Tras la muerte de Pierre de Fermat, muchas de sus conjeturas quedaron sin resolver. Como ya sabemos, Fermat no era muy dado a publicar las demostraciones de sus resultados, por lo que debían ser demostrados por otros para confirmar su validez o falsedad. El caso más famoso, por lo que se tardó en confirmar y por la gran cantidad de matemáticos que se dedicaron a ello, es el denominado último teorema de Fermat, demostrado finalmente por Andrew Wiles en 1995, pero ni mucho menos fue el único.
La afirmación de Fermat sobre la primalidad de todos los números enteros positivos , llamados números de Fermat, fue otra de sus más famosas conjeturas, refutada finalmente por Euler en 1732 al encontrar la factorización de :
De hecho no se ha vuelto a encontrar ningún número de Fermat que sea primo.
Y el llamado pequeño teorema de Fermat constituye otro caso del mismo tipo que los anteriores. Dicho teorema afirma lo siguiente:
Si es un número primo y es un número natural que no es divisible por , entonces
Euler demostró este resultado y dio además la demostración de una generalización del mismo. En esta historia la conocida como función de Euler ejerce un papel de suma importancia. (Leer el resto del post)
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En ocasiones puede resultar paradójico que la respuesta a una pregunta suponga la aparición de muchas otras preguntas, pero en matemáticas esto ocurre constantemente. Es habitual que la demostración de un hecho traiga consigo la formulación de muchas preguntas relacionadas con este hecho.
Edward Waring
Precisamente esto es lo que ocurrió en 1909. Ese año David Hilbert daba una demostración de una conjetura conocida como problema de Waring, formulada por el matemático inglés Edward Waring más de cien años antes, en 1770.
En concreto, Waring conjeturó en su obra Meditationes Algebraicae que
Todo entero positivo puede expresarse como suma de a lo sumo potencias -ésimas positivas, siendo dependiente de (se entiende que es un número entero positivo).
Esto quiere decir que dado un exponente entero positivo , todo número entero positivo que tomemos necesitará de, como mucho, un número concreto de potencias con ese exponente . Waring conjeturó que todo entero positivo puede expresarse como suma de, a lo sumo, 4 cuadrados, 9 cubos y 19 potencias cuartas. Vamos, que si expresáramos todos los enteros positivo como suma de números al cuadrado, no haría falta usar 5 de ellos para expresar así ningún número.
Al parecer no se considera que Waring tuviera la suficiente capacidad para probar su propia conjetura, de hecho ni siquiera para probar alguno de los casos particulares () que él mismo conjeturó. Pero ahí quedó la cosa, como un reto al igual que cualquier otra conjetura, para quien la quisiera tomar.
El mismo año 1770 en el que se formuló la conjetura, el caso queda demostrado por Lagrange dando como resultado que Waring tenía razón: todo entero positivo puede expresarse como suma de, a lo sumo, 4 cuadrados. Como no podía ser de otra forma, este resultado se denomina teorema de los cuatro cuadrados y, aunque Fermat ya pensaba que era cierto, fue Lagrange el primero en dar una demostración. Un punto para Waring. Pequeño, sí, pero ahí queda.
David Hilbert
La traca final llegó en 1909 cuando Hilbert demuestra el caso general. Es decir, dado cualquier entero positivo , el número de potencias -ésimas que hay que sumar para obtener cualquier entero positivo está acotado, tiene un máximo, un tope, sea cual sea el número entero positivo que queramos expresar así.
El pero de todo esto (sí, siempre tiene que haber un pero) es que la demostración de Hilbert no da ningún procedimiento para calcular ese número máximo de sumandos. Por poner un ejemplo, esto quiere decir que sabemos que todo número natural puede ser expresado como, a lo sumo, un cierto número concreto de potencias de exponente , pero la demostración de ello no nos dice cuál es ese número concreto de ellas.
Dado que no tenemos una fórmula explícita para, dado , calcular el valor de , la única opción que nos queda es estudiar caso por caso: cuadrados por un lado, cubos por otro, potencias cuartas, etc. (Leer el resto del post)
A los matemáticos nos encanta poner nombre a las cosas, y cuanto más descriptivo sea el nombre mucho mejor. Así, los puntos frontera de un conjunto son los que gráficamente situaríamos como frontera geográfica de dicho conjunto o una sucesión monótona es una sucesión en la que nunca pasa nada distinto, es decir, una sucesión en la que la tendencia no cambia, es siempre creciente o siempre decreciente, pero no hay cambios.
Los conjuntos que os voy a presentar hoy no tienen nombre (al menos yo no conozco ningún nombre para ellos). Por eso los he bautizado a partir de la propiedad que tienen. Son los conjuntos CuCu.
¿Qué es un conjunto CuCu?
Lo primero que voy a hacer es explicar qué es para mí un conjunto CuCu.
Un conjunto CuCu es un conjunto de números enteros positivos tales que la suma de sus Cubos es igual al Cuadrado de su suma. Es decir:
Un conjunto CuCu es un conjunto de números enteros positivos que cumplen que:
Un ejemplo muy interesante de conjunto CuCu es el conjunto , para cualquier . Que este conjunto de números sea un conjunto CuCu significa lo siguiente:
Supongamos ahora que es cierto para , es decir, que
y demostremos que la igualdad es cierta para . Para ello partiremos de la parte de la igualdad relativa al cuadrado y utilizaremos el caso (esto es, la hipótesis de inducción) para llegar al objetivo buscado.
