¿Sabía que…

…las siguientes potencias relacionadas con la unidad imaginaria i

en realidad son números reales?

Para comprobarlo necesitamos conocer la siguiente propiedad de los logaritmos: log(a^b)=b log(a). Vamos con las dos demostraciones:

Primera potencia

Segunda potencia

Conclusión

Al ver las demostraciones es bastante evidente lo expuesto al comienzo del post, pero no deja de ser curioso que dos números formados de esa manera únicamente con la unidad imaginaria acaben siendo números reales. Y, cómo no, con el número π apareciendo por ahí en medio, como casi siempre.

Autor: ^DiAmOnD^ | Publicado el 10 de July de 2007
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Categorías: Demostraciones, Números complejos, Pi

Suma de potencias complejas

Vamos con un ejercicio relacionado con números complejos:

Sean

y

Calcular el valor de A a mano, es decir, sin calculadoras, programas informáticos ni similares.

Autor: ^DiAmOnD^ | Publicado el 19 de June de 2007
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Categorías: Juegos, Números complejos

Los complejos nos dicen que 1=-1

Hoy os traigo el juego 1 = -1. Ya vimos en este post hace un par de días algunas cosas sobre números complejos. En particular vimos que i, la unidad imaginaria, cumple que i² = -1, es decir, que i es la raíz cuadrada de -1. Usando esa propiedad podemos plantear lo siguiente:

Evidentemente hay algo mal en este planteamiento, ya que 1 no es igual que -1. Pero, ¿en qué paso del razonamiento se encuentra el error? ¿Por qué?

Solución:

Efecto Mariposa ya puso un enlace a la explicación en uno de los comentarios. Y esa misma es la explicación que yo iba a dar. Vamos con ella:

Para cualquier número complejo se define su argumento como el ángulo que forma el vector asociado a ese número complejo con el eje X. Si ese argumento está entre -π y π a ese argumento se le llama argumento principal del número complejo.

Por otra parte cada número complejo tiene 2 raíces cuadradas, 3 raíces, cúbicas, 4 raíces cuartas, etc. Una de ellas se denomina rama principal de la raíz. Pues esa misma es la que hay que tomar en este caso.

La raíz de ese producto se puede separar en ese producto de raíces siempre que la suma de los argumentos de los dos números complejos esté entre -π y π. En este caso tendríamos π + π = 2π, que se sale de ese rango. Por tanto deberíamos haber cogido para uno de los -1 la raíz cuadrada -i, que tiene como argumento -π. En este caso la suma de los argumentos sería π + (-π) = 0, que sí está en ese rango.

En este enlace podéis ver la explicación completa.

Autor: ^DiAmOnD^ | Publicado el 22 de November de 2006
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Los números complejos están “desordenados”

El cuerpo de los números complejos está formado por todos los números de la forma a + bi, siendo a y b números reales. La unidad imaginaria i tiene la siguiente propiedad:

i² = -1

Cuando a = 0 el número complejo se denomina imaginario puro y cuando b = 0 nos aparecen todos los números reales. Es decir: el cuerpo de los números complejos es una extensión del cuerpo de los números reales, ya que los contiene a todos.

En el cuerpo de los números reales podemos definir la relación de orden que todos conocemos: menor o igual que

que cumple que es un orden total, es decir, dados cualesquiera dos números reales x, y se tiene que x es menor o igual que y o que y es menor o igual que x.

Vamos con el título del artículo: ¿qué significa eso de que los números complejos están desordenados? Pues muy sencillo. Al igual que podemos definir un orden en el cuerpo de los números reales podríamos intentar hacer lo mismo con el cuerpo de los números complejos. Pero como los números reales son un subconjunto de los números complejos querríamos que el orden que definiéramos funcionara también en los reales. Pensando un poco vemos que la única posibilidad coherente es definir en los números complejos el mismo orden que en los números reales. El problema es que eso es imposible, es decir, ese orden no funciona en el cuerpo de los números complejos. Veamos por qué:

Supongamos que definimos para todos los números complejos a + bi el orden que definimos antes para los números reales. Evidentemente tendrá que cumplir las mismas propiedades. Por ejemplo, deberá ser total, es decir, para cualesquiera dos números complejos se debe cumplir que uno de ellos debe ser menor o igual que el otro. Veamos qué pasa si tomamos i y 0:

-Supongamos que i es menor o igual que 0:

Por las propiedades de la relación de orden sabemos que si multiplicamos a ambos lados por i la desigualdad cambia de sentido (al ser i en este caso un número negativo). Usando que i² = -1 y que i·0 = 0 queda:

Lo cual es imposible.

-Supongamos ahora que 0 es menor o igual que i:

Como ahora i es positivo si multiplicamos a ambos lados por él la desigualdad se debe mantener igual. Usando las mismas propiedades anteriores obtenemos:

Que como antes es absurdo.

Por tanto, como acabamos de ver, no podemos definir una relación de orden en el cuerpo de los números complejos cuya restricción a los números reales sea la que conocemos de toda la vida. Por eso el título del post:

Los números complejos están desordenados

Autor: ^DiAmOnD^ | Publicado el 20 de November de 2006
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Categorías: Cálculo, Números complejos

La identidad de Euler

En Matemáticas hay igualdades muy útiles, interesantes o simplemente bellas. La identidad de Euler es, para mí, una igualdad que lo tiene todo. Relaciona los que podríamos considerar como los 5 números más importantes de las Matemáticas: e, π (Pi), i, 0 y 1. ¿Cómo los relaciona?. Pues de la siguiente forma:

Explicación

¿Por qué se cumple esa igualdad?. Pues muy sencillo. Vamos con la demostración:
(Leer el resto del post)

Autor: ^DiAmOnD^ | Publicado el 13 de October de 2006
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