El teorema de Wilson

Introducción

El teorema de Wilson es un resultado de teoría de números relacionado con la primalidad de un número entero positivo. Fue atribuido a John Wilson por su profesor Edward Waring. Éste último comentó que Wilson había dejado anotado este resultado en un cuaderno pero que no lo había demostrado (os suena esta historia, ¿verdad?). El propio Waring tampoco pudo hacerlo y tuvo que ser Lagrange en 1771 quien dio la primera prueba.

En esta entrada vamos a dar una sencilla demostración que utiliza propiedades más o menos elementales de teoría de números.

El teorema de Wilson

Teorema: Sea p un número entero mayor que 1. Entonces p es primo si y sólo si

(p-1)! \equiv -1 \; (mod \; p)

Demostración:

De forma sencilla puede comprobarse que este resultado es cierto para p=2 y para p=3. Supongamos entonces que p > 3.

Para demostrar la implicación de derecha a izquierda (si (p-1)! \equiv -1 \; (mod \; p) entonces p es primo) vamos a demostrar su contrarrecíproco, es decir, vamos a demostrar que si p es compuesto entonces no se cumple esa igualdad:

\Longleftarrow) Supongamos que p es compuesto. Entonces sus divisores positivos se encuentran entre los enteros 1,2, \ldots ,p-1. Por tanto es claro que mcd ((p-1)!,p >1$. En particular p tiene algún divisor d > 1.

Supongamos ahora que el resultado es cierto, es decir, que (p-1)! \equiv -1 \; (mod \; p). Como d divide a p entonces d también divide a (p-1)! y, por la congruencia, d divide a (p-1)!+1. Por tanto d divide a 1, hecho que nos lleva a una contradicción con la condición d >1. En consecuencia la implicación de derecha a izquierda es cierta.

\Longrightarrow) Supongamos ahora que p es primo. Por tanto todos los enteros 1,2, \ldots , p-1 son primos relativos con p. Por otra parte ese conjunto de números forma un grupo con la multiplicación, en concreto el grupo \mathbb{Z}_p de los enteros módulo p (en realidad, al ser p primo ese conjunto es un cuerpo, pero ahora sólo nos interesa su condición de grupo con esa operación). Entre otras cosas eso significa que para todo a \in \mathbb{Z}_P existe un único b \in \mathbb{Z}_p tal que a \cdot b \equiv 1 \; (mod \; p). También por ser p primo se tiene que a=b si y sólo si a=1 ó a=p-1, es decir, 1 y p-1 son inversos el uno del otro. Por tanto para cualquier otro elemento del grupo distinto de éstos se tiene que su inverso también es distinto de éstos. En consecuencia podemos agrupar el resto de elementos por parejas (cada uno junto a su inverso) para que se cumpla lo siguiente:

2 \cdot 3 \cdot \ldots \cdot p-2 \equiv 1 \; (mod \; p)

Esto es, (p-2)! \equiv 1 \; (mod \; p). Multiplicando ahora a ambos lados por (p-1) y utilizando que p-1 \equiv -1 \; (mod \; p) obtenemos el resultado buscado.

Utilidad del teorema

El teorema tiene principalmente valor teórico ya que en la práctica es relativamente complicado calcular (p-1)! para valores grandes de p. Por eso generalmente antes que este teorema suelen usarse otros tests de primalidad, como el pequeño teorema de Fermat.

De todas formas es útil para generar a partir de él fórmulas de primos, es decir, fórmulas que generar números primos (en Gaussianos ya vimos algo así con los números primos pseudogemelos). Aunque, como en el caso anterior, suelen ser fórmulas poco prácticas por lo costoso que es calcular (p-1)! para p muy grande.

De todas formas, como dije antes, la belleza del resultado reside en su valor teórico. Y algunas, en ocasiones, tenemos suficiente con ello.

Fuentes:

Autor: ^DiAmOnD^ | Publicado el 20 de Octubre de 2008 | 3 Comentarios
Categorías: Demostraciones, Números enteros, Números primos, Teoremas

Demostración topológica de la infinitud de los números primos

En Gaussianos ya hemos visto, que yo recuerde, dos demostraciones de la infinitud de los números primos: la de Euclides y la que utiliza los números de Fermat. En esta entrada vamos a otra demostración de este hecho.