Partimos entonces de esta expresión:
Tomamos como primer término y como segundo término y desarrollamos el cuadrado de la suma:
Ahora utilizamos la hipótesis de inducción en la primera suma y que en la segunda:
Operando ahora el último sumando obtenemos y agrupándolo con el segundo sumando obtenemos , llegando entonces a la igualdad buscada.
¿Cómo generar conjuntos CuCu?
Pero el conjunto de los primeros enteros positivos no es el único que cumple esta propiedad. De hecho existe un procedimiento para generar conjuntos de números que cumplen que la suma de sus cubos es igual al cuadrado de su suma, es decir, conjuntos CuCu.
Joseph Liouville
Dicho procedimiento se lo debemos a Joseph Liouville y consiste en lo siguiente:
Tomamos un número entero positivo cualquiera y calculamos los divisores de dicho número (el 1 y el propio número también cuentan).
De cada divisor calculado antes contamos cuántos divisores tiene.
Los números que designan las cantidades de divisores de cada divisor del número inicial son un conjunto CuCu.
Vamos a ver un ejemplo sobre la aplicación de este procedimiento:
Número
Los divisores de son y .
Ahora:
- El 1 tiene divisor (el 1 solamente).
- El 2 tiene divisores (el 1 y el 2).
- El 4 tiene divisores (el 1, el 2 y el 4).
- El 5 tiene divisores (el 1 y el 5).
- El 10 tiene divisores (el 1, el 2, el 5 y el 10).
- El 20 tiene divisores (el 1, el 2, el 4, el 5, el 10 y el 20).
Entonces el conjunto es un conjunto CuCu:
Efectivamente, ambos miembros de la igualdad dan como resultado .
Evidentemente este procedimiento tiene su demostración, pero en vez de reproducirla aquí prefiero que visitéis este enlace en el que el gran Ignacio Larrosa nos la cuenta.
El número 26 es el único número natural que está situado entre un cuadrado () y un cubo ().
Al parecer fue Fermat quien demostró dicho resultado, pero en el post donde dábamos cuenta de esta característica del 26 no se daba ninguna prueba de este hecho. Fue Juanbuffer quien aportaba en un comentario un pdf con una demostración del mismo (que si no recuerdo mal no estaba en español). Por desgracia parece que ya no se puede acceder a dicho documento (al menos yo no puedo). Por este motivo me puse a buscar…y la he encontrado. Mi admirado Carlos Ivorra es quien me ha proporcionado dicha prueba. Bueno, en realidad no sé si es suya, pero aparece en uno de los libros en formato pdf que tiene disponibles en su web: Teoría de Números.
Como ya hemos comentado alguna vez, Leonhard Euler es el matemático más prolífico de la historia. Podemos encontrar su nombre en casi todas las ramas de las matemáticas, desde álgebra hasta análisis complejo, pasando por geometría y topología. Pero cuanto más indaga uno en sus trabajos más se sorprende. Por más que pensemos que conocemos los trabajos de Euler siempre aparece por sorpresa con un tema nuevo que nos era ajeno. Esto mismo es lo que me ha pasado a mí hace unos días. Y, cómo no, os lo voy a contar.
Numeri idonei
En una carta dirigida al físico suizo Nicolas Béguelin, Euler comentaba lo siguiente:
Todos los números contenidos de una sola forma en son primos o dobles de primos donde e son primos entre sí. He observado que otras expresiones similares de la forma gozan de la misma propiedad dando a la letra valores convenientes.
Esto es, todo número que puede expresarse de una única forma como , para e primos relativos, es primo o el doble de un primo. En particular, todo número impar que pueda expresarse de una única forma en el sentido anterior es primo.
Pero aún hay más. No sólo sirve una expresión del tipo , sino que existen ciertos valores de tales que una expresión del tipo cumple la misma propiedad. A estos valores de es a los que se les llama numeri idonei (números convenientes o números idóneos en español y suitable numbers o idoneal numbers en inglés).
Al menos esta era la definición inicial de número idóneo. Pero esta forma de definir este tipo de números presenta algunos problemas. Por ejemplo, es un número idóneo (lo veremos más adelante) y para él se cumple que:
es la única representación del número 9 como . Pero como todos sabemos 9 no es primo, aunque sí es potencia de un primo, ya que . Por tanto deberíamos decir que es un número idóneo si todo número impar que pueda expresarse de una única forma como es primo o potencia de un primo, pero se puede afinar un poco más para eliminar esta nueva posibilidad, esto es, que el número sea una potencia de un número primo (en el primer enlace de las fuentes podéis ver algunas de las condiciones que se podemos añadir a la definición para evitar esto).
