En matemáticas hay conceptos sencillos de comprender y de manejar y conceptos con los que es muy complicado trabajar; por otra parte, hay temas de los que se puede sacar mucha chicha, y también los hay del tipo contrario, de los que se puede tirar poco.
Pero sencillo no es ni mucho menos sinónimo de simple. Un concepto sencillo, como puede ser el de divisor de un número natural, puede dar lugar a problemas maravillosos, cuyo resultado sorprende por su belleza y cuya explicación termina por elevarlos a la categoría de maravilla matemática. (Leer el resto del post)
En mi última charla ¿Se puede “hacer” matemáticas a través de un blog? en la Universidad de Sevilla (podéis ver mis impresiones sobre ella en este enlace), me hicieron dos preguntas. Una de ellas la realizó Raven_Neo (gracias otra vez por la grabación; cuando subas el vídeo no te olvides de avisarme) y trataba sobre las formas que usamos para promocionar el blog en sus inicios (a lo que, por cierto, respondí en principio que la mejor promoción es salir en Microsiervos). La otra la formuló Tito Eliatron, y en ella me preguntaba sobre comentarios que me han sorprendido de entre todos los que me han dejado en Gaussianos.
Como ya sabemos, un número de Mersenne es un número de la forma
con p un número natural. También sabemos que si p es un número compuesto, entonces también lo es, por lo que sólo puede ser primo si el propio p lo es.
La cuestión es que esto no ocurre siempre, es decir, no siempre que p es primo se tiene que lo es. Cuando esto ocurre se dice que es un primo de Mersenne.
En Gaussianos ya hemos hablado sobre los primos de Mersenne en muchas ocasiones. De hecho hemos anunciado descubrimientos de nuevos primos de Mersenne varias veces. Lo que hoy vamos a contar es una anécdota de uno de los números de Mersenne, el número . (Leer el resto del post)
…qué raro. GIMPS, la mayor comunidad de búsqueda de primos de Mersenne lleva ya bastante tiempo sin dar señales de vida en lo que a encontrar nuevos números de este tipo se refiere. La última noticia que tenemos de ellos es la confirmación (¡¡siete años después de su descubrimiento!!) de que es efectivamente el primo de Mersenne número 40 si los colocamos en orden creciente.
Posiblemente el hecho de que cada vez se busque entre números más grandes hace que el tiempo necesario para encontrar un primo de Mersenne se alargue, pero teniendo en cuenta que entre el 45 y el 46 pasó escasamente un mes (aquí hablábamos de la confirmación del descubrimiento de los dos) y del 46 al 47 unos 6 meses, se hace raro que llevemos más de año y medio si saber nada sobre ellos.
Teniendo en cuenta que su forma de trabajar se basa en la colaboración desinteresada de la gente mediante la utilización del programa de ordenador que ellos ponen a disposición de todo el mundo, ¿será que la gente colabora menos? No lo sé, aunque no lo creo.
Esperemos que pronto nos den una sorpresa en forma de un nuevo número primo de Mersenne.
Por cierto, hace ya bastante tiempo me descargué su programa y lo estuve probando, aunque debo reconocer que no le dediqué demasiado tiempo al tema. ¿Alguno de vosotros colabora o ha colaborado alguna vez con ellos? ¿Alguien ha encontrado alguno de los primos de Mersenne que aparecen en su lista? ¿Alguna anécdota que contar al respecto?
Existe una especie de teoría que dice que en los equipos de cualquier deporte, en particular de fútbol, los dorsales que corresponden a números primos son los que se asignan a los jugadores más importantes. Hasta donde yo sé, este artículo de Marcus du Sautoy es el máximo exponente de esta creencia (aunque en el artículo también se habla del género de cada tipo de número). Uno de los casos más llamativos de los últimos años es el Real Madrid que montó Florentino Pérez en su primera etapa en la presidencia del club de Concha Espina. En él los pesos pesados portaban números primos en su dorsal. A saber:
3: Roberto Carlos
5: Zidane
7: Raúl
11: Ronaldo
23: Beckham
1: Casillas (éste lo añado yo, ya que aunque el 1 no es un número primo sí que puede considerarse como la base los números naturales)
En cierto modo tiene sentido. Los números primos son los ladrillos a partir de los cuales se construyen todos los números naturales, por lo que sería razonable asignar dorsales primos a los jugadores en torno a los que se construye el equipo. Y la verdad es que, en general, no les salió mal. (Leer el resto del post)
Desde los comienzos del blog ciertas constantes han tenido un gran protagonismo en muchos artículos. Cierto es que el número se lleva la palma, pero pero también ha habido otras constantes a las que se les han dedicado artículos por su importancia y sus características, como , la constante de Euler-Mascheroni o el número .
