El número 26 es el único número natural que está situado entre un cuadrado () y un cubo ().
Al parecer fue Fermat quien demostró dicho resultado, pero en el post donde dábamos cuenta de esta característica del 26 no se daba ninguna prueba de este hecho. Fue Juanbuffer quien aportaba en un comentario un pdf con una demostración del mismo (que si no recuerdo mal no estaba en español). Por desgracia parece que ya no se puede acceder a dicho documento (al menos yo no puedo). Por este motivo me puse a buscar…y la he encontrado. Mi admirado Carlos Ivorra es quien me ha proporcionado dicha prueba. Bueno, en realidad no sé si es suya, pero aparece en uno de los libros en formato pdf que tiene disponibles en su web: Teoría de Números.
Como ya hemos comentado alguna vez, Leonhard Euler es el matemático más prolífico de la historia. Podemos encontrar su nombre en casi todas las ramas de las matemáticas, desde álgebra hasta análisis complejo, pasando por geometría y topología. Pero cuanto más indaga uno en sus trabajos más se sorprende. Por más que pensemos que conocemos los trabajos de Euler siempre aparece por sorpresa con un tema nuevo que nos era ajeno. Esto mismo es lo que me ha pasado a mí hace unos días. Y, cómo no, os lo voy a contar.
Numeri idonei
En una carta dirigida al físico suizo Nicolas Béguelin, Euler comentaba lo siguiente:
Todos los números contenidos de una sola forma en son primos o dobles de primos donde e son primos entre sí. He observado que otras expresiones similares de la forma gozan de la misma propiedad dando a la letra valores convenientes.
Esto es, todo número que puede expresarse de una única forma como , para e primos relativos, es primo o el doble de un primo. En particular, todo número impar que pueda expresarse de una única forma en el sentido anterior es primo.
Pero aún hay más. No sólo sirve una expresión del tipo , sino que existen ciertos valores de tales que una expresión del tipo cumple la misma propiedad. A estos valores de es a los que se les llama numeri idonei (números convenientes o números idóneos en español y suitable numbers o idoneal numbers en inglés).
Al menos esta era la definición inicial de número idóneo. Pero esta forma de definir este tipo de números presenta algunos problemas. Por ejemplo, es un número idóneo (lo veremos más adelante) y para él se cumple que:
es la única representación del número 9 como . Pero como todos sabemos 9 no es primo, aunque sí es potencia de un primo, ya que . Por tanto deberíamos decir que es un número idóneo si todo número impar que pueda expresarse de una única forma como es primo o potencia de un primo, pero se puede afinar un poco más para eliminar esta nueva posibilidad, esto es, que el número sea una potencia de un número primo (en el primer enlace de las fuentes podéis ver algunas de las condiciones que se podemos añadir a la definición para evitar esto).
Conociendo un poco la forma de trabajar de Euler cualquiera puede imaginar que no se quedó ahí, que sus investigaciones sobre este tema no terminaron en el establecimiento de la definición de este tipo de números. Sabiendo de su carácter indagador uno tiende a pensar que intentó profundizar más en el asunto. Y teniendo un poco de información sobre sus logros no es difícil convencerse de que lo hizo, y muy profundamente. Pues sí, así fue. Euler elaboró una lista de números idóneos. Es la siguiente:
En total 65 números que Euler comprobó que eran idóneos (en el sentido comentado anteriormente). De hecho indagó más: utilizó esta lista para construir números primos hasta de ocho cifras.
Llegados a este punto lo más lógico es que nos hagamos la siguiente pregunta: ¿es infinito el conjunto de números idóneos? La respuesta es no. En 1934, el matemático Sarvadaman Chowla demostró que el conjunto de números idóneos es finito.
Sabiendo esto nos surge otra cuestión: ¿hay más números idóneos aparte de los encontrados por Euler? Por desgracia para esta pregunta todavía no hay respuesta, aunque sí se tienen datos. Concretamente se sabe que como mucho existe un número idóneo más, aparte de los que se encuentran en la lista. Y que si este último número idóneo en realidad existe, debe ser mayor que 100000000.
Mayor número primo encontrado con los números idóneos
Hemos comentado antes que Euler utilizó estos números para encontrar números primos relativamente grades (hasta ocho cifras). El mayor número primo que encontró Euler con esta téctica fue . Para demostrar que este número de ocho cifras es primo habría que comprobar que la única solución de la ecuación
Numeri idonei en la Enciclopedia de las secuencias de números enteros, donde además podréis encontrar un código para Mathematica que genera todos los números idóneos hasta 10000.
Un polígono convexo es un polígono que cumple que todos sus ángulos interiores miden menos de 180º. De forma más intuitiva, un polígono es convexo cuando todos sus vértices están apuntando hacia el exterior del polígono. Por ejemplo, el siguiente polígono es convexo
pero éste no lo es
Según esta definición es evidente que todos los polígonos regulares (triángulo equilátero, cuadrado, pentágono regular…) son convexos.
Bien, aclarado este punto vamos a realizar un experimento con estos polígonos regulares. Lo que vamos a hacer es dividir cada uno de ellos en triángulos trazando diagonales que no se corten entre si. Y vamos a contar de cuántas formas podemos hacer esa subdivisión para cada uno de los polígonos.