La prueba que vamos a ver es topológica y se debe al matemático israelí Hillel Furstenberg. A mí me parece muy interesante ya que en principio a uno no se le ocurre qué relación puede haber entre la infinitud de los números primos y la topología. Esta demostración, por tanto, servirá como otro ejemplo más de la conexión que existe entre ramas tan distintas de las matemáticas.
(Leer el resto del post)

Autor: ^DiAmOnD^ | Publicado el 6 de Octubre de 2008 | 8 Comentarios
Categorías: Demostraciones, Números primos, Topología

¡¡Tenemos dos nuevos primos de Mersenne!!

Como ya comentamos hace unos días se habían encontrado dos nuevos posibles primos de Mersenne, los que ocuparían las posiciones 45 y 46. Estábamos esperando que terminaran los respectivos procesos de verificación…y ese momento ya ha llegado: los dos son primos.

Acabo de ver en la web del proyecto GIMPS lo siguiente:

The primes were independently verified in 13 days and 5 days respectively by Tom Duell (Burlington, MA, USA) and Rob Giltrap (Wellington, New Zealand), both of Sun Microsystems, using the Mlucas program by Ernst Mayer of Cupertino California USA. The verification ran on 8 dual-core SPARC64 VI 2.15Ghz CPUs of a Sun SPARC Enterprise M5000 Server and 4 quad-core SPARC64 VII 2.52GHz CPUs of a Sun SPARC Enterprise M8000 Server in Menlo Park, CA, USA.

We are working on finding a suitable press outlet. Details will be announced early next week.

Esperaremos a la semana que viene para tener todos los detalles.

Autor: ^DiAmOnD^ | Publicado el 11 de Septiembre de 2008 | 39 Comentarios
Categorías: Noticias, Números primos

Todo número de Mersenne con exponente compuesto es también compuesto

Sive, en este comentario, ha dado una demostración informática de que un número de Mersenne con exponente compuesto es también compuesto. En este post voy a dar yo una más matemática.

Definición

Un número de Mersenne es un número M de la forma M=2^n-1, con n\in\mathbb{N}.

Teorema

Todo número de Mersenne M=2^n-1 con n compuesto es también compuesto.

Demostración

Si n es compuesto se puede descomponer como producto de al menos dos factores mayores que 1. Supongamos entonces n=p \; q, con p,q > 1.

Sabemos que a^m-b^m=(a-b) \; (a^{m-1}+a^{m-2} \; b+ \ldots +a \; b^{m-2}+b^{m-1}). Además 2^n=2^{p \;q}=(2^p)^q. Tomando a=2^p y m=q en la igualdad anterior se tiene el resultado:

(2^p)^q-1=(2^p)^q-1^q=(2^p-1) \; ((2^p)^{q-1}+(2^p)^{q-2}+ \ldots +2^p+1)

Es decir, 2^{pq}-1 tiene al menos dos factores mayores que 1 y, por tanto, es compuesto.

¿Qué pasa si n es primo? Pues que sus únicos divisores son 1 y el propio n. Por tanto, utilizando la igualdad anterior obtendríamos:

2^n-1=2^n-1^n=(2-1) \; (2^{n-1}+2^{n-2}+ \ldots +2+1)=2^{n-1}+2^{n-2}+ \ldots +2+1

número éste que podría ser primo o no. Por eso 2^n-1 sólo puede ser primo si n lo es.

Autor: ^DiAmOnD^ | Publicado el 29 de Agosto de 2008 | 11 Comentarios
Categorías: Demostraciones, Números enteros, Números primos

Posible descubrimiento del primo de Mersenne número 45

El día 23 de agosto el grupo GIMPS recibió el aviso del descubrimiento de un nuevo primo de Mersenne, número que todavía no han hecho público. Los primos de Mersenne (como ya vimos en posible descubrimiento del 44) son los números primos de la forma 2^n-1, con n un número primo. El mayor conocido hasta ahora es precisamente el número 44:

2^{32582657}-1

Éste rozó los 10 millones de cifras (concretamente 9808358), y se esperaba que el próximo en ser encontrado las superara. Pues tendremos que esperar unos días, al parecer unas dos semanas, para 1) que se verifique que el número encontrado es primo; y 2) en ese caso saber el número de cifras.

