lainformacion.com

Un número perfecto impar debe tener al menos tres factores primos

Hace un tiempo propuse este problema sobre números perfectos. Nuestro amigo Domingo lo resolvió y nos propuso otro problema sobre este tipo de números:

Demostrar que si N es un número perfecto impar entonces N debe tener al menos tres factores primos

Parece claro que un camino coherente para llegar a la demostración es descartar que pueda tener uno o dos factores primos. Esa es la línea que se siguió en los comentarios de aquel post y es la que vamos a seguir aquí.

Un número perfecto impar no puede tener sólo un factor primo

edmond, otro de nuestros comentaristas, casi terminó de demostrar esta parte (podéis verlo aquí), aunque quien la remató fue Domingo. La vemos:

Supongamos que tenemos un número perfecto impar con sólo un factor primo, digamos N=p^{\alpha}, con \alpha \ge 1. Sus divisores serán los números 1,p,p^2, \cdots ,p^{\alpha}. Calculamos su suma con la fórmula de la suma de una progresión geométrica:

1+p+p^2+ \cdots +p^{\alpha}=\cfrac{p^{\alpha+1}-1}{p-1}

Como N es un número perfecto debe ser igual a la suma de sus divisores propios. Como entre los divisores que hemos tomado está también el propio N=p^{\alpha} entonces esa suma será igual a 2N:

\cfrac{p^{\alpha+1}-1}{p-1}=2p^{\alpha} \Longrightarrow p^{\alpha+1}-1=2p^{\alpha}(p-1)=2p^{\alpha+1}-2p^{\alpha}

Simplificamos y queda:

2p^{\alpha}-p^{\alpha+1}=1 \Longrightarrow p|1

Lo cual es absurdo ya que p es un número primo impar y por tanto p \ge 3. Por tanto ya tenemos demostrada la primera parte.

Pregunta: ¿dónde hemos usado que N es impar?

Un número perfecto impar no puede tener sólo dos factores primos

Esta parte es algo más complicada que la primera. Yo lo estuve intentado. De hecho mandé varios mails con posibles demostraciones a Domingo, pero por desgracia todas contenían algún error. Al final, aunque yo ya había avanzado bastante, tuvo que terminarla él. Aquí os dejo su demostración:

Sea N=p^rq^s un número perfecto impar con sólo dos factores primos, p y q. Estos factores primos deben ser ambos impares ya que si alguno de ellos fuera par el propio N lo sería. Los divisores de N (incluyendo al propio N) son:

1,p,p^2, \cdots ,p^r, q,q^2, \cdots ,q^s, qp,qp^2, \cdots ,qp^r, q^2p,q^2p^2, \cdots ,q^2p^r, … , q^sp,q^sp^2, \cdots ,q^sp^r. Su suma (después de algunos cálculos) queda:

S=(1+p+p^2+ \cdots +p^r)(1+q+q^2+ \cdots +q^s)

Al ser N un número perfecto la suma de sus divisores propios es igual al propio número. Como en los anteriores hemos incluido a N tenemos que la suma anterior es igual a 2N. Esto es:

S=(1+p+p^2+ \cdots +p^r)(1+q+q^2+ \cdots +q^s)=2p^rq^s

Dividimos entre p^rq^s convenientemente:

\cfrac{(1+p+p^2+ \cdots +p^r)}{p^r} \cdot \cfrac{(1+q+q^2+ \cdots +q^s)}{q^s}=2
Dividiendo queda:

\displaystyle (1+\frac{1}{p}+\frac{1}{p^2}+ \cdots +\frac{1}{p^r})(1+\frac{1}{q}+\frac{1}{q^2}+ \cdots +\frac{1}{q^s})=2

Ahora, p y q son dos números primos impares distintos. Podemos suponer entonces sin pérdida de generalidad que p \ge 3 y q \ge 5 con p<q. Acotamos entonces las dos expresiones anteriores así:

\displaystyle{(1+\frac{1}{p}+\frac{1}{p^2}+ \cdots +\frac{1}{p^r})\le(1+\frac{1}{3}+\frac{1}{3^2}+ \cdots +\frac{1}{3^r})=\sum_{i=1}^r{\left ( \frac{1}{3} \right )^i}<\sum_{i=1}^\infty {\left ( \frac{1}{3} \right )^i}=\frac{1}{1-\frac{1}{3}}=\frac{3}{2}}

