Se denomina fracción egipcia a la expresión de un número racional como suma de fracciones unitarias distintas, es decir, de fracciones de numerador 1 y cuyos denominadores sean enteros positivos distintos.
Se puede demostrar que cualquier número racional positivo puede escribirse como fracción egipcia. Esta demostración está relacionada con la divergencia de la serie armónica.
Vamos a ver un algoritmo mediante el cual podemos representar cualquier número racional R entre 0 y 1 como fracción egipcia. Supongamos que tenemos una fracción así:
El algoritmo consiste en lo siguiente:
1.- Encontrar la fracción unitaria más cercana a R pero menor que él. El numerador será siempre 1 y el denominador será el cociente de la división de b entre a más 1. Si en alguna de esas divisiones no hay resto R es que hemos llegado a una fracción unitaria y por tanto hemos terminado.
2.- Calcular la resta R menos esa fracción unitaria y aplicar de nuevo el paso 1 utilizando la diferencia entre las dos fracciones como el nuevo R.
Vamos a ver un ejemplo:
La representación de un número racional entre 0 y 1 no es única. De hecho, por ejemplo, esta misma fracción se puede representar de una manera más sencilla:
Otro ejemplo de esta falta de unicidad es el siguiente:
- Mediante este método obtenemos
- Pero de otras formas podemos obtener una expresión más sencilla de esta fracción
Las fracciones unitarias ya aparecían en el Papiro de Rhind. Por ello se le denominan fracciones egipcias.
Y para terminar un reto: encontrar una fracción con una expresión sencilla como suma de fracciones unitarias pero que tenga una expresión ciertamente complicada con el método que hemos expuesto. Esto es, un ejemplo del estilo al último que hemos puesto.
Fuentes:
Autor: ^DiAmOnD^ | Publicado el 26 de Febrero de 2007 | 10 Comentarios
Categorías: Curiosidades, Números enteros
Un número entero se denomina número de Friedman si puede escribirse de forma no trivial combinando sus dígitos y las operaciones aritméticas básicas (+,-,*,/), los paréntesis, la concatenación y las potencias
Estos números pueden encontrarse en cualquier base de numeración, pero nosotros sólo vamos a hablar de números de Friedman en base 10.
Los primeros números de Friedman son:
25, 121, 125, 126 , 127, 128, 153, 216, 289, 343, 347, 625, 688, 736, 1022, 1024, 1206, 1255, 1260, 1285, 1296, 1395, 1435, 1503, 1530, 1792, 1827, 2048, 2187, 2349, 2500, 2501, 2502, 2503, 2504, 2505, 2506, 2507, 2508, 2509, 2592, 2737, 2916, 3125, 3159
¿Cómo obtenerlos? Veamos algunos:
25=52
121=112
126=21*6
127=27-1
Cuando decimos de forma no trivial nos referimos principalmente a que no podemos utilizar los paréntises de esta forma:
21=(21)
y a que no podemos utilizar ceros a la izquierda. Es decir:
001729=1700+29
no es válido.
Hay muchas curiosidades sobre este tipo de números. Aquí tenéis algunas de ellas:
En la web de Erich Friedman (enlace más abajo) teneís mucha más información sobre estos números.
Fuentes:
Otros artículos sobre números en Gaussianos:
Autor: ^DiAmOnD^ | Publicado el 19 de Febrero de 2007 | 8 Comentarios
Categorías: Números enteros
Como todos sabemos 23=8 y 32=9. Es decir, tenemos dos potencias de números naturales que dan como resultado dos números naturales consecutivos. Intentemos buscar algún otro caso éste. Si vamos probando vemos que con números relativamente pequeños no encontramos ninguno. Pero siempre podría darse una situación así para números más grandes.
En 1844 el matemático belga Eugène Charles Catalan conjeturó que no es posible encontrar otro ejemplo como el comentado al principio. Esta conjetura, denominada conjetura de Catalan, puede formularse de la siguiente forma:
La ecuación xa-yb=1, para x,y,a,b > 1, tiene como única solución la siguiente: x=3, y=2, a=2, b=3
Pero ya sabemos lo que pasa con las conjeturas, que hasta que no se demuestran no puede saberse si son ciertas (ya vimos que, por ejemplo, la conjetura de Polya y la conjetura de Euler resultaron falsas mientras que el último teorema de Fermat resultó cierto). Y para saberlo debemos encontrar una demostración de la misma o un contraejemplo que la refute.
¿Existe alguna demostración de la conjetura o algún contraejemplo que nos diga que es falsa? La respuesta es sí. Y la conjetura resultó…¡¡cierta!!. El matemático rumano-alemán Preda Mihăilescu la demostró en 2002, por lo que la conjetura pasó a llamarse teorema de Mihăilescu.
