Separamos la cifra de las unidades del número inicial, la multiplicamos por 2 y se la restamos al resto del número (lo que quedó sin las unidades). Si obtenemos un múltiplo de 7 entonces el número inicial es múltiplo de 7, y si obtenemos un número que no es múltiplo de 7 pues el inicial tampoco lo es. Si obtenemos un número demasiado grande y no sabemos si es múltiplo de 7 o no, repetimos el proceso anterior las veces necesarias hasta que lleguemos a un número del que sepamos si es o no múltiplo de 7.

Pongamos un ejemplo:

• Número:
• 
• 
• Como no es múltiplo de 7 entonces no es múltiplo de 7

Particularmente veo que este algoritmo es algo lento si el número es demasiado grande, pero bueno, al menos tenemos uno, ¿no?

Uhmmm…¿no habrá alguna otra forma? Pues sí, el mundo de la divisibilidad nos tiene guardada una sorpresa en lo que al 7 se refiere…

El grafo de la divisibilidad entre 7

…en forma de grafo.

El blog de Tanya Khovanova es uno de esos sitios en los que muy a menudo pueden encontrarse auténticas perlas matemáticas. La que os os voy a presentar aquí la he encontrado allí, aunque no es de ella, sino de David Wilson. Es un grafo a partir del cual no sólo podemos saber si un número es divisible entre 7 de manera algo más rápida que con el algoritmo anterior (al menos bajo mi punto de vista) sino también el resto que deja dicha división en el caso de no serlo. Vamos a verlo:

Para saber si un número natural es divisible entre 7 comenzamos en el cero, recorremos desde él tantas flechas negras como indique la primera cifra del número y después seguimos la flecha blanca que salga del punto al que hemos llegado. Tomamos la segunda cifra y hacemos lo mismo: desde el punto donde nos encontramos recorremos tantas flechas negras como indique la segunda cifra y después la flecha blanca que nos encontramos en el destino. Y así sucesivamente. Cuando lleguemos a la última cifra recorremos desde el punto donde nos encontremos tantas flechas negras como ella indique y el punto al que lleguemos nos dice el resto de dividir el número inicial entre 7.

Tomemos un número grande, digamos el . Con el método anterior posiblemente tardaríamos un buen rato en comprobar si nuestro número es divisible entre 7 o no (podéis comprobarlo). Además no conoceríamos el resto de dicha división. Probemos con nuestro grafo:

• Desde el 0 dos flechas negras, llegando al 2; ahora una flecha blanca y llegamos al 6
• Desde el 6 tres flechas negras, llegando al 2; ahora una flecha blanca y llegamos otra vez al 6
• Desde el 6 nueve flechas negras, llegando al 1; ahora una flecha blanca y llegamos al 3
• Desde el 3 no recorremos ninguna flecha negra, por lo que nos quedamos en el 3; ahora una flecha blanca y llegamos al 2
• Desde el 2 cinco flechas negras, llegando al 0; ahora una flecha blanca, por lo que nos quedamos en el 0
• A para finalizar, desde el 0 ocho flechas negras, llegando al 1.

Por tanto, el resto de dividir entre 7 es (y por tanto no es divisible entre 7).

¿Alguien nos podría explicar por qué funciona este método?

Este grafo es una mejora de otro grafo del propio David Wilson que sólo nos indicaba si el número escogido era o no divisible entre 7.

A los matemáticos nos encanta poner nombre a las cosas, y cuanto más descriptivo sea el nombre mucho mejor. Así, los puntos frontera de un conjunto son los que gráficamente situaríamos como frontera geográfica de dicho conjunto o una sucesión monótona es una sucesión en la que nunca pasa nada distinto, es decir, una sucesión en la que la tendencia no cambia, es siempre creciente o siempre decreciente, pero no hay cambios.

Los conjuntos que os voy a presentar hoy no tienen nombre (al menos yo no conozco ningún nombre para ellos). Por eso los he bautizado a partir de la propiedad que tienen. Son los conjuntos CuCu.

¿Qué es un conjunto CuCu?

Lo primero que voy a hacer es explicar qué es para mí un conjunto CuCu.

