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2^5…número par a la par que deficiente (la suma de sus divisores, exceptuando el propio número, es menor que él mismo).

2^5…número compuesto, pero del que se conjetura que es la mayor potencia de 2 que cumple que todos sus dígitos son primos.

2^5…potencia de 2 (juro que es casualidad que esta semana os haya mostrado una sorpresa sumando potencias de 2), el número natural más pequeño que es una potencia quinta (exceptuando el 1, que lo es trivialmente).

2^5…32…número que a partir de hoy será mi edad durante un año.

Autor: ^DiAmOnD^ | Publicado el 1 de May de 2011
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Categorías: Números enteros, Personal

Sorpresa sumando potencias de 2

Os voy a plantear un sencillo ejercicio: vamos a intentar expresar los números naturales como suma de potencias de 2 de exponente natural (o cero, hecho que especifico para evitar problemas, ya que parece que no nos ponemos de acuerdo sobre si es un número natural o no). Tenemos, por ejemplo, que 3=2^1+2^0=2+1, y también que 3=2^0+2^0+2^0=1+1+1. Esta segunda forma de expresar 3 como suma de potencias de 2 es algo repetitiva, ¿verdad? De hecho, si analizamos todas las formas de expresar así un número natural más grande tendremos muchas más repeticiones: sumas de varios unos, sumas de varios doses, sumas de varios cuatros… Para evitar ser tan repetitivos en este sentido solamente vamos a permitir que cada potencia de 2 aparezca dos veces como mucho. Por ello, para el 3 la segunda manera escrita antes no nos serviría.

El objetivo de este ejercicio es encontrar todas las posibles maneras de expresar cada número natural como suma de potencias de 2 con la condición de que cada potencia de 2 aparezca a lo sumo dos veces. Por ejemplo, por lo comentado antes el 3 puede expresarse como suma de potencias de 2 de una manera únicamente. Si llamamos S(n) al número de maneras de expresar n como suma de potencias de 2 con la condición anterior, tendríamos entonces que S(3)=1.

Probemos con otro, el 10 por ejemplo. Tenemos que:

10=8+2=8+1+1=4+4+2=4+4+1+1=4+2+2+1+1

por lo que S(10)=5.
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Autor: ^DiAmOnD^ | Publicado el 27 de April de 2011
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Categorías: Curiosidades, Números enteros

Producto par

El problema de esta semana está relacionado con números enteros. Ahí va:

Demostrar que el producto de dos números enteros positivos a,b es par si y sólo si existen otros dos enteros positivos c,d tal que

a^2+b^2+c^2=d^2

Que se os dé bien.

Autor: ^DiAmOnD^ | Publicado el 7 de March de 2011
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Categorías: Juegos, Números enteros

Encuesta: ¿es el cero un número natural?

Qué curioso, nuestro comentarista Agus ha pensado en lo mismo que yo…

El otro día, después de una clase donde aparecieron los números naturales, la cuestión sobre si el 0 es un número natural volvió a rondar mi cabeza. Ahora mismo no tengo demasiado claro haberme planteado seriamente esta cuestión antes de comenzar mis estudios universitarios, pero lo que sí recuerdo es cómo transcurrió el asunto en esos años de matemáticas universitarias.

Recuerdo claramente que en los primeros cursos (sobre todo en el primero), los profesores excluyeron al 0 del conjunto de los números naturales. Por tanto, el conjunto \mathbb{N} comenzaba en el 1, ese era su mínimo. La verdad es que en los años posteriores la cuestión se mantuvo ahí, con ligeros cambios, pero más o menos como estaba. Cuando llegué a 5º de carrera la asignatura Lógica e Historia de las Matemáticas me hizo cambiar radicalmente de opinión. En ella, el profesor incluyó al cero en los naturales, y el desarrollo de la asignatura apoyó, al menos para mí, aquella inclusión. Ahora mi opinión (si es que en esto se puede tener opinión) es que el cero es un número natural, de hecho es el primer número natural.

Pero no es mi opinión la que quiero que quede en esta entrada, quiero la vuestra. Por eso os dejo aquí una encuesta en la que podéis dejar patente vuestra creencia. Dicha encuesta estará operativa hasta el domingo 26 de diciembre. Más adelante comentaremos los resultados:

¿Es para ti el cero un número natural?