\displaystyle{(1+\frac{1}{q}+\frac{1}{q^2}+ \cdots +\frac{1}{q^s}) \le (1+\frac{1}{5}+\frac{1}{5^2}+ \cdots +\frac{1}{5^s})=\sum_{i=1}^s{\left ( \frac{1}{5} \right )^i} < \sum_{i=1}^\infty {\left ( \frac{1}{5} \right )^i}=\cfrac{1}{1- \frac{1}{5}}=\cfrac{5}{4}}

Tendríamos entonces \displaystyle{2<\frac{3}{2} \cdot \frac{5}{4}=\frac{15}{8}<2}, lo cual es claramente absurdo. Por tanto un número perfecto impar no puede tener sólo dos factores primos. Con esto concluye la demostración.

Pregunta: ¿es válida una demostración de este estilo si lo que queremos comprobar es que un número perfecto impar debe tener al menos cuatro factores primos? ¿Por qué?

Autor: ^DiAmOnD^ | Publicado el 24 de Septiembre de 2007 | 12 Comentarios
Categorías: Demostraciones, Números enteros, Números primos

El teorema de los cuatro cuadrados

A la vista de la interesante conversación sobre la expresión de un número natural como suma de cuatro cuadrados que se ha formado en los comentarios del post sobre el número 252 vamos a hablar un poco del tema.

El teorema de los cuatro cuadrados aparece en el libro Arithmetica de Diofanto (libro que ya nombramos aquí). Dice básicamente lo siguiente:

Todo número entero positivo puede expresarse como suma de cuatro cuadrados de números enteros

Por ejemplo:

5=2^2+1^2+0^2+0^2
18=3^2+3^2+0^2+0^2
348=18^2+4^2+2^2+2^2
8764=70^2+62^2+4^2+2^2

Para la demostración es interesante utilizar la identidad de los cuatro cuadrados de Euler, que dice que el producto de dos números expresables como suma de cuatro cuadrados también es expresable de esa forma. Esto es:

(a_1^2+a_2^2+a_3^2+a_4^2)(b_1^2+b_2^2+b_3^2+b_4^2)=\\=(a_1 b_1-a_2 b_2-a_3 b_3-a_4 b_4)^2+(a_1 b_2+a_2 b_1+a_3 b_4-a_4 b_3)^2+\\+(a_1 b_3-a_2 b_4+a_3 b_1+a_4 b_2)^2+(a_1 b_4+a_2 b_3-a_3 b_2+a_4 b_1)^2

Esta identidad puede probarse de forma directa realizando las operaciones o de otra forma más corta. A ver quién la comenta.

Con esto sólo hace falta comprobar el resultado para números primos. Además, como cada potencia de 2 es un cuadrado o la suma de dos cuadrados se tiene que el tema se reduce a demostrar el resultado para primos impares.

La idea de la demostración en este punto es clasificar los números primos impares en dos grandes grupos: los que son congruentes con 1 módulo 4 y los que son congruentes con 3 módulo 4. Después se demuestra el teorema para cada uno de los grupos y se completa con ello la demostración. Podéis verla en esta web, donde además tenéis algunos applets en java para calcular la descomposición de un número como suma de cuatro cuadrados. Aquí podéis ver uno de ellos.

Como decíamos antes este resultado se conoce desde los tiempos de Diofanto (siglo III a.C.), pero la primera demostración conocida es de Lagrange en 1770. Algo después, en 1798, Legendre mejoró el resultado demostrando que un número entero positivo puede expresarse como suma de tres cuadrados si y sólo si ese número no es de la forma 4^k (8m+7). Aunque en principio la prueba estaba incompleta el hueco que contenía fue rellenado por Gauss poco después.

En 1834 Jacobi encontró el número exacto de formas en las que se puede expresar un número entero positivo n como suma de cuatro cuadrados. Este número es 8 veces la suma de los divisores de n si n es impar y 24 veces la suma de los divisores impares de n si n es par.

Una de las generalizaciones de este teorema es teorema de los números poligonales de Fermat que básicamente dice que todo número entero positivo puede ser expresando como suma de, como mucho, 3 números triangulares, 4 números cuadrados, 5 números pentagonales, etc. Gauss demostró el resultado para números triangulares y Cauchy demostró el resto.

Otra de las generalizaciones es la siguiente: dados números naturales a,b,c,d podemos resolver la ecuación n=ax_1^2+bx_2^2+cx_3^2+dx_4^2 para todo n siendo x_1,x_2,x_3,x_4 enteros?

