Números enteros | Gaussianos

Saber si un número es divisible entre 11 y entre 19

Autor: ^DiAmOnD^ | Publicado el 2 de June de 2008 | Comments Off
Categorías: Aprenda como, Números enteros

Composiciones de números y números de Fibonacci

Vamos a comentar una propiedad curiosa que me mandó fede por mail hace tiempo:

Podemos expresar un número, por ejemplo el $3$ , como suma de números de varias formas diferentes:
$3=1+1+1,3=2+1,3=1+2,3=3$
(admitimos sumas con un solo sumando).

Una de estas sumas se llama partición del número si consideramos que el orden de los sumandos no importa. La suma se llama composición cuando el orden de los sumandos importa. Según ésto el número de particiones de $3$ es 3 y el número de composiciones de $3$ es 4. En general, el número de composiciones de $N$ es $2^{N-1}$ .

Las teoría de particiones (de números) es una famosa rama de la combinatoria y de la teoría de números. Las composiciones no tienen tanta fama (no parece que haya tanto que decir de ellas), pero tenemos el siguiente resultado curioso:

Si multiplicamos los sumandos de cada composición de un número $N$ y sumamos todos los productos, el resultado es el $2 \cdot N$ -ésimo número de la sucesión de Fibonacci $F(N)$ ( $N=1,1,2,3,5,8,13 \ldots$ ). Por ejemplo, para $N=3$ tenemos que $1 \cdot 1 \cdot 1 + 1 \cdot 2 + 2 \cdot 1 + 3 = 8$ , que es igual a $F(2 \cdot 3)=F(6)$ .

Curiosa e interesante propiedad de las composiciones de números y los números de Fibonacci. Os dejo un par de enlaces con otras curiosidades de estos números publicadas ya en Gaussianos:

Autor: ^DiAmOnD^ | Publicado el 2 de May de 2008 | Comments Off
Categorías: Curiosidades, Números enteros

La prueba de Fermat

Introducción

Quien conozca un poco la vida y, sobre todo, la obra de Pierre de Fermat (los lectores más antiguos de Gaussianos seguro que están en este grupo de personas) sabrá que, entre otras cosas, no solía publicar ni comunicar a sus colegas las demostraciones de los resultados que descubría. Es evidente que no podía haber demostración de que todos los números de Fermat son primos ya que no es cierto; y es bastante probable que la demostración que Fermat dice tener en su anotación en el margen del libro de Diofanto sobre el denominado último teorema de Fermat fuera errónea, si es que existía. El caso es que, quitando estos dos problemas, Fermat no publicó las demostraciones de sus resultados. Sin embargo, en las anotaciones que dejó y que fueron recopiladas por su hijo después de su muerte se encontró una demostración rigurosa de uno de sus resultados. Esta es la historia que nos ocupa hoy: La prueba de Fermat.

Teorema

El resultado que vamos a probar es el siguiente:

El área de un triángulo rectángulo cuyos lados sean números enteros no puede ser un cuadrado

Esto es, en notación simbólica, no existe una terna pitagórica $x^2 + y^2 = z^2$ tal que $\frac{1}{2} xy$ es un cuadrado (según lo que vimos en este post sobre ternas pitagóricas $x$ e $y$ no pueden ser ambos impares por lo que $xy$ es par y en consecuencia $\frac{1}{2} xy$ es un entero).

