¿Cuánto vale cero elevado a cero? ¿Y cero factorial?

En nuestra época de colegio nos dicen que todo número elevado a cero vale uno, y también nos dicen que cero elevado a cualquier número vale cero, es decir:

a⁰ = 1
0^b = 0

Pero siguiendo estas dos afirmaciones nos encontramos con un problema:

¿Cuánto vale 0⁰?

Según la primera de las afirmaciones valdría 1, pero según la segunda valdría 0. ¿Con cuál nos quedamos?.

Muchos diríais: 0⁰ es indeterminación. Sí pero no. No, porque el caso que nos ocupa no es el de una función (sucesión) que tiende a 0 elevada a otra función (sucesión) que tiende también a 0. Es decir, no queremos calcular el límite de cualquier función que dé una indeterminación 0⁰, sino que queremos saber cuál es el valor del número 0⁰ (recalco esto porque es muy importante y suele llevar a errores: no es lo mismo un número que una función cuyo límite es ese número).

¿Cuál es la forma más coherente matemáticamente hablando para dar un valor a 0⁰?. Pues a través de un límite. Sí, cierto, en el párrafo anterior he dicho que no estamos calculando cualquier límite que dé como indeterminación 0⁰, pero no es eso lo que vamos a hacer. Vamos a utilizar una función concreta para encontrar ese valor. ¿Cuál?. Pues la más lógica: x^x. Vamos a calcular su límite cuando x tiende a 0. Lo haremos por el procedimiento normal: llamar A al límite y aplicar logaritmo a ambos lados de la igualdad. Utilizando después la regla de L’Hopital llegamos a la solución:

lim_x->0x^x = ” 0⁰ ” = A;

log A = lim_x->0log (x^x) = [Propiedad de los logaritmos] = lim_x->0x·log x = ” 0·(-infinito) “;

Tenemos otra indeterminación. Para resolverla pasamos x como 1/x al denominador y aplicamos la regla de L’Hopital:

log A = lim_x->0log x/(1/x) = [L’Hopital] = lim_x->0(1/x)/(-1/x²) = [Operamos] = lim_x->0(-x) = 0;

Por tanto log A = 0 –> A = 1

Es decir, el valor más coherente matemáticamente hablando (y por tanto el que se utiliza en los casos en los que es necesario) es:

0⁰ = 1

Algo del estilo ocurre con 0!. Sabemos que n! = n·(n - 1)·(n - 2)·…·2·1. Pero, ¿qué pasa con 0!?. Pues muy sencillo: 0! = 1. Al igual que en el caso anterior se utiliza este valor por convenio, pero la elección no es arbitraria. Podemos ver que es la elección más coherente con este razonamiento:

4! = 3!·4 –> 3! = 4!/4 = 6;
3! = 2!·3 –> 2! = 3!/3 = 2;
2! = 1!·2 –> 1! = 2!/2 = 1;
1! = 0!·1 –> 0! = 1!/1 = 1

Por tanto:

0! = 1

Actualización: Leyendo los comentarios me doy cuenta de que igual no he explicado de la mejor manera posible lo que quería decir. Os acosejo que leáis los comentarios que he hecho explicado un poco más estos dos temas.

Autor: ^DiAmOnD^ | Publicado el 26 de Septiembre de 2006 | 90 Comentarios
Categorías: Aprenda como, Demostraciones, Números enteros

Teoría de números elemental: Congruencias

Después de mi parón por los examenes de Septiembre, aquí vuelvo para dar la puntilla definitiva a mi serie de posts sobre la teoría de números elemental. Así que aquí viene quizá lo más importante (en mi opinión) de la teoría de números elemental, las congruencias.

¿Qué es una congruencia?

