlo que queremos tiene un evidente problema: si los números son muy grandes, o si sus factores primos lo son, la cosa se complica ya que el cálculo de la descomposición se torna bastante tedioso.
Por ello es interesante tener a mano otro método para casos en los que el procedimiento inicial se complique. El llamado algoritmo de Euclides nos servirá.
El algoritmo de Euclides nos dice lo siguiente:
Para calcular el máximo común divisor entre dos números enteros positivos
, y un resto,
. Si
, entonces
. Si no es cero dividimos el divisor,
, y otro resto,
. Si
, entonces
. Si no es cero volvemos a dividir divisor entre resto. Y así sucesivamente.
Esto es, el máximo común divisor entre
Si analizamos el algoritmo de Euclides se ve claramente que necesitamos demostrar que el máximo común divisor entre
Teorema:
y , con 
, coincide con el máximo común divisor de y 
, siendo el resto que se obtiene al dividir entre .Demostración:
Sean 
Por definición de máximo común divisor, se tiene que 
Por otro lado, por el algoritmo de la división se tiene que
de donde llegamos a
Por tanto 
Por otro lado, 
Por tanto
Como 
En esta sección del artículo vamos a ver un par de ejemplos de aplicación del algoritmo de Euclides. Vamos con ellos:
Cálculo de
Como hemos explicado antes dividimos el número mayor entre el menor; si el resto no es cero dividimos el divisor entre el resto; y así sucesivamente hasta que llegamos a un punto en el que el resto es cero. Los resultado de las divisiones (expresados como dividendo=divisor · cociente + resto) son:
*
Como marca el *, se tiene que 
Cálculo de
Vamos con el segundo ejemplo, con números más grandes en este caso. Expresamos los resultados parciales de la misma forma que en el ejemplo anterior:
*
Vemos que aunque los números son bastante mayores que los anteriores el número de operaciones necesarias para el cálculo es el mismo. Concluyendo, tenemos que, como marca el *, 
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Supongamos que nos encontramos el siguiente problema:
Un hombre va a una tienda de ropa y compra 12 trajes, unos negros y otros grises, por 1200 €. Si los trajes negros valen 30 € más que los grises y ha comprado el mínimo posible de estos últimos, ¿cuántos trajes ha comprado de cada color?
Vamos a plantearlo:
La ecuación queda:
Haciendo cuentas nos queda lo siguiente:
Si estabais pensando que nos iba a quedar un sistema de ecuaciones sencillo de resolver estáis equivocados. Nos ha quedado una única ecuación con dos incógnitas. ¿Nos faltan datos? No. Podemos resolverla. Bienvenidos al maravilloso mundo de las ecuaciones diofánticas.
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Gracias a Tito Eliatron por la información que me envió sobre este tema hace ya un tiempo.
Recién terminada la Semana Santa planteo la siguiente pregunta: ¿sabéis qué criterio se sigue para asignar la fecha del Domingo de Resurrección cada año?
Yo me he hecho esa pregunta en más de una ocasión viendo que la variedad de fechas para ese día es relativamente grande. ¿Hay algún criterio para asignar fecha a ese día? En el caso de que lo haya (que por otra parte era lo más lógico), ¿en qué se basa ese criterio? ¿Su base es meramente religiosa o hay algo más?
Pues parece que hay algo más. Y, cómo no, lo que hay son matemáticas. Sí, matemáticas, aquí también están. Veámoslo.
A principios del siglo IV habían surgido varios grupos que calculaban a su manera la fecha del día de la Pascua de Resurrección. No había consenso, cada uno de ellos daba una fecha distinta, por lo que la confusión que rodeaba este asunto era grande. En el Concilio de Arlés (año 314) se obligó a todos los cristianos a celebrar la Pascua el mismo día (que sería fijado por el Papa), aunque no todos los grupos estuvieron de acuerdo en ello. Fue en el año 325, en el Concilio de Nicea, donde se alcanzó un principio de acuerdo.