Como puede verse el teorema de los cuatro cuadrados es un caso particular de este hecho: el caso a=b=c=d=1. La solución general de este problema fue dada por Ramanujan:

Si asumimos, sin pérdida de generalidad, que a \le b \le c \le d entonces hay exactamente 54 elecciones de a,b,c,d tal que la ecuación anterior puede resolverse en enteros x_1,x_2,x_3,x_4 para todo n (en realidad Ramanujan dio una elección más, a=1,b=2,c=d=5, pero en este caso la ecuación no tiene solución para n=15).

Autor: ^DiAmOnD^ | Publicado el 17 de Septiembre de 2007 | 6 Comentarios
Categorías: Números enteros, Números primos, Teoremas

Curiosidades del número 252

En Gaussianos ya hemos visto alguna vez que ciertos números poseen cualidades, digamos, curiosas (por ejemplo el 142857 y el 153). Vamos a ver algunas del número 252 que nos comenta merfat en Tres Decas y a contestar a alguna de sus preguntas:

  1. Es un número palíndromo o capicúa
  2. Escrito en una calculadora o en un reloj digital se lee igual si lo giramos 180º
  3. Es el menor número que puede escribirse a la vez como suma de 3, de 7, de 8 y de 9 números naturales consecutivos:

    252=83+84+85
    252=33+34+35+36+37+38+39
    252=28+29+30+31+32+33+34+35
    252=24+25+26+27+28+29+30+31+32

  4. Es suma de 6 números primos consecutivos:

    252=31+37+41+43+47+53

  5. Su cuadrado es también muy curioso:
    252 \cdot 252=63504=144 \cdot 441=12^2 \cdot 21^2
  6. En el post original merfat nos reta a que escribamos el 252 como suma de 4 cuadrados de dos formas distintas. Vamos a expresarlo como suma de 4 cuadrados de varias formas más:

    252=1^2+7^2+9^2+11^2
    252=2^2+4^2+6^2+14^2
    252=2^2+2^2+10^2+12^2
    252=1^2+1^2+9^2+13^2
    252=1^2+1^2+5^2+15^2
    252=4^2+6^2+10^2+10^2
    252=6^2+6^2+6^2+12^2

    Así a bote pronto no se me ocurren más. Si tenéis alguna vosotros escribidla en un comentario.

Y dejo una de las preguntas de merfat para vosotros: ¿qué ángulo forman las manecillas del reloj cuando éste marca las 2:52?

Autor: ^DiAmOnD^ | Publicado el 10 de Septiembre de 2007 | 40 Comentarios
Categorías: Curiosidades, Números enteros

Fracción egipcia

Se denomina fracción egipcia a la expresión de un número racional como suma de fracciones unitarias distintas, es decir, de fracciones de numerador 1 y cuyos denominadores sean enteros positivos distintos.

Se puede demostrar que cualquier número racional positivo puede escribirse como fracción egipcia. Esta demostración está relacionada con la divergencia de la serie armónica.

Vamos a ver un algoritmo mediante el cual podemos representar cualquier número racional R entre 0 y 1 como fracción egipcia. Supongamos que tenemos una fracción así:

Fracción R

El algoritmo consiste en lo siguiente:

1.- Encontrar la fracción unitaria más cercana a R pero menor que él. El numerador será siempre 1 y el denominador será el cociente de la división de b entre a más 1. Si en alguna de esas divisiones no hay resto R es que hemos llegado a una fracción unitaria y por tanto hemos terminado.
2.- Calcular la resta R menos esa fracción unitaria y aplicar de nuevo el paso 1 utilizando la diferencia entre las dos fracciones como el nuevo R.

Vamos a ver un ejemplo:

Ejemplo de fracción egipcia

La representación de un número racional entre 0 y 1 no es única. De hecho, por ejemplo, esta misma fracción se puede representar de una manera más sencilla:

Fracción más sencilla

Otro ejemplo de esta falta de unicidad es el siguiente:

- Mediante este método obtenemos

Otro ejemplo con el método

- Pero de otras formas podemos obtener una expresión más sencilla de esta fracción

El otro ejemplo más sencillo

Las fracciones unitarias ya aparecían en el Papiro de Rhind. Por ello se le denominan fracciones egipcias.

Y para terminar un reto: encontrar una fracción con una expresión sencilla como suma de fracciones unitarias pero que tenga una expresión ciertamente complicada con el método que hemos expuesto. Esto es, un ejemplo del estilo al último que hemos puesto.

