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Los números primos (y algo más) van a hacer que ganemos el mundial

Existe una especie de teoría que dice que en los equipos de cualquier deporte, en particular de fútbol, los dorsales que corresponden a números primos son los que se asignan a los jugadores más importantes. Hasta donde yo sé, este artículo de Marcus du Sautoy es el máximo exponente de esta creencia (aunque en el artículo también se habla del género de cada tipo de número). Uno de los casos más llamativos de los últimos años es el Real Madrid que montó Florentino Pérez en su primera etapa en la presidencia del club de Concha Espina. En él los pesos pesados portaban números primos en su dorsal. A saber:

  • 3: Roberto Carlos
  • 5: Zidane
  • 7: Raúl
  • 11: Ronaldo
  • 23: Beckham
  • 1: Casillas (éste lo añado yo, ya que aunque el 1 no es un número primo sí que puede considerarse como la base los números naturales)

En cierto modo tiene sentido. Los números primos son los ladrillos a partir de los cuales se construyen todos los números naturales, por lo que sería razonable asignar dorsales primos a los jugadores en torno a los que se construye el equipo. Y la verdad es que, en general, no les salió mal.
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Autor: ^DiAmOnD^ | Publicado el 11 de Julio de 2010 | 68 Comentarios
Categorías: Curiosidades, Mundial 2010, Números primos

¿Que tiene que ver el número e con los números primos?

Desde los comienzos del blog ciertas constantes han tenido un gran protagonismo en muchos artículos. Cierto es que el número \pi se lleva la palma, pero pero también ha habido otras constantes a las que se les han dedicado artículos por su importancia y sus características, como \sqrt{2}, la constante de Euler-Mascheroni \gamma o el número e.

Núermo e

Número e

Sobre este último tenemos varios artículos en los que aparece como protagonista principal o como actor secundario con un papel importante. Por ejemplo, hemos visto que es irracional y que es trascendente, dos características muy interesantes de un número que aparece tanto en nuestra vida diaria (más de lo que muchos piensan). También hablamos de cómo aparece al no formar ninguna pareja en el matching problem y, por otra parte, sabemos que es uno de los componentes de la identidad de Euler.
Los primeros 25 números primos

Los primeros 25 números primos


Y qué decir de los números primos, ellos sí que han aparecido en multitud de ocasiones por Gaussianos, ya sea demostrando su infinitud de varias formas (la demostración topológica me parece genial), generándolos o anunciando la aparición de nuevos miembros en esta familia tan peculiar.

Lo que no habíamos visto todavía (al menos que yo recuerde) es una relación más o menos clara y directa entre el número e y los números primos. Vamos, una expresión que involucre a esta constante con este tipo tan especial de números, a este número irracional con estos números tan naturales. Pues ha llegado el momento.
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Autor: ^DiAmOnD^ | Publicado el 5 de Julio de 2010 | 9 Comentarios
Categorías: Demostraciones, Números primos, Otras constantes

La función Phi de Euler: otra genialidad del maestro

Introducción

Pierre de Fermat

Pierre de Fermat


Tras la muerte de Pierre de Fermat, muchas de sus conjeturas quedaron sin resolver. Como ya sabemos, Fermat no era muy dado a publicar las demostraciones de sus resultados, por lo que debían ser demostrados por otros para confirmar su validez o falsedad. El caso más famoso, por lo que se tardó en confirmar y por la gran cantidad de matemáticos que se dedicaron a ello, es el denominado último teorema de Fermat, demostrado finalmente por Andrew Wiles en 1995, pero ni mucho menos fue el único.

La afirmación de Fermat sobre la primalidad de todos los números enteros positivos F_n=2^{2^n}+1, llamados números de Fermat, fue otra de sus más famosas conjeturas, refutada finalmente por Euler en 1732 al encontrar la factorización de F_5:

F_5=2^{2^5}+1=4294967297=641 \cdot 6700417

De hecho no se ha vuelto a encontrar ningún número de Fermat que sea primo.