Número e
Sobre este último tenemos varios artículos en los que aparece como protagonista principal o como actor secundario con un papel importante. Por ejemplo, hemos visto que es irracional y que es trascendente, dos características muy interesantes de un número que aparece tanto en nuestra vida diaria (más de lo que muchos piensan). También hablamos de cómo aparece al no formar ninguna pareja en el matching problem y, por otra parte, sabemos que es uno de los componentes de la identidad de Euler.
Lo que no habíamos visto todavía (al menos que yo recuerde) es una relación más o menos clara y directa entre el número y los números primos. Vamos, una expresión que involucre a esta constante con este tipo tan especial de números, a este número irracional con estos números tan naturales. Pues ha llegado el momento. (Leer el resto del post)
Tras la muerte de Pierre de Fermat, muchas de sus conjeturas quedaron sin resolver. Como ya sabemos, Fermat no era muy dado a publicar las demostraciones de sus resultados, por lo que debían ser demostrados por otros para confirmar su validez o falsedad. El caso más famoso, por lo que se tardó en confirmar y por la gran cantidad de matemáticos que se dedicaron a ello, es el denominado último teorema de Fermat, demostrado finalmente por Andrew Wiles en 1995, pero ni mucho menos fue el único.
La afirmación de Fermat sobre la primalidad de todos los números enteros positivos , llamados números de Fermat, fue otra de sus más famosas conjeturas, refutada finalmente por Euler en 1732 al encontrar la factorización de :
De hecho no se ha vuelto a encontrar ningún número de Fermat que sea primo.
Y el llamado pequeño teorema de Fermat constituye otro caso del mismo tipo que los anteriores. Dicho teorema afirma lo siguiente:
Si es un número primo y es un número natural que no es divisible por , entonces
Euler demostró este resultado y dio además la demostración de una generalización del mismo. En esta historia la conocida como función de Euler ejerce un papel de suma importancia. (Leer el resto del post)
A los matemáticos nos encanta poner nombre a las cosas, y cuanto más descriptivo sea el nombre mucho mejor. Así, los puntos frontera de un conjunto son los que gráficamente situaríamos como frontera geográfica de dicho conjunto o una sucesión monótona es una sucesión en la que nunca pasa nada distinto, es decir, una sucesión en la que la tendencia no cambia, es siempre creciente o siempre decreciente, pero no hay cambios.
Los conjuntos que os voy a presentar hoy no tienen nombre (al menos yo no conozco ningún nombre para ellos). Por eso los he bautizado a partir de la propiedad que tienen. Son los conjuntos CuCu.
¿Qué es un conjunto CuCu?
Lo primero que voy a hacer es explicar qué es para mí un conjunto CuCu.
Un conjunto CuCu es un conjunto de números enteros positivos tales que la suma de sus Cubos es igual al Cuadrado de su suma. Es decir:
Un conjunto CuCu es un conjunto de números enteros positivos que cumplen que:
Un ejemplo muy interesante de conjunto CuCu es el conjunto , para cualquier . Que este conjunto de números sea un conjunto CuCu significa lo siguiente:
Supongamos ahora que es cierto para , es decir, que
y demostremos que la igualdad es cierta para . Para ello partiremos de la parte de la igualdad relativa al cuadrado y utilizaremos el caso (esto es, la hipótesis de inducción) para llegar al objetivo buscado.
Partimos entonces de esta expresión:
Tomamos como primer término y como segundo término y desarrollamos el cuadrado de la suma:
Ahora utilizamos la hipótesis de inducción en la primera suma y que en la segunda:
Operando ahora el último sumando obtenemos y agrupándolo con el segundo sumando obtenemos , llegando entonces a la igualdad buscada.
¿Cómo generar conjuntos CuCu?