Conociendo un poco la forma de trabajar de Euler cualquiera puede imaginar que no se quedó ahí, que sus investigaciones sobre este tema no terminaron en el establecimiento de la definición de este tipo de números. Sabiendo de su carácter indagador uno tiende a pensar que intentó profundizar más en el asunto. Y teniendo un poco de información sobre sus logros no es difícil convencerse de que lo hizo, y muy profundamente. Pues sí, así fue. Euler elaboró una lista de números idóneos. Es la siguiente:
En total 65 números que Euler comprobó que eran idóneos (en el sentido comentado anteriormente). De hecho indagó más: utilizó esta lista para construir números primos hasta de ocho cifras.
Llegados a este punto lo más lógico es que nos hagamos la siguiente pregunta: ¿es infinito el conjunto de números idóneos? La respuesta es no. En 1934, el matemático Sarvadaman Chowla demostró que el conjunto de números idóneos es finito.
Sabiendo esto nos surge otra cuestión: ¿hay más números idóneos aparte de los encontrados por Euler? Por desgracia para esta pregunta todavía no hay respuesta, aunque sí se tienen datos. Concretamente se sabe que como mucho existe un número idóneo más, aparte de los que se encuentran en la lista. Y que si este último número idóneo en realidad existe, debe ser mayor que 100000000.
Mayor número primo encontrado con los números idóneos
Hemos comentado antes que Euler utilizó estos números para encontrar números primos relativamente grades (hasta ocho cifras). El mayor número primo que encontró Euler con esta téctica fue . Para demostrar que este número de ocho cifras es primo habría que comprobar que la única solución de la ecuación
Numeri idonei en la Enciclopedia de las secuencias de números enteros, donde además podréis encontrar un código para Mathematica que genera todos los números idóneos hasta 10000.
Un polígono convexo es un polígono que cumple que todos sus ángulos interiores miden menos de 180º. De forma más intuitiva, un polígono es convexo cuando todos sus vértices están apuntando hacia el exterior del polígono. Por ejemplo, el siguiente polígono es convexo
pero éste no lo es
Según esta definición es evidente que todos los polígonos regulares (triángulo equilátero, cuadrado, pentágono regular…) son convexos.
Bien, aclarado este punto vamos a realizar un experimento con estos polígonos regulares. Lo que vamos a hacer es dividir cada uno de ellos en triángulos trazando diagonales que no se corten entre si. Y vamos a contar de cuántas formas podemos hacer esa subdivisión para cada uno de los polígonos.
Tomemos el primer polígono regular en lo que a número de lados se refiere, el triángulo equilátero. Está claro que en un triángulo equilátero no se puede trazar ninguna diagonal, pero como la propia figura es un triángulo digamos que ya tendríamos el polígono dividido en triángulos. Esto es, el número de formas en las que podemos dividir un triángulo equilátero en triángulos trazando diagonales de la forma descrita antes es .
Pasamos al siguiente, el cuadrado. En él podemos trazar dos diagonales que lo dividen en triángulos
Por ello, el número de formas en las que podemos dividir el cuadrado en triángulos como se comentó antes es .
El siguiente es el pentágono. En este caso cada forma de dividirlo en triángulos así consiste en trazar dos diagonales que no se corten. Estas son las formas.
Con el hexágono el número de diagonales a trazar es tres por vez. Nos quedan las siguientes formas de dividir un hexágono regular como hemos dicho antes:
Con un heptágono obtendríamos formas, con un octógono , y así sucesivamente…Un momento, ¿cómo que y así sucesivamente? Hemos obtenido la siguiente sucesión de números:
A la vista de estos elementos no parece que sea muy evidente cómo encontrar el siguiente término. La sucesión de números obtenida más bien parece aleatoria, casual, sin ningún interés…
La pregunta está clara:
¿Aparecen estos números en algún otro sitio? ¿Tienen algo de interés?
Este artículo es una colaboración enviada por fede a gaussianos (arroba) gmail (punto) com.
Introducción
Un número primo de la forma es suma de los cuadrados de dos números enteros. Además la representación es única si .
Como , la representación anterior da una factorización de un primo natural en el anillo de los enteros gaussianos. Además los factores y son primos en ese anillo.
Este post describe cómo obtener los enteros que son solución de .
La demostración de Zagier de que un primo de la forma es suma de dos cuadrados tampoco da un método práctico para encontrar la solución, ni las de Euler, Lagrange o Dedekind.
Tampoco la fórmula explícita de Gauss
es útil para calcular los valores de e .
Sin embargo existe un algoritmo muy simple para obtener la solución. Podemos describirlo de la siguiente forma:
Obtenemos un tal que , es decir, .
A continuación aplicamos el algoritmo de Euclides a . El primer resto que encontramos menor que es el valor de y el resto anterior es el valor de .
El algoritmo se deriva de las demostraciones de Serret, Hermite y H.J. Smith, las primeras publicadas en el “Diario de Liouville” en 1848 y la última en el “Diario de Crelle” en 1855.
Calculadora de las componentes de los factores
Podéis probar el algoritmo introduciendo un primo en la casilla de abajo. Para encontrar primos de algunos centenares de dígitos, podéis copiar y pegar en la casilla de abajo primos cuyas 2 últimas cifras sean de la forma desde las páginas de “Prime Curios!”.
Paso
Resultado
Duración
1. Validación de entrada
2. Busca no-residuo
3. Calcula raíz de -1
4. Alg.Euclides sobre p/r
5. Comprobación
x =
y =
Resultados completos:
Descripción de la calculadora
El paso 1 sólo verifica que el número introducido sea de la forma 4k+1.