Un conjunto CuCu es un conjunto de números enteros positivos tales que la suma de sus Cubos es igual al Cuadrado de su suma. Es decir:

Un conjunto CuCu es un conjunto de números enteros positivos que cumplen que:

Un ejemplo muy interesante de conjunto CuCu es el conjunto , para cualquier . Que este conjunto de números sea un conjunto CuCu significa lo siguiente:

Vamos a demostrar este resultado por inducción:

Demostración:

El resultado es evidente para :

Supongamos ahora que es cierto para , es decir, que

y demostremos que la igualdad es cierta para . Para ello partiremos de la parte de la igualdad relativa al cuadrado y utilizaremos el caso (esto es, la hipótesis de inducción) para llegar al objetivo buscado.

Partimos entonces de esta expresión:

Tomamos como primer término y como segundo término y desarrollamos el cuadrado de la suma:

Ahora utilizamos la hipótesis de inducción en la primera suma y que en la segunda:

Operando ahora el último sumando obtenemos y agrupándolo con el segundo sumando obtenemos , llegando entonces a la igualdad buscada.

¿Cómo generar conjuntos CuCu?

Pero el conjunto de los primeros enteros positivos no es el único que cumple esta propiedad. De hecho existe un procedimiento para generar conjuntos de números que cumplen que la suma de sus cubos es igual al cuadrado de su suma, es decir, conjuntos CuCu.

Joseph Liouville

1. Tomamos un número entero positivo cualquiera y calculamos los divisores de dicho número (el 1 y el propio número también cuentan).
2. De cada divisor calculado antes contamos cuántos divisores tiene.
3. Los números que designan las cantidades de divisores de cada divisor del número inicial son un conjunto CuCu.

Vamos a ver un ejemplo sobre la aplicación de este procedimiento:

Número

1. Los divisores de son y .
2. Ahora:
   - El 1 tiene divisor (el 1 solamente).
   - El 2 tiene divisores (el 1 y el 2).
   - El 4 tiene divisores (el 1, el 2 y el 4).
   - El 5 tiene divisores (el 1 y el 5).
   - El 10 tiene divisores (el 1, el 2, el 5 y el 10).
   - El 20 tiene divisores (el 1, el 2, el 4, el 5, el 10 y el 20).
3. Entonces el conjunto es un conjunto CuCu:

   

   Efectivamente, ambos miembros de la igualdad dan como resultado .

Evidentemente este procedimiento tiene su demostración, pero en vez de reproducirla aquí prefiero que visitéis este enlace en el que el gran Ignacio Larrosa nos la cuenta.

Hace ya bastante tiempo comentamos una curiosa propiedad del número 26. Concretamente es ésta:

El número 26 es el único número natural que está situado entre un cuadrado () y un cubo ().

Al parecer fue Fermat quien demostró dicho resultado, pero en el post donde dábamos cuenta de esta característica del 26 no se daba ninguna prueba de este hecho. Fue Juanbuffer quien aportaba en un comentario un pdf con una demostración del mismo (que si no recuerdo mal no estaba en español). Por desgracia parece que ya no se puede acceder a dicho documento (al menos yo no puedo). Por este motivo me puse a buscar…y la he encontrado. Mi admirado Carlos Ivorra es quien me ha proporcionado dicha prueba. Bueno, en realidad no sé si es suya, pero aparece en uno de los libros en formato pdf que tiene disponibles en su web: Teoría de Números.

En este artículo vais a poder ver esta demostración.

La unicidad del 26

En realidad la demostración que os voy a presentar del hecho de que el 26 sea el único número natural con la propiedad mencionada anteriormente es relativamente elemental. Lo interesante de la prueba es que se sale del conjunto de los números naturales para demostrar una característica en . El hecho apoyarse en un conjunto mayor que para demostrar algo en él es un argumento bastante útil, hecho del que se aprovecharon muchos matemáticos cuando se convencieron de la potencia de dicho argumento.

Centrémonos en el tema. Vamos a hacer la demostración en (los números enteros). Entonces el enunciado del resultado a demostrar el el siguiente:

Teorema:

Las únicas soluciones enteras de la ecuación

son .

Demostración:

Un simple vistazo a la ecuación nos dice que no puede ser un número par. Si lo fuera tendríamos que también sería par. La contradicción se encontraría en el hecho de que la parte derecha de la igualdad sería divisible entre 8, pero la parte izquierda no sería ni siquiera divisible entre 4. Por tanto ha de ser un número impar.

Nos salimos ahora de para adentrarnos en el anillo . Consideramos la ecuación anterior en este anillo su expresión puede darse factorizada de la siguiente manera:

Consideramos en este anillo la norma siguiente:

Es sencillo comprobar que dicha norma es multiplicativa, esto es, que es positiva para todo elemento distinto de cero de , que es cero para el elemento cero y que la norma de un producto de dos elementos de es el producto de las normas de dicho elementos.