Tomemos el primer polígono regular en lo que a número de lados se refiere, el triángulo equilátero. Está claro que en un triángulo equilátero no se puede trazar ninguna diagonal, pero como la propia figura es un triángulo digamos que ya tendríamos el polígono dividido en triángulos. Esto es, el número de formas en las que podemos dividir un triángulo equilátero en triángulos trazando diagonales de la forma descrita antes es .
Pasamos al siguiente, el cuadrado. En él podemos trazar dos diagonales que lo dividen en triángulos
Por ello, el número de formas en las que podemos dividir el cuadrado en triángulos como se comentó antes es .
El siguiente es el pentágono. En este caso cada forma de dividirlo en triángulos así consiste en trazar dos diagonales que no se corten. Estas son las formas.
Con el hexágono el número de diagonales a trazar es tres por vez. Nos quedan las siguientes formas de dividir un hexágono regular como hemos dicho antes:
Con un heptágono obtendríamos formas, con un octógono , y así sucesivamente…Un momento, ¿cómo que y así sucesivamente? Hemos obtenido la siguiente sucesión de números:
A la vista de estos elementos no parece que sea muy evidente cómo encontrar el siguiente término. La sucesión de números obtenida más bien parece aleatoria, casual, sin ningún interés…
La pregunta está clara:
¿Aparecen estos números en algún otro sitio? ¿Tienen algo de interés?
Este artículo es una colaboración enviada por fede a gaussianos (arroba) gmail (punto) com.
Introducción
Un número primo de la forma es suma de los cuadrados de dos números enteros. Además la representación es única si .
Como , la representación anterior da una factorización de un primo natural en el anillo de los enteros gaussianos. Además los factores y son primos en ese anillo.
Este post describe cómo obtener los enteros que son solución de .
La demostración de Zagier de que un primo de la forma es suma de dos cuadrados tampoco da un método práctico para encontrar la solución, ni las de Euler, Lagrange o Dedekind.
Tampoco la fórmula explícita de Gauss
es útil para calcular los valores de e .
Sin embargo existe un algoritmo muy simple para obtener la solución. Podemos describirlo de la siguiente forma:
Obtenemos un tal que , es decir, .
A continuación aplicamos el algoritmo de Euclides a . El primer resto que encontramos menor que es el valor de y el resto anterior es el valor de .
El algoritmo se deriva de las demostraciones de Serret, Hermite y H.J. Smith, las primeras publicadas en el “Diario de Liouville” en 1848 y la última en el “Diario de Crelle” en 1855.
Calculadora de las componentes de los factores
Podéis probar el algoritmo introduciendo un primo en la casilla de abajo. Para encontrar primos de algunos centenares de dígitos, podéis copiar y pegar en la casilla de abajo primos cuyas 2 últimas cifras sean de la forma desde las páginas de “Prime Curios!”.
Paso
Resultado
Duración
1. Validación de entrada
2. Busca no-residuo
3. Calcula raíz de -1
4. Alg.Euclides sobre p/r
5. Comprobación
x =
y =
Resultados completos:
Descripción de la calculadora
El paso 1 sólo verifica que el número introducido sea de la forma 4k+1.
Los dos siguientes pasos sirven para obtener , y están basados en los resultados de la teoría elemental de residuos cuadráticos.
En el paso 2 se busca un no-residuo cuadrático (es decir, un número que no sea un cuadrado ). Como la mitad de los números menores que son no-residuos, y es rápido determinar si un número es o no un residuo cuadrático (calculando el símbolo de Jacobi), probando con números al azar podemos obtener rápidamente un no-residuo cuadrático.
Sin embargo no está demostrado (todavía) que exista algoritmo determinista en tiempo polinomial para obtener un no-residuo cuadrático.
La implementación devuelve el menor no-residuo, si éste es menor que 2000.
Una vez que tenemos un no-residuo , en el paso 3 se obtiene .
Por el criterio de Euler para residuos cuadráticos, .
Que el paso 4 nos da la solución se justifica por el teorema de Serret:
Si , la lista de cocientes parciales del desarrollo en fracción continua de es simétrica (omando la lista de longitud par, lo que siempre es posible porque ).
Por ser simétrica la fracción continua, los restos que se obtienen al aplicar el algoritmo de Euclides a son los numeradores de los convergentes parciales (en orden inverso) y por tanto no hace falta calcular los numeradores de dichos convergentes parciales. Basta con aplicar el algoritmo de Euclides a hasta que obtengamos un resto menor que .
Por último, en el paso 5 se comprueba si los valores obtenidos cumplen . Si no se cumple la igualdad, se concluye que el número introducido no es primo (y los valores de no serán, en general, correctos).
El teorema de Serret se demuestra fácilmente usando la relación entre numeradores y denominadores de los convergentes parciales consecutivos y las reglas de formación de esos numeradores y denominadores. De ese teorema se obtiene una demostración de que un primo de la forma es suma de dos cuadrados, que pertenece al grupo de demostraciones que parten de que, para un primo de esa forma, -1 es un cuadrado
En cambio la demostración de H.J. Smith que exponemos a continuación no hace uso de este hecho.