Los dos siguientes pasos sirven para obtener , y están basados en los resultados de la teoría elemental de residuos cuadráticos.
En el paso 2 se busca un no-residuo cuadrático (es decir, un número que no sea un cuadrado ). Como la mitad de los números menores que son no-residuos, y es rápido determinar si un número es o no un residuo cuadrático (calculando el símbolo de Jacobi), probando con números al azar podemos obtener rápidamente un no-residuo cuadrático.
Sin embargo no está demostrado (todavía) que exista algoritmo determinista en tiempo polinomial para obtener un no-residuo cuadrático.
La implementación devuelve el menor no-residuo, si éste es menor que 2000.
Una vez que tenemos un no-residuo , en el paso 3 se obtiene .
Por el criterio de Euler para residuos cuadráticos, .
Que el paso 4 nos da la solución se justifica por el teorema de Serret:
Si , la lista de cocientes parciales del desarrollo en fracción continua de es simétrica (omando la lista de longitud par, lo que siempre es posible porque ).
Por ser simétrica la fracción continua, los restos que se obtienen al aplicar el algoritmo de Euclides a son los numeradores de los convergentes parciales (en orden inverso) y por tanto no hace falta calcular los numeradores de dichos convergentes parciales. Basta con aplicar el algoritmo de Euclides a hasta que obtengamos un resto menor que .
Por último, en el paso 5 se comprueba si los valores obtenidos cumplen . Si no se cumple la igualdad, se concluye que el número introducido no es primo (y los valores de no serán, en general, correctos).
El teorema de Serret se demuestra fácilmente usando la relación entre numeradores y denominadores de los convergentes parciales consecutivos y las reglas de formación de esos numeradores y denominadores. De ese teorema se obtiene una demostración de que un primo de la forma es suma de dos cuadrados, que pertenece al grupo de demostraciones que parten de que, para un primo de esa forma, -1 es un cuadrado
En cambio la demostración de H.J. Smith que exponemos a continuación no hace uso de este hecho.
La demostración de H.J. Smith
Usamos la notación para representar la fracción continua finita cuyos cocientes parciales son . Designamos con el numerador de la fracción .
Como , asumimos que el último cociente es siempre mayor que 1.
De esta última igualdad se concluye que si es mayor que 1 (y hay más de un cociente), no es primo.
Para un primo de la forma , sea el conjunto de las fracciones , desarrolladas en fracción continua.
En el desarrollo en fracción continua de se tiene que , porque , y porque asumimos que el último cociente es mayor que 1.
La función asocia a cada elemento de otro elemento de , porque el numerador de una fracción continua no se altera si se invierte el orden de los cocientes y el denominador es un número menor que , porque .
La función es entonces una involución de .
Si , el número de elementos de es , un número impar, y entonces tiene por lo menos un punto fijo, es decir, existe un que da una fracción continua simétrica (por la observación (2) anterior, el número de cocientes ha de ser par porque es primo).
Entonces es suma de 2 cuadrados por la observación (1) anterior.
El conjunto de los números enteros es un conjunto numérico bien conocido por todos nosotros. Y, aunque seguro que en menor medida, también lo es el conjunto de los números complejos, conjunto numérico muy interesante y muy útil en gran cantidad de problemas relacionados con muchas ramas de las matemáticas.
¿Qué ocurriría sin mezclamos las dos definiciones de estos conjuntos? Me explico:
¿Tendrá alguna utilidad considerar el conjunto de los números complejos cuyas partes real e imaginaria son números enteros?
No habría sido extraño que fuera algo así lo que pensó Gauss al introducir este conjunto en 1832 (aunque en realidad su motivación fue el estudio sobre sumas de cuadrados). Y la verdad es que acertó (como muchas otras veces). Encontró un conjunto realmente especial. Vamos a hablar un poco sobre él y sobre sus interesantes y curiosas propiedades. (Leer el resto del post)
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Introducción
La familia de los números naturales es muy grande, inmensa. En ella conviven infinitos (y numerables, es decir, contables) miembros que, aunque pueda parecer curioso tratándose de una familia, nunca nacieron y nunca morirán. Siempre han estado ahí y ahí continuarán.
Todos ellos son importantes y también todos ellos pueden ser útiles en cierto momento. En el transcurso de nuestro viaje por este camino temporal llamado vida nos encontramos (y nos seguiremos encontrando) con muchos de ellos. Bien es cierto que habitualmente toparemos con miembros más bien pequeños, de bajo valor númerico (aunque esto no significa que tengan poco valor). Pero de vez en cuando asistiremos a la aparición de algún miembro cuyo peso como número tiene cierta entidad.
Pero al fin y al cabo nuestra existencia es finita, terminará. Este hecho unido al carácter infinito de los números naturales hace que resulte imposible encontrarse con todos, que sea inviable conocer a todos los miembros de esta familia.
Uniendo estos dos hechos (generalmente nos encontraremos con números relativamente pequeños y nos es imposible conocerlos a todos en persona) es evidente que muchos números grandes quedarán fuera de nuestro alcance en el sentido de que no tendremos el placer de tenerlos delante.