En God Plays Dice, sitio donde he visto la noticia, han publicado su predicción sobre el número de cifras y, aunque está ciertamente fundamentada, a mí me parece muy grande. Paso a explicarla:

Según la enciclopedia de las sucesiones, el número de primos de Mersenne hasta el de exponente N es aproximadamente K \; \log(N), para cierta constante K.

En el caso de primo de Mersenne número 44, 44 \approx K \; \log(32582657). Despejando obtenemos K=2,5434. Utilizando ese valor de K para el primo de Mersenne número 45 obtendríamos que tiene ¡¡14,5 millones de cifras!!.

Lo que he dicho antes, me parece demasiado.

De todas formas habrá que estar atentos a las noticias sobre el tema en los próximos días.

Autor: ^DiAmOnD^ | Publicado el 28 de Agosto de 2008 | 34 Comentarios
Categorías: Noticias, Números primos

¿Sabía que…

…los números 1201,1213,1217,1223,1229,1231 y 1237 forman la lista de siete números primos consecutivos más pequeños posible que cumplen que son todos primos reversibles (es decir, son primos y al escribirlos al revés, 1021,3121,7121,3221,9221,1321 y 7321, también lo son) y su concatenación también es un primo reversible (1201121312171223122912311237 y 7321132192213221712131211021 son primos)?

El primer caso con más de siete primos tiene ocho. La lista está formada por los primos siguientes:

35547705709,35547705727,35547705731,35547705749,35547705757,35547705827,35547705829 y 35547705841

Información sacada de este enlace de la web Prime Puzzles, donde se pueden ver más ejemplos de listas de este tipo.

Autor: ^DiAmOnD^ | Publicado el 15 de Mayo de 2008 | 8 Comentarios
Categorías: Números primos, ¿Sabía que ...?

Números primos pseudogemelos

Sebastián Martín Ruiz me manda un mail hablándome sobre un nuevo tipo de números cuya descripción ha creado él mismo: los primos pseudogemelos. Vamos a ver cómo se construyen:

Definición

Dados n,m enteros positivos mayores o iguales que 1 definimos la siguiente operación entre ellos:

TW \left [n,m \right ]=\cfrac{\left [ (n-1)!+1 \right ] \left [ (m-1)!+1 \right ] (n^2+m^2)}{n^2 m^2+2nm}

Decimos que n y m son números primos pseudogemelos si TW \left [n,m \right ] es un número entero.

¿Por qué primos pseudogemelos?

La primera pregunta que puede venirnos a la cabeza es la que encabeza esta parte del artículo: ¿por qué primos pseudogemelos?. Pues muy sencillo: casi todos los valores enteros de la expresión TW \left [n,m \right ] se toman en primos gemelos. De hecho esta fórmula es mucho más sorprendente: todas las parejas de primos gemelos hacen que TW \left [n,m \right ] tome como valor un número entero. Bueno, en realidad esto es una conjetura apoyada en pruebas experimentales. Introduciendo las órdenes

F[n_,m_]:=((n-1)!+1)*((m-1)!+1)*(m^2+n^2)/((m*n)*(m*n+2))
Do[If[IntegerQ[F[n,m]],Print[n," ",m]],{n,2,2000},{m,n,2000}]

podemos encontrar con el programa Mathematica las parejas de primos pseudogemelos, es decir, las parejas de números enteros positivos que hacen que TW \left [n,m \right ] sea un número entero, menores que 2000. En este enlace podéis encontrar varias listas de primos gemelos con las que comprobar este hecho. Os dejo aquí la lista de parejas que aparecen de 2 a 2000 que me envió Sebastián (en negrita las dos únicas parejas que no son primos gemelos) y otra de 2000 a 4000 que he generado yo (cambiando {n,2,2000},{m,n,2000} por {n,2000,4000},{m,n,4000} en las órdenes anteriores) para que podáis compararlas con la de los primos gemelos:

De 2 a 2000

3 5
5 7
7 191
11 13
17 19
29 31
41 43
41 1993
59 61
71 73
101 103
107 109
137 139
149 151
179 181
191 193
197 199
227 229
239 241
269 271
281 283
311 313
347 349
419 421
431 433
461 463
521 523
569 571
599 601
617 619
641 643
659 661
809 811
821 823
827 829
857 859
881 883
1019 1021
1031 1033
1049 1051
1061 1063
1091 1093
1151 1153
1229 1231
1277 1279
1289 1291
1301 1303
1319 1321
1427 1429
1451 1453
1481 1483
1487 1489
1607 1609
1619 1621
1667 1669
1697 1699
1721 1723
1787 1789
1871 1873
1877 1879
1931 1933
1949 1951
1997 1999

De 2000 a 4000

Do[If[IntegerQ[F[n,m]],Print[n," ",m]],{n,2000,4000},{m,n,4000}]

2027 2029
2081 2083
2087 2089
2111 2113
2129 2131
2141 2143
2237 2239
2267 2269
2309 2311
2339 2341
2381 2383
2549 2551
2591 2593
2657 2659
2687 2689
2711 2713
2729 2731
2789 2791
2801 2803
2969 2971
2999 3001
3119 3121
3167 3169
3251 3253
3257 3259
3299 3301
3329 3331
3359 3361
3371 3373
3389 3391
3461 3463
3467 3469
3527 3529
3539 3541
3557 3559
3581 3583
3671 3673
3767 3769
3821 3823
3851 3853
3917 3919
3929 3931

Comencé las comprobaciones para números mayores pero tarda demasiado y han salido muy pocos: entre 4000 y 6000 he obtenido las siete primeras parejas y coinciden con los primos gemelos y entre 6000 y 8000 he conseguido las tres primeras parejas y también coinciden. De todas formas igual las órdenes de Mathematica que ha utilizado Sebastián igual son mejorables en el sentido de agilizar los cálculos. Si conocéis alguna mejora no dudéis en comentarla.

¿Sólo aparecen primos gemelos?

Hasta 4000 sólo aparecen dos parejas de números que hacen que TW \left [n,m \right ] tome un valor entero pero no son primos gemelos: (7,191) y (41,1993). ¿Son las únicas parejas? No se sabe. Es otra pregunta que se nos ocurren a la vista de la fórmula.

Cuestiones

Por tanto después de todo lo comentado tenemos principalmente estas dos cuestiones planteadas por Sebastián:

1.- Demostrar que si n y m son primos gemelos entonces son primos pseudogemelos.
2.- Encontrar más parejas de primos pseudogemelos que no sean primos gemelos aparte de (7,191) y (41,1993).

A la vista de los datos experimentales no parece que haya más parejas de primos pseudogemelos que no sean primos gemelos. Si ésto fuera así y si se demuestra la primera cuestión tendríamos el siguiente resultado:

Los conjuntos {parejas de primos pseudogemelos} y {parejas de primos gemelos} coinciden salvo en las parejas (7,191) y (41,1993) que pertenecen al primer conjunto pero no al segundo.

Esto sería un descubrimiento bestial ya que supondría haber encontrado una fórmula para generar parejas de números primos gemelos, cosa que, hasta donde yo sé, no existía hasta la fecha. Y por extensión también para encontrar nuevos números primos, ya que todos los números que aparecen a partir de la fórmula son números primos. No los encontraremos todos, pero sí podríamos encontrar primos realmente grandes con una fórmula bastante simple comparada con los algoritmos que existen en la actualidad. De hecho estos algoritmos, también hasta donde yo sé, lo que hacen es tomar un número y aplicarle ciertos resultados para determinar si es primo. Esta fórmula también es mejor en este sentido ya que, siempre partiendo de que la cuestión anterior es cierta, no hace falta introducirle un número para comprobar, los genera sola. Lo dicho, bestial.