Es una relación de equivalencia (no me quiero meter a explicar que es una relación de equivalencia, por eso os pongo el enlace) que cumple la siguiente propiedad:

Sean a, b ∈ Z, m ∈ N, entonces “a” y “b” son congruentes si:

a mod (m) = b mod (m) ó b - a = K·m (siendo K ∈ Z)

Cuando dos números son congruentes se denota de la siguiente manera:

a ≡ b (mod (m))

Definimos “mod” como la operación módulo, que es el resto de la división euclídea de dos números:

r = a mod (m) a = m·q + r

(Más información en Wikipedia)

Conjuntos cocientes

Como las congruencias son relaciones de equivalencia, se pueden definir para cada elemento del conjunto en el que se da la relación, las clases de equivalencia.

La clase de equivalencia de cualquier elemento “a” perteneciente al conjunto “A”, se define como el conjunto:

[a] = {b ∈ A : aRb} (donde R es la relación de equivalencia)

Aplicando esto a los números enteros y a las congruencias, tenemos que:

a ≡ b (mod (m)) en Z tiene como clases de equivalencia a:

[o] = {…., -2·m, -m, 0, m, 2·m, ….}
[1] = {…., 1-2·m, 1-m, 1, 1+m, 1+2m, ….}
….
[m-1] = {…., -1-m, -1, m-1, 2·m-1, 3·m-1, ….}

(Más información en Wikipedia)

Sabiendo ya que son las clases de equivalencia, podemos pasar a explicar qué son los conjuntos cocientes. El conjunto cociente de A por R, se denota A/R, es el conjunto cuyos elementos son las clases de equivalencia por R de los elementos de A, es decir:

A/R = {[a] : a ∈ A}

Aplicando esto a los números enteros y a las congruencias, tenemos que:

Siendo a ≡ b (mod (m)) y sus clases de equivalencia [0], [1], …, [m-1], su conjunto cociente es:

Z_m = {[0], [1], …, [m-1]} [Para los números enteros y las congruencias se denota Z_m en lugar de Z/(mod (m))]

(Más información en Wikipedia)

—

Aunque no quería meterme demasiado en el tema de las relaciones de equivalencia, he tenido que explicar que son las clases de equivalencia y conjuntos cocientes sin haber explicado antes nada de relaciones de equivalencia ni de relaciones binarias, lo he hecho lo más sencillo posible y orientado a las congruencias en lugar de a cualquier relación, así que espero que lo entendáis bien, de todos modos ahí tenéis los comentarios para exponer vuestras dudas.

Autor: Fran | Publicado el 21 de Septiembre de 2006 | 6 Comentarios
Categorías: Matemáticas discreta, Números enteros

Descenso infinito: un método de demostración poco conocido

Cuando queremos demostrar un resultado contamos con varias maneras de hacerlo: demostración directa, por contrarrecíproco, por reducción al absurdo, por inducción (estas dos últimas las comentamos aquí), por contraejemplo… Dependiendo de cómo sea el resultado que queremos demostrar puede que nos interese más usar una demostración u otra, pero en principio todas son perfectamente válidas siempre que los argumentos lógicos que utilicemos dentro de ellas sean correctos.

Los métodos de demostración que se han nombrado en el párrafo anterior son los, digámoslo así, más habituales. El post que nos ocupa pretende presentar un método de demostración que es muy poco conocido, aunque no por eso deja de ser brillante: el método del descenso infinito.

Este método de demostración fue ideado por Pierre de Fermat y digamos que es una variante del método de reducción al absurdo aplicable a problemas con enteros positivos. Consiste en lo siguiente:

Supongamos que queremos demostrar una cierta afirmación P. Lo que hacemos es suponer que se para un cierto n número natural se cumple su negación, ¬P, y a partir de ahí demostramos que entonces también se cumple su negación para un número natural menor que n. Continuando con el razonamiento obtenemos una sucesión infinita y decreciente de números naturales, lo cual es imposible; o descendiendo llegamos a un cierto número natural que no cumple ¬P. Por tanto, aplicando reducción al absurdo obtenemos lo que queríamos: que P es cierta.