Fuentes:

Autor: ^DiAmOnD^ | Publicado el 26 de Febrero de 2007 | 10 Comentarios
Categorías: Curiosidades, Números enteros

Número de Friedman

Un número entero se denomina número de Friedman si puede escribirse de forma no trivial combinando sus dígitos y las operaciones aritméticas básicas (+,-,*,/), los paréntesis, la concatenación y las potencias

Estos números pueden encontrarse en cualquier base de numeración, pero nosotros sólo vamos a hablar de números de Friedman en base 10.

Los primeros números de Friedman son:

25, 121, 125, 126 , 127, 128, 153, 216, 289, 343, 347, 625, 688, 736, 1022, 1024, 1206, 1255, 1260, 1285, 1296, 1395, 1435, 1503, 1530, 1792, 1827, 2048, 2187, 2349, 2500, 2501, 2502, 2503, 2504, 2505, 2506, 2507, 2508, 2509, 2592, 2737, 2916, 3125, 3159

¿Cómo obtenerlos? Veamos algunos:

25=52
121=112
126=21*6
127=27-1

Cuando decimos de forma no trivial nos referimos principalmente a que no podemos utilizar los paréntises de esta forma:

21=(21)

y a que no podemos utilizar ceros a la izquierda. Es decir:

001729=1700+29

no es válido.

Hay muchas curiosidades sobre este tipo de números. Aquí tenéis algunas de ellas:

  • Parece ser que el número 9999999 es el más pequeño número de Friedman que tiene todos sus dígitos iguales. La forma de conseguirlo es:

    99999999=(9+9/9)9-9/9-9/9

  • Todo número con 24 o más cifras que las tenga todas iguales es un número de Friedman.
  • Los números de Friedman simpáticos son los que pueden obtenerse con las operaciones comentadas anteriormente con la condición de que los dígitos aparezcan en el mismo orden que en el propio número. El más pequeño número de Friedman simpático es el 127=-1+27.
  • Al parecer gran parte de los números de Friedman son compuestos. El primer número de Friedman primo es, precisamente, el 127. De todas formas está comprobado que hay infinitos números de Friedman primos.
  • Los números 123456789 y 987654321 son números de Friedman. La forma de conseguirlos es la siguiente:

    123456789=((86+2*7)5-91)/34
    987654321=(8*(97+6/2)5+1)/34

En la web de Erich Friedman (enlace más abajo) teneís mucha más información sobre estos números.

Fuentes:

Otros artículos sobre números en Gaussianos:

Autor: ^DiAmOnD^ | Publicado el 19 de Febrero de 2007 | 8 Comentarios
Categorías: Números enteros

La conjetura de Catalan

Como todos sabemos 23=8 y 32=9. Es decir, tenemos dos potencias de números naturales que dan como resultado dos números naturales consecutivos. Intentemos buscar algún otro caso éste. Si vamos probando vemos que con números relativamente pequeños no encontramos ninguno. Pero siempre podría darse una situación así para números más grandes.

En 1844 el matemático belga Eugène Charles Catalan conjeturó que no es posible encontrar otro ejemplo como el comentado al principio. Esta conjetura, denominada conjetura de Catalan, puede formularse de la siguiente forma:

La ecuación xa-yb=1, para x,y,a,b > 1, tiene como única solución la siguiente: x=3, y=2, a=2, b=3

Pero ya sabemos lo que pasa con las conjeturas, que hasta que no se demuestran no puede saberse si son ciertas (ya vimos que, por ejemplo, la conjetura de Polya y la conjetura de Euler resultaron falsas mientras que el último teorema de Fermat resultó cierto). Y para saberlo debemos encontrar una demostración de la misma o un contraejemplo que la refute.

¿Existe alguna demostración de la conjetura o algún contraejemplo que nos diga que es falsa? La respuesta es sí. Y la conjetura resultó…¡¡cierta!!. El matemático rumano-alemán Preda Mihăilescu la demostró en 2002, por lo que la conjetura pasó a llamarse teorema de Mihăilescu.

Y para terminar comentar que Catalan no sólo es famoso por su conjetura. Sus trabajos versan sobre fracciones continuas, geometría descriptiva, teoría de números y combinatoria. Entre todos esos trabajos podemos destacar los números de Catalan y los poliedros de Catalan.