Posiblemente los tres números que os voy a presentar hoy pertenezcan a estos últimos. Bueno, puede que el primero de ellos, por estar relacionado con un juego de mesa muy popular, sí sea conocido por vosotros, pero estoy convencido de que muchos de los que leáis este artículo añadiréis al menos dos números más a vuestra lista mental de miembros conocidos de la familia de los números naturales. (Leer el resto del post)
Hoy os traigo un tipo de números curiosos tanto por su definición como por la historia de su denominación: los números de Smith.
Vamos con la definición de este tipo de números:
Un número de Smith es un número natural compuesto que cumple que la suma de sus dígitos es igual a la suma de los dígitos de todos sus factores primos (si tenemos algún factor primo repetido lo sumamos tantas veces como aparezca).
Con esta definición es sencillo ver que el primer número de Smith es el :
Y el siguiente es el :
Pero hay muchos más, de hecho hay infinitos números de Smith. Otro ejemplo, esta vez con un número más grande, :
Los números de Smith fueron presentados por el matemático Albert Wilanski en 1982. Pero, ¿por qué no llevan su nombre? Muy sencillo. Al parecer el número de teléfono de teléfono del cuñado de Wilanski era 493-7775 y Albert se dio cuenta de que el número es un número de este tipo:
El nombre de este tipo de números se debe a que el cuñado de Wilanski (que no tenía nada que ver con las matemáticas) se llamaba Harold Smith. Se vuelve a cumplir la sentencia de Klein.
En el momento en el que aparecieron los números de Smith éste era el mayor número de este tipo conocido. Pero a partir de aquí comenzaron a aparecer artículos dando propiedades y ejemplos mayores que el citado . Por ejemplo, en 1983 Oltikar y Wayland descubrieron que si es un número primo repuit (es decir, con todos sus dígitos iguales a uno), entonces el número es un número de Smith. Pero no es el único caso. Descubrieron muchos más números tales que multiplicados por un repunit primo dan siempre un número de Smith. Por ejemplo los números $1540, 1720, 2170, 2440, 5590$ y también tienen esa propiedad. En la sucesión-pedia tenéis la lista de los mismos.
En 1984 Pat Costello encontró 75 nuevos números de Smith de la forma , siendo un primo pequeño y un primo de Mersenne. El mayor de ellos (con 65319 dígitos) fue el siguiente:
En 1986 se presentó otro método distinto para generar números de Smith con el que se encontró, por ejemplo, el siguiente número de Smith:
Pero no fue el único Se encontraron números realmente colosales, por ejemplo un número de Smith con 2592699 dígitos.
Pero fue en 1987 cuando se produjo el descubrimiento más importante sobre este tipo de número. Wayne Mc Daniel descubrió que hay infinitos números de Smith. De hecho descubrió más cosas. Introdujo los k-números de Smith, que son los que cumplen que la suma de los dígitos de los factores primos es el producto de por la suma de los dígitos del número y demostró que los k-números de Smith son infinitos, para todo .
En este mismo año también se definieron los números de Smith palindrómicos (es decir, capicúas), como el , o los hermanos de Smith, que son parejas de números de Smith consecutivos, como el y el o el y el . A partir de esto se han descubierto tripletes de Smith (por ejemplo, y ), conjuntos de cuatro consecutivos (el más pequeño de este tipo es el formado por los números y ), y así sucesivamente.
Para terminar os dejo la lista de números de Smith de la sucesión-pedia y el mayor número de Smith conocido hasta la fecha:
donde es el primo repunit compuesto por 1031 unos.
Fuentes:
La maravilla de los números, de Clifford A. Pickover.
Fascinating Smith Numbers: Sección de la web de Shyam Sunder Gupta con mucha información sobre los números de Smith.
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La línea de Euler
Si un triángulo es equilátero entonces circuncentro, baricentro y ortocentro coinciden. En otro caso Euler demostró que esos tres puntos están siempre alineados. A la línea [...]
es un número primo y
es un número natural que no es divisible por
potencias 
-ésimas positivas, siendo 
) que él mismo conjeturó. Pero ahí quedó la cosa, como un reto al igual que cualquier otra conjetura, para quien la quisiera tomar.
queda demostrado por Lagrange dando como resultado que Waring tenía razón: todo entero positivo puede expresarse como suma de, a lo sumo, 4 cuadrados. Como no podía ser de otra forma, este resultado se denomina 
, pero la demostración de ello no nos dice cuál es ese número concreto de ellas.
que cumplen que:
, para cualquier 
. Que este conjunto de números sea un conjunto CuCu significa lo siguiente:
:
. Para ello partiremos de la parte de la igualdad relativa al cuadrado y utilizaremos el caso 
y como segundo término 
en la segunda:
y agrupándolo con el segundo sumando obtenemos 
, llegando entonces a la igualdad buscada. 
y 
divisor (el 1 solamente).
divisores (el 1 y el 2).
divisores (el 1, el 2 y el 4).
divisores (el 1, el 2, el 5 y el 10).
divisores (el 1, el 2, el 4, el 5, el 10 y el 20).
es un conjunto CuCu:
.
) y un cubo (
).