Supongamos ahora que cumplen la ecuación inicial y tomemos los elementos y de . Cualquier elemento que sea un divisor común de ellos dos debe dividir también a su suma, , y a su diferencia, . Tomando normas en esta situación tendríamos lo siguiente:

Por tanto . Los únicos pares de valores que cumplen esto son los siguiente:

Con las dos primeras posibilidades obtenemos los elementos y -1$ de , que son unidades de este anillo. En los demás casos obtenemos los elementos y , todos ellos con norma par (2 ó 4), por lo que no pueden dividir a , cuya norma () es impar.

Con esto llegamos a lo siguiente: y son primos entre sí.

Ahora, teníamos la ecuación inicial factorizada de la siguiente forma:

Uniendo estos dos hechos tenemos que el producto de dos elementos de que son primos entre sí es igual a un cubo. Ello obliga a que cada uno de estos elementos sea él mismo un cubo. En particular:

Desarrollemos ahora la parte derecha de esta última igualdad:

Igualando coeficientes de de las expresiones inicial y final llegamos a la siguiente igualdad:

Un sencillo análisis de los valores de y nos lleva a que los únicos valores posibles son y (recordemos que y son números enteros). Para obtenemos que y de ahí que . Y para obtenemos y por tanto , que es el resultado buscado.

¿Conocéis alguna otra demostración de este hecho? Los comentarios son vuestros.

Introducción

Como ya hemos comentado alguna vez, Leonhard Euler es el matemático más prolífico de la historia. Podemos encontrar su nombre en casi todas las ramas de las matemáticas, desde álgebra hasta análisis complejo, pasando por geometría y topología. Pero cuanto más indaga uno en sus trabajos más se sorprende. Por más que pensemos que conocemos los trabajos de Euler siempre aparece por sorpresa con un tema nuevo que nos era ajeno. Esto mismo es lo que me ha pasado a mí hace unos días. Y, cómo no, os lo voy a contar.

Numeri idonei

En una carta dirigida al físico suizo Nicolas Béguelin, Euler comentaba lo siguiente:

Todos los números contenidos de una sola forma en son primos o dobles de primos donde e son primos entre sí. He observado que otras expresiones similares de la forma gozan de la misma propiedad dando a la letra valores convenientes.

Esto es, todo número que puede expresarse de una única forma como , para e primos relativos, es primo o el doble de un primo. En particular, todo número impar que pueda expresarse de una única forma en el sentido anterior es primo.

Pero aún hay más. No sólo sirve una expresión del tipo , sino que existen ciertos valores de tales que una expresión del tipo cumple la misma propiedad. A estos valores de es a los que se les llama numeri idonei (números convenientes o números idóneos en español y suitable numbers o idoneal numbers en inglés).

Al menos esta era la definición inicial de número idóneo. Pero esta forma de definir este tipo de números presenta algunos problemas. Por ejemplo, es un número idóneo (lo veremos más adelante) y para él se cumple que:

es la única representación del número 9 como . Pero como todos sabemos 9 no es primo, aunque sí es potencia de un primo, ya que . Por tanto deberíamos decir que es un número idóneo si todo número impar que pueda expresarse de una única forma como es primo o potencia de un primo, pero se puede afinar un poco más para eliminar esta nueva posibilidad, esto es, que el número sea una potencia de un número primo (en el primer enlace de las fuentes podéis ver algunas de las condiciones que se podemos añadir a la definición para evitar esto).

Conociendo un poco la forma de trabajar de Euler cualquiera puede imaginar que no se quedó ahí, que sus investigaciones sobre este tema no terminaron en el establecimiento de la definición de este tipo de números. Sabiendo de su carácter indagador uno tiende a pensar que intentó profundizar más en el asunto. Y teniendo un poco de información sobre sus logros no es difícil convencerse de que lo hizo, y muy profundamente. Pues sí, así fue. Euler elaboró una lista de números idóneos. Es la siguiente:

En total 65 números que Euler comprobó que eran idóneos (en el sentido comentado anteriormente). De hecho indagó más: utilizó esta lista para construir números primos hasta de ocho cifras.

Llegados a este punto lo más lógico es que nos hagamos la siguiente pregunta: ¿es infinito el conjunto de números idóneos? La respuesta es no. En 1934, el matemático Sarvadaman Chowla demostró que el conjunto de números idóneos es finito.