Demostración

Como ya vimos en este artículo, la fórmula más general de las ternas pitagóricas es $x=(2pq)d$ , $y=(p^2-q^2)d$ y $z=(p^2+q^2)d$ , con $p$ y $q$ enteros positivos primos relativos de paridad opuesta con $p > q$ y $d$ un entero positivo. El problema es hacer que $\frac{1}{2} xy = pq(p^2 - q^2)d^2$ sea un cuadrado. Esto es posible si y sólo si $pq(p^2 - q^2)$ es un cuadrado. Pero como $p$ y $q$ son primos relativos entonces ambos deben ser primos relativos con $p^2 - q^2$ . Por tanto $pq(p^2 - q^2)$ es un cuadrado si y sólo si $p$ , $q$ y $p^2 - q^2$ son todos cuadrados. En otras palabras, un triángulo cuya área es un cuadrado nos lleva a un par de enteros primos relativos $p$ y $q$ de paridad opuesta tal que $p$ , $q$ y $p^2 - q^2$ son todos cuadrados. Como $p$ y $q$ son cuadrados, entonces $p^2 - q^2$ es la diferencia de dos potencias cuartas. Además, $p^2 - q^2 = (p - q)(p + q)$ es una descomposición de $p^2 - q^2$ en factores primos relativos entre si, ya que cada factor que tuvieran en común $p - q$ y $p + q$ también sería un factor común de $(p - q) + (p + q) = 2p$ y de $(p + q) - (p - q) = 2q$ y por tanto, como $p$ y $q$ son primos relativos, el posible factor sólo podría ser $2$ ó $1$ . Pero $p$ y $q$ tiene paridad opuesta y por tanto $p - q$ y $p + q$ son ambos impares. En consecuencia $2$ no puede ser un factor común de los dos y en consecuencia son primos relativos. Entonces suponer que $p^2 - q^2$ es un cuadrado implica que $p - q$ y $p + q$ sean ambos cuadrados.

A partir de este hecho supongamos que $p + q = r^2$ y $p - q = s^2$ . En su exposición Fermat dice que $r$ puede ser escrito de la forma $r = u + v$ , donde uno de los dos es un cuadrado y el otro es el doble de un cuadrado, y que además $u$ y $v$ son los catetos de un triángulo rectángulo, es decir, $u^2 + v^2$ es también un cuadrado. Fermat dice que el segundo hecho es consecuencia del primero pero no da ninguna indicación para demostrar el primero, simplemente dice que él lo ha probado fácilmente. En este artículo vamos a dar una demostración de los dos hechos, aunque no se sabe si la manera en que se va a hacer está relacionada con la idea que tenía Fermat.

Como $p$ y $q$ son de paridad opuesta, $p + q = r^2$ y $p - q = s^2$ son ambos impares y por tanto $r$ y $s$ son ambos impares. Además, $r$ y $s$ son primos relativos porque, como se vio antes, $p - q$ y $p + q$ son primos relativos. Ahora definimos dos enteros positivos así:

$u=\cfrac{r-s}{2},v=\cfrac{r+s}{2}$

Entonces $u$ y $v$ son primos relativos, ya que cualquier factor común de $u$ y $v$ lo sería de su suma, $u + v = r$ , y de su diferencia, $v - u = s$ , pero hemos visto que $r$ y $s$ son primos relativos. Además:

$uv=\cfrac{r^2-s^2}{4}=\cfrac{(p+q)-(p-q)}{4}=\cfrac{q}{2}$

Ya que $q$ es un cuadrado, $\frac{1}{2}q$ puede ser un entero sólo si es un entero par. Por tanto $\frac{1}{2}uv = \frac{1}{4}q$ será un entero y, como es cociente de cuadrados, será un cuadrado. Ahora, $u$ o $v$ debe ser par (porque la mitad de su producto es un entero), pero no pueden serlo ambos a la vez (porque son primos relativos). Pero la mitad del par y el impar son primos relativos, y su producto $\frac{1}{2}uv$ es un cuadrado. Por tanto los factores son cuadrados, y entonces el par es dos veces un cuadrado y el impar es un cuadrado. Así $r = u + v$ es una expresión de $r$ como suma de un cuadrado y dos veces un cuadrado, como queríamos demostrar. Además:

$u^2+v^2=\cfrac{r^2-2rs+s^2}{4}+\cfrac{r^2+2rs+s^2}{4}=\cfrac{r^2+s^2}{2}=\cfrac{(p+q)+(p-q)}{2}=p$

Como teníamos que $p$ era un cuadrado se tiene que $u^2 + v^2$ es un cuadrado.

El resto de la demostración es sencillo a partir de aquí. La terna pitagórica con lados $u$ y $v$ es primitiva, porque $u$ y $v$ son primos relativos. Entonces es de la forma $2PQ$ , $P^2 - Q^2$ y $P^2 + Q^2$ , donde $P$ y $Q$ son primos relativos de paridad opuesta y $P > Q$ .