  • Sí (51%, 239 Votes)
  • No (49%, 231 Votes)

Votos totales: 470

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Autor: ^DiAmOnD^ | Publicado el 22 de December de 2010
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Categorías: Números enteros

Sigue el camino…módulo 7 (II)

Como seguro recordáis, hace un tiempo publicamos un artículo en el que se describía un procedimiento bastante interesante y sencillo para calcular el resto que deja un número natural al dividirlo entre 7. El procedimiento consistía en moverse a través de un cierto grafo dirigido en el que aparecían flechas blancas y negras. El artículo en cuestión es éste.

Bien, pues este artículo ha aparecido hace nada en la lista de correo de Snarkianos, en la que José H. Nieto nos da la forma de construir dicho grafo para cualquier número natural mayor que 1. Ahí va la construcción:
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Autor: ^DiAmOnD^ | Publicado el 13 de October de 2010
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Categorías: Curiosidades, Números enteros

¿Sabía que…

…existen ciertas variantes del factorial que aparecen en situaciones prácticas?

Recordemos antes de nada qué es el factorial de un número natural:

Dado n \in \mathbb{N}, se define el factorial de n así:

n!=n \cdot (n-1) \cdot (n-2) \cdot \ldots \cdot 2 \cdot 1

Es decir, el factorial de un número natural es el producto de ese número natural por todos los naturales que le preceden hasta llegar a 1. Aunque en principio sólo está definido para números naturales, esta definición puede generalizarse, por ejemplo, mediante la función Gamma. Recordemos también que, como ya comentamos aquí, se tiene que 0!=1.

En esta entrada os voy a hablar de dos variaciones del factorial: el doble factorial y el subfactorial.
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Autor: ^DiAmOnD^ | Publicado el 23 de September de 2010
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Categorías: Números enteros, ¿Sabía que ...?

Sigue el camino…módulo 7

Existe una sencilla regla para comprobar si un número natural es divisible entre 7, que es la siguiente:

Separamos la cifra de las unidades del número inicial, la multiplicamos por 2 y se la restamos al resto del número (lo que quedó sin las unidades). Si obtenemos un múltiplo de 7 entonces el número inicial es múltiplo de 7, y si obtenemos un número que no es múltiplo de 7 pues el inicial tampoco lo es. Si obtenemos un número demasiado grande y no sabemos si es múltiplo de 7 o no, repetimos el proceso anterior las veces necesarias hasta que lleguemos a un número del que sepamos si es o no múltiplo de 7.

Pongamos un ejemplo:

  • Número: 432
  • 2 \cdot 2=4
  • 43-4=39
  • Como 39 no es múltiplo de 7 entonces 432 no es múltiplo de 7

Particularmente veo que este algoritmo es algo lento si el número es demasiado grande, pero bueno, al menos tenemos uno, ¿no?

Uhmmm…¿no habrá alguna otra forma? Pues sí, el mundo de la divisibilidad nos tiene guardada una sorpresa en lo que al 7 se refiere…
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Autor: ^DiAmOnD^ | Publicado el 19 de August de 2010
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Categorías: Curiosidades, Números enteros

La función Phi de Euler: otra genialidad del maestro

Introducción

Pierre de Fermat
Tras la muerte de Pierre de Fermat, muchas de sus conjeturas quedaron sin resolver. Como ya sabemos, Fermat no era muy dado a publicar las demostraciones de sus resultados, por lo que debían ser demostrados por otros para confirmar su validez o falsedad. El caso más famoso, por lo que se tardó en confirmar y por la gran cantidad de matemáticos que se dedicaron a ello, es el denominado último teorema de Fermat, demostrado finalmente por Andrew Wiles en 1995, pero ni mucho menos fue el único.

La afirmación de Fermat sobre la primalidad de todos los números enteros positivos F_n=2^{2^n}+1, llamados números de Fermat, fue otra de sus más famosas conjeturas, refutada finalmente por Euler en 1732 al encontrar la factorización de F_5:

F_5=2^{2^5}+1=4294967297=641 \cdot 6700417

De hecho no se ha vuelto a encontrar ningún número de Fermat que sea primo.

