Convergencia de sucesión de números complejos

Vamos con el problema de esta semana. El enunciado es el siguiente:

Sea x_0 \neq 0 un número complejo. Discutir la convergencia de la sucesión

x_{n+1}=\cfrac{1}{2} \left ( x_n+\cfrac{1}{x_n} \right )

en función de x_0, e indicar el valor del límite en caso de convergencia.

Que se os dé bien.

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Por qué las matemáticas hicieron que me quedara sin novia
Ago28

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Es bueno saber mucho sobre matemáticas y controlar la notación para poder interpretar bien las expresiones que nos podamos encontrar, pero también es importante tener claro el contexto en el que se encuadra cada expresión que queramos interpretar. Parece que este chico no lo tenía tan claro.

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El diagrama definitivo de los conjuntos numéricos
Jul24

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Quien más quien menos ha visto alguna vez algún diagrama en el que se muestran los diversos conjuntos numéricos que se estudian habitualmente y su relación entre ellos colocándolos unos dentro de otros, cual matrioska, según su relación de inclusión.

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Sucesión “imaginaria pura”

Esta semana es hoy lunes cuando os traigo el problema semanal. Ahí va el enunciado:

Sea i=\sqrt{-1}. Demostrar que

\displaystyle{i^{i^{\cdot^{\cdot^{i}}}}}

esto es, la sucesión i, i^i, i^{(i^i)}, i^{(i^{(i^i)})},\ldots, es convergente (en \mathbb{C}), considerándose en la potenciación compleja

u^v=e^{v \cdot ln(u)}

como la rama principal del logaritmo.

No se pide dar una expresión cerrada del límite, sino demostrar la convergencia de la sucesión (vamos, que el límite existe).

Que se os dé bien.


Éste no es el problema de la serie Desafíos GaussianosyGuijarro. El viernes tendréis el primero de ellos.

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Encontrar las complejas no es nada complejo
Feb29

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Como ya sabemos, las ecuaciones polinómicas de segundo grado pueden tener 0, 1 ó 2 soluciones reales. ¿Cómo representamos gráficamente dichas soluciones reales en un plano? Pues como los puntos en los que la gráfica de la función correspondiente corta al eje X. Por ejemplo, la ecuación

x^2+3x+2=0

tiene como soluciones x=-1 y x=-2 (recordad que se calculaban con la famosa fórmula para resolver ecuaciones de segundo grado). Entonces los puntos del plano que corresponden a ellas son (-1,0) y (-2,0), es decir, los puntos -1 y -2 en el eje X:

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Raíces complejas y espirales
Oct10

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Qué interesantes son los números complejos. La cantidad de curiosidades que pueden sacarse a partir de sus propiedades tiende a infinito, y por ello vale la pena adentrarse en su estudio con el objetivo de profundizar en el conocimiento de este conjunto.

La curiosidad que vamos a comentar hoy está relacionada con las raíces n-ésimas de los números complejos, cuyo cálculo describimos aquí. No está de más recordar que en el conjunto \mathbb{C} de los complejos se cumple que cada z \in \mathbb{C} tiene exactamente n raíces n-ésimas distintas: dos raíces, cuadradas, tres raíces cúbicas, cuatro raíces cuartas, etc. Esto en \mathbb{R} no ocurre siempre (hay números reales que tienen dos raíces cuadradas, números reales que tiene solamente una y números reales que no tienen ninguna).

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