Sabiendo esto nos surge otra cuestión: ¿hay más números idóneos aparte de los encontrados por Euler? Por desgracia para esta pregunta todavía no hay respuesta, aunque sí se tienen datos. Concretamente se sabe que como mucho existe un número idóneo más, aparte de los que se encuentran en la lista. Y que si este último número idóneo en realidad existe, debe ser mayor que 100000000.

Mayor número primo encontrado con los números idóneos

Hemos comentado antes que Euler utilizó estos números para encontrar números primos relativamente grades (hasta ocho cifras). El mayor número primo que encontró Euler con esta téctica fue . Para demostrar que este número de ocho cifras es primo habría que comprobar que la única solución de la ecuación

es . ¿Alguien se atreve?

Fuentes:

• Numeri Idonei en Math Pages.
• Idoneal number en la Wikipedia inglesa.
• Euler y la teoría de números (pdf), de Fernando Chamizo.
• Numeri idonei en la Enciclopedia de las secuencias de números enteros, donde además podréis encontrar un código para Mathematica que genera todos los números idóneos hasta 10000.

Motivación

Un polígono convexo es un polígono que cumple que todos sus ángulos interiores miden menos de 180º. De forma más intuitiva, un polígono es convexo cuando todos sus vértices están apuntando hacia el exterior del polígono. Por ejemplo, el siguiente polígono es convexo

pero éste no lo es

Según esta definición es evidente que todos los polígonos regulares (triángulo equilátero, cuadrado, pentágono regular…) son convexos.

Bien, aclarado este punto vamos a realizar un experimento con estos polígonos regulares. Lo que vamos a hacer es dividir cada uno de ellos en triángulos trazando diagonales que no se corten entre si. Y vamos a contar de cuántas formas podemos hacer esa subdivisión para cada uno de los polígonos.

Tomemos el primer polígono regular en lo que a número de lados se refiere, el triángulo equilátero. Está claro que en un triángulo equilátero no se puede trazar ninguna diagonal, pero como la propia figura es un triángulo digamos que ya tendríamos el polígono dividido en triángulos. Esto es, el número de formas en las que podemos dividir un triángulo equilátero en triángulos trazando diagonales de la forma descrita antes es .

Pasamos al siguiente, el cuadrado. En él podemos trazar dos diagonales que lo dividen en triángulos

Por ello, el número de formas en las que podemos dividir el cuadrado en triángulos como se comentó antes es .

El siguiente es el pentágono. En este caso cada forma de dividirlo en triángulos así consiste en trazar dos diagonales que no se corten. Estas son las formas.

Con el hexágono el número de diagonales a trazar es tres por vez. Nos quedan las siguientes formas de dividir un hexágono regular como hemos dicho antes:

Con un heptágono obtendríamos formas, con un octógono , y así sucesivamente…Un momento, ¿cómo que y así sucesivamente? Hemos obtenido la siguiente sucesión de números:

A la vista de estos elementos no parece que sea muy evidente cómo encontrar el siguiente término. La sucesión de números obtenida más bien parece aleatoria, casual, sin ningún interés…

La pregunta está clara:

¿Aparecen estos números en algún otro sitio? ¿Tienen algo de interés?

Pues va a ser que sí…

Los números de Catalán

Al parecer fue el gran Leonhard Euler (quién si no) el que se hizo la pregunta relacionada con los polígonos que hemos descrito antes. De hecho encontró una manera de calcular los términos de la sucesión. Si llamamos al n-ésimo elemento de la misma, dicha expresión es la siguiente:

, para

Por ejemplo, calculemos (es decir, debemos tomar :

que es el quinto término de la sucesión que hemos comentado al principio.

Como esta expresión puede ser algo complicada de manejar os dejo otra más sencilla (al parecer la más sencilla que se conoce). El término de esta sucesión, , se puede calcular de la siguiente forma:

Pero esta sucesión de números toma su nombre de Eugène Charles Catalan, matemático belga del que ya hablamos en este artículo. La razón es la resolución por parte de éste del siguiente problema:

Tenemos letras dispuestas en forma de palabra en un cierto orden. Deseamos añadir pares de paréntesis en esta palabra de forma que dentro de cada par de paréntesis caigan dos términos. Estos dos términos pueden ser dos letras juntas, una letra junto con un grupo encerrado ya entre paréntesis o dos grupos contiguos. ¿De cuántas formas podemos realizar esta tarea?