La demostración de H.J. Smith
Usamos la notación para representar la fracción continua finita cuyos cocientes parciales son . Designamos con el numerador de la fracción .
Como , asumimos que el último cociente es siempre mayor que 1.
De esta última igualdad se concluye que si es mayor que 1 (y hay más de un cociente), no es primo.
Para un primo de la forma , sea el conjunto de las fracciones , desarrolladas en fracción continua.
En el desarrollo en fracción continua de se tiene que , porque , y porque asumimos que el último cociente es mayor que 1.
La función asocia a cada elemento de otro elemento de , porque el numerador de una fracción continua no se altera si se invierte el orden de los cocientes y el denominador es un número menor que , porque .
La función es entonces una involución de .
Si , el número de elementos de es , un número impar, y entonces tiene por lo menos un punto fijo, es decir, existe un que da una fracción continua simétrica (por la observación (2) anterior, el número de cocientes ha de ser par porque es primo).
Entonces es suma de 2 cuadrados por la observación (1) anterior.
El conjunto de los números enteros es un conjunto numérico bien conocido por todos nosotros. Y, aunque seguro que en menor medida, también lo es el conjunto de los números complejos, conjunto numérico muy interesante y muy útil en gran cantidad de problemas relacionados con muchas ramas de las matemáticas.
¿Qué ocurriría sin mezclamos las dos definiciones de estos conjuntos? Me explico:
¿Tendrá alguna utilidad considerar el conjunto de los números complejos cuyas partes real e imaginaria son números enteros?
No habría sido extraño que fuera algo así lo que pensó Gauss al introducir este conjunto en 1832 (aunque en realidad su motivación fue el estudio sobre sumas de cuadrados). Y la verdad es que acertó (como muchas otras veces). Encontró un conjunto realmente especial. Vamos a hablar un poco sobre él y sobre sus interesantes y curiosas propiedades. (Leer el resto del post)
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Introducción
La familia de los números naturales es muy grande, inmensa. En ella conviven infinitos (y numerables, es decir, contables) miembros que, aunque pueda parecer curioso tratándose de una familia, nunca nacieron y nunca morirán. Siempre han estado ahí y ahí continuarán.
Todos ellos son importantes y también todos ellos pueden ser útiles en cierto momento. En el transcurso de nuestro viaje por este camino temporal llamado vida nos encontramos (y nos seguiremos encontrando) con muchos de ellos. Bien es cierto que habitualmente toparemos con miembros más bien pequeños, de bajo valor númerico (aunque esto no significa que tengan poco valor). Pero de vez en cuando asistiremos a la aparición de algún miembro cuyo peso como número tiene cierta entidad.
Pero al fin y al cabo nuestra existencia es finita, terminará. Este hecho unido al carácter infinito de los números naturales hace que resulte imposible encontrarse con todos, que sea inviable conocer a todos los miembros de esta familia.
Uniendo estos dos hechos (generalmente nos encontraremos con números relativamente pequeños y nos es imposible conocerlos a todos en persona) es evidente que muchos números grandes quedarán fuera de nuestro alcance en el sentido de que no tendremos el placer de tenerlos delante.
Posiblemente los tres números que os voy a presentar hoy pertenezcan a estos últimos. Bueno, puede que el primero de ellos, por estar relacionado con un juego de mesa muy popular, sí sea conocido por vosotros, pero estoy convencido de que muchos de los que leáis este artículo añadiréis al menos dos números más a vuestra lista mental de miembros conocidos de la familia de los números naturales. (Leer el resto del post)
Hoy os traigo un tipo de números curiosos tanto por su definición como por la historia de su denominación: los números de Smith.
Vamos con la definición de este tipo de números:
Un número de Smith es un número natural compuesto que cumple que la suma de sus dígitos es igual a la suma de los dígitos de todos sus factores primos (si tenemos algún factor primo repetido lo sumamos tantas veces como aparezca).
Con esta definición es sencillo ver que el primer número de Smith es el :
Y el siguiente es el :
Pero hay muchos más, de hecho hay infinitos números de Smith. Otro ejemplo, esta vez con un número más grande, :
Los números de Smith fueron presentados por el matemático Albert Wilanski en 1982. Pero, ¿por qué no llevan su nombre? Muy sencillo. Al parecer el número de teléfono de teléfono del cuñado de Wilanski era 493-7775 y Albert se dio cuenta de que el número es un número de este tipo:
El nombre de este tipo de números se debe a que el cuñado de Wilanski (que no tenía nada que ver con las matemáticas) se llamaba Harold Smith. Se vuelve a cumplir la sentencia de Klein.
En el momento en el que aparecieron los números de Smith éste era el mayor número de este tipo conocido. Pero a partir de aquí comenzaron a aparecer artículos dando propiedades y ejemplos mayores que el citado . Por ejemplo, en 1983 Oltikar y Wayland descubrieron que si es un número primo repuit (es decir, con todos sus dígitos iguales a uno), entonces el número es un número de Smith. Pero no es el único caso. Descubrieron muchos más números tales que multiplicados por un repunit primo dan siempre un número de Smith. Por ejemplo los números $1540, 1720, 2170, 2440, 5590$ y también tienen esa propiedad. En la sucesión-pedia tenéis la lista de los mismos.