Vamos a ver un ejemplo. Demostraremos que si v, w son primos relativos y vw es un cuadrado, entonces v y w son cuadrados. Haremos ésto demostrando que es imposible que existan enteros positivos v y w tal que:
1.- v y w son primos relativos
2.- vw es un cuadrado
3.- v y w no son ambos cuadrados
(Leer el resto del post)

Autor: ^DiAmOnD^ | Publicado el 18 de Septiembre de 2006 | 19 Comentarios
Categorías: Demostraciones, Números enteros

Una creencia no es una demostración

La conjetura de Goldbach, propuesta por Christian Goldbach a Leonhard Euler en 1742 dice lo siguiente:

Todo número par mayor que 2 puede escribirse como suma de dos números primos (se puede emplear dos veces el mismo número primo)

Por ejemplo:

• 4 = 2 + 2
• 6 = 3 + 3
• 8 = 3 + 5
• 10 = 3 + 7
• 12 = 5 + 7

Todavía no se tiene una prueba completa de este hecho (o un contraejemplo que demuestre su falsedad), pero sí es cierto que sobre todo en los últimos años se ha avanzado bastante en el tema en el sentido de que se han encontrado equivalencias de esta conjetura con otros problemas sin resolver, por ejemplo con la hipótesis de Riemann. Además parece ser que la conjetura ha sido verificada hasta para todos los números pares hasta 10¹⁴.

Teniendo en cuenta estos datos cualquiera podría pensar que la conjetura es cierta. Vamos, que si se ha comprobado hasta 10¹⁴ no va a ser falsa para algún número superior. De hecho podemos decir que la comunidad matemática esta casi segura de que la conjetura es cierta…pero con esto no tenemos suficiente. Necesitamos una prueba rigurosa del hecho. Que algo se cumpla en muchos casos no significa que se cumpla siempre. Y para muestra un botón:

Diremos que un número es de tipo par si en su factorización en números primos aparecen un número par de primos. Por ejemplo, 6 = 2·3 es un número de tipo par. Y diremos que un número de de tipo impar si el número de primos de su factorización es impar. Por ejemplo, 18 = 2·3·3 es de tipo impar (se considera que 1 es de tipo par).

Sea n cualquier número natural. Consideremos los siguientes números:

• P(n) = número de enteros positivos menores o iguales que n que son de tipo par
• I(n) = número de enteros positivos menores o iguales que n que son de tipo impar

Por ejemplo consideremos n = 7. En este caso I(7) = 4 (el 2, el 3, el 5 y el propio 7) y P(7) = 3 (el 1, el 4 y el 6). Entonces I(7) >P(7).

Para n = 6: I(6) = 3 y P(6) = 3. Por tanto I(6) = P(6).

En 1919 George Polya propuso el siguiente resultado, conocido desde entonces como conjetura de Polya:

Para todo n > 2 se tiene que I(n) es mayor o igual que P(n)

Nadie pudo dar una demostración de la veracidad o falsedad del enunciado, pero en los años posteriores se comprobó que era cierto para todo n hasta 1.000.000, razón por la cual se pensaba que la conjetura era cierta…Craso error.

En 1962, Lehman encontró un contraejemplo: para n = 906180359 se tiene que I(n) = P(n) - 1, y por tanto:

I(906180359) < P(906180359)

El contraejemplo más pequeño que se conoce es el caso n = 906150257, encontrado por Tanaka en 1980.

Por tanto la conjetura de Polya es falsa.

¿Que nos enseña esto?. Pues muy sencillo: por desgracia en Matemáticas no podemos fiarnos de la intuición ni de lo que ocurre para un número finito de casos, por muy grande que sea ese número. Hasta que un resultado no está comprobado en el caso general no tenemos completa seguridad de que sea cierto.

Autor: ^DiAmOnD^ | Publicado el 8 de Septiembre de 2006 | 15 Comentarios
Categorías: Demostraciones, Historia, Números enteros

Sucesión-pedia

Si te fascinan las sucesiones de números, como pueden ser la de Fibonacci o la de Fermat, o simplemente has visto algún juego de continue la sucesión, puedes pasarte por esta web.