Las normas que debía cumplir el día de Pascua de Resurrección eran las siguientes:
Pero con todo esto seguía habiendo diferencias entre la iglesia de Roma y la iglesia de Alejandría (principalmente relacionadas con el equinoccio de primavera y el cálculo de la edad de la Luna).
La solución final no llegó hasta el año 525, en el que Dionisio el Exiguo (cuyo nombre proviene de su pequeña estatura) sentó las bases del cálculo de la fecha de Pascua (que eran las del método alejandrino). Las premisas iniciales del método son las siguientes:
Con estas condiciones la Pascua quedaba encuadrada entre el 22 de marzo y el 25 de abril.
Durante el Renacimiento se construyeron tablas de cálculo para esta fecha, algunas de ellas relacionadas con el número aúreo. En la actualidad el método más sencillo para realizar este cálculo se debe a nuestro admirado Gauss.
Como hemos dicho antes, el método más sencillo para el cálculo de esta fecha se lo debemos a quien da nombre a este blog, Carl Friedrich Gauss (como podéis consultar en el extra que encontraréis más adelante, éste no es el método oficial, pero siempre da el mismo resultado). La base del mismo es la aritmética modular. Vamos a explicar en qué consiste:
Definimos diez variables que denotamos así: 
es el resto de la división de entre 
, es decir, 
. es el resto de dividir entre 
, es decir, 
. es el resto de la división de entre 
, esto es, 
.
es el resultado de redondear por defecto el resultado de la división de entre 
, es decir, 
.
es el resultado de redondear por defecto el resultado de la división de 
entre $25$, esto es, 
.
es el resultado de redondear por defecto el resultado de la división de entre , es decir, 
.
es el resto de la división de 
entre 
, esto es, 
.
es el resto de la división de 
entre , es decir, 
. es el resto de dividir 
entre , o lo que es lo mismo, 
.
es el resto de la división de 
entre , es decir, 
.Calculando el valor de cada una de las variables para el año en cuestión, la fecha del Domingo de Resurrección será la siguiente:
, la fecha de Pascua de Resurrección será el día 
de marzo.
, la fecha de Pascua de Resurrección será el día 
de abril.Para esta regla existen dos excepciones:
, entonces la Pascua será el 18 de abril.Para ejemplificar el método vamos a calcular la fecha del Domingo de Resurrección de este año 2009 (que como sabemos es el día 12 de abril).
Para el año
los valores de las variables son los siguientes (como los cálculos son sencillísimos os dejo a vosotros la comprobación):
Como
, entonces la fecha es el
de abril, como en realidad es.
Extra: Gracias a nuestro gran amigo fede (¡qué haría yo sin ti algunas veces!) os puedo ofrecer este formulario mediante el cual podréis calcular la fecha del Domingo de Resurrección que él mismo ha programado (utiliza javascript, por lo que si no lo tenéis activado igual no os funciona) a partir de la descripción del método que podéis ver en la fuente de la Wikipedia inglesa que aparece al final de este artículo (hay un par de retoques de diseño que son míos; se aceptan todo tipo de sugerencias y ayudas). Para utilizarlo simplemente tenéis que escribir las cuatro cifras del año del que queréis calcular la fecha del Domingo de Resurrección (siempre un año mayor que 1582) y automáticamente os aparecerá dicha fecha:
y Si nos fijamos en la descripción del método vemos que las variables $latgex k,p$ y
| Años | M | N |
| 1583-1699 | 22 | 2 |
| 1700-1799 | 23 | 3 |
| 1800-1899 | 23 | 4 |
| 1900-2099 | 24 | 5 |
| 2100-2199 | 24 | 6 |
| 2200-2299 | 25 | 0 |
Fuentes:
Esta entrada estaba programada hace un tiempo, razón por la cual no había visto que Tito Eliatron había publicado el método descrito aquí hace unos días. Os dejo el enlace a ese post:
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