Como ya hemos comentado alguna vez, Leonhard Euler es el matemático más prolífico de la historia. Podemos encontrar su nombre en casi todas las ramas de las matemáticas, desde álgebra hasta análisis complejo, pasando por geometría y topología. Pero cuanto más indaga uno en sus trabajos más se sorprende. Por más que pensemos que conocemos los trabajos de Euler siempre aparece por sorpresa con un tema nuevo que nos era ajeno. Esto mismo es lo que me ha pasado a mí hace unos días. Y, cómo no, os lo voy a contar.
son primos o dobles de primos donde 
e 
son primos entre sí. He observado que otras expresiones similares de la forma 
gozan de la misma propiedad dando a la letra 
, para 
cumple la misma propiedad. A estos valores de 
. Pero como todos sabemos 9 no es primo, aunque sí es potencia de un primo, ya que 
. Por tanto deberíamos decir que 
. Para demostrar que este número de ocho cifras es primo habría que comprobar que la única solución de la ecuación
. ¿Alguien se atreve?
Tomemos el primer polígono regular en lo que a número de lados se refiere, el triángulo equilátero. Está claro que en un triángulo equilátero no se puede trazar ninguna diagonal, pero como la propia figura es un triángulo digamos que ya tendríamos el polígono dividido en triángulos. Esto es, el número de formas en las que podemos dividir un triángulo equilátero en triángulos trazando diagonales de la forma descrita antes es 
formas.
formas de dividir un hexágono regular como hemos dicho antes:
formas, con un octógono 
, y así sucesivamente…Un momento, ¿cómo que y así sucesivamente? Hemos obtenido la siguiente sucesión de números:
es suma de los cuadrados de dos números enteros. Además la representación 
es única si 
.
, la representación anterior da una factorización de un primo natural 
en 
y 
son primos en ese anillo.
que son solución de 
, y eso puede funcionar para primos pequeños como 100123456789 y 100987654321, pero no sirve para primos algo más grandes como el 
tal que 
, es decir, 
.
. El primer resto que encontramos menor que 
es el valor de 
, y están basados en los resultados de la teoría elemental de residuos cuadráticos.
(es decir, un número que no sea un cuadrado 
). Como la mitad de los números menores que 
.
.
, la lista de cocientes parciales del desarrollo en fracción continua de ![{}[a_0, \ldots, a_n] = [a_0, \ldots, a_n-1, 1]](http://s.wordpress.com/latex.php?latex=%7B%7D%5Ba_0%2C%20%5Cldots%2C%20a_n%5D%20%3D%20%5Ba_0%2C%20%5Cldots%2C%20a_n-1%2C%201%5D&bg=ffffff&fg=000000&s=0 "{}[a_0, \ldots, a_n] = [a_0, \ldots, a_n-1, 1]")
).![p = N[a_0,\ldots,a_h,a_h,\ldots ,a_0] = N[a_0,\ldots,a_h]^2 + N[a_0,\ldots,a_{h-1}]^2](http://s.wordpress.com/latex.php?latex=p%20%3D%20N%5Ba_0%2C%5Cldots%2Ca_h%2Ca_h%2C%5Cldots%20%2Ca_0%5D%20%3D%20N%5Ba_0%2C%5Cldots%2Ca_h%5D%5E2%20%2B%20N%5Ba_0%2C%5Cldots%2Ca_%7Bh-1%7D%5D%5E2%20&bg=ffffff&fg=000000&s=0 "p = N[a_0,\ldots,a_h,a_h,\ldots ,a_0] = N[a_0,\ldots,a_h]^2 + N[a_0,\ldots,a_{h-1}]^2")
. 
hasta que obtengamos un resto menor que 