Pero el conjunto de los primeros enteros positivos no es el único que cumple esta propiedad. De hecho existe un procedimiento para generar conjuntos de números que cumplen que la suma de sus cubos es igual al cuadrado de su suma, es decir, conjuntos CuCu.
Joseph Liouville
Dicho procedimiento se lo debemos a Joseph Liouville y consiste en lo siguiente:
Tomamos un número entero positivo cualquiera y calculamos los divisores de dicho número (el 1 y el propio número también cuentan).
De cada divisor calculado antes contamos cuántos divisores tiene.
Los números que designan las cantidades de divisores de cada divisor del número inicial son un conjunto CuCu.
Vamos a ver un ejemplo sobre la aplicación de este procedimiento:
Número
Los divisores de son y .
Ahora:
- El 1 tiene divisor (el 1 solamente).
- El 2 tiene divisores (el 1 y el 2).
- El 4 tiene divisores (el 1, el 2 y el 4).
- El 5 tiene divisores (el 1 y el 5).
- El 10 tiene divisores (el 1, el 2, el 5 y el 10).
- El 20 tiene divisores (el 1, el 2, el 4, el 5, el 10 y el 20).
Entonces el conjunto es un conjunto CuCu:
Efectivamente, ambos miembros de la igualdad dan como resultado .
Evidentemente este procedimiento tiene su demostración, pero en vez de reproducirla aquí prefiero que visitéis este enlace en el que el gran Ignacio Larrosa nos la cuenta.
Este artículo es una colaboración enviada por fede a gaussianos (arroba) gmail (punto) com.
Introducción
Un número primo de la forma es suma de los cuadrados de dos números enteros. Además la representación es única si .
Como , la representación anterior da una factorización de un primo natural en el anillo de los enteros gaussianos. Además los factores y son primos en ese anillo.
Este post describe cómo obtener los enteros que son solución de .
La demostración de Zagier de que un primo de la forma es suma de dos cuadrados tampoco da un método práctico para encontrar la solución, ni las de Euler, Lagrange o Dedekind.
Tampoco la fórmula explícita de Gauss
es útil para calcular los valores de e .
Sin embargo existe un algoritmo muy simple para obtener la solución. Podemos describirlo de la siguiente forma:
Obtenemos un tal que , es decir, .
A continuación aplicamos el algoritmo de Euclides a . El primer resto que encontramos menor que es el valor de y el resto anterior es el valor de .
El algoritmo se deriva de las demostraciones de Serret, Hermite y H.J. Smith, las primeras publicadas en el “Diario de Liouville” en 1848 y la última en el “Diario de Crelle” en 1855.
Calculadora de las componentes de los factores
Podéis probar el algoritmo introduciendo un primo en la casilla de abajo. Para encontrar primos de algunos centenares de dígitos, podéis copiar y pegar en la casilla de abajo primos cuyas 2 últimas cifras sean de la forma desde las páginas de “Prime Curios!”.
Paso
Resultado
Duración
1. Validación de entrada
2. Busca no-residuo
3. Calcula raíz de -1
4. Alg.Euclides sobre p/r
5. Comprobación
x =
y =
Resultados completos:
Descripción de la calculadora
El paso 1 sólo verifica que el número introducido sea de la forma 4k+1.
Los dos siguientes pasos sirven para obtener , y están basados en los resultados de la teoría elemental de residuos cuadráticos.
En el paso 2 se busca un no-residuo cuadrático (es decir, un número que no sea un cuadrado ). Como la mitad de los números menores que son no-residuos, y es rápido determinar si un número es o no un residuo cuadrático (calculando el símbolo de Jacobi), probando con números al azar podemos obtener rápidamente un no-residuo cuadrático.
Sin embargo no está demostrado (todavía) que exista algoritmo determinista en tiempo polinomial para obtener un no-residuo cuadrático.
La implementación devuelve el menor no-residuo, si éste es menor que 2000.
Una vez que tenemos un no-residuo , en el paso 3 se obtiene .
Por el criterio de Euler para residuos cuadráticos, .
Que el paso 4 nos da la solución se justifica por el teorema de Serret:
Si , la lista de cocientes parciales del desarrollo en fracción continua de es simétrica (omando la lista de longitud par, lo que siempre es posible porque ).