Vamos a explorar los primeros casos:

• Para dos letras, , hay sólo una forma:

  

• Para tres letras, , tenemos dos formas:

  y

• Si tenemos cuatros letras, , se obtienen cinco formas:

  y

Obtenemos los números y . Y si continuáramos obtendríamos . Esto es, la sucesión presentada en el comienzo de este artículo.

Es interesante apuntar que a veces esta sucesión se toma de la siguiente forma:

Escribiéndola de esta manera tenemos una forma muy interesante de calcular cada término si conocemos los anteriores:

Sea el último número de Catalan que conocemos y sea la posición del número siguiente en esta sucesión. Entonces dicho número se calcula mediante la siguiente expresión:

Por ejemplo, si el último término que conocemos es el 14, el siguiente es el que ocupa la sexta posición. Entonces y y el siguiente término es:

Ya llevamos dos situaciones, en principio sin relación aparente, donde aparece esta sucesión. Pero no son los únicos. Por ejemplo, Arthur Cayley demostró que los números de Catalan también nos dan el número total de árboles (Árbol: grafo conexo que no tiene circuitos) planos (Plano: se puede dibujar en un plano sin que haya intersecciones entre aristas), plantados (Plantado: tiene un tronco en cuyo extremo se haya la raíz) y trivalentes (Trivalente: en cada punto, excepto en la raíz y en extremos, se unen tres vértices). Un ejemplo de árbol de este tipo es el que aparece en la figura de la derecha.

Por cierto, es muy interesante ver gráficamente la relación existente entre las tres situaciones relacionadas con esta sucesión de números que se han mostrado hasta ahora. En esta imagen podéis ver dicha relación.

Pero, como era de esperar, estas situaciones no son las únicas con esta propiedad. Los números de Catalan aparecen en otros muchos lugares (seguro que a más de uno os recuerda a la sucesión de Fibonacci). Por poner un par de ejemplos más, esta sucesión está relacionada con un problema sobre caminos recorridos por una torre en un tablero de ajedrez y con un problema sobre uniones de puntos sobre una circunferencia con segmento que no se corten.

Y para terminar os dejo una sorprendente conexión entre estos números de Catalan y el triángulo de Pascal. Sí, exacto, los números de Catalan también están escondidos en este fabuloso triángulo. Y es sencillo encontrarlos.

Tomamos el triángulo de Pascal

y nos quedamos con la columna central, esto es, . Ahora restamos a cada número de esa columna central el número que tiene al lado en el triángulo. Podéis comprobar que así también obtenemos los números de Catalan (no, si ya decíamos que al final iban a tener alguna relación con la sucesión de Fibonacci).

Fuente:

• Viajes en el tiempo y otras perplejidades matemáticas, de Martin Gardner.

Este artículo es una colaboración enviada por fede a gaussianos (arroba) gmail (punto) com.

Introducción

Un número primo de la forma es suma de los cuadrados de dos números enteros. Además la representación es única si .

Como , la representación anterior da una factorización de un primo natural en el anillo de los enteros gaussianos. Además los factores y son primos en ese anillo.

Este post describe cómo obtener los enteros que son solución de .

Describiendo el algoritmo

Podemos probar con un programa valores sucesivos de hasta que encontremos la solución de , y eso puede funcionar para primos pequeños como 100123456789 y 100987654321, pero no sirve para primos algo más grandes como el primo gemelo titánico más pequeño o el primo más pequeño de 2000 dígitos decimales.

La demostración de Zagier de que un primo de la forma es suma de dos cuadrados tampoco da un método práctico para encontrar la solución, ni las de Euler, Lagrange o Dedekind.

Tampoco la fórmula explícita de Gauss

es útil para calcular los valores de e .

Sin embargo existe un algoritmo muy simple para obtener la solución. Podemos describirlo de la siguiente forma:

Obtenemos un tal que , es decir, .

A continuación aplicamos el algoritmo de Euclides a . El primer resto que encontramos menor que es el valor de y el resto anterior es el valor de .

El algoritmo se deriva de las demostraciones de Serret, Hermite y H.J. Smith, las primeras publicadas en el “Diario de Liouville” en 1848 y la última en el “Diario de Crelle” en 1855.

Calculadora de las componentes de los factores

Podéis probar el algoritmo introduciendo un primo en la casilla de abajo. Para encontrar primos de algunos centenares de dígitos, podéis copiar y pegar en la casilla de abajo primos cuyas 2 últimas cifras sean de la forma desde las páginas de “Prime Curios!”.