Como $\frac{1}{2}uv = PQ(P^2 - Q^2)$ es un cuadrado, se sigue como antes que $P$ , $Q$ , $P - Q$ y $P + Q$ son todos cuadrados. Pero:

$P+Q \le (P+Q)PQ(P-Q) = \cfrac{1}{2}uv = \cfrac{q}{4} < q < p + q$

y el proceso puede ser repetido indefinidamente obteniendo al final una secuencia infinita y decreciente de enteros positivos con esas propiedades. Por el método del descenso infinito esto es imposible, y en consecuencia es imposible encontrar un triángulo pitagórico cuya área sea un cuadrado.

Conclusión

Teniendo en cuenta, como ya dijimos al principio, las reticencias de Fermat a dar a conocer las demostraciones de sus resultados esta demostración cobra aún más valor histórico. Exceptuando el punto oscuro comentado (la parte que Fermat deja sin demostrar) la demostración es suya.

Por otro lado con este artículo tenemos la oportunidad de ver otro ejemplo de la potencia que tiene el método del descenso infinito para demostrar ciertos tipos de resultados. Teniendo en cuenta lo poco conocido y lo poco usado que es este método no nos viene nada mal como posible herramienta para otros problemas.

Autor: ^DiAmOnD^ | Publicado el 19 de November de 2007 | Comments Off
Categorías: Historia, Números enteros

La factorización de Fermat

Hace unos días veo este post en Futility Closet:

Mersenne once wrote to Fermat asking whether $100895598169$ were a prime number.

Fermat replied immediately that it’s the product of $898423$ and $112303$ , both of which are prime.

To this day, no one knows how he knew this. Has a powerful factoring technique been lost?

Traducido quedaría algo así:

Mersenne escribió una vez a Fermat preguntándole si $100895598169$ era un número primo.

Fermat respondió inmediatamente que es el producto de $898423$ por $112303$ , ambos primos.

A día de hoy nadie sabe cómo lo supo. ¿Se ha perdido una potente técnica de factorización?

Pues sí, al parecer no se sabe a ciencia cierta cómo factorizó ese número tan grande en tan poco tiempo. Lo que sí se conoce es un método de factorización ideado por Fermat, aunque yo dudo que fuera el que usó para este caso. Pasemos a explicarlo.

El método de factorización de Fermat

La cuestión es factorizar un cierto número $n$ . La idea de Fermat es la siguiente:

Si $n$ es igual a la diferencia de dos cuadrados, digamos $n=x^2-y^2$ , entonces $n$ puede factorizarse de forma muy sencilla de forma evidente: $n=(x+y)(x-y)$ .

Como $x^2$ debe ser mayor que $n$ se tiene que $x$ debe ser mayor que $\sqrt{n}$ . A partir de ésto ya podemos adentrarnos en el método de factorización de Fermat:

Dado un número entero positivo $n$ que queremos factorizar tomamos un entero positivo $x$ mayor que $\sqrt{n}$ (podemos calcular una aproximación de esa raíz cuadrada a ojo o con el método normal y después elegir $x$ ). Calculamos $x^2$ y le restamos $n$ . Si obtenemos un cuadrado hemos terminado. Si no es así tomamos $x+1$ , calculamos $(x+1)^2$ , restamos $n$ y si hemos obtenido un cuadrado se acaba. Procedemos de la misma forma hasta encontrar un cuadrado.