La misma web se autodenomina la enciclopedia on-line de las sucesiones matemáticas de números enteros, la verdad es que he probado algunas y funciona bastante bien, ya sea metiendo el nombre de la sucesión o unos cuantos elementos de ésta. Además en los resultados, proporciona una cantidad ingente de información para los más fanáticos, llega a darnos el código necesario para programar dicha sucesión en diversos lenguajes de programación matemáticos.

Autor: Fran | Publicado el 5 de Septiembre de 2006 | Comments Off
Categorías: Números enteros, Utilidades

El número 11 me parece divertido

Este post más que ser sobre las maravillosas propiedades matemáticas que pueda tener el número 11, que no sé si tiene, es una opinión propia de un número, del que me he dado cuenta, tiene cosas curiosas con las operaciones de la multiplicación y la división. (Por ello este post puede que esté equivocado en algunos aspectos o no llegue a estar demostrado todo lo que diga)

Advertidos todos, voy a pasar a daros unas nociones de lo que me ha llamado la atención de este número:

• Producto: Cualquier número de tres cifras (no sé si puede extrapolarse a más cifras) que tenga la siguiente forma: CIFRA1 CIFRA2 CIFRA3, siendo CIFRA2 = CIFRA1 + CIFRA3 es múltiplo de 11, pero si CIFRA1 + CIFRA3 > 10, es múltiplo siempre que CIFRA2 = CIFRA1 + CIFRA3 - 11 Así podemos saber rápidamente cuando un número de tres cifras es múltiplo de 11, y es curioso que cuando pasa de 10 la suma de las cifras uno y tres tengas que restarle 11.
• División: Cualquier número distinto de un múltiplo de 11 que sea dividido por 11, obtendrá como resultado un número decimal periódico cuyo período será uno de estos diez:
  • 1 dividido entre 11 = 0,090909091
  • 2 dividido entre 11 = 0,181818182
  • 3 dividido entre 11 = 0,272727273
  • 4 dividido entre 11 = 0,363636364
  • 5 dividido entre 11 = 0,454545455
  • 6 dividido entre 11 = 0,545454545
  • 7 dividido entre 11 = 0,636363636
  • 8 dividido entre 11 = 0,727272727
  • 9 dividido entre 11 = 0,818181818
  • 10 dividido entre 11 = 0,909090909

  Es trivial ver que para números que sean sumas de 11 + {cualquier número del 1 al 10}, dichos números al dividirlos por 11 tendrán de período el mismo que el del número sumado al 11 y de parte entera el número de sumas realizadas.
  Pero lo que más me ha sorprendido son los períodos que hay, ya que se puede observar que están compuestos de dos cifras y que para el 1 son 09 y para los siguientes la primera cifra aumenta y la segunda disminuye en uno, siguiendo una sucesión matemática sencilla de ver.

La verdad no sé si este post os parecerá una soberana chorrada porque esto mismo pueda ocurrir con cualquier otro número, pero al verlo en mi calculadora hoy me ha hecho bastante gracia, sobre todo porque cuando estás estudiando cualquier cosa parece divertida, y he querido compartirla con vosotros.

Autor: Fran | Publicado el 31 de Agosto de 2006 | 8 Comentarios
Categorías: Curiosidades, Números enteros

La infinitud de los números primos y Fermat

Vimos hace unos días qué eran los números de Fermat. Vimos que se definían como F_n = 2^{2^n} + 1, con n = 0, 1, … . Como comentamos en ese post Fermat conjeturó que todos esos números eran primos, pero años después Euler se encargó de refutar esa conjetura demostrando que F₅ era compuesto.