Fuentes:

Autor: ^DiAmOnD^ | Publicado el 8 de Febrero de 2007 | 9 Comentarios
Categorías: Números enteros, Teoremas

Sumando números impares

En Gaussianos ya hemos hablado del principio de inducción en alguna ocasión. En este post vamos a ver una curiosa propiedad de los números naturales y vamos a demostrarla por este método.

Comencemos volviendo a enunciar el principio de inducción:

Supogamos que tenemos un subconjunto A de números naturales que verifica lo siguiente:
1.- 0 pertenece a A
2.- Si k pertenece a A entonces k+1 pertenece a A
Entonces A es el propio conjunto N de los números naturales

Si cambiamos 0 por cualquier otro número natural, digamos m, en el punto 1.- obtendríamos que el conjunto A sería exactamente el subconjunto de los números naturales cuyo elemento mínimo es m. Por ejemplo, si m=4 y se cumplen 1.- y 2.- entonces A={4,5,6,7,…}.

En esta ocasión volveremos a utilizarlo de la misma forma que se hizo en el post que enlazamos en el primer párrafo, pero comenzando en 1: si nuestra propiedad se cumple para el 1 y en el caso de que se cumpla para cierto número natural n entonces se cumple para n+1 se tiene que se cumple para todos los números naturales a partir del 1.

Vamos ahora con la propiedad de la que hablamos al comienzo:

(Leer el resto del post)

Autor: ^DiAmOnD^ | Publicado el 31 de Enero de 2007 | 10 Comentarios
Categorías: Demostraciones, Números enteros

La conjetura de Euler

En Gaussianos ya hemos hablado unas cuantas veces de Leonhard Euler (véanse, por ejemplo, la identidad de Euler y el problema de Basilea). Es uno de los matemáticos más grandes de la historia, y el que más publicaciones matemáticas tiene a su nombre. Se interesó por muchas de las ramas de las matemáticas y realizó aportaciones a muchas de ellas. Pero todo esto no le da fiabilidad total. Veamos cómo los genios también se equivocan.

Esta conjetura de Euler está inspirada en el último teorema de Fermat. Este resultado dice que xn+yn=zn no tiene soluciones enteras positivas cuando n > 2. El resultado que Euler propuso en 1769 puede formularse de la siguiente forma:

No existen n-1 números tal que sus potencias n-ésimas suman otra potencia n-ésima

Esta afirmación dice que, por ejemplo, las siguientes ecuaciones no tienen soluciones enteras positivas:

a4+b4+c4=d4

a5+b5+c5+d5=e5

La relación con el último teorema de Fermat se ve claramente…pero a diferencia de éste la conjetura es falsa. En 1966 Lander y Parkin encontraron el siguiente contraejemplo:

275+845+1105+1335=1445

Es decir, la conjetura es falsa ya que hemos encontrado un contraejemplo para un cierto n, n=5 concretamente. Pero podría ser cierta para n=4. En 1986 Noam Elkies se encargó de refutar la conjetura también para este n encontrando el siguiente contraejemplo mediante un método construido por él mismo:

26824404+153656394+187967604=206156734

En 1988 Roger Frye, usando las técnicas sugeridas por Elkies, encontró el contraejemplo más pequeño para n=4:

958004+2175194+4145604=4224814

En esta página se publican los ejemplos que van encontrando que cumplen alguna de las ecuaciones de este tipo. En esta sección podéis ver algunos. Son los que tienen delante un (n,1, n-1).
Por ejemplo, en marzo de 2006 encontraron el siguiente contraejemplo bestial:

224955952840404+75924319813914+272397916926404=299998579386094

Por tanto aquí tenemos otro ejemplo de conjetura que tiempo después acaba resultando falsa (véase la conjetura de Polya).

Fuente: Math is Good For You

Autor: ^DiAmOnD^ | Publicado el 16 de Enero de 2007 | Comments Off
Categorías: Historia, Números enteros

Número de Dudeney

Hace ya tiempo hablamos de una lista de tipos de números, en la cual se exponían un montón de tipos de números.

Hoy toca explicar uno que me he encontrado de casualidad en la wikipedia, el número de Dudeney.

Este es un número entero que es un cubo perfecto y, a su vez, la suma de los dígitos que componen dicho número da como resultado la raíz cúbica de dicho número. El nombre viene de Henry Dudeney, que observó la existencia de estos números en uno de sus rompecabezas.