Por ser simétrica la fracción continua, los restos que se obtienen al aplicar el algoritmo de Euclides a son los numeradores de los convergentes parciales (en orden inverso) y por tanto no hace falta calcular los numeradores de dichos convergentes parciales. Basta con aplicar el algoritmo de Euclides a hasta que obtengamos un resto menor que .
Por último, en el paso 5 se comprueba si los valores obtenidos cumplen . Si no se cumple la igualdad, se concluye que el número introducido no es primo (y los valores de no serán, en general, correctos).
El teorema de Serret se demuestra fácilmente usando la relación entre numeradores y denominadores de los convergentes parciales consecutivos y las reglas de formación de esos numeradores y denominadores. De ese teorema se obtiene una demostración de que un primo de la forma es suma de dos cuadrados, que pertenece al grupo de demostraciones que parten de que, para un primo de esa forma, -1 es un cuadrado
En cambio la demostración de H.J. Smith que exponemos a continuación no hace uso de este hecho.
La demostración de H.J. Smith
Usamos la notación para representar la fracción continua finita cuyos cocientes parciales son . Designamos con el numerador de la fracción .
Como , asumimos que el último cociente es siempre mayor que 1.
De esta última igualdad se concluye que si es mayor que 1 (y hay más de un cociente), no es primo.
Para un primo de la forma , sea el conjunto de las fracciones , desarrolladas en fracción continua.
En el desarrollo en fracción continua de se tiene que , porque , y porque asumimos que el último cociente es mayor que 1.
La función asocia a cada elemento de otro elemento de , porque el numerador de una fracción continua no se altera si se invierte el orden de los cocientes y el denominador es un número menor que , porque .
La función es entonces una involución de .
Si , el número de elementos de es , un número impar, y entonces tiene por lo menos un punto fijo, es decir, existe un que da una fracción continua simétrica (por la observación (2) anterior, el número de cocientes ha de ser par porque es primo).
Entonces es suma de 2 cuadrados por la observación (1) anterior.
El conjunto de los números enteros es un conjunto numérico bien conocido por todos nosotros. Y, aunque seguro que en menor medida, también lo es el conjunto de los números complejos, conjunto numérico muy interesante y muy útil en gran cantidad de problemas relacionados con muchas ramas de las matemáticas.
¿Qué ocurriría sin mezclamos las dos definiciones de estos conjuntos? Me explico:
¿Tendrá alguna utilidad considerar el conjunto de los números complejos cuyas partes real e imaginaria son números enteros?
No habría sido extraño que fuera algo así lo que pensó Gauss al introducir este conjunto en 1832 (aunque en realidad su motivación fue el estudio sobre sumas de cuadrados). Y la verdad es que acertó (como muchas otras veces). Encontró un conjunto realmente especial. Vamos a hablar un poco sobre él y sobre sus interesantes y curiosas propiedades. (Leer el resto del post)
también lo es, por lo que 
.
…qué raro. 
es efectivamente el primo de Mersenne número 40 si los colocamos en orden creciente.
, la constante de Euler-Mascheroni 
o el número 
.
, llamados 
:
es un número primo y 
es un número natural que no es divisible por 
de Euler ejerce un papel de suma importancia.
que cumplen que:
, para cualquier 
. Que este conjunto de números sea un conjunto CuCu significa lo siguiente:
:
, es decir, que
. Para ello partiremos de la parte de la igualdad relativa al cuadrado y utilizaremos el caso 
y como segundo término 
en la segunda:
y agrupándolo con el segundo sumando obtenemos 
, llegando entonces a la igualdad buscada. 
y 
divisor (el 1 solamente).
divisores (el 1 y el 2).
divisores (el 1, el 2 y el 4).
divisores (el 1, el 2, el 5 y el 10).
divisores (el 1, el 2, el 4, el 5, el 10 y el 20).
es un conjunto CuCu:
.
es suma de los cuadrados de dos números enteros. Además la representación 
es única si 
.
, la representación anterior da una factorización de un primo natural 
en 
y 
son primos en ese anillo.
que son solución de 
hasta que encontremos la solución de 
, y eso puede funcionar para primos pequeños como 100123456789 y 100987654321, pero no sirve para primos algo más grandes como el 
.
tal que 
, es decir, 
.
. El primer resto que encontramos menor que 
es el valor de 
, y están basados en los resultados de la teoría elemental de residuos cuadráticos.