Como dijimos en ese post este hecho no hace que estos números de Fermat pierdan toda su importancia. Ni mucho menos. En este post vamos a ver otra demostración de la infinitud de los números primos (en este post ya vimos una) usando los números de Fermat. Vamos con ella:

El primer paso que debemos dar es demostrar la siguiente relación que cumplen los números de Fermat:

F₀ · F₁ · F₂ · … · F_{n - 1} = F_n - 2

Lo haremos por inducción¹:

1.- En el primer caso, n = 0, obtenemos:
F₀ = F₁ -2
lo cual es cierto ya que
F₀ = 3 y F₁ = 5

2.- Supongamos ahora que la igualdad es cierta para n - 1 y demostrémosla para n:

F₀ · F₁ · F₂ · … · F_n = (F₀ · F₁ · F₂ · … · F_{n - 1}) · F_n =
= (por hipótesis de inducción) = (F_n - 2) · F_n =
=(2^{2^n} +1 - 2 ) · (2^{2^n} +1) = (2^{2^n} -1) · (2^{2^n} +1) =
= 2^{2^(n + 1)} - 1 = 2^{2^(n + 1)} + 1 - 2 = F_{n + 1} - 2

Por tanto la relación de recurrencia anterior se cumple para todo n número natural.

Ya que sabemos que esta relación de recurrencia es cierta echémosle otro vistazo:

F₀ · F₁ · F₂ · … · F_{n - 1} = F_n - 2

A partir de ella podemos deducir que ningún número de Fermat F_k es divisible por ninguno de los factores que forman los números de Fermat anteriores a él. Veámoslo utilizando el método de reducción al absurdo²:

Supongamos que F_k, con k entre 1 y n - 1 tiene como factor en su descomposición en números primos a un cierto primo p, y supongamos que F_n es divisible por p. Traslademos esta información a la relación de recurrencia:

F₀ · F₁ · F₂ · … ·F_k/p· … · F_{n - 1} = F_n/p - 2/p

Como F_k es divisible por p el lado izquierdo de la igualdad es un número entero. Por tanto el lado derecho de la igualdad también debe serlo. Como F_n es divisible por p (es la suposición que hemos hecho) también es un número entero y en consecuencia 2/p también lo es, es decir, se tiene que 2 también debe ser divisible por p. La única posibilidad entonces es p = 2, pero eso es imposible ya que si fuera cierto ni F_k ni Fn serían divisible por p, ya que todos los números de Fermat son impares. Por tanto, partiendo de nuestra suposición hemos llegado a una contradicción. Según reducción al absurdo esto nos dice que nuestra suposición es falsa. Es decir: ningún número de Fermat es divisible por ningún factor de ningún número de Fermat menor que él

Probado esto la demostración es coser y cantar: el resultado anterior nos dice que cada número de Fermat aporta nuevos números primos a los que ya teníamos en los números de Fermat anteriores (él mismo si es primo o sus factores primos si es compuesto, ya que ningún número de Fermat anterior puede tener como factor a ninguno de los factores primos del nuevo número). Por tanto, teniendo en cuenta que hay infinitos números de Fermat (para cada n número natural tenemos un número de Fermat) los factores primos de todos ellos formarán un conjunto infinito, y en consecuencia el conjunto de los números primos es infinito³. Y hemos terminado la demostración.

Como último apunte destacar que en ningún momento de la demostración se ha dicho (ni se ha necesitado) que todos los números de Fermat sean primos. De hecho sabemos que esto no es cierto (ya lo comentamos al comienzo de este post). Lo que hemos usado es que cada dos números de Fermat son primos entre sí (hecho que hemos demostrado).

(Fuente: Tío Petros)

¹: El método de inducción es un método de demostración que se usa para demostrar propiedades sobre el conjunto de los números naturales. Consiste en lo siguiente:

Supogamos que tenemos un subconjunto A de números naturales que verifica lo siguiente:
1.- 0 pertenece a A
2.- Si k - 1 pertenece a A entonces k pertenece a A

Entonces A es el propio conjunto N de los números naturales.

Nosotros lo hemos utilizado de la siguiente forma: si nuestra propiedad (la ley de recurrencia anterior) se cumple para el 0 y en el caso de que se cumpla para cierto número natural n - 1 entonces se cumple para n se tiene que se cumple para todos los números naturales.