En 1984 Pat Costello encontró 75 nuevos números de Smith de la forma , siendo un primo pequeño y un primo de Mersenne. El mayor de ellos (con 65319 dígitos) fue el siguiente:
En 1986 se presentó otro método distinto para generar números de Smith con el que se encontró, por ejemplo, el siguiente número de Smith:
Pero no fue el único Se encontraron números realmente colosales, por ejemplo un número de Smith con 2592699 dígitos.
Pero fue en 1987 cuando se produjo el descubrimiento más importante sobre este tipo de número. Wayne Mc Daniel descubrió que hay infinitos números de Smith. De hecho descubrió más cosas. Introdujo los k-números de Smith, que son los que cumplen que la suma de los dígitos de los factores primos es el producto de por la suma de los dígitos del número y demostró que los k-números de Smith son infinitos, para todo .
En este mismo año también se definieron los números de Smith palindrómicos (es decir, capicúas), como el , o los hermanos de Smith, que son parejas de números de Smith consecutivos, como el y el o el y el . A partir de esto se han descubierto tripletes de Smith (por ejemplo, y ), conjuntos de cuatro consecutivos (el más pequeño de este tipo es el formado por los números y ), y así sucesivamente.
Para terminar os dejo la lista de números de Smith de la sucesión-pedia y el mayor número de Smith conocido hasta la fecha:
donde es el primo repunit compuesto por 1031 unos.
Fuentes:
La maravilla de los números, de Clifford A. Pickover.
Fascinating Smith Numbers: Sección de la web de Shyam Sunder Gupta con mucha información sobre los números de Smith.
Este artículo es una colaboración enviada por fede a gaussianos (arroba) gmail (punto) com.
Este post sobre una curiosa propiedad de determinadas particiones en dos conjuntos de algunos conjuntos finitos de números me recordó una curiosa propiedad de cualquier partición en dos conjuntos infinitos del conjunto de todos los números naturales que leí en algún libro de Honsberger.
Sea una secuencia cualquiera no decreciente,esto es, , de enteros no negativos.
La función que da el número de términos de la secuencia que son menores o iguales que , define una nueva secuencia no decreciente de enteros no negativos que para la secuencia anterior resulta ser
A esta segunda secuencia, cuyos términos cuentan los términos de la primera menores o iguales que , la llamamos secuencia contadora de la primera secuencia.
Como la secuencia contadora es una secuencia no decreciente de no negativos, podemos obtener a su vez la secuencia contadora de esta secuencia contadora y así sucesivamente.
Pero sucede que:
Dada cualquier secuencia no decreciente de enteros no negativos, la secuencia contadora de la secuencia contadora es la secuencia inicial.
La curiosa conexión con las particiones de números está en:
Si tomamos dos secuencias de forma que una sea la secuencia contadora de la otra, y sumamos vectorialmente a cada una de ellas la secuencia de todos los naturales , resulta una partición de los números naturales.
En el caso de las secuencias anteriores y resulta la partición:
Recíprocamente, si partimos en dos subconjuntos infinitos el conjunto de todos los naturales y restamos la secuencia de los naturales de las dos secuencias resultantes de la partición, obtenemos dos secuencias no decrecientes de enteros no negativos que son cada una contadora de la otra.
Los resultados anteriores tienen una demostración visual sin palabras, debida a Dijkstra.
Si busca, el lector encontrará representadas en la figura adjunta las 4 secuencias que hemos usado como ejemplo:
y la secuencia , de los números naturales.
Y, tras unos momentos de reflexión, verá que la posibilidad de construir una figura análoga para cualquier partición en dos de los naturales da una demostración de los hechos anteriormente expuestos.
El lunes pasado, en el post donde se desarrollaba un método para resolver ecuaciones diofánticas lineales, comentábamos la existencia de un método para el cálculo del máximo común divisor que no desarrollamos. Dicho método se atribuye a Euclides y este post va a servir para presentarlo.
El algoritmo de Euclides
El problema inicial es el siguiente:
Encontrar el máximo común divisor entre dos números enteros positivos y .
Todos conocemos el método que se nos enseña en el colegio para ello:
Descomponemos en factores primos los dos números y tomamos los factores comunes a ambos con el menor exponente con el que aparezcan.
Aunque es un método bastante útil y sencillo para conseguirlo que queremos tiene un evidente problema: si los números son muy grandes, o si sus factores primos lo son, la cosa se complica ya que el cálculo de la descomposición se torna bastante tedioso.
Por ello es interesante tener a mano otro método para casos en los que el procedimiento inicial se complique. El llamado algoritmo de Euclides nos servirá.
El algoritmo de Euclides nos dice lo siguiente:
Para calcular el máximo común divisor entre dos números enteros positivos y dividimos el más grande, digamos , entre el más pequeño, digamos . Esta división nos proporcionará un cociente, , y un resto, . Si , entonces . Si no es cero dividimos el divisor, , entre el resto, , obteniendo otro cociente, , y otro resto, . Si , entonces . Si no es cero volvemos a dividir divisor entre resto. Y así sucesivamente.