Y el llamado pequeño teorema de Fermat constituye otro caso del mismo tipo que los anteriores. Dicho teorema afirma lo siguiente:

Si p es un número primo y a es un número natural que no es divisible por p, entonces a^{p-1} \equiv 1 \pmod{p}

Euler demostró este resultado y dio además la demostración de una generalización del mismo. En esta historia la conocida como función \varphi de Euler ejerce un papel de suma importancia.
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Autor: ^DiAmOnD^ | Publicado el 28 de June de 2010
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Categorías: Historia, Números enteros, Números primos

El problema de Waring

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En ocasiones puede resultar paradójico que la respuesta a una pregunta suponga la aparición de muchas otras preguntas, pero en matemáticas esto ocurre constantemente. Es habitual que la demostración de un hecho traiga consigo la formulación de muchas preguntas relacionadas con este hecho.

Edward Waring

Edward Waring

Precisamente esto es lo que ocurrió en 1909. Ese año David Hilbert daba una demostración de una conjetura conocida como problema de Waring, formulada por el matemático inglés Edward Waring más de cien años antes, en 1770.

En concreto, Waring conjeturó en su obra Meditationes Algebraicae que

Todo entero positivo puede expresarse como suma de a lo sumo n potencias k-ésimas positivas, siendo n dependiente de k (se entiende que k es un número entero positivo).

Esto quiere decir que dado un exponente entero positivo k, todo número entero positivo que tomemos necesitará de, como mucho, un número concreto de potencias con ese exponente k. Waring conjeturó que todo entero positivo puede expresarse como suma de, a lo sumo, 4 cuadrados, 9 cubos y 19 potencias cuartas. Vamos, que si expresáramos todos los enteros positivo como suma de números al cuadrado, no haría falta usar 5 de ellos para expresar así ningún número.

Al parecer no se considera que Waring tuviera la suficiente capacidad para probar su propia conjetura, de hecho ni siquiera para probar alguno de los casos particulares (k=2,3,4) que él mismo conjeturó. Pero ahí quedó la cosa, como un reto al igual que cualquier otra conjetura, para quien la quisiera tomar.

El mismo año 1770 en el que se formuló la conjetura, el caso k=2 queda demostrado por Lagrange dando como resultado que Waring tenía razón: todo entero positivo puede expresarse como suma de, a lo sumo, 4 cuadrados. Como no podía ser de otra forma, este resultado se denomina teorema de los cuatro cuadrados y, aunque Fermat ya pensaba que era cierto, fue Lagrange el primero en dar una demostración. Un punto para Waring. Pequeño, sí, pero ahí queda.

David Hilbert

David Hilbert

La traca final llegó en 1909 cuando Hilbert demuestra el caso general. Es decir, dado cualquier entero positivo k, el número n de potencias k-ésimas que hay que sumar para obtener cualquier entero positivo está acotado, tiene un máximo, un tope, sea cual sea el número entero positivo que queramos expresar así.

El pero de todo esto (sí, siempre tiene que haber un pero) es que la demostración de Hilbert no da ningún procedimiento para calcular ese número máximo de sumandos. Por poner un ejemplo, esto quiere decir que sabemos que todo número natural puede ser expresado como, a lo sumo, un cierto número concreto de potencias de exponente 328, pero la demostración de ello no nos dice cuál es ese número concreto de ellas.

Dado que no tenemos una fórmula explícita para, dado k, calcular el valor de n, la única opción que nos queda es estudiar caso por caso: cuadrados por un lado, cubos por otro, potencias cuartas, etc.
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Autor: ^DiAmOnD^ | Publicado el 14 de June de 2010
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Categorías: Carnaval de matematicas, Curiosidades, Números enteros

Cómo generar conjuntos CuCu

Introducción

A los matemáticos nos encanta poner nombre a las cosas, y cuanto más descriptivo sea el nombre mucho mejor. Así, los puntos frontera de un conjunto son los que gráficamente situaríamos como frontera geográfica de dicho conjunto o una sucesión monótona es una sucesión en la que nunca pasa nada distinto, es decir, una sucesión en la que la tendencia no cambia, es siempre creciente o siempre decreciente, pero no hay cambios.