Y para terminar comentar que Catalan no sólo es famoso por su conjetura. Sus trabajos versan sobre fracciones continuas, geometría descriptiva, teoría de números y combinatoria. Entre todos esos trabajos podemos destacar los números de Catalan y los poliedros de Catalan.
Fuentes:
Autor: ^DiAmOnD^ | Publicado el 8 de Febrero de 2007 | 9 Comentarios
Categorías: Números enteros, Teoremas
En Gaussianos ya hemos hablado del principio de inducción en alguna ocasión. En este post vamos a ver una curiosa propiedad de los números naturales y vamos a demostrarla por este método.
Comencemos volviendo a enunciar el principio de inducción:
Supogamos que tenemos un subconjunto A de números naturales que verifica lo siguiente:
1.- 0 pertenece a A
2.- Si k pertenece a A entonces k+1 pertenece a A
Entonces A es el propio conjunto N de los números naturales
Si cambiamos 0 por cualquier otro número natural, digamos m, en el punto 1.- obtendríamos que el conjunto A sería exactamente el subconjunto de los números naturales cuyo elemento mínimo es m. Por ejemplo, si m=4 y se cumplen 1.- y 2.- entonces A={4,5,6,7,…}.
En esta ocasión volveremos a utilizarlo de la misma forma que se hizo en el post que enlazamos en el primer párrafo, pero comenzando en 1: si nuestra propiedad se cumple para el 1 y en el caso de que se cumpla para cierto número natural n entonces se cumple para n+1 se tiene que se cumple para todos los números naturales a partir del 1.
Vamos ahora con la propiedad de la que hablamos al comienzo:
(Leer el resto del post)
Autor: ^DiAmOnD^ | Publicado el 31 de Enero de 2007 | 10 Comentarios
Categorías: Demostraciones, Números enteros
En Gaussianos ya hemos hablado unas cuantas veces de Leonhard Euler (véanse, por ejemplo, la identidad de Euler y el problema de Basilea). Es uno de los matemáticos más grandes de la historia, y el que más publicaciones matemáticas tiene a su nombre. Se interesó por muchas de las ramas de las matemáticas y realizó aportaciones a muchas de ellas. Pero todo esto no le da fiabilidad total. Veamos cómo los genios también se equivocan.
Esta conjetura de Euler está inspirada en el último teorema de Fermat. Este resultado dice que xn+yn=zn no tiene soluciones enteras positivas cuando n > 2. El resultado que Euler propuso en 1769 puede formularse de la siguiente forma:
No existen n-1 números tal que sus potencias n-ésimas suman otra potencia n-ésima
Esta afirmación dice que, por ejemplo, las siguientes ecuaciones no tienen soluciones enteras positivas:
a4+b4+c4=d4
a5+b5+c5+d5=e5
La relación con el último teorema de Fermat se ve claramente…pero a diferencia de éste la conjetura es falsa. En 1966 Lander y Parkin encontraron el siguiente contraejemplo:
275+845+1105+1335=1445
Es decir, la conjetura es falsa ya que hemos encontrado un contraejemplo para un cierto n, n=5 concretamente. Pero podría ser cierta para n=4. En 1986 Noam Elkies se encargó de refutar la conjetura también para este n encontrando el siguiente contraejemplo mediante un método construido por él mismo:
26824404+153656394+187967604=206156734
En 1988 Roger Frye, usando las técnicas sugeridas por Elkies, encontró el contraejemplo más pequeño para n=4:
958004+2175194+4145604=4224814
En esta página se publican los ejemplos que van encontrando que cumplen alguna de las ecuaciones de este tipo. En esta sección podéis ver algunos. Son los que tienen delante un (n,1, n-1).
Por ejemplo, en marzo de 2006 encontraron el siguiente contraejemplo bestial:
224955952840404+75924319813914+272397916926404=299998579386094
Por tanto aquí tenemos otro ejemplo de conjetura que tiempo después acaba resultando falsa (véase la conjetura de Polya).
Fuente: Math is Good For You
Autor: ^DiAmOnD^ | Publicado el 16 de Enero de 2007 | Comments Off
Categorías: Historia, Números enteros
Hace ya tiempo hablamos de una lista de tipos de números, en la cual se exponían un montón de tipos de números.
Hoy toca explicar uno que me he encontrado de casualidad en la wikipedia, el número de Dudeney.
Este es un número entero que es un cubo perfecto y, a su vez, la suma de los dígitos que componen dicho número da como resultado la raíz cúbica de dicho número. El nombre viene de Henry Dudeney, que observó la existencia de estos números en uno de sus rompecabezas.
