¿Cómo que 1+2+4+8+…=-1?
Nov26

¿Cómo que 1+2+4+8+…=-1?

Este artículo es una colaboración de Antonio Rojas. Aunque por Gaussianos ya lo conocemos (propuso el noveno desafío GyG), no está mal que se presente:

Soy (no necesariamente por este orden) sevillano, matemático, profesor, y amante de la ciencia en general. Mi hábitat natural es el Departamento de Álgebra de la Universidad de Sevilla.

Es un honor para mí contribuir con este post al blog matemático en español por excelencia. Resulta todo un reto para los que nos dedicamos a la investigación matemática bajar de vez en cuando los pies a la tierra e intentar explicar de manera simple las herramientas y los resultados con los que trabajamos diariamente. No garantizo haberlo conseguido, pero aquí va mi mejor intento.


Una de las cosas raras provocadas por el infinito que contó Gaussianos en su charla de Naukas Bilbao 2013 (que podéis ver aquí si no lo habéis hecho ya y que está un poco más detallada aquí) es la leyenda del ajedrez. En la versión infinita de esta leyenda, el rey ofrece a Sissa una suma infinita de granos de trigo

S=1+2+4+8+16+\cdots+2^{63}+2^{64}+2^{65}+ \cdots

Este “número” cumple que S=1+2(1+2+4+8+\cdots)=1+2S, por lo que despejando se obtiene S=-1, es decir, ¡Sissa le debe un grano de trigo al rey!

Para comprender esta paradoja, debemos saber qué se entiende por una suma de infinitos términos. Una tal suma se llama serie, y decimos que la serie converge a un cierto valor S si la sucesión formada por las sumas parciales de los primeros n términos de la serie se acerca tanto como queramos a S a partir de un cierto n. En ese caso, podemos decir que el valor de la suma infinita es igual a S. En notación matemática,

s_1+s_2+s_3+s_4+\cdots=S

quiere decir que

\displaystyle{\lim_{n\to\infty}(s_1+s_2+\cdots+s_n)=S}.

Por ejemplo, la serie

\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\frac{1}{16}+\cdots+\frac{1}{2^n}+\cdots

tiene suma 1, puesto que \frac{1}{2}+\cdots+\frac{1}{2^n}=1-\frac{1}{2^n}, que se acerca tanto como queramos a 1 a partir de un cierto término.

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Resuelta una conjetura de Erdös sobre congruencias
Jul15

Resuelta una conjetura de Erdös sobre congruencias

Muy buen año para la teoría de números este 2013. Después de la demostración de la conjetura débil de Goldbach y la cota del hueco entre primos gemelos ha caído la que podríamos llamar conjetura del recubrimiento por congruencias, planteada por Paul Erdös en 1950. Pero en este caso no se ha comprobado que es cierta, sino que es falsa. Y el artífice de esta refutación es Bob Hough. Vamos a explicar un poco de qué va este problema, que, por cierto, era una de las conjeturas no resueltas de Erdös que más le gustaban, y por cuya resolución ofreció 1000$.

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Una curiosidad sobre la representación binaria de los números perfectos
Abr16

Una curiosidad sobre la representación binaria de los números perfectos

En ocasiones nos encontramos con que algunas características de ciertos tipos de números son realmente sorprendentes, casi místicas en algunos casos. Pero no podemos dejar que ese aparente misticismo nos nuble la vista, ya que eso que parece tan sorprendente quizás sea algo relativamente evidente que no acertamos a ver, puede que por estar poseídos por esa sorpresa.

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Por suerte la vida no es transitiva
Mar26

Por suerte la vida no es transitiva

En un curso de Álgebra en el que se traten conjuntos y relaciones definidas en conjuntos, uno de los temas a estudiar son las relaciones de equivalencia. Una de las propiedades que debe cumplir una relación para ser “de equivalencia” es la propiedad transitiva, que viene a decir lo siguiente:

Dado un conjunto A y una relación R en A, se tiene que R es transitiva si para toda terna a, b, c de elementos de A se cumple que si a está relacionado con b y b está relacionado con c, entonces a está relacionado con c.

Se ha entendido, ¿verdad? Un par de ejemplos:

  • Si un número es menor que otro y este otro es menor que un tercero, entonces el primero es menor que el tercero.
  • Si un objeto es igual que otro y ese segundo objeto es igual a otro más, entonces el primero de ellos es igual que el tercero

Ahora sí, ¿no? Bien, pues lo habitual es que los alumnos entiendan con cierta facilidad lo que significa esta propiedad, y además la vean “lógica”. Es algo así como que de pronto le ponen nombre a algo con lo que han estado en contacto siempre, como si por fin saben cómo se llama eso que han tenido tan cerca desde que su mente acierta a recordar…

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La hipótesis del continuo: del susto de Cantor a la prueba de Cohen
Nov08

La hipótesis del continuo: del susto de Cantor a la prueba de Cohen

El concepto de infinito es un concepto complicado de entender (de hecho no sé si alguien es capaz de comprenderlo a la perfección), como ya hemos comentado en una gran cantidad de ocasiones. Pero si es complicado ahora, mucho más lo era en el siglo XIX, cuando Georg Cantor realizó sus importantes estudios sobre los cardinales infinitos y dejó la famosa conjetura denominada hipótesis del continuo.

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Situación de las raíces de la derivada, o “el teorema más maravilloso de las matemáticas”
Oct30

Situación de las raíces de la derivada, o “el teorema más maravilloso de las matemáticas”

Decir que un teorema es “el teorema más maravilloso de las matemáticas” es mucho decir teniendo en cuenta la gran cantidad de maravillas en forma de resultado matemático que podemos encontrar a lo largo y ancho del conocimiento de esta ciencia. Pero lo que no se le podrá negar al teorema que os presento en este post es que reúne una gran cantidad de detalles (enunciado simple, conclusión realmente sorprendente e inesperada y demostración relativamente elemental) de esos que convierten un resultado matemático en un teorema maravilloso.

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