.
. Si no se cumple la igualdad, se concluye que el número 
no serán, en general, correctos).![{}[ a_0, a_1, \ldots, a_n ]](http://s.wordpress.com/latex.php?latex=%7B%7D%5B%20a_0%2C%20a_1%2C%20%5Cldots%2C%20a_n%20%5D%20&bg=ffffff&fg=000000&s=0 "{}[ a_0, a_1, \ldots, a_n ]")
para representar la fracción continua finita cuyos cocientes parciales son 
. Designamos con ![N[ a_0, a_1, \ldots, a_n ]](http://s.wordpress.com/latex.php?latex=N%5B%20a_0%2C%20a_1%2C%20%5Cldots%2C%20a_n%20%5D%20&bg=ffffff&fg=000000&s=0 "N[ a_0, a_1, \ldots, a_n ]")
el numerador de la fracción ![{}[a_0, a_1, \ldots, a_{n-1}, 1 ] = [a_0, a_1, \ldots, a_{n-1} + 1 ]](http://s.wordpress.com/latex.php?latex=%7B%7D%5Ba_0%2C%20a_1%2C%20%5Cldots%2C%20a_%7Bn-1%7D%2C%201%20%5D%20%3D%20%5Ba_0%2C%20a_1%2C%20%5Cldots%2C%20a_%7Bn-1%7D%20%2B%201%20%5D&bg=ffffff&fg=000000&s=0 "{}[a_0, a_1, \ldots, a_{n-1}, 1 ] = [a_0, a_1, \ldots, a_{n-1} + 1 ]")
, asumimos que el último cociente es siempre mayor que 1.![N[a_0, a_1, \ldots, a_n ] = N[a_n, a_{n-1}, \ldots, a_0 ]](http://s.wordpress.com/latex.php?latex=N%5Ba_0%2C%20a_1%2C%20%5Cldots%2C%20a_n%20%5D%20%3D%20%20N%5Ba_n%2C%20a_%7Bn-1%7D%2C%20%5Cldots%2C%20a_0%20%5D%20&bg=ffffff&fg=000000&s=0 "N[a_0, a_1, \ldots, a_n ] = N[a_n, a_{n-1}, \ldots, a_0 ]")
,
![N[a_0,\ldots,a_k,\ldots,a_n] = N[a_0,\ldots,a_k] N[a_{k+1},\ldots,a_n] + N[a_0,\ldots,a_{k-1}] N[a_{k+2},\ldots,a_n]](http://s.wordpress.com/latex.php?latex=N%5Ba_0%2C%5Cldots%2Ca_k%2C%5Cldots%2Ca_n%5D%20%3D%20%20N%5Ba_0%2C%5Cldots%2Ca_k%5D%20N%5Ba_%7Bk%2B1%7D%2C%5Cldots%2Ca_n%5D%20%2B%20%20N%5Ba_0%2C%5Cldots%2Ca_%7Bk-1%7D%5D%20%20N%5Ba_%7Bk%2B2%7D%2C%5Cldots%2Ca_n%5D%20&bg=ffffff&fg=000000&s=0 "N[a_0,\ldots,a_k,\ldots,a_n] = N[a_0,\ldots,a_k] N[a_{k+1},\ldots,a_n] + N[a_0,\ldots,a_{k-1}] N[a_{k+2},\ldots,a_n]")
![N[a_0,\ldots,a_h,a_h,\ldots ,a_0] = N[a_0,\ldots,a_h]^2 + N[a_0,\ldots,a_{h-1}]^2](http://s.wordpress.com/latex.php?latex=N%5Ba_0%2C%5Cldots%2Ca_h%2Ca_h%2C%5Cldots%20%2Ca_0%5D%20%3D%20N%5Ba_0%2C%5Cldots%2Ca_h%5D%5E2%20%2B%20N%5Ba_0%2C%5Cldots%2Ca_%7Bh-1%7D%5D%5E2%20&bg=ffffff&fg=000000&s=0 "N[a_0,\ldots,a_h,a_h,\ldots ,a_0] = N[a_0,\ldots,a_h]^2 + N[a_0,\ldots,a_{h-1}]^2")
. ![N[a_0,\ldots,a_h,a_{h+1},a_h,\ldots ,a_0] = N[a_0,\ldots,a_{h}] ( N[a_0,\ldots,a_{h+1}] + N[a_0,\ldots,a_{h-1}] )](http://s.wordpress.com/latex.php?latex=N%5Ba_0%2C%5Cldots%2Ca_h%2Ca_%7Bh%2B1%7D%2Ca_h%2C%5Cldots%20%2Ca_0%5D%20%3D%20N%5Ba_0%2C%5Cldots%2Ca_%7Bh%7D%5D%20%28%20%20N%5Ba_0%2C%5Cldots%2Ca_%7Bh%2B1%7D%5D%20%2B%20N%5Ba_0%2C%5Cldots%2Ca_%7Bh-1%7D%5D%20%29%20%20&bg=ffffff&fg=000000&s=0 "N[a_0,\ldots,a_h,a_{h+1},a_h,\ldots ,a_0] = N[a_0,\ldots,a_{h}] ( N[a_0,\ldots,a_{h+1}] + N[a_0,\ldots,a_{h-1}] )")
.
es mayor que 1 (y hay más de un cociente), ![N[a_0,\ldots,a_h,a_{h+1},a_h,\ldots ,a_0]](http://s.wordpress.com/latex.php?latex=N%5Ba_0%2C%5Cldots%2Ca_h%2Ca_%7Bh%2B1%7D%2Ca_h%2C%5Cldots%20%2Ca_0%5D&bg=ffffff&fg=000000&s=0 "N[a_0,\ldots,a_h,a_{h+1},a_h,\ldots ,a_0]")
no es primo.
