Porque todo tiende a infinito…
Parece ser que ha caído una de las grandes conjeturas de teoría de números que quedaban sin demostrar: la conjetura débil de Goldbach. Y el encargado de cargársela es el matemático peruano Harald Andrés Helfgott mediante su trabajo Major arcs for Goldbach’s theorem (http://arxiv.org/abs/1305.2897), que complementa su anterior trabajo Minor arcs for Goldbach’s theorem (http://arxiv.org/abs/1205.5252).
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En la tarde de hoy día 13 de mayo se impartirá en la Universidad de Harvard, a las 15:00 horas (hora de Massachusetts), un seminario titulado Bounded gaps between primes (info) por parte de Yi Tang (Tom) Zhang (de la Universidad de New Hampshire) en el que, según parece, dará a conocer un resultado que tiene relación con la conjetura de los primos gemelos.
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En ocasiones nos encontramos con que algunas características de ciertos tipos de números son realmente sorprendentes, casi místicas en algunos casos. Pero no podemos dejar que ese aparente misticismo nos nuble la vista, ya que eso que parece tan sorprendente quizás sea algo relativamente evidente que no acertamos a ver, puede que por estar poseídos por esa sorpresa.
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Cuatro años, cuatro, ha estado GIMPS sin dar señales de vida en forma de nuevos primos de Mersenne…hasta ahora. En su página web han confirmado el descubrimiento de un nuevo primo de Mersenne, que hace el número 48 de la lista actual de este tipo de números primos. El “afortunado” descubridor es Curtis Cooper, de la University of Central Missouri.
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La criba de Eratóstenes es un método muy conocido para hallar los números primos menores que un cierto número K dado inicialmente. Su funcionamiento es muy sencillo:
Se comienza escribiendo los números desde el 2 hasta K. Se marca el 2 como número primo y a continuación se tachan todos los múltiplos de 2. Después se marca como primo el primer número no tachado que nos encontremos, el 3 en este caso, y se tachan todos los múltiplos de éste que no estuvieran tachados ya. Y así sucesivamente. Los números marcados son exactamente todos los números primos que hay entre 2 y K.
En la Wikipedia podéis encontrar algo más de información al respecto.
Pero esta criba no es ni mucho menos el único método de este tipo para encontrar los números primos más pequeños que un número dado. Existen otros métodos aritméticos, aunque es cierto que en ocasiones se tratan de variantes de la criba de Eratóstenes. Pero existe uno geométrico muy curioso e interesante, del cual vamos a hablar, que podemos denominar la criba de la parábola.
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Quien más quien menos sabe que existen infinitos números primos, y quien no lo sepa…debería saberlo. Por aquí hemos visto varias demostraciones sobre este hecho (la de Euclides, usando números de Fermat, la topológica, la de juan Pablo…), pero una de las que más me gustan es la que prueba la divergencia de la serie de los inversos de los números primos.
Bien, hay infinitos, pero ¿qué distancia hay entre ellos? Más concretamente, ¿qué se puede decir de la distancia entre dos números primos consecutivos? Pues, además de no ser un número fijo (evidentemente), la intuición nos dice que dicha distancia crece (aunque no de forma monótona) conforme los números primos son cada vez más grandes. De hecho podemos encontrar “huecos” entre dos primos consecutivos cuya longitud sea cualquier número natural. Esto podría reforzar la creencia de que dos primos consecutivos tienden a estar tremendamente lejos, pero hay conjeturas interesantes que sugieren que la distancia no es tanta. Una de ellas es la conjetura de Andrica.
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Este año 2012 ha reunido una interesante cantidad de efemérides señaladas relacionadas con las matemáticas: se han cumplido 100 años del nacimiento de Alan Turing, también es el centenario de la muerte de Jules Henri Poincaré, es el 150 aniversario del nacimiento de David Hilbert…pero también es un año relativamente señalado para los números primos, ya que en este año 2012 se cumplen 100 años del listado de cuatro problemas relacionados con los números primos, problemas que actualmente se conocen como problemas de Landau.
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Hace unos días se conocía la noticia del descubrimiento de un nuevo número primo por parte de John Perretta, profesor de informática del Broward College. El número primo en cuestión es el siguiente:
y tiene cerca de 300000 cifras (y no 30 millones como decía la noticia en su redacción inicial). Si estáis interesados en ver este número primo con todas sus cifras lo tenéis aquí.
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…puede pasar cualquier cosa.
Me imagino al señor Norman Gilbreath en un momento de aburrimiento comenzando a escribir números en un papel, cual Ulam en una conferencia. Éste último los dispuso por casualidad en forma de espiral y encontró curiosos patrones marcando los números primos en dicha espiral; Gilbreath colocó los números primos en línea recta y, quién sabe por qué (bueno, algo se sabe, lo veréis más adelante), comenzó a restarlos…¿Qué consiguió?
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El polinomio 
Para 
Cierto es que mediante interpolación podemos construir un polinomio 
Y aquí la pregunta es obligada: ¿qué otros polinomios de expresión sencilla generan una aceptable cantidad de números primos?
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