Gaussianos

Fracción polinómica

Vamos con el problema de esta semana:

Demostrar que dados y enteros no negativos la función racional:

es un polinomio de grado .

A por él.

¿Sabía que…

…la siguiente igualdad es cierta?

Aunque la cancelación sea una barbaridad las dos fracciones dan el mismo resultado.

Ya vimos en Cancelación ¿equivocada? otros ejemplos, pero con fracciones con un número de dos cifras tanto en el numerador como en el denominador. ¿Qué otros casos de este tipo conocéis?

Vía Futility Closet.

La paradoja de Banach-Tarski

Vamos primero con un enunciado de la paradoja:

Si tomamos la esfera S² (es decir, una esfera en el espacio) de radio 1 maciza es posible dividirla en 8 partes tal que aplicando movimientos rígidos oportunos a 5 de ellas por un lado y las otras 3 por otro podemos construir dos esferas de radio 1 iguales a la de partida:

De hecho el número de piezas puede reducirse hasta 5 y se puede demostrar que con 4 es imposible.

Uno lee esto y lo primero que piensa es que le están engañando. Que en la demostración de este hecho hay alguna falacia, que mediante algún razonamiento matemático erróneo pero oculto conseguimos demostrar algo totalmente imposible. Nada más lejos de la realidad. Este hecho tiene una demostración totalmente rigurosa y sin ningún error ni engaño matemático. Por esta razón el apelativo de paradoja no es adecuado matemáticamente hablando, aunque sí lo es si atendemos a nuestra intuición.

Por un lado, si conseguimos asumir como cierto el resultado podemos pensar en realizarlo. Es decir, en tomar una esfera material de radio 1 y dividirla en las partes correspondientes para a partir de ellas formar las otras dos esferas. Quitémonos esa idea de la cabeza. No se puede hacer en el mondo real, ya que una de las piezas está formada sólo por un punto y físicamente hablando el concepto geométrico de punto no es real.

Por otro lado uno podría decir: no puede ser, el volumen final dobla al inicial. Vamos, que en el caso de que las esferas sean materiales nos estaríamos saltando a la torera el principio de conservación de la materia. Acabamos de decir que el resultado no se puede comprobar en la realidad, pero de todas formas el tema del volumen matemáticamente hablando parece que sigue siendo un problema ya que los movimientos rígidos deben conservar el volumen. Para darse cuenta de que tal problema no existe tenemos que recurrir a la teoría de medida. Digamos que esta teoría es la que se encarga de asociar una medida a cada conjunto, en este caso el volumen. La cuestión en este caso es que las partes en las que dividimos la esfera son conjuntos no-medibles (que también los hay). No es que tengan medida 0, sino que no se pueden medir. Es decir, no se les puede asociar una medida y por tanto no podemos apelar a la conservación de la medida por movimientos rígidos. Intuitivamente es complicado de entender pero matemáticamente es totalmente cierto. La existencia de estos conjuntos no-medibles se prueba utilizando el famoso y controvertido históricamente axioma de elección.

La demostración del resultado está basada en las propiedades de los giros del espacio y utiliza varios resultados, entre ellos uno de Hausdorff relativo a los giros y el axioma de elección comentado anteriormente. Es bastante engorrosa para el lector poco iniciado y me atrevería a decir que hasta para el iniciado. Pero lo bueno que tiene es que es constructiva, es decir, no nos demuestra que el resultado es cierto mediante razonamientos que nada tienen que ver con el mismo sino que nos dice exactamente cómo tenemos que dividir la esfera. Algo es algo.

Otra conclusión que podemos sacar a partir de este resultado es la siguiente:

Podemos tomar una esfera maciza del tamaño de la Tierra, dividirla en un cierto número finito de partes y después de aplicarle movimientos rígidos oportunos a las mismas formar una esfera maciza del tamaño del Sol

Increible pero cierto, aunque sólo sea matemáticamente hablando.
Fuentes:

• La paradoja de Banach-Tarski por Carlos Ivorra
• La paradoja de Banach-Tarski en Tío Petros

Sólo con el ordenador no es suficiente

Introducción

En los tiempos que corren los programas informáticos de Matemáticas son fundamentales para el trabajo de cualquier persona relacionada con ellas: estudiante, profesor, investigador…Los paquetes informáticos de los que disponemos en la actualidad (Matlab y Mathematica por ejemplo) son realmente buenos y completos. Con ellos podemos realizar todo tipo de operaciones, ya sean numéricas, simbólicas, gráficas…El potencial de estos programas es inmenso.

Visto esto mucha gente puede llegar a pensar que de una forma u otra los conocimientos matemáticos pierden importancia frente a estos programas. ¿Para qué necesitamos realizar cálculos numéricos largos y engorrosos si el programa nos los hace en muy poco tiempo y sin rechistar? ¿Por qué realizar operaciones simbólicas complicadas si el programa las resuelve con gran facilidad? ¿Por qué dibujar gráficas que siempre quedarán imperfectas cuando el programa las representa a la perfección?