Los conjuntos que os voy a presentar hoy no tienen nombre (al menos yo no conozco ningún nombre para ellos). Por eso los he bautizado a partir de la propiedad que tienen. Son los conjuntos CuCu.

¿Qué es un conjunto CuCu?

Lo primero que voy a hacer es explicar qué es para mí un conjunto CuCu.

Un conjunto CuCu es un conjunto de números enteros positivos tales que la suma de sus Cubos es igual al Cuadrado de su suma. Es decir:

Un conjunto CuCu es un conjunto de números enteros positivos \{ a_1, \ldots a_k \} que cumplen que:

a_1^3+ \ldots + a_k^3=(a_1+ \ldots + a_k)^2

Un ejemplo muy interesante de conjunto CuCu es el conjunto \{1, 2, \ldots , n \}, para cualquier n \in \mathbb{N}. Que este conjunto de números sea un conjunto CuCu significa lo siguiente:

1^3+2^3+ \ldots + n^3=(1+2+ \ldots +n)^2

Vamos a demostrar este resultado por inducción:

Demostración:

El resultado es evidente para n=1:

1^3=1^2

Supongamos ahora que es cierto para n, es decir, que

(1+2+ \ldots +n)^2=1^3+2^3+ \ldots + n^3

y demostremos que la igualdad es cierta para n+1. Para ello partiremos de la parte de la igualdad relativa al cuadrado y utilizaremos el caso n (esto es, la hipótesis de inducción) para llegar al objetivo buscado.

Partimos entonces de esta expresión:

(1+2+ \ldots +n+(n+1))^2=

Tomamos como primer término 1+2+\ldots +n y como segundo término n+1 y desarrollamos el cuadrado de la suma:

=(1+2+ \ldots +n)^2+(n+1)^2+2(1+2+ \ldots+n)(n+1)=

Ahora utilizamos la hipótesis de inducción en la primera suma y que 1+2+\ldots+n=\cfrac{n(n+1)}{2} en la segunda:

=1^3+2^3+ \ldots +n^3+(n+1)^2+2 \cdot \cfrac{n(n+1)}{2} \cdot (n+1)=

Operando ahora el último sumando obtenemos n(n+1)^2 y agrupándolo con el segundo sumando obtenemos (n+1)^3, llegando entonces a la igualdad buscada. \Box

¿Cómo generar conjuntos CuCu?

Pero el conjunto de los primeros enteros positivos no es el único que cumple esta propiedad. De hecho existe un procedimiento para generar conjuntos de números que cumplen que la suma de sus cubos es igual al cuadrado de su suma, es decir, conjuntos CuCu.

Joseph Liouville

Joseph Liouville

Dicho procedimiento se lo debemos a Joseph Liouville y consiste en lo siguiente:

  1. Tomamos un número entero positivo cualquiera y calculamos los divisores de dicho número (el 1 y el propio número también cuentan).
  2. De cada divisor calculado antes contamos cuántos divisores tiene.
  3. Los números que designan las cantidades de divisores de cada divisor del número inicial son un conjunto CuCu.

Vamos a ver un ejemplo sobre la aplicación de este procedimiento:

Número 20

  1. Los divisores de 20 son 1,2,4,5,10 y 20.
  2. Ahora:
    - El 1 tiene 1 divisor (el 1 solamente).
    - El 2 tiene 2 divisores (el 1 y el 2).
    - El 4 tiene 3 divisores (el 1, el 2 y el 4).
    - El 5 tiene 2 divisores (el 1 y el 5).
    - El 10 tiene 4 divisores (el 1, el 2, el 5 y el 10).
    - El 20 tiene 6 divisores (el 1, el 2, el 4, el 5, el 10 y el 20).
  3. Entonces el conjunto \{1,2,3,2,4,6 \} es un conjunto CuCu:

    1^3+2^3+3^3+2^3+4^3+6^3=(1+2+3+2+4+6)^2

    Efectivamente, ambos miembros de la igualdad dan como resultado 324.

Evidentemente este procedimiento tiene su demostración, pero en vez de reproducirla aquí prefiero que visitéis este enlace en el que el gran Ignacio Larrosa nos la cuenta.

Autor: ^DiAmOnD^ | Publicado el 23 de April de 2010
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Categorías: Demostraciones, Números enteros, Números primos

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