Porque todo tiende a infinito…
Es bueno saber mucho sobre matemáticas y controlar la notación para poder interpretar bien las expresiones que nos podamos encontrar, pero también es importante tener claro el contexto en el que se encuadra cada expresión que queramos interpretar. Parece que este chico no lo tenía tan claro.
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Quien más quien menos ha visto alguna vez algún diagrama en el que se muestran los diversos conjuntos numéricos que se estudian habitualmente y su relación entre ellos colocándolos unos dentro de otros, cual matrioska, según su relación de inclusión.
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Esta semana es hoy lunes cuando os traigo el problema semanal. Ahí va el enunciado:
Sea
. Demostrar que
esto es, la sucesión
, es convergente (en
), considerándose en la potenciación compleja
como la rama principal del logaritmo.
No se pide dar una expresión cerrada del límite, sino demostrar la convergencia de la sucesión (vamos, que el límite existe).
Que se os dé bien.
Éste no es el problema de la serie Desafíos GaussianosyGuijarro. El viernes tendréis el primero de ellos.
Como ya sabemos, las ecuaciones polinómicas de segundo grado pueden tener 0, 1 ó 2 soluciones reales. ¿Cómo representamos gráficamente dichas soluciones reales en un plano? Pues como los puntos en los que la gráfica de la función correspondiente corta al eje X. Por ejemplo, la ecuación
tiene como soluciones 
Qué interesantes son los números complejos. La cantidad de curiosidades que pueden sacarse a partir de sus propiedades tiende a infinito, y por ello vale la pena adentrarse en su estudio con el objetivo de profundizar en el conocimiento de este conjunto.
La curiosidad que vamos a comentar hoy está relacionada con las raíces n-ésimas de los números complejos, cuyo cálculo describimos aquí. No está de más recordar que en el conjunto 
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Hace unas semanas recibía un mail de Dani, un lector de Gaussianos, que me hablaba sobre la posibilidad de publicar en el blog un problema que él me proponía. La naturaleza del mismo me llamó la atención lo suficiente como para publicarlo: ¡era un problema abierto!, es decir, un problema del que todavía no se conoce la solución. Evidentemente en el enunciado no se hacía referencia a esta característica del problema. Simplemente se pedía demostrar un cierto resultado o encontrar un contraejemplo. Podéis ver el problema y los comentarios sobre el mismo haciendo click en este enlace.
La idea era provocar la curiosidad de la gente por el problema sin saber que todavía no se había resuelto, para ver si alguien daba con alguna idea interesante para una posible demostración. Esto, que puede parecer un objetivo inalcanzable, en realidad no era tan descabellado, ya que este problema no es de hace demasiado tiempo, por lo que podría existir algún camino sencillo para llegar a su demostración que todavía no se hubiera explorado.
La cuestión es que el problema se conoce como conjetura de Casas-Alvero y la propuso un matemático español, Eduardo Casas-Alvero, de la Universidad de Barcelona. En los comentarios del artículo podéis ver que hay gente que publica intentos de demostración, pero que por desgracia no llegan a nada, a todos se les encuentra algún pero. Días después de la publicación del problema, hernan descubre el pastel…y me destroza un artículo, en el que tenía pensado contar la naturaleza del problema y dar algún detalle más.
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Hoy lunes, último día de febrero de 2011, os dejo el problema de esta semana. El enunciado es el siguiente:
Sea
un polinomio de grado
con coeficientes complejos que comparte un cero (una solución) con cada una de sus derivadas no triviales (es decir, tal que
tienen una raíz común para
). Demostrar que entonces debe ser
para ciertos números complejos
o encontrar
una función distinta a la anteriorun polinomio distinto al anterior que cumpla las condiciones anteriores.
Que se dé bien.
Actualización: enunciado editado para corregir un pequeño error.
Como ya hemos visto en alguna ocasión los números complejos son un conjunto fascinante donde además ciertas propiedades de los números reales dejan de cumplirse o cambian de forma. Un ejemplo claro de ello es la imposibilidad de definir en
Las funciones definidas sobre los números complejos tampoco se salvan de esto. Generalmente cumplen muchas de las propiedades que cumplen las correspondientes en
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Un joven Gauss
de los números enteros es un conjunto numérico bien conocido por todos nosotros. Y, aunque seguro que en menor medida, también lo es el conjunto 
de los números complejos, conjunto numérico muy interesante y muy útil en gran cantidad de problemas relacionados con muchas ramas de las matemáticas.
¿Qué ocurriría sin mezclamos las dos definiciones de estos conjuntos? Me explico:
¿Tendrá alguna utilidad considerar el conjunto de los números complejos cuyas partes real e imaginaria son números enteros?
No habría sido extraño que fuera algo así lo que pensó Gauss al introducir este conjunto en 1832 (aunque en realidad su motivación fue el estudio sobre sumas de cuadrados). Y la verdad es que acertó (como muchas otras veces). Encontró un conjunto realmente especial. Vamos a hablar un poco sobre él y sobre sus interesantes y curiosas propiedades.
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Aunque
Como sabemos, las raíces en
En
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