¿Habrá conseguido Sebastián abrir la puerta del descubrimiento de una fórmula generadora de números primos gemelos y en consecuencia también de números primos? Si es así, como he comentado antes, esta fórmula no los generaría a todos. De todas formas, ¿servirá esta fórmula para encontrar otras a partir de ella que generen los restantes? Preguntas sin respuesta, al menos por ahora.

El último dato del asunto que tengo en mi poder es que Sebastián ha enviado su fórmula con las cuestiones a varios sitios, entre los cuales está Prime Puzzles, web dedicada a recopilar los problemas más interesantes relacionados con los números primos. Podéis encontrar el problema de los números primos pseudogemelos en este enlace: Puzzle 444: Pseudo Twin primes. También ha enviado la información a Wolfram y a algunos otros sitios para que lo analicen. Tendremos que estar atentos.

Actualización: Me informa Sebastián por mail de que ha encontrado dos parejas más de números que cumplen que la fórmula da un número entero pero no son primos gemelos. Aquí las tenéis:

(59,13537)
(241,45293)

De todas formas parece que el resto siguen coincidiendo con las parejas de primos gemelos. Seguiré actualizando esta entrada conforme me vayan llegando más datos.

Autor: ^DiAmOnD^ | Publicado el 12 de Mayo de 2008 | 18 Comentarios
Categorías: Números primos

La serie armónica y la serie de los inversos de los números primos

Introducción

En algún post de Gaussianos se ha hablado ya de la serie armónica:

\displaystyle{\sum_{n=1}^\infty \cfrac{1}{n}}

En este post vamos a ver una sencilla demostración de la divergencia de esta serie1. Además veremos también una demostración (algo más complicada) de la divergencia de la serie de los inversos de los números primos, hecho que además del interés que tiene por sí mismo sirve de demostración (una más) de la infinitud del conjunto de los números primos.

Demostración de la divergencia de la serie armónica

La demostración que vamos a ver sobre la divergencia de la serie armónica es bastante sencilla y al parecer se la debemos a Nicolás Oresme:

\begin{matrix} \displaystyle{\sum_{n=1}^\infty \cfrac{1}{n}=1+\left [ \frac{1}{2} \right ] + \left [ \frac{1}{3} + \frac{1}{4} \right ] + \left [ \frac{1}{5} + \frac{1}{6} + \frac{1}{7} + \frac{1}{8} \right ]+ \cdots >} \\ \displaystyle{> 1+ \left [ \frac{1}{2} \right ] + \left [ \frac {1}{4} + \frac{1}{4} \right ] + \left [ \frac{1}{8} + \frac{1}{8} + \frac{1}{8} + \frac{1}{8} \right ] + \cdots=1+ \frac{1}{2}+\frac{1}{2}+\frac{1}{2}+\cdots} \end{matrix}

Hemos obtenido que la serie armónica es mayor que una serie que es claramente divergente. Por tanto la misma serie armónica debe ser también divergente.

Divergencia de la suma de los inversos de los números primos

Aclarando desde este momento que si una suma o producto tiene como índice p nos referiremos al conjunto de los números primos vamos a demostrar que \displaystyle{\sum_p \frac{1}{p}} es divergente. Como se tiene que:

\displaystyle{\sum_p \frac{1}{p} < \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n}}

no podemos utilizar de forma tan directa la divergencia de la serie armónica para comprobar este resultado, aunque este hecho será importante para dicha demostración. Otro resultado fundamental para la misma es lo que se conoce como fórmula del producto de Euler, que establece lo siguiente:

\displaystyle{\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^s}=\prod_p \frac{1}{1-p^{-s}}}

La demostración de este hecho podéis verla aquí.