Esto es, el máximo común divisor entre y es el último resto distinto de cero que obtengamos con el procedimiento anterior.
Si analizamos el algoritmo de Euclides se ve claramente que necesitamos demostrar que el máximo común divisor entre y es igual al máximo común divisor entre y . Así esa igualdad se mantendrá durante todo el proceso y llegaremos a que el último resto distinto de cero es el máximo común divisor de los dos enteros positivos iniciales. Vamos a demostrar este hecho para después ilustrar el algoritmo con un ejemplo:
Teorema:
El máximo común divisor de dos números enteros positivos y , con , coincide con el máximo común divisor de y , siendo el resto que se obtiene al dividir entre .
Demostración:
Sean y . Vamos a demostrar que .
Por definición de máximo común divisor, se tiene que es un divisor tanto de como de . Por tanto y .
Por otro lado, por el algoritmo de la división se tiene que
, con (1)
de donde llegamos a
Por tanto es un divisor de . Como ya teníamos que también es un divisor de entonces debe dividir a su máximo común divisor, esto es, es un divisor de .
Por otro lado, es un divisor tanto de como de . Por ello se tiene que y . Sustituyendo estas dos igualdades en (1) obtenemos lo siguiente:
Por tanto es un divisor de . Como también lo era de debe ser un divisor de su máximo común divisor, es decir, es un divisor de .
Como es un divisor de y es un divisor de no queda otra opción más que . Por tanto el algoritmo de Euclides funciona.
Ejemplos de aplicación del algoritmo
En esta sección del artículo vamos a ver un par de ejemplos de aplicación del algoritmo de Euclides. Vamos con ellos:
Cálculo de
Como hemos explicado antes dividimos el número mayor entre el menor; si el resto no es cero dividimos el divisor entre el resto; y así sucesivamente hasta que llegamos a un punto en el que el resto es cero. Los resultado de las divisiones (expresados como dividendo=divisor · cociente + resto) son:
*
Como marca el *, se tiene que , el último divisor que no es nulo.
Cálculo de
Vamos con el segundo ejemplo, con números más grandes en este caso. Expresamos los resultados parciales de la misma forma que en el ejemplo anterior:
*
Vemos que aunque los números son bastante mayores que los anteriores el número de operaciones necesarias para el cálculo es el mismo. Concluyendo, tenemos que, como marca el *, .
El pasado lunes presentábamos un método de resolución de ecuaciones diofánticas lineales. También vimos que no sólo existen este tipo de ecuaciones diofánticas: dependen de los exponentes de sus variables. Por desgracia cuando los exponentes no son 1 (es decir, cuando no son lineales) no tenemos un procedimiento general para resolverlas. Esto lo sabemos desde 1970, cuando Yuri Matiyasévich consiguió demostrar (después de 20 años de trabajo) que no es posible encontrar un algoritmo que nos diga si una ecuación diofántica tiene soluciones o no las tiene. Este fue uno de los 23 problemas, concretamente el décimo, que David Hilbert propuso en el año 1900.
Después de este mazazo vamos a alegrar un poco el asunto: aunque no tengamos un procedimiento para todas las ecuaciones diofánticas sí que sabemos resolver algunos casos particulares de ellas. El artículo de hoy trata sobre uno de estos casos: la ecuación de Pell. (Leer el resto del post)
) y un cubo (
).
Como ya hemos comentado alguna vez, Leonhard Euler es el matemático más prolífico de la historia. Podemos encontrar su nombre en casi todas las ramas de las matemáticas, desde álgebra hasta análisis complejo, pasando por geometría y topología. Pero cuanto más indaga uno en sus trabajos más se sorprende. Por más que pensemos que conocemos los trabajos de Euler siempre aparece por sorpresa con un tema nuevo que nos era ajeno. Esto mismo es lo que me ha pasado a mí hace unos días. Y, cómo no, os lo voy a contar.
son primos o dobles de primos donde 
e 
son primos entre sí. He observado que otras expresiones similares de la forma 
gozan de la misma propiedad dando a la letra 
valores convenientes.
, para 
cumple la misma propiedad. A estos valores de 
es un número idóneo (lo veremos más adelante) y para él se cumple que:
. Pero como todos sabemos 9 no es primo, aunque sí es potencia de un primo, ya que 
. Por tanto deberíamos decir que 
. Para demostrar que este número de ocho cifras es primo habría que comprobar que la única solución de la ecuación
. ¿Alguien se atreve?
Tomemos el primer polígono regular en lo que a número de lados se refiere, el triángulo equilátero. Está claro que en un triángulo equilátero no se puede trazar ninguna diagonal, pero como la propia figura es un triángulo digamos que ya tendríamos el polígono dividido en triángulos. Esto es, el número de formas en las que podemos dividir un triángulo equilátero en triángulos trazando diagonales de la forma descrita antes es 
.
formas.
formas de dividir un hexágono regular como hemos dicho antes:
formas, con un octógono 
, y así sucesivamente…Un momento, ¿cómo que y así sucesivamente? Hemos obtenido la siguiente sucesión de números:
es suma de los cuadrados de dos números enteros. Además la representación 
es única si 
.