(es decir, un número que no sea un cuadrado 
). Como la mitad de los números menores que 
.
.
, la lista de cocientes parciales del desarrollo en fracción continua de ![{}[a_0, \ldots, a_n] = [a_0, \ldots, a_n-1, 1]](http://s.wordpress.com/latex.php?latex=%7B%7D%5Ba_0%2C%20%5Cldots%2C%20a_n%5D%20%3D%20%5Ba_0%2C%20%5Cldots%2C%20a_n-1%2C%201%5D&bg=ffffff&fg=000000&s=0 "{}[a_0, \ldots, a_n] = [a_0, \ldots, a_n-1, 1]")
).![p = N[a_0,\ldots,a_h,a_h,\ldots ,a_0] = N[a_0,\ldots,a_h]^2 + N[a_0,\ldots,a_{h-1}]^2](http://s.wordpress.com/latex.php?latex=p%20%3D%20N%5Ba_0%2C%5Cldots%2Ca_h%2Ca_h%2C%5Cldots%20%2Ca_0%5D%20%3D%20N%5Ba_0%2C%5Cldots%2Ca_h%5D%5E2%20%2B%20N%5Ba_0%2C%5Cldots%2Ca_%7Bh-1%7D%5D%5E2%20&bg=ffffff&fg=000000&s=0 "p = N[a_0,\ldots,a_h,a_h,\ldots ,a_0] = N[a_0,\ldots,a_h]^2 + N[a_0,\ldots,a_{h-1}]^2")
.
hasta que obtengamos un resto menor que 
.
. Si no se cumple la igualdad, se concluye que el número 
no serán, en general, correctos).![{}[ a_0, a_1, \ldots, a_n ]](http://s.wordpress.com/latex.php?latex=%7B%7D%5B%20a_0%2C%20a_1%2C%20%5Cldots%2C%20a_n%20%5D%20&bg=ffffff&fg=000000&s=0 "{}[ a_0, a_1, \ldots, a_n ]")
para representar la fracción continua finita cuyos cocientes parciales son 
. Designamos con ![N[ a_0, a_1, \ldots, a_n ]](http://s.wordpress.com/latex.php?latex=N%5B%20a_0%2C%20a_1%2C%20%5Cldots%2C%20a_n%20%5D%20&bg=ffffff&fg=000000&s=0 "N[ a_0, a_1, \ldots, a_n ]")
el numerador de la fracción ![{}[a_0, a_1, \ldots, a_{n-1}, 1 ] = [a_0, a_1, \ldots, a_{n-1} + 1 ]](http://s.wordpress.com/latex.php?latex=%7B%7D%5Ba_0%2C%20a_1%2C%20%5Cldots%2C%20a_%7Bn-1%7D%2C%201%20%5D%20%3D%20%5Ba_0%2C%20a_1%2C%20%5Cldots%2C%20a_%7Bn-1%7D%20%2B%201%20%5D&bg=ffffff&fg=000000&s=0 "{}[a_0, a_1, \ldots, a_{n-1}, 1 ] = [a_0, a_1, \ldots, a_{n-1} + 1 ]")