Tomando s=1 en esta fórmula obtenemos la igualdad que vamos a utilizar en nuestra demostración:

\displaystyle{\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n}=\prod_p \frac{1}{1-p^{-1}}}

Vamos ya con nuestra demostración:

\displaystyle{\ln \left (\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n} \right )=\ln \left (\prod_p \frac{1}{1-p^{-1}} \right )=\sum_p \ln \left ( \frac{1}{1-p^{-1}} \right )=\sum_p -\ln(1-p^{-1})=*}

Utilizando ahora que Taylor y sus desarrollos en serie nos dicen que \displaystyle{\ln(1-x) = -\sum^{\infty}_{n=1} \frac{x^n}n} para |x| < 1:

\begin{matrix} \displaystyle{*=\sum_p \left (\frac{1}{p}+\frac{1}{2p^2}+\frac{1}{3p^3}+\cdots \right)=\sum_p \left (\frac{1}{p} \right )+\sum_p \frac{1}{p^2} \left (\frac{1}{2}+\frac{1}{3p}+\cdots \right ) <} \\ \displaystyle{< \sum_p \left (\frac{1}{p} \right ) +\sum_p \frac{1}{p^2} \left ( 1+\frac{1}{p}+\frac{1}{p^2}+\cdots \right )=\sum_p \left ( \frac{1}{p} \right )+\sum_p \frac{1}{p(p-1)}=\sum_p \left ( \frac{1}{p} \right )+C} \end{matrix}

siendo C<1 una cierta constante ya que esa serie sí es convergente (en este último desarrollo hemos sustituido 2,3, \ldots por 1 y hemos utilizado la fórmula de la suma de una progresión geométrica).

Tomando límite ahora obtenemos el resultado perseguido:

\displaystyle{\sum_p \frac{1}{p}=+\infty}

Es decir, la suma de los inversos de los números primos es divergente.

Extra

Como dijimos anteriormente este resultado nos sirve como demostración de la infinitud de los números primos. ¿Por qué? Pues muy sencillo. Si esa serie tiene cómo límite +\infty significa, entre otras cosas, que está formada por infinitos términos. Como cada término corresponde a números primos distintos obtenemos que existen infinitos números primos.

Fuentes:

1: Una serie numérica infinita se dice divergente si el límite de su sucesión de sumas parciales es \infty.

Autor: ^DiAmOnD^ | Publicado el 10 de Diciembre de 2007 | 37 Comentarios
Categorías: Demostraciones, Números primos

Dos problemas sobre primos

Uno de los comentaristas más prolíficos e interesantes de Gaussianos, Asier, nos plantea un par de problemas. Os los dejo aquí:

1.- Demostrar que si p es un número primo tal que p \geq 5, entonces p^2-1 será divisible por 24.
2.- Demostrar que si p y q son dos números primos tal que p>q y p,q>3 entonces la diferencia p^2-q^2 es múltiplo de 24.

Autor: ^DiAmOnD^ | Publicado el 2 de Octubre de 2007 | 14 Comentarios
Categorías: Juegos, Números primos

Un número perfecto impar debe tener al menos tres factores primos

Hace un tiempo propuse este problema sobre números perfectos. Nuestro amigo Domingo lo resolvió y nos propuso otro problema sobre este tipo de números:

Demostrar que si N es un número perfecto impar entonces N debe tener al menos tres factores primos

Parece claro que un camino coherente para llegar a la demostración es descartar que pueda tener uno o dos factores primos. Esa es la línea que se siguió en los comentarios de aquel post y es la que vamos a seguir aquí.

Un número perfecto impar no puede tener sólo un factor primo

edmond, otro de nuestros comentaristas, casi terminó de demostrar esta parte (podéis verlo aquí), aunque quien la remató fue Domingo. La vemos:

Supongamos que tenemos un número perfecto impar con sólo un factor primo, digamos N=p^{\alpha}, con \alpha \ge 1. Sus divisores serán los números 1,p,p^2, \cdots ,p^{\alpha}. Calculamos su suma con la fórmula de la suma de una progresión geométrica:

1+p+p^2+ \cdots +p^{\alpha}=\cfrac{p^{\alpha+1}-1}{p-1}

Como N es un número perfecto debe ser igual a la suma de sus divisores propios. Como entre los divisores que hemos tomado está también el propio N=p^{\alpha} entonces esa suma será igual a 2N:

\cfrac{p^{\alpha+1}-1}{p-1}=2p^{\alpha} \Longrightarrow p^{\alpha+1}-1=2p^{\alpha}(p-1)=2p^{\alpha+1}-2p^{\alpha}

Simplificamos y queda:

2p^{\alpha}-p^{\alpha+1}=1 \Longrightarrow p|1

Lo cual es absurdo ya que p es un número primo impar y por tanto p \ge 3. Por tanto ya tenemos demostrada la primera parte.