, la representación anterior da una factorización de un primo natural 
en 
y 
son primos en ese anillo.
que son solución de 
, y eso puede funcionar para primos pequeños como 100123456789 y 100987654321, pero no sirve para primos algo más grandes como el 
tal que 
, es decir, 
.
. El primer resto que encontramos menor que 
es el valor de 
, y están basados en los resultados de la teoría elemental de residuos cuadráticos.
(es decir, un número que no sea un cuadrado 
). Como la mitad de los números menores que 
son no-residuos, y es rápido determinar si un número es o no un residuo cuadrático (calculando el símbolo de Jacobi), probando con números al azar podemos obtener rápidamente un no-residuo cuadrático.
.
.
, la lista de cocientes parciales del desarrollo en fracción continua de ![{}[a_0, \ldots, a_n] = [a_0, \ldots, a_n-1, 1]](http://s.wordpress.com/latex.php?latex=%7B%7D%5Ba_0%2C%20%5Cldots%2C%20a_n%5D%20%3D%20%5Ba_0%2C%20%5Cldots%2C%20a_n-1%2C%201%5D&bg=ffffff&fg=000000&s=0 "{}[a_0, \ldots, a_n] = [a_0, \ldots, a_n-1, 1]")
).![p = N[a_0,\ldots,a_h,a_h,\ldots ,a_0] = N[a_0,\ldots,a_h]^2 + N[a_0,\ldots,a_{h-1}]^2](http://s.wordpress.com/latex.php?latex=p%20%3D%20N%5Ba_0%2C%5Cldots%2Ca_h%2Ca_h%2C%5Cldots%20%2Ca_0%5D%20%3D%20N%5Ba_0%2C%5Cldots%2Ca_h%5D%5E2%20%2B%20N%5Ba_0%2C%5Cldots%2Ca_%7Bh-1%7D%5D%5E2%20&bg=ffffff&fg=000000&s=0 "p = N[a_0,\ldots,a_h,a_h,\ldots ,a_0] = N[a_0,\ldots,a_h]^2 + N[a_0,\ldots,a_{h-1}]^2")
.
hasta que obtengamos un resto menor que 
.
. Si no se cumple la igualdad, se concluye que el número 
no serán, en general, correctos).![{}[ a_0, a_1, \ldots, a_n ]](http://s.wordpress.com/latex.php?latex=%7B%7D%5B%20a_0%2C%20a_1%2C%20%5Cldots%2C%20a_n%20%5D%20&bg=ffffff&fg=000000&s=0 "{}[ a_0, a_1, \ldots, a_n ]")
para representar la fracción continua finita cuyos cocientes parciales son 
. Designamos con ![N[ a_0, a_1, \ldots, a_n ]](http://s.wordpress.com/latex.php?latex=N%5B%20a_0%2C%20a_1%2C%20%5Cldots%2C%20a_n%20%5D%20&bg=ffffff&fg=000000&s=0 "N[ a_0, a_1, \ldots, a_n ]")
el numerador de la fracción ![{}[a_0, a_1, \ldots, a_{n-1}, 1 ] = [a_0, a_1, \ldots, a_{n-1} + 1 ]](http://s.wordpress.com/latex.php?latex=%7B%7D%5Ba_0%2C%20a_1%2C%20%5Cldots%2C%20a_%7Bn-1%7D%2C%201%20%5D%20%3D%20%5Ba_0%2C%20a_1%2C%20%5Cldots%2C%20a_%7Bn-1%7D%20%2B%201%20%5D&bg=ffffff&fg=000000&s=0 "{}[a_0, a_1, \ldots, a_{n-1}, 1 ] = [a_0, a_1, \ldots, a_{n-1} + 1 ]")
, asumimos que el último cociente es siempre mayor que 1.![N[a_0, a_1, \ldots, a_n ] = N[a_n, a_{n-1}, \ldots, a_0 ]](http://s.wordpress.com/latex.php?latex=N%5Ba_0%2C%20a_1%2C%20%5Cldots%2C%20a_n%20%5D%20%3D%20%20N%5Ba_n%2C%20a_%7Bn-1%7D%2C%20%5Cldots%2C%20a_0%20%5D%20&bg=ffffff&fg=000000&s=0 "N[a_0, a_1, \ldots, a_n ] = N[a_n, a_{n-1}, \ldots, a_0 ]")
,
![N[a_0,\ldots,a_k,\ldots,a_n] = N[a_0,\ldots,a_k] N[a_{k+1},\ldots,a_n] + N[a_0,\ldots,a_{k-1}] N[a_{k+2},\ldots,a_n]](http://s.wordpress.com/latex.php?latex=N%5Ba_0%2C%5Cldots%2Ca_k%2C%5Cldots%2Ca_n%5D%20%3D%20%20N%5Ba_0%2C%5Cldots%2Ca_k%5D%20N%5Ba_%7Bk%2B1%7D%2C%5Cldots%2Ca_n%5D%20%2B%20%20N%5Ba_0%2C%5Cldots%2Ca_%7Bk-1%7D%5D%20%20N%5Ba_%7Bk%2B2%7D%2C%5Cldots%2Ca_n%5D%20&bg=ffffff&fg=000000&s=0 "N[a_0,\ldots,a_k,\ldots,a_n] = N[a_0,\ldots,a_k] N[a_{k+1},\ldots,a_n] + N[a_0,\ldots,a_{k-1}] N[a_{k+2},\ldots,a_n]")