Vamos a ver un par de ejemplos de aplicación del método:

Vamos a factorizar el número $13837$ . Su raíz cuadrada está entre $117$ y $118$ . Tomamos $x=118$ . Pero $118^2-13837=87$ , que no es un cuadrado. Tomamos ahora $x=119$ . Ahora $119^2-13837=324=18^2$ . Por tanto despejando $n=13837$ de esta expresión tenemos su factorización: $13837=119^2-18^2=(119+18)(119-18)=137 \cdot 101$
Vamos ahora con un número más grande, el que utilizó Fermat para probar la efectividad de su método: $2027651281$ . Su raíz cuadrada está entre $45029$ y $45030$ . Comenzamos con $x=45030$ . Veamos qué resultados obtenemos: $45030^2-2027651281=49619$ , que no es un cuadrado.
$45031^2-2027651281=139680$ , que no es un cuadrado.
$45032^2-2027651281=229743$ , que no es un cuadrado.
$45033^2-2027651281=319808$ , que no es un cuadrado.
$45034^2-2027651281=409875$ , que no es un cuadrado.
$45035^2-2027651281=499944$ , que no es un cuadrado.
$45036^2-2027651281=590015$ , que no es un cuadrado.
$45037^2-2027651281=680088$ , que no es un cuadrado.
$45038^2-2027651281=770163$ , que no es un cuadrado.
$45039^2-2027651281=860240$ , que no es un cuadrado.
$45040^2-2027651281=950319$ , que no es un cuadrado.
$45041^2-2027651281=1040400=1020^2$ .

Por tanto ya tenemos la factorización:

$2027651281=45041^2-1020^2=(45041+1020)(45041-1020)=44021 \cdot 46061$

Como podemos ver el método está muy bien si la diferencia entre los factores del número no es muy grande pero no es demasiado eficiente si los dos factores están muy alejados el uno del otro, ya que en ese caso la cantidad de cálculos que deberíamos realizar sería enorme. Esa es la razón por la que yo pienso que Fermat no usó este método para factorizar el número $100895598169$ y me temo que siempre nos quedará la duda de qué método utilizó Fermat para realizar esta factorización. De todas formas el método es interesante ya que hasta en nuestros tiempos ha servido como motivación para la búsqueda de nuevos métodos de factorización.

Autor: ^DiAmOnD^ | Publicado el 5 de October de 2007 | Comments Off
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Un número perfecto impar debe tener al menos tres factores primos

Hace un tiempo propuse este problema sobre números perfectos. Nuestro amigo Domingo lo resolvió y nos propuso otro problema sobre este tipo de números:

Demostrar que si $N$ es un número perfecto impar entonces $N$ debe tener al menos tres factores primos

Parece claro que un camino coherente para llegar a la demostración es descartar que pueda tener uno o dos factores primos. Esa es la línea que se siguió en los comentarios de aquel post y es la que vamos a seguir aquí.

Un número perfecto impar no puede tener sólo un factor primo

edmond, otro de nuestros comentaristas, casi terminó de demostrar esta parte (podéis verlo aquí), aunque quien la remató fue Domingo. La vemos:

Supongamos que tenemos un número perfecto impar con sólo un factor primo, digamos $N=p^{\alpha}$ , con $\alpha \ge 1$ . Sus divisores serán los números $1,p,p^2, \cdots ,p^{\alpha}$ . Calculamos su suma con la fórmula de la suma de una progresión geométrica:

$1+p+p^2+ \cdots +p^{\alpha}=\cfrac{p^{\alpha+1}-1}{p-1}$

Como $N$ es un número perfecto debe ser igual a la suma de sus divisores propios. Como entre los divisores que hemos tomado está también el propio $N=p^{\alpha}$ entonces esa suma será igual a $2N$ :

$\cfrac{p^{\alpha+1}-1}{p-1}=2p^{\alpha} \Longrightarrow p^{\alpha+1}-1=2p^{\alpha}(p-1)=2p^{\alpha+1}-2p^{\alpha}$

Simplificamos y queda:

$2p^{\alpha}-p^{\alpha+1}=1 \Longrightarrow p|1$

Lo cual es absurdo ya que $p$ es un número primo impar y por tanto $p \ge 3$ . Por tanto ya tenemos demostrada la primera parte.

Pregunta: ¿dónde hemos usado que $N$ es impar?