, sea 
el conjunto de las fracciones 
, desarrolladas en fracción continua. ![\dfrac{p}{i} = [a_0, a_1, \ldots, a_n ]](http://s.wordpress.com/latex.php?latex=%5Cdfrac%7Bp%7D%7Bi%7D%20%3D%20%5Ba_0%2C%20a_1%2C%20%5Cldots%2C%20a_n%20%5D&bg=ffffff&fg=000000&s=0 "\dfrac{p}{i} = [a_0, a_1, \ldots, a_n ]")
se tiene que 
, porque 
, y 
porque asumimos que el último cociente es mayor que 1.![f([a_0, \ldots, a_n ]) = [a_n, \ldots, a_0]](http://s.wordpress.com/latex.php?latex=f%28%5Ba_0%2C%20%5Cldots%2C%20a_n%20%5D%29%20%3D%20%5Ba_n%2C%20%5Cldots%2C%20a_0%5D%20&bg=ffffff&fg=000000&s=0 "f([a_0, \ldots, a_n ]) = [a_n, \ldots, a_0]")
asocia a cada elemento de 
, porque 
es entonces una involución de 
, el número de elementos de 
, un número impar, y entonces 
que da una fracción continua simétrica ![\dfrac{p}{r} = [a_0, \ldots, a_h, a_h, \ldots, a_0]](http://s.wordpress.com/latex.php?latex=%5Cdfrac%7Bp%7D%7Br%7D%20%3D%20%5Ba_0%2C%20%5Cldots%2C%20a_h%2C%20a_h%2C%20%5Cldots%2C%20a_0%5D%20&bg=ffffff&fg=000000&s=0 "\dfrac{p}{r} = [a_0, \ldots, a_h, a_h, \ldots, a_0]")
(por la observación (2) anterior, el número de cocientes ha de ser par porque ![\dfrac{p}{r} = [a_0, \ldots, a_h, a_h, \ldots, a_0 ] = \dfrac{N[a_0, \ldots, a_h , a_h, \ldots, a_0]}{D[a_0, \ldots, a_h , a_h, \ldots, a_0]}](http://s.wordpress.com/latex.php?latex=%5Cdfrac%7Bp%7D%7Br%7D%20%3D%20%5Ba_0%2C%20%5Cldots%2C%20a_h%2C%20a_h%2C%20%5Cldots%2C%20a_0%20%5D%20%3D%20%5Cdfrac%7BN%5Ba_0%2C%20%5Cldots%2C%20a_h%20%2C%20a_h%2C%20%5Cldots%2C%20a_0%5D%7D%7BD%5Ba_0%2C%20%5Cldots%2C%20a_h%20%2C%20a_h%2C%20%5Cldots%2C%20a_0%5D%7D&bg=ffffff&fg=000000&s=0 "\dfrac{p}{r} = [a_0, \ldots, a_h, a_h, \ldots, a_0 ] = \dfrac{N[a_0, \ldots, a_h , a_h, \ldots, a_0]}{D[a_0, \ldots, a_h , a_h, \ldots, a_0]}")
.![D[a_0,a_1,\ldots a_n] = N[a_1,\ldots a_n], \ \ r=N[a_1,\ldots a_h, a_h, \ldots, a_0]](http://s.wordpress.com/latex.php?latex=D%5Ba_0%2Ca_1%2C%5Cldots%20a_n%5D%20%3D%20%20%20N%5Ba_1%2C%5Cldots%20a_n%5D%2C%20%5C%20%5C%20r%3DN%5Ba_1%2C%5Cldots%20a_h%2C%20a_h%2C%20%5Cldots%2C%20a_0%5D&bg=ffffff&fg=000000&s=0 "D[a_0,a_1,\ldots a_n] = N[a_1,\ldots a_n], \ \ r=N[a_1,\ldots a_h, a_h, \ldots, a_0]")
![N[a_0 \ldots,a_n] N[a_1, \ldots,a_{n-1}] - N[a_0 \ldots,a_{n-1}] N[a_1, \ldots,a_n] = (-1)^{n-1}](http://s.wordpress.com/latex.php?latex=%20N%5Ba_0%20%5Cldots%2Ca_n%5D%20N%5Ba_1%2C%20%5Cldots%2Ca_%7Bn-1%7D%5D%20-%20N%5Ba_0%20%5Cldots%2Ca_%7Bn-1%7D%5D%20N%5Ba_1%2C%20%5Cldots%2Ca_n%5D%20%3D%20%28-1%29%5E%7Bn-1%7D%20&bg=ffffff&fg=000000&s=0 "N[a_0 \ldots,a_n] N[a_1, \ldots,a_{n-1}] - N[a_0 \ldots,a_{n-1}] N[a_1, \ldots,a_n] = (-1)^{n-1}")
![p N[a_1,\ldots,a_h,a_h,\ldots, a_1] - r^2 = 1](http://s.wordpress.com/latex.php?latex=%20p%20N%5Ba_1%2C%5Cldots%2Ca_h%2Ca_h%2C%5Cldots%2C%20a_1%5D%20-%20r%5E2%20%3D%201%20&bg=ffffff&fg=000000&s=0 "p N[a_1,\ldots,a_h,a_h,\ldots, a_1] - r^2 = 1")
de los números enteros es un conjunto numérico bien conocido por todos nosotros. Y, aunque seguro que en menor medida, también lo es el conjunto 
de los números complejos, conjunto numérico muy interesante y muy útil en gran cantidad de problemas relacionados con muchas ramas de las matemáticas.
:
:
es un número de este tipo:
es un número de Smith. Pero no es el único caso. Descubrieron muchos más números tales que multiplicados por un repunit primo dan siempre un número de Smith. Por ejemplo los números $1540, 1720, 2170, 2440, 5590$ y 
también tienen esa propiedad. En la 
, siendo 
un primo de Mersenne. El mayor de ellos (con 65319 dígitos) fue el siguiente:
, o los hermanos de Smith, que son parejas de números de Smith consecutivos, como el 
y el 
o el 
y el 
. A partir de esto se han descubierto tripletes de Smith (por ejemplo, 
y 
), conjuntos de cuatro consecutivos (el más pequeño de este tipo es el formado por los números 
y 
), y así sucesivamente.
es el primo repunit compuesto por 1031 unos.