²: El método de reducción al absurdo es un método de demostración que consiste en lo siguiente:

Supongamos que queremos demostrar cierta afirmación P. Lo que hacemos es suponer que esa afirmación es falsa y llegar a partir de esta suposición a un resultado contradictorio. Por tanto tenemos que nuestra afirmación P no puede ser falsa (ya que nos conduce a una conclusión absurda). Por tanto debe ser verdadera.

Nosotros lo hemos usado así: para demostrar que F_n no tenía como factor primo a nigún factor primo de ningún F_k menor que él hemos supuesto que sí lo tenía (es decir, que la afirmación que queríamos demostrar era falsa) y hemos llegado a partir de ahí una conclusión absurda. Por tanto nuestra afirmación debe ser necesariamente verdadera.

³: Esto no significa que en este conjunto formado por todos los factores de todos los números de Fermat se encuentren todos los números primos. Faltarán muchos, pero si aun faltando muchos tenemos un conjunto infinito al añadir los que faltan el conjunto seguirá siendo infinito, que es lo que queríamos demostrar.

Autor: ^DiAmOnD^ | Publicado el 29 de Agosto de 2006 | 5 Comentarios
Categorías: Demostraciones, Números enteros, Números primos, Teoremas

Los números de Fermat

En este blog ya hemos hablado alguna vez sobre Pierre de Fermat: jurista de profesión y enamorado de las Matemáticas, fue un genio de esta ciencia en su época. Gracias a él se avanzó en multitud de campos (desde teoría de probabilidades hasta cálculo diferencial) pero, como ya sabréis, su mayor afición fue la teoría de números. Dejó sin demostrar la que ha resultado ser una de las conjeturas que más tiempo se ha tardado en comprobar (el último teorema de Fermat) y nos sorprendió con excelentes resultados sobre números enteros. Pero como casi todos los genios también falló en alguna ocasión, aunque no lo supo en vida. Y ese es el objetivo de este post: los números de Fermat.

Los números de Fermat son números de la forma F_n = 2^{2^n} + 1, desde n = 0 en adelante. Los primeros son:

F₀ = 2^{2^0} + 1 = 3
F₁ = 2^{2^1} + 1 = 5
F₂ = 2^{2^2} + 1 = 17
F₃ = 2^{2^3} + 1 = 257
F₄ = 2^{2^4} + 1 = 65537

Es sencillo comprobar que todos estos números son primos.

INCISO:

Un método muy sencillo para comprobar si un número es primo es el siguiente: realizamos la raíz cuadrada de ese número y después comprobamos si nuestro número es divisible por algún número primo menor que su raíz cuadrada. Si lo es entonces el número en cuestión es compuesto; si no lo es entonces nuestro número es primo.

El método es interesante para números pequeños, pero es extremadamente duro para números grandes. Por eso en la actualidad se utilizan otro tipo de algoritmos de primalidad

Fermat, supongo que basándose en estos datos, conjeturó que todos los números F_n eran primos, pero, como era costumbre en él, no dejó ninguna demostración del hecho. Años después de su muerte, exactamente en 1732, el batacazo de Fermat se confirmaba: Leonhard Euler demostraba que F₅ era compuesto:

Pero este hecho no hace que los números de Fermat pierdan toda su importancia, ni mucho menos. Siguen cumpliendo propiedades muy interesantes. Algunas de ellas son:

1.- F₀ · F₁ · … · F_n-1 = F_n - 2
2.- Ningún número de Fermat puede ser suma de dos números primos
3.- Dos números de Fermat son siempre primos entre sí
4.- Un polígono regular de n lados puede construirse con regla y compás si n es igual a una potencia de 2 o al producto de una potencia de 2 por números de Fermat distintos entre sí (resultado debido a nuestro amigo Gauss)

Y además nos quedan un par de preguntas acerca del tema: ¿hay infinitos números de Fermat que sean primos? Y más aún: ¿hay alguno más con n > 5?. Por ahora esas preguntas no están respondidas.