                                                   

Paso	Resultado	Duración
1. Validación de entrada
2. Busca no-residuo
3. Calcula raíz de -1
4. Alg.Euclides sobre p/r
5. Comprobación
	x =
	y =

Descripción de la calculadora

• El paso 1 sólo verifica que el número introducido sea de la forma 4k+1.

  Los dos siguientes pasos sirven para obtener , y están basados en los resultados de la teoría elemental de residuos cuadráticos.

• En el paso 2 se busca un no-residuo cuadrático (es decir, un número que no sea un cuadrado ). Como la mitad de los números menores que son no-residuos, y es rápido determinar si un número es o no un residuo cuadrático (calculando el símbolo de Jacobi), probando con números al azar podemos obtener rápidamente un no-residuo cuadrático.

  Sin embargo no está demostrado (todavía) que exista algoritmo determinista en tiempo polinomial para obtener un no-residuo cuadrático.

  La implementación devuelve el menor no-residuo, si éste es menor que 2000.

• Una vez que tenemos un no-residuo , en el paso 3 se obtiene .

  Por el criterio de Euler para residuos cuadráticos, .

• Que el paso 4 nos da la solución se justifica por el teorema de Serret:
  

  Si , la lista de cocientes parciales del desarrollo en fracción continua de es simétrica (omando la lista de longitud par, lo que siempre es posible porque ).

  A partir de los resultados mencionados en el post sobre fracciones continuas finitas, y con la notación usada alli, resulta que .

  Por ser simétrica la fracción continua, los restos que se obtienen al aplicar el algoritmo de Euclides a son los numeradores de los convergentes parciales (en orden inverso) y por tanto no hace falta calcular los numeradores de dichos convergentes parciales. Basta con aplicar el algoritmo de Euclides a hasta que obtengamos un resto menor que .

• Por último, en el paso 5 se comprueba si los valores obtenidos cumplen . Si no se cumple la igualdad, se concluye que el número introducido no es primo (y los valores de no serán, en general, correctos).

El teorema de Serret se demuestra fácilmente usando la relación entre numeradores y denominadores de los convergentes parciales consecutivos y las reglas de formación de esos numeradores y denominadores. De ese teorema se obtiene una demostración de que un primo de la forma es suma de dos cuadrados, que pertenece al grupo de demostraciones que parten de que, para un primo de esa forma, -1 es un cuadrado

En cambio la demostración de H.J. Smith que exponemos a continuación no hace uso de este hecho.

La demostración de H.J. Smith

Usamos la notación para representar la fracción continua finita cuyos cocientes parciales son . Designamos con el numerador de la fracción .

Como , asumimos que el último cociente es siempre mayor que 1.

En el post sobre fracciones continuas vimos que se cumple

• ,
• 

Estas identidades implican:

(1)   .
(2)   .

De esta última igualdad se concluye que si es mayor que 1 (y hay más de un cociente), no es primo.

Para un primo de la forma , sea el conjunto de las fracciones , desarrolladas en fracción continua.

En el desarrollo en fracción continua de se tiene que , porque , y porque asumimos que el último cociente es mayor que 1.

La función asocia a cada elemento de otro elemento de , porque el numerador de una fracción continua no se altera si se invierte el orden de los cocientes y el denominador es un número menor que , porque .

La función es entonces una involución de .

Si , el número de elementos de es , un número impar, y entonces tiene por lo menos un punto fijo, es decir, existe un que da una fracción continua simétrica (por la observación (2) anterior, el número de cocientes ha de ser par porque es primo).

Entonces es suma de 2 cuadrados por la observación (1) anterior.

Sea .

Como

y como

tenemos que

y por tanto

.

Un joven Gauss

¿Qué ocurriría sin mezclamos las dos definiciones de estos conjuntos? Me explico:

¿Tendrá alguna utilidad considerar el conjunto de los números complejos cuyas partes real e imaginaria son números enteros?

No habría sido extraño que fuera algo así lo que pensó Gauss al introducir este conjunto en 1832 (aunque en realidad su motivación fue el estudio sobre sumas de cuadrados). Y la verdad es que acertó (como muchas otras veces). Encontró un conjunto realmente especial. Vamos a hablar un poco sobre él y sobre sus interesantes y curiosas propiedades.