Un número perfecto impar no puede tener sólo dos factores primos

Esta parte es algo más complicada que la primera. Yo lo estuve intentado. De hecho mandé varios mails con posibles demostraciones a Domingo, pero por desgracia todas contenían algún error. Al final, aunque yo ya había avanzado bastante, tuvo que terminarla él. Aquí os dejo su demostración:

Sea $N=p^rq^s$ un número perfecto impar con sólo dos factores primos, $p$ y $q$ . Estos factores primos deben ser ambos impares ya que si alguno de ellos fuera par el propio $N$ lo sería. Los divisores de $N$ (incluyendo al propio $N$ ) son:

$1,p,p^2, \cdots ,p^r$ , $q,q^2, \cdots ,q^s$ , $qp,qp^2, \cdots ,qp^r$ , $q^2p,q^2p^2, \cdots ,q^2p^r$ , … , $q^sp,q^sp^2, \cdots ,q^sp^r$ . Su suma (después de algunos cálculos) queda:

$S=(1+p+p^2+ \cdots +p^r)(1+q+q^2+ \cdots +q^s)$

Al ser $N$ un número perfecto la suma de sus divisores propios es igual al propio número. Como en los anteriores hemos incluido a $N$ tenemos que la suma anterior es igual a $2N$ . Esto es:

$S=(1+p+p^2+ \cdots +p^r)(1+q+q^2+ \cdots +q^s)=2p^rq^s$

Dividimos entre $p^rq^s$ convenientemente:

$\cfrac{(1+p+p^2+ \cdots +p^r)}{p^r} \cdot \cfrac{(1+q+q^2+ \cdots +q^s)}{q^s}=2$
Dividiendo queda:

$\displaystyle (1+\frac{1}{p}+\frac{1}{p^2}+ \cdots +\frac{1}{p^r})(1+\frac{1}{q}+\frac{1}{q^2}+ \cdots +\frac{1}{q^s})=2$

Ahora, $p$ y $q$ son dos números primos impares distintos. Podemos suponer entonces sin pérdida de generalidad que $p \ge 3$ y $q \ge 5$ con $p<q$ . Acotamos entonces las dos expresiones anteriores así:

$\displaystyle{(1+\frac{1}{p}+\frac{1}{p^2}+ \cdots +\frac{1}{p^r})\le(1+\frac{1}{3}+\frac{1}{3^2}+ \cdots +\frac{1}{3^r})=\sum_{i=1}^r{\left ( \frac{1}{3} \right )^i}<\sum_{i=1}^\infty {\left ( \frac{1}{3} \right )^i}=\frac{1}{1-\frac{1}{3}}=\frac{3}{2}}$ $\displaystyle{(1+\frac{1}{q}+\frac{1}{q^2}+ \cdots +\frac{1}{q^s}) \le (1+\frac{1}{5}+\frac{1}{5^2}+ \cdots +\frac{1}{5^s})=\sum_{i=1}^s{\left ( \frac{1}{5} \right )^i} < \sum_{i=1}^\infty {\left ( \frac{1}{5} \right )^i}=\cfrac{1}{1- \frac{1}{5}}=\cfrac{5}{4}}$

Tendríamos entonces $\displaystyle{2<\frac{3}{2} \cdot \frac{5}{4}=\frac{15}{8}<2}$ , lo cual es claramente absurdo. Por tanto un número perfecto impar no puede tener sólo dos factores primos. Con esto concluye la demostración.

Pregunta: ¿es válida una demostración de este estilo si lo que queremos comprobar es que un número perfecto impar debe tener al menos cuatro factores primos? ¿Por qué?

Autor: ^DiAmOnD^ | Publicado el 24 de September de 2007 | Comments Off
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El teorema de los cuatro cuadrados

A la vista de la interesante conversación sobre la expresión de un número natural como suma de cuatro cuadrados que se ha formado en los comentarios del post sobre el número 252 vamos a hablar un poco del tema.