(Número de Fermat en la Wikipedia)

Autor: ^DiAmOnD^ | Publicado el 24 de Agosto de 2006 | 7 Comentarios
Categorías: Historia, Números enteros, Números primos

El teorema de tamreF

Hace unos días escribí un post sobre el último teorema de Fermat. En él os contaba, entre otras cosas, que el teorema estuvo sin demostración durante más de 300 años y que ésta es muy complicada y utiliza herramientas matemáticas avanzadísimas.

Pues hoy os traigo un teorema parecido: el teorema de tamreF. Y su nombre está perfectamente elegido porque su formulación es la siguiente:

La ecuación

N^x + N^y = N^z

no tiene soluciones para enteros positivos x, y y z y N > 2

Es decir, más o menos nos plantea el problema contrario al que nos planteó Fermat.

La gran diferencia que existe entre este resultado y el de Fermat es que éste es muchísimo más sencillo de probar. En dos o tres líneas podemos demostrar que no puede existir tal solución. A ver si entre todos conseguimos encontrarlas. Yo os echaré una mano.

Autor: ^DiAmOnD^ | Publicado el 21 de Agosto de 2006 | 5 Comentarios
Categorías: Números enteros, Teoremas

142857: Un número realmente interesante

En principio el número 142857 es un número de seis cifras como otro cualquiera. Pero la realidad es que tiene unas propiedades realmente sorprendentes. Por ejemplo:

1/7 = 0′142857142857142857142857142857…
2/7 = 0,285714285714285714285714285714…
3/7 = 0,428571428571428571428571428571…
4/7 = 0,571428571428571428571428571428…
5/7 = 0,714285714285714285714285714285…
6/7 = 0,857142857142857142857142857142…
8/7 = 1,142857142857142857142857142857…
9/7 = 1,285714285714285714285714285714…

…y la cosa cotinúa. Curioso, ¿verdad?. Vamos a ver otra:

142857 * 1 = 142857
142857 * 2 = 285714
142857 * 3 = 428571
142857 * 4 = 571428
142857 * 5 = 714285
142857 * 6 = 857142
142857 * 7 = 999999

Hasta la multiplicación por 6 obtenemos números con las mismas cifras que el 142857 pero ordenadas de otra forma. Vaya, pues sí es interesante este número. Pero la cosa no queda ahí:

142857 * 8 = 1142856
142857 * 9 = 1285713
142857 * 10 = 1428570
142857 * 11 = 1571427
142857 * 12 = 1714284
142857 * 13 = 1857141
142857 * 14 = 1999998

Sí, vale, es parecido, pero tampoco es reseñable…¿o sí?. Fijémonos un poco: hasta la multiplicación por 13 obtenemos números de 7 cifras que cumplen que las cinco centrales son de nuestro número, pero además la que falta es la suma del primer y el último número. Y en la multiplicación por 14 obtenemos algo parecido a la multiplicación por 7 anterior ya que el 9 que falta es suma del 1 inicial y el 8 final. Esto empieza a ser realmente increible.

Y podríamos seguir multiplicando por muchos más números. Por ejemplo:

142857 * 42 = 6142851

Sustituimos el 6 inicial y el 1 final por ceros y obtenemos 0142850. Ahora, 6 + 1 = 7. Lo sumamos al núemro anterior y queda…¡¡ 142857 !!.

Y otra para terminar:

142857² = 20.408.122.449
20.408 + 122.449 = 142.857

Impresionante.

Hasta tiene un artículo en la Wikipedia inglesa dedicado a él solito: 142857.

Podéis intentar vosotros multiplicarlo por números grandes e intentar reconstruirlo después a partir del resultado que obtengáis. Pueden salir cosas realmente curiosas.

Y si conocéis algún otro número que tenga propiedades parecidas a éste no dudéis en comentarlo.

Información sacada de Daniel Clemente.

Autor: ^DiAmOnD^ | Publicado el 17 de Agosto de 2006 | 11 Comentarios
Categorías: Curiosidades, Números enteros