El conjunto de los enteros gaussianos

El conjunto al que nos referimos se denomina en la actualidad conjunto de los enteros gaussianos, se representa como y su definición es la siguiente:

Es decir, los enteros gaussianos son los números complejos cuyas partes real e imaginaria son números enteros.

Este conjunto de enteros gaussianos es un anillo con las operaciones suma y producto habituales en los números complejos. Por tanto es un subanillo de . De hecho es más: es un dominio de factorización única (DFU). Esto significa que la factorización de un entero gaussianos como producto de sus factores primos es única (salvo el orden de colocación de dichos factores). Eso no ocurre en todos los conjuntos de este tipo. Por ejemplo, el conjunto

es un anillo, pero no es un DFU, ya que hay elementos de dicho conjunto que tienen varias factorizaciones esencialmente distintas. Por ejemplo el 6:

y

Y con esto entramos en uno de los temas que más interés puede suscitar en este conjunto de enteros gaussianos: todo lo referente a sus elementos primos, es decir, los primos gaussianos. Por ello les dedico un punto separado del resto.

Primos gaussianos

Comencemos con un ejemplo. En los números enteros el número 17 es primo, ya que sólo es divisible por 1 por él mismo. Pero en :

Es decir, el número 17 tiene más divisores aparte del 1 y de él mismo, por lo que deja de ser primo si lo consideramos en el conjunto de los enteros gaussianos. Curioso, ¿verdad?

Pero eso no ocurre con todos los números primos de . Por ejemplo, 7 es primo en y también lo es en .

En este punto la pregunta está bastante clara:

¿Hay alguna forma de saber si un número primo en sigue siéndolo también en ?

Pues la respuesta es sí. Si es un primo de de la forma entonces deja de ser primo en (este es el caso del 17), pero si es de la forma entonces sigue siendo primo en .

El 2 es un caso especial, ya que no cumple ninguna de esas dos descripciones. Entonces, ¿es un primo gaussiano? Pues no:

En general, dejando aparte el caso del 2, un entero gaussiano es un primo gaussiano si y sólo si:

1. O o es cero y el otro es un primo de de la forma (o su negativo, ).
2. Ambos son distintos de cero y es un primo de .

Por tanto, es un primo gaussiano (es y ) y también lo es (ya que , que es primo en ), pero no es un primo gaussiano.

Aplicaciones

Una de las aplicaciones más interesantes de estos enteros gaussianos la encontró el propio Gauss y se refiere a la ley de reciprocidad cuadrática, resultado que ya ha aparecido por este blog varias veces. Concretamente Gauss encontró que esta ley puede plantearse y demostrarse más fácilmente utilizando enteros gaussianos.

En Gaussian Integer de la Wikipedia inglesa podéis ver algún otro detalle interesante sobre los enteros gaussianos.

Introducción

La familia de los números naturales es muy grande, inmensa. En ella conviven infinitos (y numerables, es decir, contables) miembros que, aunque pueda parecer curioso tratándose de una familia, nunca nacieron y nunca morirán. Siempre han estado ahí y ahí continuarán.

Todos ellos son importantes y también todos ellos pueden ser útiles en cierto momento. En el transcurso de nuestro viaje por este camino temporal llamado vida nos encontramos (y nos seguiremos encontrando) con muchos de ellos. Bien es cierto que habitualmente toparemos con miembros más bien pequeños, de bajo valor númerico (aunque esto no significa que tengan poco valor). Pero de vez en cuando asistiremos a la aparición de algún miembro cuyo peso como número tiene cierta entidad.

Pero al fin y al cabo nuestra existencia es finita, terminará. Este hecho unido al carácter infinito de los números naturales hace que resulte imposible encontrarse con todos, que sea inviable conocer a todos los miembros de esta familia.

Uniendo estos dos hechos (generalmente nos encontraremos con números relativamente pequeños y nos es imposible conocerlos a todos en persona) es evidente que muchos números grandes quedarán fuera de nuestro alcance en el sentido de que no tendremos el placer de tenerlos delante.

Posiblemente los tres números que os voy a presentar hoy pertenezcan a estos últimos. Bueno, puede que el primero de ellos, por estar relacionado con un juego de mesa muy popular, sí sea conocido por vosotros, pero estoy convencido de que muchos de los que leáis este artículo añadiréis al menos dos números más a vuestra lista mental de miembros conocidos de la familia de los números naturales.