Pregunta: ¿dónde hemos usado que N es impar?

Un número perfecto impar no puede tener sólo dos factores primos

Esta parte es algo más complicada que la primera. Yo lo estuve intentado. De hecho mandé varios mails con posibles demostraciones a Domingo, pero por desgracia todas contenían algún error. Al final, aunque yo ya había avanzado bastante, tuvo que terminarla él. Aquí os dejo su demostración:

Sea N=p^rq^s un número perfecto impar con sólo dos factores primos, p y q. Estos factores primos deben ser ambos impares ya que si alguno de ellos fuera par el propio N lo sería. Los divisores de N (incluyendo al propio N) son:

1,p,p^2, \cdots ,p^r, q,q^2, \cdots ,q^s, qp,qp^2, \cdots ,qp^r, q^2p,q^2p^2, \cdots ,q^2p^r, … , q^sp,q^sp^2, \cdots ,q^sp^r. Su suma (después de algunos cálculos) queda:

S=(1+p+p^2+ \cdots +p^r)(1+q+q^2+ \cdots +q^s)

Al ser N un número perfecto la suma de sus divisores propios es igual al propio número. Como en los anteriores hemos incluido a N tenemos que la suma anterior es igual a 2N. Esto es:

S=(1+p+p^2+ \cdots +p^r)(1+q+q^2+ \cdots +q^s)=2p^rq^s

Dividimos entre p^rq^s convenientemente:

\cfrac{(1+p+p^2+ \cdots +p^r)}{p^r} \cdot \cfrac{(1+q+q^2+ \cdots +q^s)}{q^s}=2
Dividiendo queda:

\displaystyle (1+\frac{1}{p}+\frac{1}{p^2}+ \cdots +\frac{1}{p^r})(1+\frac{1}{q}+\frac{1}{q^2}+ \cdots +\frac{1}{q^s})=2

Ahora, p y q son dos números primos impares distintos. Podemos suponer entonces sin pérdida de generalidad que p \ge 3 y q \ge 5 con p<q. Acotamos entonces las dos expresiones anteriores así:

\displaystyle{(1+\frac{1}{p}+\frac{1}{p^2}+ \cdots +\frac{1}{p^r})\le(1+\frac{1}{3}+\frac{1}{3^2}+ \cdots +\frac{1}{3^r})=\sum_{i=1}^r{\left ( \frac{1}{3} \right )^i}<\sum_{i=1}^\infty {\left ( \frac{1}{3} \right )^i}=\frac{1}{1-\frac{1}{3}}=\frac{3}{2}}

\displaystyle{(1+\frac{1}{q}+\frac{1}{q^2}+ \cdots +\frac{1}{q^s}) \le (1+\frac{1}{5}+\frac{1}{5^2}+ \cdots +\frac{1}{5^s})=\sum_{i=1}^s{\left ( \frac{1}{5} \right )^i} < \sum_{i=1}^\infty {\left ( \frac{1}{5} \right )^i}=\cfrac{1}{1- \frac{1}{5}}=\cfrac{5}{4}}

Tendríamos entonces \displaystyle{2<\frac{3}{2} \cdot \frac{5}{4}=\frac{15}{8}<2}, lo cual es claramente absurdo. Por tanto un número perfecto impar no puede tener sólo dos factores primos. Con esto concluye la demostración.

Pregunta: ¿es válida una demostración de este estilo si lo que queremos comprobar es que un número perfecto impar debe tener al menos cuatro factores primos? ¿Por qué?

Autor: ^DiAmOnD^ | Publicado el 24 de Septiembre de 2007 | 12 Comentarios
Categorías: Demostraciones, Números enteros, Números primos

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