El teorema de los cuatro cuadrados aparece en el libro Arithmetica de Diofanto (libro que ya nombramos aquí). Dice básicamente lo siguiente:

Todo número entero positivo puede expresarse como suma de cuatro cuadrados de números enteros

Por ejemplo:

$5=2^2+1^2+0^2+0^2$
$18=3^2+3^2+0^2+0^2$
$348=18^2+4^2+2^2+2^2$
$8764=70^2+62^2+4^2+2^2$

Para la demostración es interesante utilizar la identidad de los cuatro cuadrados de Euler, que dice que el producto de dos números expresables como suma de cuatro cuadrados también es expresable de esa forma. Esto es:

$(a_1^2+a_2^2+a_3^2+a_4^2)(b_1^2+b_2^2+b_3^2+b_4^2)=\\=(a_1 b_1-a_2 b_2-a_3 b_3-a_4 b_4)^2+(a_1 b_2+a_2 b_1+a_3 b_4-a_4 b_3)^2+\\+(a_1 b_3-a_2 b_4+a_3 b_1+a_4 b_2)^2+(a_1 b_4+a_2 b_3-a_3 b_2+a_4 b_1)^2$

Esta identidad puede probarse de forma directa realizando las operaciones o de otra forma más corta. A ver quién la comenta.

Con esto sólo hace falta comprobar el resultado para números primos. Además, como cada potencia de 2 es un cuadrado o la suma de dos cuadrados se tiene que el tema se reduce a demostrar el resultado para primos impares.

La idea de la demostración en este punto es clasificar los números primos impares en dos grandes grupos: los que son congruentes con 1 módulo 4 y los que son congruentes con 3 módulo 4. Después se demuestra el teorema para cada uno de los grupos y se completa con ello la demostración. Podéis verla en esta web, donde además tenéis algunos applets en java para calcular la descomposición de un número como suma de cuatro cuadrados. Aquí podéis ver uno de ellos.

Como decíamos antes este resultado se conoce desde los tiempos de Diofanto (siglo III a.C.), pero la primera demostración conocida es de Lagrange en 1770. Algo después, en 1798, Legendre mejoró el resultado demostrando que un número entero positivo puede expresarse como suma de tres cuadrados si y sólo si ese número no es de la forma $4^k (8m+7)$ . Aunque en principio la prueba estaba incompleta el hueco que contenía fue rellenado por Gauss poco después.

En 1834 Jacobi encontró el número exacto de formas en las que se puede expresar un número entero positivo $n$ como suma de cuatro cuadrados. Este número es 8 veces la suma de los divisores de $n$ si $n$ es impar y 24 veces la suma de los divisores impares de $n$ si $n$ es par.

Una de las generalizaciones de este teorema es teorema de los números poligonales de Fermat que básicamente dice que todo número entero positivo puede ser expresando como suma de, como mucho, 3 números triangulares, 4 números cuadrados, 5 números pentagonales, etc. Gauss demostró el resultado para números triangulares y Cauchy demostró el resto.

Otra de las generalizaciones es la siguiente: dados números naturales $a,b,c,d$ podemos resolver la ecuación $n=ax_1^2+bx_2^2+cx_3^2+dx_4^2$ para todo $n$ siendo $x_1,x_2,x_3,x_4$ enteros?

Como puede verse el teorema de los cuatro cuadrados es un caso particular de este hecho: el caso $a=b=c=d=1$ . La solución general de este problema fue dada por Ramanujan:

Si asumimos, sin pérdida de generalidad, que $a \le b \le c \le d$ entonces hay exactamente 54 elecciones de $a,b,c,d$ tal que la ecuación anterior puede resolverse en enteros $x_1,x_2,x_3,x_4$ para todo $n$ (en realidad Ramanujan dio una elección más, $a=1,b=2,c=d=5$ , pero en este caso la ecuación no tiene solución para $n=15$ ).

Autor: ^DiAmOnD^ | Publicado el 17 de September de 2007 | Comments Off
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Curiosidades del número 252

En Gaussianos ya hemos visto alguna vez que ciertos números poseen cualidades, digamos, curiosas (por ejemplo el 142857 y el 153). Vamos a ver algunas del número $252$ que nos comenta merfat en Tres Decas y a contestar a alguna de sus preguntas:

Es un número palíndromo o capicúa
Escrito en una calculadora o en un reloj digital se lee igual si lo giramos 180º
Es el menor número que puede escribirse a la vez como suma de 3, de 7, de 8 y de 9 números naturales consecutivos:
$252=83+84+85$
$252=33+34+35+36+37+38+39$
$252=28+29+30+31+32+33+34+35$
$252=24+25+26+27+28+29+30+31+32$
Es suma de 6 números primos consecutivos:
$252=31+37+41+43+47+53$
Su cuadrado es también muy curioso:
$252 \cdot 252=63504=144 \cdot 441=12^2 \cdot 21^2$
En el post original merfat nos reta a que escribamos el $252$ como suma de 4 cuadrados de dos formas distintas. Vamos a expresarlo como suma de 4 cuadrados de varias formas más:
$252=1^2+7^2+9^2+11^2$
$252=2^2+4^2+6^2+14^2$
$252=2^2+2^2+10^2+12^2$
$252=1^2+1^2+9^2+13^2$
$252=1^2+1^2+5^2+15^2$
$252=4^2+6^2+10^2+10^2$
$252=6^2+6^2+6^2+12^2$

Así a bote pronto no se me ocurren más. Si tenéis alguna vosotros escribidla en un comentario.

Y dejo una de las preguntas de merfat para vosotros: ¿qué ángulo forman las manecillas del reloj cuando éste marca las 2:52?

Autor: ^DiAmOnD^ | Publicado el 10 de September de 2007 | Sin comentarios
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Fracción egipcia

Se denomina fracción egipcia a la expresión de un número racional como suma de fracciones unitarias distintas, es decir, de fracciones de numerador 1 y cuyos denominadores sean enteros positivos distintos.

Se puede demostrar que cualquier número racional positivo puede escribirse como fracción egipcia. Esta demostración está relacionada con la divergencia de la serie armónica.

Vamos a ver un algoritmo mediante el cual podemos representar cualquier número racional R entre 0 y 1 como fracción egipcia. Supongamos que tenemos una fracción así:

Fracción R

El algoritmo consiste en lo siguiente:

1.- Encontrar la fracción unitaria más cercana a R pero menor que él. El numerador será siempre 1 y el denominador será el cociente de la división de b entre a más 1. Si en alguna de esas divisiones no hay resto R es que hemos llegado a una fracción unitaria y por tanto hemos terminado.
2.- Calcular la resta R menos esa fracción unitaria y aplicar de nuevo el paso 1 utilizando la diferencia entre las dos fracciones como el nuevo R.

Vamos a ver un ejemplo:

$Ejemplo de fracción egipcia$

La representación de un número racional entre 0 y 1 no es única. De hecho, por ejemplo, esta misma fracción se puede representar de una manera más sencilla:

Fracción más sencilla

Otro ejemplo de esta falta de unicidad es el siguiente:

- Mediante este método obtenemos

Otro ejemplo con el método

- Pero de otras formas podemos obtener una expresión más sencilla de esta fracción

El otro ejemplo más sencillo

Las fracciones unitarias ya aparecían en el Papiro de Rhind. Por ello se le denominan fracciones egipcias.

Y para terminar un reto: encontrar una fracción con una expresión sencilla como suma de fracciones unitarias pero que tenga una expresión ciertamente complicada con el método que hemos expuesto. Esto es, un ejemplo del estilo al último que hemos puesto.

Fuentes:

Autor: ^DiAmOnD^ | Publicado el 26 de February de 2007 | Comments Off
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Número de Friedman

Un número entero se denomina número de Friedman si puede escribirse de forma no trivial combinando sus dígitos y las operaciones aritméticas básicas (+,-,*,/), los paréntesis, la concatenación y las potencias

Estos números pueden encontrarse en cualquier base de numeración, pero nosotros sólo vamos a hablar de números de Friedman en base 10.

Los primeros números de Friedman son:

25, 121, 125, 126 , 127, 128, 153, 216, 289, 343, 347, 625, 688, 736, 1022, 1024, 1206, 1255, 1260, 1285, 1296, 1395, 1435, 1503, 1530, 1792, 1827, 2048, 2187, 2349, 2500, 2501, 2502, 2503, 2504, 2505, 2506, 2507, 2508, 2509, 2592, 2737, 2916, 3125, 3159

¿Cómo obtenerlos? Veamos algunos:

25=5²
121=11²
126=21*6
127=2⁷-1

Cuando decimos de forma no trivial nos referimos principalmente a que no podemos utilizar los paréntises de esta forma:

21=(21)

y a que no podemos utilizar ceros a la izquierda. Es decir:

001729=1700+29

no es válido.