(Sigue leyendo …)

Problemas de programación

Aunque no parezca que esto tiene mucho que ver con la temática del blog, la tiene.

La Universidad de Valladolid tiene una web en la que propone unos problemas a resolver programando en cualquier lenguaje (o eso creo) de programación, para luego enviárselo y una vez revisado aparecer en un ranking según bien o mal tu solución.

No deja de ser curioso que la mayoría de los problemas que he visto (he visto pocos) son matemáticos, incluso muchos de ellos los hemos visto en este blog.

Yo creo que me voy a apuntar a ver si hago algunos, aunque cada vez que pienso lo que desaprovecho el tiempo y lo que luego me quejo de tener poco tiempo (viva la procrastinación).

(Vía meneame, encontrado de casualidad haciendo una búsqueda un tanto absurda)
(Para quién no lo sepa, el blog está un tanto abandonado por la falta de tiempo comentada y sí este tema salió en meneáme hace ya cuatro meses)

Calcular la raíz cuadrada

Supongo que a muchos de vosotros esto no os sirva de nada, ya que sabréis calcular la raíz cuadrada de un número manualmente, pero yo como soy un poco zopenco no sé calcularla, es más de pequeño supe y la olvidé al poco tiempo.

Es por ello que hoy os traigo el método para calcular la raíz cuadrada de un número manualmente, porque para que saber hacer la raíz cúbica de números de hasta 9 dígitos si no sabes hacer la raíz cuadrada de cualquier número.

Para explicaros el método, voy a usar un ejemplo e iré explicando paso a paso lo que se va haciendo:

El número elegido es el 46656.

1. Dividimos el número del que vamos a calcular la raíz cuadrado en pares de dígitos, empezando por los decimales (si los hubiera). Es decir, 1225 sería “12″ “25″ no “1″ “22″ “5″; 6′5536 sería “6′” “55″ “36″ no “6′5″ “53″ “6″.
2. Una vez hecho esto pasamos a dibujar una barra horizontal por encima de los pares de dígitos y una barra vertical a la izquierda de éstos. Algo así:
   

   

3. Encontramos el número más grande cuyo cuadrado es menor o igual al primer par de dígitos. En nuestro ejemplo, el primer par de dígitos es “4″, y el número más grande cuyo cuadrado es menor o igual que “4″ es el “2″. Así que ponemos el número dos en el lado izquierdo, y encima del primer par de dígitos.Algo así:
   

   

4. Ahora elevamos al cuadrado al número encontrado en el anterior punto, y lo restamos al primer par de dígitos. Algo así:
   

   

5. Una vez hecho lo anterior, extendemos la barra izquierda y multiplicamos por dos el último dígito que está a la izquierda de dicha barra, y colocamos el resultado a la izquierda del resultado de la resta realizada en el punto anterior, dejando un espacio a la derecha del número que acabamos de colocar para las siguientes operaciones.
   

   

6. Bajamos el siguiente par de dígitos.
   

   

7. Buscamos el número más grande que colocado como unidad del número de la izquierda y multiplicado por sí mismo sea menor que el segundo par de dígitos. En nuestro ejemplo, probaríamos con 1 · 41 <= 66, 2 · 42 <= 66, como 2 · 42 no es menor que 66, entonces el número buscado es uno y cuarenta y uno. Gráficamente, sería algo así:
   

   

8. Ahora restamos el segundo par de dígitos con el producto que hemos encontrado en el anterior punto. En nuestro ejemplo, 66 - (1 · 41). Quedaría algo así:
   

   

9. Y ahora repetimos lo mismo que hicimos anteriormente, bajamos el siguiente par de dígitos de la derecha, multiplicamos el último dígito del número izquierdo por dos y buscamos el número más grande para restarselo al par de dígitos que tengamos a su altura. Sería algo así:
   

   

10. En este caso tenemos dos pares de dígitos, por tanto hay que buscar el número más grande cuyo producto de dicho número con su concatenación, sea menor o igual a los dos pares de dígitos concatenados. En nuestro ejemplo, 426 · 6 = 2556. Y pasaríamos a realizar la resta correspondiente, del siguiente modo:
    

    

11. Una vez lleguemos a una resta cuyo resultado sea cero, tendremos la raíz cuadrado exacta que estabamos buscando y habremos terminado. De otro modo, tendríamos que seguir buscando tantos decimales como queramos.

(Sacado de este artículo en inglés)

Los problemas del millón de doláres

En las matemáticas no todos los problemas están resueltos, como hemos comentado en Gaussianos más de una vez. De hecho hay unos problemas ya hablé hace tiempo sobre los problemas de Hilbert, 23 problemas que propusó David Hilbert en el congreso internacional de matemáticos de 1900 para ser resueltos en el siglo XX y ser influyentes en las matemáticas de ese siglo.