![N[a_0,\ldots,a_h,a_h,\ldots ,a_0] = N[a_0,\ldots,a_h]^2 + N[a_0,\ldots,a_{h-1}]^2](http://s.wordpress.com/latex.php?latex=N%5Ba_0%2C%5Cldots%2Ca_h%2Ca_h%2C%5Cldots%20%2Ca_0%5D%20%3D%20N%5Ba_0%2C%5Cldots%2Ca_h%5D%5E2%20%2B%20N%5Ba_0%2C%5Cldots%2Ca_%7Bh-1%7D%5D%5E2%20&bg=ffffff&fg=000000&s=0 "N[a_0,\ldots,a_h,a_h,\ldots ,a_0] = N[a_0,\ldots,a_h]^2 + N[a_0,\ldots,a_{h-1}]^2")
. ![N[a_0,\ldots,a_h,a_{h+1},a_h,\ldots ,a_0] = N[a_0,\ldots,a_{h}] ( N[a_0,\ldots,a_{h+1}] + N[a_0,\ldots,a_{h-1}] )](http://s.wordpress.com/latex.php?latex=N%5Ba_0%2C%5Cldots%2Ca_h%2Ca_%7Bh%2B1%7D%2Ca_h%2C%5Cldots%20%2Ca_0%5D%20%3D%20N%5Ba_0%2C%5Cldots%2Ca_%7Bh%7D%5D%20%28%20%20N%5Ba_0%2C%5Cldots%2Ca_%7Bh%2B1%7D%5D%20%2B%20N%5Ba_0%2C%5Cldots%2Ca_%7Bh-1%7D%5D%20%29%20%20&bg=ffffff&fg=000000&s=0 "N[a_0,\ldots,a_h,a_{h+1},a_h,\ldots ,a_0] = N[a_0,\ldots,a_{h}] ( N[a_0,\ldots,a_{h+1}] + N[a_0,\ldots,a_{h-1}] )")
.
es mayor que 1 (y hay más de un cociente), ![N[a_0,\ldots,a_h,a_{h+1},a_h,\ldots ,a_0]](http://s.wordpress.com/latex.php?latex=N%5Ba_0%2C%5Cldots%2Ca_h%2Ca_%7Bh%2B1%7D%2Ca_h%2C%5Cldots%20%2Ca_0%5D&bg=ffffff&fg=000000&s=0 "N[a_0,\ldots,a_h,a_{h+1},a_h,\ldots ,a_0]")
no es primo.
, sea 
el conjunto de las fracciones 
, desarrolladas en fracción continua.![\dfrac{p}{i} = [a_0, a_1, \ldots, a_n ]](http://s.wordpress.com/latex.php?latex=%5Cdfrac%7Bp%7D%7Bi%7D%20%3D%20%5Ba_0%2C%20a_1%2C%20%5Cldots%2C%20a_n%20%5D&bg=ffffff&fg=000000&s=0 "\dfrac{p}{i} = [a_0, a_1, \ldots, a_n ]")
se tiene que 
, porque 
, y 
porque asumimos que el último cociente es mayor que 1.![f([a_0, \ldots, a_n ]) = [a_n, \ldots, a_0]](http://s.wordpress.com/latex.php?latex=f%28%5Ba_0%2C%20%5Cldots%2C%20a_n%20%5D%29%20%3D%20%5Ba_n%2C%20%5Cldots%2C%20a_0%5D%20&bg=ffffff&fg=000000&s=0 "f([a_0, \ldots, a_n ]) = [a_n, \ldots, a_0]")
asocia a cada elemento de 
, porque 
es entonces una involución de 
, el número de elementos de 
, un número impar, y entonces 
que da una fracción continua simétrica ![\dfrac{p}{r} = [a_0, \ldots, a_h, a_h, \ldots, a_0]](http://s.wordpress.com/latex.php?latex=%5Cdfrac%7Bp%7D%7Br%7D%20%3D%20%5Ba_0%2C%20%5Cldots%2C%20a_h%2C%20a_h%2C%20%5Cldots%2C%20a_0%5D%20&bg=ffffff&fg=000000&s=0 "\dfrac{p}{r} = [a_0, \ldots, a_h, a_h, \ldots, a_0]")
(por la observación (2) anterior, el número de cocientes ha de ser par porque ![\dfrac{p}{r} = [a_0, \ldots, a_h, a_h, \ldots, a_0 ] = \dfrac{N[a_0, \ldots, a_h , a_h, \ldots, a_0]}{D[a_0, \ldots, a_h , a_h, \ldots, a_0]}](http://s.wordpress.com/latex.php?latex=%5Cdfrac%7Bp%7D%7Br%7D%20%3D%20%5Ba_0%2C%20%5Cldots%2C%20a_h%2C%20a_h%2C%20%5Cldots%2C%20a_0%20%5D%20%3D%20%5Cdfrac%7BN%5Ba_0%2C%20%5Cldots%2C%20a_h%20%2C%20a_h%2C%20%5Cldots%2C%20a_0%5D%7D%7BD%5Ba_0%2C%20%5Cldots%2C%20a_h%20%2C%20a_h%2C%20%5Cldots%2C%20a_0%5D%7D&bg=ffffff&fg=000000&s=0 "\dfrac{p}{r} = [a_0, \ldots, a_h, a_h, \ldots, a_0 ] = \dfrac{N[a_0, \ldots, a_h , a_h, \ldots, a_0]}{D[a_0, \ldots, a_h , a_h, \ldots, a_0]}")