El benjamin

Claude Shannon

Es decir, un 1 seguido de 120 ceros. El hecho de que el número de Shannon sea mayor que la estimación que se baraja para el número total de átomos del Universo, entre y , deja entrever la magnitud de este número. Es decir, aunque le hayamos llamado benjamin en realidad no tiene nada de pequeño.

Esta estimación del número de partidas de ajedrez fue realizada por Claude Shannon, padre de la teoría de la información. Shannon se basó para ellos en que de media en una partida de ajedrez se realizan 40 movimientos y que en cada jugada que hay que realizar el jugador en cuestión elige entre unos 30 movimientos posibles. Con estos datos Shannon estimó que el número de partidas de ajedrez estaba alrededor de , que es aproximadamente .

Actualmente se estima que (un número mucho mayor que el anterior) como cota inferior de la complejidad del árbol de juego del ajedrez.

El hermano mayor

Stanley Skewes

Bueno, en realidad son los números de Skewes. Vamos a ver quiénes son estos chicos.

El teorema de los números primos establece lo siguiente:

siendo la función que nos da la cantidad de números primos menores o iguales que y la siguiente integral:

Hasta principios del siglo XX todas las evidencias disponibles indicaban que era siempre menor que . Pero en 1914 John Littlewood demostró que existía al menos un número real para el cual es mayor que . De hecho fue más allá, demostrando que la diferencia cambia de signo infinitamente a menudo. Esto es, que hay infinitos números reales para los cuales es mayor que .

Pero no dio ningún valor de ese . Ni siquiera una cota.

Y aquí es donde aparece Stanley Skewes. En 1933 Skewes, alumno del propio Littlewood, encontró tal cota. Más concretamente, asumiendo cierta la hipótesis de Riemann, demostró que el número natural más pequeño que cumple que es mayor que es menor que el siguiente valor:

Es decir, demostró que este tremendo número es una cota superior del menor número natural con dicha característica.

Más tarde, en 1955, demostró sin utilizar la veracidad de la hipótesis de Riemann que el siguiente número hace la función de cota superior para tal :

(Inciso: ¿Alguien me puede decir cuántas cifras tiene este número?)

Más adelante esa cota se ha mejorado bastante, estando actualmente sobre:

El padre de familia

Ronald Graham

Este número está relacionado con un problema que pertenece a la denominada teoría de Ramsey. Sin entrar en detalles sobre el propio problema, la cuestión es parecida a la descrita en el número de Skewes. Se demostró que existía solución a ese problema y se dio una cota superior para esta solución. Más tarde el matemático Ronald Graham mejoró dicha cota, por lo que Martin Gardner bautizó a este número como “el número de Graham”, que denotaremos por .

¿Cuál es este número exactamente?

Pues no es fácil representarlo con la notación habitual. Necesitamos una notación adecuada a la magnitud de este monstruo numérico. En concreto, la notación de Knuth nos va a ser muy útil para dar una idea de la entidad de .

El otro día, en este post sobre la notación de Knuth, calculamos :

O sea, 7625597484986 treses colocados en forma de torres de exponentes. Bestial.

Y digo calculamos porque no llegamos a decir cuál es el resultado de esta expresión ya que se salía del rango del Mathematica. Vamos, tremendamente grande.

Bien, para calcular procedemos de la siguiente forma:

• Tomamos de la siguiente forma: . Es decir, un número muchísimo más grande que el comentado antes (no os voy a marear con el desarrollo de ; podéis verlo en el enlace correspondiente de las Fuentes).
• Ahora tomamos así: . Esto es, entre los dos treses tenemos flechas, o sea, un número de flechas igual al resultado obtenido en el apartado anterior. Teniendo en cuenta que ya es absolutamente inconcebible para la mente humana, podéis imaginar cómo puede ser este .

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.
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• Continuamos así hasta el paso 64. Sí, hasta el 64. Esto significa lo siguiente:

  

Sí, hay flechas entre los dos treses. Si con tres flechas obteníamos 7625597484986 treses…la cantidad de treses que obtenemos en la torre de exponentes de escapa totalmente a cualquier concepción humana. Vamos, como dice el título del post, un auténtico monstruo.

Aunque bueno, se sabe que acaba en . Algo es algo.

Y para terminar una pregunta:

¿Conocéis más números “con nombre” que puedan ser catalogados como “monstruos numéricos”?

Fuentes:

• Shannon number en la Wikipedia inglesa.
• Skewes’ number en la Wikipedia inglesa.
• Número de Graham en la Wikipedia en español.