Hay muchas curiosidades sobre este tipo de números. Aquí tenéis algunas de ellas:

Parece ser que el número 9999999 es el más pequeño número de Friedman que tiene todos sus dígitos iguales. La forma de conseguirlo es:
99999999=(9+9/9)^9-9/9-9/9
Todo número con 24 o más cifras que las tenga todas iguales es un número de Friedman.
Los números de Friedman simpáticos son los que pueden obtenerse con las operaciones comentadas anteriormente con la condición de que los dígitos aparezcan en el mismo orden que en el propio número. El más pequeño número de Friedman simpático es el 127=-1+2⁷.
Al parecer gran parte de los números de Friedman son compuestos. El primer número de Friedman primo es, precisamente, el 127. De todas formas está comprobado que hay infinitos números de Friedman primos.
Los números 123456789 y 987654321 son números de Friedman. La forma de conseguirlos es la siguiente:
123456789=((86+2*7)⁵-91)/3⁴
987654321=(8*(97+6/2)⁵+1)/3⁴

En la web de Erich Friedman (enlace más abajo) teneís mucha más información sobre estos números.

Fuentes:

Otros artículos sobre números en Gaussianos:

Autor: ^DiAmOnD^ | Publicado el 19 de February de 2007 | Comments Off
Categorías: Números enteros

La conjetura de Catalan

Como todos sabemos 2³=8 y 3²=9. Es decir, tenemos dos potencias de números naturales que dan como resultado dos números naturales consecutivos. Intentemos buscar algún otro caso éste. Si vamos probando vemos que con números relativamente pequeños no encontramos ninguno. Pero siempre podría darse una situación así para números más grandes.

En 1844 el matemático belga Eugène Charles Catalan conjeturó que no es posible encontrar otro ejemplo como el comentado al principio. Esta conjetura, denominada conjetura de Catalan, puede formularse de la siguiente forma:

La ecuación x^a-y^b=1, para x,y,a,b > 1, tiene como única solución la siguiente: x=3, y=2, a=2, b=3

Pero ya sabemos lo que pasa con las conjeturas, que hasta que no se demuestran no puede saberse si son ciertas (ya vimos que, por ejemplo, la conjetura de Polya y la conjetura de Euler resultaron falsas mientras que el último teorema de Fermat resultó cierto). Y para saberlo debemos encontrar una demostración de la misma o un contraejemplo que la refute.

¿Existe alguna demostración de la conjetura o algún contraejemplo que nos diga que es falsa? La respuesta es sí. Y la conjetura resultó…¡¡cierta!!. El matemático rumano-alemán Preda Mihăilescu la demostró en 2002, por lo que la conjetura pasó a llamarse teorema de Mihăilescu.

Y para terminar comentar que Catalan no sólo es famoso por su conjetura. Sus trabajos versan sobre fracciones continuas, geometría descriptiva, teoría de números y combinatoria. Entre todos esos trabajos podemos destacar los números de Catalan y los poliedros de Catalan.

Fuentes:

Autor: ^DiAmOnD^ | Publicado el 8 de February de 2007 | Comments Off
Categorías: Números enteros, Teoremas

Saber si un número es divisible entre 11 y entre 19

Composiciones de números y números de Fibonacci

La prueba de Fermat

Introducción

Teorema

Demostración

Conclusión

La factorización de Fermat

El método de factorización de Fermat

Un número perfecto impar debe tener al menos tres factores primos

Un número perfecto impar no puede tener sólo un factor primo

Un número perfecto impar no puede tener sólo dos factores primos

El teorema de los cuatro cuadrados

Curiosidades del número 252

Fracción egipcia

Número de Friedman

La conjetura de Catalan

Yo construí el poliedro de Császár

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