.![D[a_0,a_1,\ldots a_n] = N[a_1,\ldots a_n], \ \ r=N[a_1,\ldots a_h, a_h, \ldots, a_0]](http://s.wordpress.com/latex.php?latex=D%5Ba_0%2Ca_1%2C%5Cldots%20a_n%5D%20%3D%20%20%20N%5Ba_1%2C%5Cldots%20a_n%5D%2C%20%5C%20%5C%20r%3DN%5Ba_1%2C%5Cldots%20a_h%2C%20a_h%2C%20%5Cldots%2C%20a_0%5D&bg=ffffff&fg=000000&s=0 "D[a_0,a_1,\ldots a_n] = N[a_1,\ldots a_n], \ \ r=N[a_1,\ldots a_h, a_h, \ldots, a_0]")
![N[a_0 \ldots,a_n] N[a_1, \ldots,a_{n-1}] - N[a_0 \ldots,a_{n-1}] N[a_1, \ldots,a_n] = (-1)^{n-1}](http://s.wordpress.com/latex.php?latex=%20N%5Ba_0%20%5Cldots%2Ca_n%5D%20N%5Ba_1%2C%20%5Cldots%2Ca_%7Bn-1%7D%5D%20-%20N%5Ba_0%20%5Cldots%2Ca_%7Bn-1%7D%5D%20N%5Ba_1%2C%20%5Cldots%2Ca_n%5D%20%3D%20%28-1%29%5E%7Bn-1%7D%20&bg=ffffff&fg=000000&s=0 "N[a_0 \ldots,a_n] N[a_1, \ldots,a_{n-1}] - N[a_0 \ldots,a_{n-1}] N[a_1, \ldots,a_n] = (-1)^{n-1}")
![p N[a_1,\ldots,a_h,a_h,\ldots, a_1] - r^2 = 1](http://s.wordpress.com/latex.php?latex=%20p%20N%5Ba_1%2C%5Cldots%2Ca_h%2Ca_h%2C%5Cldots%2C%20a_1%5D%20-%20r%5E2%20%3D%201%20&bg=ffffff&fg=000000&s=0 "p N[a_1,\ldots,a_h,a_h,\ldots, a_1] - r^2 = 1")
de los números enteros es un conjunto numérico bien conocido por todos nosotros. Y, aunque seguro que en menor medida, también lo es el conjunto 
de los números complejos, conjunto numérico muy interesante y muy útil en gran cantidad de problemas relacionados con muchas ramas de las matemáticas.
:
:
:
es un número de este tipo:
es un número de Smith. Pero no es el único caso. Descubrieron muchos más números tales que multiplicados por un repunit primo dan siempre un número de Smith. Por ejemplo los números $1540, 1720, 2170, 2440, 5590$ y 
también tienen esa propiedad. En la 
, siendo 
un primo de Mersenne. El mayor de ellos (con 65319 dígitos) fue el siguiente:
por la suma de los dígitos del número y demostró que los k-números de Smith son infinitos, para todo 
, o los hermanos de Smith, que son parejas de números de Smith consecutivos, como el 
y el 
o el 
y el 
. A partir de esto se han descubierto tripletes de Smith (por ejemplo, 
y 
), conjuntos de cuatro consecutivos (el más pequeño de este tipo es el formado por los números 
y 
), y así sucesivamente.
es el primo repunit compuesto por 1031 unos.
una secuencia cualquiera no decreciente,esto es, 
, de enteros no negativos.
que da el número de términos de la secuencia 
que son menores o iguales que 
, define una nueva secuencia no decreciente de enteros no negativos que para la secuencia anterior 
resulta ser 
, la llamamos secuencia contadora de la primera secuencia.
, resulta una partición 
de los números naturales.
resulta la partición:
y 
.
, y un resto, 
. Si 
, entonces 
. Si no es cero dividimos el divisor, 
, y otro resto, 
. Si 
, entonces 
. Si no es cero volvemos a dividir divisor entre resto. Y así sucesivamente.
, coincide con el máximo común divisor de 
, siendo 
y 
. Vamos a demostrar que 
.
es un divisor tanto de 
y 
.
, con 
(1)
y 
. Sustituyendo estas dos igualdades en (1) obtenemos lo siguiente:
. Por tanto el algoritmo de Euclides funciona. 
*
, el último divisor que no es nulo.
*
.