, asumimos que el último cociente es siempre mayor que 1.![N[a_0, a_1, \ldots, a_n ] = N[a_n, a_{n-1}, \ldots, a_0 ]](http://s.wordpress.com/latex.php?latex=N%5Ba_0%2C%20a_1%2C%20%5Cldots%2C%20a_n%20%5D%20%3D%20%20N%5Ba_n%2C%20a_%7Bn-1%7D%2C%20%5Cldots%2C%20a_0%20%5D%20&bg=ffffff&fg=000000&s=0 "N[a_0, a_1, \ldots, a_n ] = N[a_n, a_{n-1}, \ldots, a_0 ]")
,
![N[a_0,\ldots,a_k,\ldots,a_n] = N[a_0,\ldots,a_k] N[a_{k+1},\ldots,a_n] + N[a_0,\ldots,a_{k-1}] N[a_{k+2},\ldots,a_n]](http://s.wordpress.com/latex.php?latex=N%5Ba_0%2C%5Cldots%2Ca_k%2C%5Cldots%2Ca_n%5D%20%3D%20%20N%5Ba_0%2C%5Cldots%2Ca_k%5D%20N%5Ba_%7Bk%2B1%7D%2C%5Cldots%2Ca_n%5D%20%2B%20%20N%5Ba_0%2C%5Cldots%2Ca_%7Bk-1%7D%5D%20%20N%5Ba_%7Bk%2B2%7D%2C%5Cldots%2Ca_n%5D%20&bg=ffffff&fg=000000&s=0 "N[a_0,\ldots,a_k,\ldots,a_n] = N[a_0,\ldots,a_k] N[a_{k+1},\ldots,a_n] + N[a_0,\ldots,a_{k-1}] N[a_{k+2},\ldots,a_n]")
![N[a_0,\ldots,a_h,a_h,\ldots ,a_0] = N[a_0,\ldots,a_h]^2 + N[a_0,\ldots,a_{h-1}]^2](http://s.wordpress.com/latex.php?latex=N%5Ba_0%2C%5Cldots%2Ca_h%2Ca_h%2C%5Cldots%20%2Ca_0%5D%20%3D%20N%5Ba_0%2C%5Cldots%2Ca_h%5D%5E2%20%2B%20N%5Ba_0%2C%5Cldots%2Ca_%7Bh-1%7D%5D%5E2%20&bg=ffffff&fg=000000&s=0 "N[a_0,\ldots,a_h,a_h,\ldots ,a_0] = N[a_0,\ldots,a_h]^2 + N[a_0,\ldots,a_{h-1}]^2")
. ![N[a_0,\ldots,a_h,a_{h+1},a_h,\ldots ,a_0] = N[a_0,\ldots,a_{h}] ( N[a_0,\ldots,a_{h+1}] + N[a_0,\ldots,a_{h-1}] )](http://s.wordpress.com/latex.php?latex=N%5Ba_0%2C%5Cldots%2Ca_h%2Ca_%7Bh%2B1%7D%2Ca_h%2C%5Cldots%20%2Ca_0%5D%20%3D%20N%5Ba_0%2C%5Cldots%2Ca_%7Bh%7D%5D%20%28%20%20N%5Ba_0%2C%5Cldots%2Ca_%7Bh%2B1%7D%5D%20%2B%20N%5Ba_0%2C%5Cldots%2Ca_%7Bh-1%7D%5D%20%29%20%20&bg=ffffff&fg=000000&s=0 "N[a_0,\ldots,a_h,a_{h+1},a_h,\ldots ,a_0] = N[a_0,\ldots,a_{h}] ( N[a_0,\ldots,a_{h+1}] + N[a_0,\ldots,a_{h-1}] )")
.
es mayor que 1 (y hay más de un cociente), ![N[a_0,\ldots,a_h,a_{h+1},a_h,\ldots ,a_0]](http://s.wordpress.com/latex.php?latex=N%5Ba_0%2C%5Cldots%2Ca_h%2Ca_%7Bh%2B1%7D%2Ca_h%2C%5Cldots%20%2Ca_0%5D&bg=ffffff&fg=000000&s=0 "N[a_0,\ldots,a_h,a_{h+1},a_h,\ldots ,a_0]")
no es primo.