En la siguiente tabla se muestran algunos, supongo que habrá más, de estos números:
| Cubo perfecto |
Suma de sus dígitos |
| 1 = 1 x 1 x 1 |
1 = 1 |
| 512 = 8 x 8 x 8 |
8 = 5 + 1 + 2 |
| 4913 = 17 x 17 x 17 |
17 = 4 + 9 + 1 + 3 |
| 5832 = 18 x 18 x 18 |
18 = 5 + 8 + 3 + 2 |
| 17576 = 26 x 26 x 26 |
26 = 1 + 7 + 5 + 7 + 6 |
| 19683 = 27 x 27 x 27 |
27 = 1 + 9 + 6 + 8 + 3 |
(Vía Wikipedia)
Autor: Fran | Publicado el 9 de Enero de 2007 | 14 Comentarios
Categorías: Curiosidades, Números enteros
Elijamos un número natural, digamos n, y realicemos los siguientes cálculos:
- Si n es par dividámoslo por 2
- Si n es impar multipliquémoslo por 3 y sumémosle 1 al resultado
Con el número obtenido repitamos el proceso, y así sucesivamente. Hagámoslo con un ejemplo:
n = 6
La secuencia que obtenemos es:
6, 3, 10, 5, 16, 8, 4, 2, 1
Vemos que en unos cuantos pasos hemos llegado al número 1. Pues eso mismo es lo que dice la conjetura de Collatz (también conocida como conjetura 3n + 1, conjetura de Ulam o problema de Siracusa):
Conjetura de Collatz
Para cualquier número natural n realicemos los siguientes cálculos:
- Si n es par dividámoslo por 2
- Si n es impar multipliquémoslo por 3 y sumémosle 1 al resultado
Repitiendo el proceso con los números obtenidos la secuencia siempre acabará en 1
Ya hemos visto la secuencia que obtenemos comenzando por 6. Si escogemos n = 11 obtenemos:
11, 34, 17, 52, 26, 13, 40, 20, 10, 5, 16, 8, 4, 2, 1
Una secuencia algo más larga, pero que también termina en 1. Y con n = 27, un número ciertamente pequeño, obtenemos una secuencia considerablemente grande: 111 pasos
27, 82, 41, 124, 62, 31, 94, 47, 142, 71, 214, 107, 322, 161, 484, 242, 121, 364, 182, 91, 274, 137, 412, 206, 103, 310, 155, 466, 233, 700, 350, 175, 526, 263, 790, 395, 1186, 593, 1780, 890, 445, 1336, 668, 334, 167, 502, 251, 754, 377, 1132, 566, 283, 850, 425, 1276, 638, 319, 958, 479, 1438, 719, 2158, 1079, 3238, 1619, 4858, 2429, 7288, 3644, 1822, 911, 2734, 1367, 4102, 2051, 6154, 3077, 9232, 4616, 2308, 1154, 577, 1732, 866, 433, 1300, 650, 325, 976, 488, 244, 122, 61, 184, 92, 46, 23, 70, 35, 106, 53, 160, 80, 40, 20, 10, 5, 16, 8, 4, 2, 1
Imaginad las secuencias que obtendríamos con números grandes.
Este resultado sigue siendo una conjetura ya que no se tiene demostración alguna de su veracidad ni nadie ha encontrado ni contraejemplo ni demostración que demuestre su falsedad. Se ha comprobado que para números hasta 258 la secuencia siempre acaba en 1, es decir, la conjetura es cierta para esos números, pero eso no nos sirve como demostración. Sólo nos podría servir para intuir que podría ser cierto, pero la intuición a veces puede fallar, y si no recordar el caso de la conjetura de Polya.
Si alguien se atreve con el problema y obtiene algún resultado interesante que no dude en comunicárnoslo.
Fuente: Wikipedia (inglés): Collatz conjecture
Actualización: Dos apuntes interesantes:
- Interesante forma de atacar el problema la propuesta por Asier. Puede que desarrollándola no se llegue a nada concluyente, pero es bastante original.
- Enric ha creado un programa para calcular las sucesiones de números que aparecen al comenzar por cualquier número. Tenéis que entrar aquí y escribir http://www.enric.es/php/conjetura-collatz/?f=número-que-queráis. Hasta 1000000000000 lo da bien. A partir de ahí llega al ciclo 4, 2, 1 y lo repite indefinidamente. Y 2000000000010 es el último número para el que ocurre eso. A partir de ahí aparecen números tan grandes que el programa muestra INF de forma indefinida. De todas maneras es muy interesante.