Si bien de esos 23 problemas, se resolvieron la mayoría en ese siglo, todavía quedan otros problemas que han ido surgiendo y que por su complejidad siguen sin ser resueltos, a estos problemas se les llamó los problemas del milenio.

Estos problemas en principio eran ocho, pero Andrew Wiles se adelantó resolviendo antes del fin del siglo XX el último teorema de fermat. Así los problemas del milenio al final sólo fueron siete, y se hicieron bastante famosos cuando el instituto Clay anunció que recompensaría con un millón de doláres por problema resuelto.

Los siete problemas del milenio son:

1. P vs NP
2. La conjetura de Hodge
3. La conjetura de Poincaré: Este problema lo explicamos en Gaussianos. (Explicación)
4. La hipótesis de Riemann
5. Existencia de Yang-Mills y del salto de masa
6. Las ecuaciones de Navier-Stokes: Parece ser que hay grandes avances. (Información)
7. La conjetura de Birch y Swinnerton-Dyer

Hace poco, este año, se resolvió uno de ellos, concretamente la conjetura de Poincaré. Este problema fue resuelto por Grigori Perelman, además como consecuencia de esto se le otorgó la medalla fields y el millón de doláres correspondiente, pero Perelman se negó a aceptarlos.

Quizá más adelante me atreva (o nos atrevamos) a explicar un poco cada uno de los seis problemas que quedan por explicar.

(Más información en Wikipedia)

Triolet, el scrabble matemático existe

Hace ya tiempo hablaba de un juego para ordenador llamado Calculum, ese juego consistía en una especie de Scrabble de números, es decir, un scrabble matemático (como ya lo bautice en su momento).

En ese post me quejaba de que no existiera una versión física, de mesa, de ese juego. Hasta que ayer me encontré de casualidad con este juego llamado triolet, que no es más que un Calculum en juego de mesa.

Aunque las reglas son un tanto diferentes, ya que en el Calculum te daban puntos por hacer operaciones y cuanto mayor fuera el resultado más puntos, en Triolet el objetivo es sumar 15 con 3 fichas, o sumar 15 o menos con dos fichas, y después hacer diferentes combinaciones para obtener bonus.

Se vende en tiendas de Ingalterra, y en su portada dan 15 razones (que os he traducido) para comprarlo y jugar:

1. Es el juego del año 2006.
2. Es como una versión numérica del Scrabble.
3. Tus matemáticas mejoran sin darte cuenta.
4. Puedes competir por el título nacional (supongo que habrá algún torneo de este juego).
5. Tiene unas reglas sencillas, pero es un juego tacticamente complejo.
6. Es parte de las Olimpiadas de Deportes Mentales (¡vaya frikada! La primera vez que oigo hablar de ellas).
7. Una partida se juega en 30/40 minutos.
8. Es un buen juego para jugar en familia.
9. Cada partida es diferente.
10. Para cualquier edad y persona.
11. Está recomendado por la Guía Good Toy 2005.
12. Estimula el cerebro.
13. Es un excelente recurso para escuelas.
14. No se necesita un diccionario.
15. Si puedes sumar 15, puedes jugar.

Hojas de apuntes personalizadas

¿Quién no sabe lo que es un cheatsheet, en castellano una hoja de trucos? Es una hoja que reune varios trucos, apuntes o trozos de código sobre un tema para programadores, diseñadores y diferentes usuarios, así puedes tener un acceso rápido a esos trucos que se usan tan a menudo pero de los que nadie se acuerda.

Os preguntaréis ¿y esto de que nos vale a nosotros los frikis de las matemáticas?

Pues es que existe una web llamada Equation Sheet, que realiza cheatsheets sobre matemáticas y diferentes ciencias como física, de todo tipo de temas matemáticos, pero lo mejor de todo es que puedes realizar las cheatsheets personalizadas diciendole que quieres que haya, desde cualquier propiedad matemática hasta cualquier fórmula física.

Por cierto, las cheatsheets se crean en formato PDF.

Para mí es una web muy recomendable.

Potencia irracional igual a racional

A estas alturas, después de todo lo que hemos publicado en el blog, asumo que todos sabemos qué es un número racional y qué es un número irracional. Vamos a jugar un poco con ellos:

¿Existe algún caso en el que si A es irracional y B es racional se cumpla que la expresión A^B sea un número racional?

La respuesta es sí. Y de hecho es muy sencillo encontrar un caso:

Sqrt(2)²

Sabemos que Sqrt(2) es irracional, y evidentemente 2 es racional. Y esa expresión da como resultado 2, que es un número racional.

Y ahora vamos con la pregunta estrella del post:

¿Existe algún caso en el que siendo A y B irracionales la expresión A^b sea un número racional?

Se aceptan respuestas, si puede ser con alguna argumentación de ellas.