, sea 
el conjunto de las fracciones 
, desarrolladas en fracción continua.![\dfrac{p}{i} = [a_0, a_1, \ldots, a_n ]](http://s.wordpress.com/latex.php?latex=%5Cdfrac%7Bp%7D%7Bi%7D%20%3D%20%5Ba_0%2C%20a_1%2C%20%5Cldots%2C%20a_n%20%5D&bg=ffffff&fg=000000&s=0 "\dfrac{p}{i} = [a_0, a_1, \ldots, a_n ]")
se tiene que 
, porque 
, y 
porque asumimos que el último cociente es mayor que 1.![f([a_0, \ldots, a_n ]) = [a_n, \ldots, a_0]](http://s.wordpress.com/latex.php?latex=f%28%5Ba_0%2C%20%5Cldots%2C%20a_n%20%5D%29%20%3D%20%5Ba_n%2C%20%5Cldots%2C%20a_0%5D%20&bg=ffffff&fg=000000&s=0 "f([a_0, \ldots, a_n ]) = [a_n, \ldots, a_0]")
asocia a cada elemento de 
, porque 
es entonces una involución de 
, el número de elementos de 
, un número impar, y entonces 
que da una fracción continua simétrica ![\dfrac{p}{r} = [a_0, \ldots, a_h, a_h, \ldots, a_0]](http://s.wordpress.com/latex.php?latex=%5Cdfrac%7Bp%7D%7Br%7D%20%3D%20%5Ba_0%2C%20%5Cldots%2C%20a_h%2C%20a_h%2C%20%5Cldots%2C%20a_0%5D%20&bg=ffffff&fg=000000&s=0 "\dfrac{p}{r} = [a_0, \ldots, a_h, a_h, \ldots, a_0]")
(por la observación (2) anterior, el número de cocientes ha de ser par porque ![\dfrac{p}{r} = [a_0, \ldots, a_h, a_h, \ldots, a_0 ] = \dfrac{N[a_0, \ldots, a_h , a_h, \ldots, a_0]}{D[a_0, \ldots, a_h , a_h, \ldots, a_0]}](http://s.wordpress.com/latex.php?latex=%5Cdfrac%7Bp%7D%7Br%7D%20%3D%20%5Ba_0%2C%20%5Cldots%2C%20a_h%2C%20a_h%2C%20%5Cldots%2C%20a_0%20%5D%20%3D%20%5Cdfrac%7BN%5Ba_0%2C%20%5Cldots%2C%20a_h%20%2C%20a_h%2C%20%5Cldots%2C%20a_0%5D%7D%7BD%5Ba_0%2C%20%5Cldots%2C%20a_h%20%2C%20a_h%2C%20%5Cldots%2C%20a_0%5D%7D&bg=ffffff&fg=000000&s=0 "\dfrac{p}{r} = [a_0, \ldots, a_h, a_h, \ldots, a_0 ] = \dfrac{N[a_0, \ldots, a_h , a_h, \ldots, a_0]}{D[a_0, \ldots, a_h , a_h, \ldots, a_0]}")
.![D[a_0,a_1,\ldots a_n] = N[a_1,\ldots a_n], \ \ r=N[a_1,\ldots a_h, a_h, \ldots, a_0]](http://s.wordpress.com/latex.php?latex=D%5Ba_0%2Ca_1%2C%5Cldots%20a_n%5D%20%3D%20%20%20N%5Ba_1%2C%5Cldots%20a_n%5D%2C%20%5C%20%5C%20r%3DN%5Ba_1%2C%5Cldots%20a_h%2C%20a_h%2C%20%5Cldots%2C%20a_0%5D&bg=ffffff&fg=000000&s=0 "D[a_0,a_1,\ldots a_n] = N[a_1,\ldots a_n], \ \ r=N[a_1,\ldots a_h, a_h, \ldots, a_0]")
![N[a_0 \ldots,a_n] N[a_1, \ldots,a_{n-1}] - N[a_0 \ldots,a_{n-1}] N[a_1, \ldots,a_n] = (-1)^{n-1}](http://s.wordpress.com/latex.php?latex=%20N%5Ba_0%20%5Cldots%2Ca_n%5D%20N%5Ba_1%2C%20%5Cldots%2Ca_%7Bn-1%7D%5D%20-%20N%5Ba_0%20%5Cldots%2Ca_%7Bn-1%7D%5D%20N%5Ba_1%2C%20%5Cldots%2Ca_n%5D%20%3D%20%28-1%29%5E%7Bn-1%7D%20&bg=ffffff&fg=000000&s=0 "N[a_0 \ldots,a_n] N[a_1, \ldots,a_{n-1}] - N[a_0 \ldots,a_{n-1}] N[a_1, \ldots,a_n] = (-1)^{n-1}")
![p N[a_1,\ldots,a_h,a_h,\ldots, a_1] - r^2 = 1](http://s.wordpress.com/latex.php?latex=%20p%20N%5Ba_1%2C%5Cldots%2Ca_h%2Ca_h%2C%5Cldots%2C%20a_1%5D%20-%20r%5E2%20%3D%201%20&bg=ffffff&fg=000000&s=0 "p N[a_1,\ldots,a_h,a_h,\ldots, a_1] - r^2 = 1")
de los números enteros es un conjunto numérico bien conocido por todos nosotros. Y, aunque seguro que en menor medida, también lo es el conjunto 
de los números complejos, conjunto numérico muy interesante y muy útil en gran cantidad de problemas relacionados con muchas ramas de las matemáticas.