Autor: ^DiAmOnD^ | Publicado el 29 de Noviembre de 2006 | 30 Comentarios
Categorías: Números enteros
El problema de Basilea consiste en determinar cuál es el valor exacto de la suma de los cuadrados de los inversos de todos los números naturales, es decir, calcular la suma de la siguiente serie:
Este problema fue propuesto por primera vez por el matemático Pietro Mengoli en 1644 y fue popularizado por Jakob Bernoulli en 1689, pero ninguno de los dos lo resolvieron. Otros grandes matemáticos de la época, como Johann Bernoulli, Leibnitz y Wallis tampoco pudieron encontrar la solución (aunque este último calculó su valor con 3 decimales). Este hecho le dio al problema aún más importancia. Al final fue el genial Leonhard Euler quien le puso el cascabel al gato, como en muchas otras ocasiones. De hecho este problema se acabó denominando así porque tanto Euler como los Bernoulli residían allí. Veamos cómo lo hizo.
(Leer el resto del post)
Autor: ^DiAmOnD^ | Publicado el 16 de Noviembre de 2006 | 9 Comentarios
Categorías: Cálculo, Demostraciones, Historia, Números enteros, Pi
Vamos a terminar ya con la teoría de números elemental, que se me está haciendo demasiado larga.
Números pseudoprimos
Los matemáticos Chinos de la antigüedad creían que:
n primo 2n-1 ≡ 1 (mod (n))
Sin embargo se equivocaron y su condición sólo es válida en un sentido:
n primo => 2n-1 ≡ 1 (mod (n))
A los números que sin ser primos, cumplen la propiedad se les conoce como pseudoprimos.
Teorema pequeño de Fermat
Sea “p” primo y a ∈ Z no divisible por “p”. Entonces,
ap-1 ≡ 1 (mod (p))
Como podéis ver no es más que una mejora de la propiedad de los números pseudoprimos.
(Más información en Wikipedia)
(Leer el resto del post)
Autor: Fran | Publicado el 5 de Octubre de 2006 | 2 Comentarios
Categorías: Aprenda como, Matemáticas discreta, Números enteros, Números primos, Teoremas
Aritmética modular
Con las congruencias podemos establecer un conjunto de operaciones aritméticas, como:
Siendo a, b, c, d ∈ Z y m ∈ N, tales que a ≡ b (mod (m)) y c ≡ d (mod (m)). Entonces,
a + c ≡ b + d (mod (m))
a · c ≡ b · c (mod (m))
(Recordemos que el signo ≡ significa “congruente con” y no es lo mismo que el signo = que significa “igual a”)
A partir de esto, podemos definir las propiedades aritméticas para las sumas de congruencias:
- Propiedad asociativa: a + (b + c) (mod (m)) = (a + b) + c (mod (m))
- Elemento neutro: Existe un elemento 0 ∈ Zm, tal que a + 0 (mod (m)) = a (mod (m))
- Elemento opuesto: Existe un elemento b ∈ Zm, tal que a + b = 0 (recordemos que 0 es el elemento neutro de la suma)
- Propiedad conmutativa: a + b (mod (m)) = b + a (mod (m))
También podemos definir las propiedades aritméticas para el producto de congruencias:
- Propiedad cancelativa: a · c ≡ b · c (mod (m)) y MCD (m, c) = 1, entonces a ≡ b (mod (m))
- Propiedad asociativa: a · (b · c) (mod (m)) = (a · b) · c (mod (m))
- Elemento neutro: Existe un elemento 1 ∈ Zm, tal que a · 1 (mod (m)) = a (mod (m))
- Elemento inverso: Existe un elemento a-1 ∈ Zm para todo a ∈ Zm con MCD (a, m) = 1, tal que a · a-1 = 1 (recordemos que 1 es el elemento neutro del producto)
Además de todas estas propiedades también se cumple la propiedad distributiva: a · (b + c) (mod (m)) = (a · b) + (a · c) (mod (m))
(Más información en la Wikipedia)
Para acabar, os voy a dar unos ejemplos de usos de las congruencias:
- En el DNI: La letra de tu NIF se realiza del siguiente modo: Número DNI (mod 23) y el resultado se pasa a una tabla que relaciona números con letras.
- En la generación de números seudoaleatorios: Los números aleatorios que genera cualquier ordenador se calculan usando una sucesión basada en congruencias: Xn+1 = (a · Xn + c) (mod (m))
- En criptografía: De este tema os hablaré dentro de poco, por ahora saber que las congruencias son la base de toda la criptografía moderna: RSA, El Gamal, …
Autor: Fran | Publicado el 29 de Septiembre de 2006 | 3 Comentarios
Categorías: Matemáticas discreta, Números enteros