En la siguiente tabla se muestran algunos, supongo que habrá más, de estos números:

Cubo perfecto Suma de sus dígitos
1 = 1 x 1 x 1 1 = 1
512 = 8 x 8 x 8 8 = 5 + 1 + 2
4913 = 17 x 17 x 17 17 = 4 + 9 + 1 + 3
5832 = 18 x 18 x 18 18 = 5 + 8 + 3 + 2
17576 = 26 x 26 x 26 26 = 1 + 7 + 5 + 7 + 6
19683 = 27 x 27 x 27 27 = 1 + 9 + 6 + 8 + 3

(Vía Wikipedia)

Autor: Fran | Publicado el 9 de Enero de 2007 | 14 Comentarios
Categorías: Curiosidades, Números enteros

La conjetura de Collatz

Elijamos un número natural, digamos n, y realicemos los siguientes cálculos:

  • Si n es par dividámoslo por 2
  • Si n es impar multipliquémoslo por 3 y sumémosle 1 al resultado

Con el número obtenido repitamos el proceso, y así sucesivamente. Hagámoslo con un ejemplo:

n = 6

La secuencia que obtenemos es:

6, 3, 10, 5, 16, 8, 4, 2, 1

Vemos que en unos cuantos pasos hemos llegado al número 1. Pues eso mismo es lo que dice la conjetura de Collatz (también conocida como conjetura 3n + 1, conjetura de Ulam o problema de Siracusa):

Conjetura de Collatz

Para cualquier número natural n realicemos los siguientes cálculos:

  • Si n es par dividámoslo por 2
  • Si n es impar multipliquémoslo por 3 y sumémosle 1 al resultado

Repitiendo el proceso con los números obtenidos la secuencia siempre acabará en 1

Ya hemos visto la secuencia que obtenemos comenzando por 6. Si escogemos n = 11 obtenemos:

11, 34, 17, 52, 26, 13, 40, 20, 10, 5, 16, 8, 4, 2, 1

Una secuencia algo más larga, pero que también termina en 1. Y con n = 27, un número ciertamente pequeño, obtenemos una secuencia considerablemente grande: 111 pasos

27, 82, 41, 124, 62, 31, 94, 47, 142, 71, 214, 107, 322, 161, 484, 242, 121, 364, 182, 91, 274, 137, 412, 206, 103, 310, 155, 466, 233, 700, 350, 175, 526, 263, 790, 395, 1186, 593, 1780, 890, 445, 1336, 668, 334, 167, 502, 251, 754, 377, 1132, 566, 283, 850, 425, 1276, 638, 319, 958, 479, 1438, 719, 2158, 1079, 3238, 1619, 4858, 2429, 7288, 3644, 1822, 911, 2734, 1367, 4102, 2051, 6154, 3077, 9232, 4616, 2308, 1154, 577, 1732, 866, 433, 1300, 650, 325, 976, 488, 244, 122, 61, 184, 92, 46, 23, 70, 35, 106, 53, 160, 80, 40, 20, 10, 5, 16, 8, 4, 2, 1

Imaginad las secuencias que obtendríamos con números grandes.

Este resultado sigue siendo una conjetura ya que no se tiene demostración alguna de su veracidad ni nadie ha encontrado ni contraejemplo ni demostración que demuestre su falsedad. Se ha comprobado que para números hasta 258 la secuencia siempre acaba en 1, es decir, la conjetura es cierta para esos números, pero eso no nos sirve como demostración. Sólo nos podría servir para intuir que podría ser cierto, pero la intuición a veces puede fallar, y si no recordar el caso de la conjetura de Polya.

Si alguien se atreve con el problema y obtiene algún resultado interesante que no dude en comunicárnoslo.

Fuente: Wikipedia (inglés): Collatz conjecture

Actualización: Dos apuntes interesantes:

  • Interesante forma de atacar el problema la propuesta por Asier. Puede que desarrollándola no se llegue a nada concluyente, pero es bastante original.
  • Enric ha creado un programa para calcular las sucesiones de números que aparecen al comenzar por cualquier número. Tenéis que entrar aquí y escribir http://www.enric.es/php/conjetura-collatz/?f=número-que-queráis. Hasta 1000000000000 lo da bien. A partir de ahí llega al ciclo 4, 2, 1 y lo repite indefinidamente. Y 2000000000010 es el último número para el que ocurre eso. A partir de ahí aparecen números tan grandes que el programa muestra INF de forma indefinida. De todas maneras es muy interesante.

Autor: ^DiAmOnD^ | Publicado el 29 de Noviembre de 2006 | 30 Comentarios
Categorías: Números enteros

Anterior

Siguiente