Y el llamado pequeño teorema de Fermat constituye otro caso del mismo tipo que los anteriores. Dicho teorema afirma lo siguiente:

Si p es un número primo y a es un número natural que no es divisible por p, entonces a^{p-1} \equiv 1 \pmod{p}

Euler demostró este resultado y dio además la demostración de una generalización del mismo. En esta historia la conocida como función \varphi de Euler ejerce un papel de suma importancia.
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Autor: ^DiAmOnD^ | Publicado el 28 de Junio de 2010 | 8 Comentarios
Categorías: Historia, Números enteros, Números primos

Cómo generar conjuntos CuCu

Introducción

A los matemáticos nos encanta poner nombre a las cosas, y cuanto más descriptivo sea el nombre mucho mejor. Así, los puntos frontera de un conjunto son los que gráficamente situaríamos como frontera geográfica de dicho conjunto o una sucesión monótona es una sucesión en la que nunca pasa nada distinto, es decir, una sucesión en la que la tendencia no cambia, es siempre creciente o siempre decreciente, pero no hay cambios.

Los conjuntos que os voy a presentar hoy no tienen nombre (al menos yo no conozco ningún nombre para ellos). Por eso los he bautizado a partir de la propiedad que tienen. Son los conjuntos CuCu.

¿Qué es un conjunto CuCu?

Lo primero que voy a hacer es explicar qué es para mí un conjunto CuCu.

Un conjunto CuCu es un conjunto de números enteros positivos tales que la suma de sus Cubos es igual al Cuadrado de su suma. Es decir:

Un conjunto CuCu es un conjunto de números enteros positivos \{ a_1, \ldots a_k \} que cumplen que:

a_1^3+ \ldots + a_k^3=(a_1+ \ldots + a_k)^2

Un ejemplo muy interesante de conjunto CuCu es el conjunto \{1, 2, \ldots , n \}, para cualquier n \in \mathbb{N}. Que este conjunto de números sea un conjunto CuCu significa lo siguiente:

1^3+2^3+ \ldots + n^3=(1+2+ \ldots +n)^2

Vamos a demostrar este resultado por inducción:

Demostración:

El resultado es evidente para n=1:

1^3=1^2

Supongamos ahora que es cierto para n, es decir, que

(1+2+ \ldots +n)^2=1^3+2^3+ \ldots + n^3

y demostremos que la igualdad es cierta para n+1. Para ello partiremos de la parte de la igualdad relativa al cuadrado y utilizaremos el caso n (esto es, la hipótesis de inducción) para llegar al objetivo buscado.

Partimos entonces de esta expresión:

(1+2+ \ldots +n+(n+1))^2=

Tomamos como primer término 1+2+\ldots +n y como segundo término n+1 y desarrollamos el cuadrado de la suma:

=(1+2+ \ldots +n)^2+(n+1)^2+2(1+2+ \ldots+n)(n+1)=

Ahora utilizamos la hipótesis de inducción en la primera suma y que 1+2+\ldots+n=\cfrac{n(n+1)}{2} en la segunda:

=1^3+2^3+ \ldots +n^3+(n+1)^2+2 \cdot \cfrac{n(n+1)}{2} \cdot (n+1)=

Operando ahora el último sumando obtenemos n(n+1)^2 y agrupándolo con el segundo sumando obtenemos (n+1)^3, llegando entonces a la igualdad buscada. \Box

¿Cómo generar conjuntos CuCu?

Pero el conjunto de los primeros enteros positivos no es el único que cumple esta propiedad. De hecho existe un procedimiento para generar conjuntos de números que cumplen que la suma de sus cubos es igual al cuadrado de su suma, es decir, conjuntos CuCu.

Joseph Liouville

Joseph Liouville

Dicho procedimiento se lo debemos a Joseph Liouville y consiste en lo siguiente:

  1. Tomamos un número entero positivo cualquiera y calculamos los divisores de dicho número (el 1 y el propio número también cuentan).
  2. De cada divisor calculado antes contamos cuántos divisores tiene.
  3. Los números que designan las cantidades de divisores de cada divisor del número inicial son un conjunto CuCu.

Vamos a ver un ejemplo sobre la aplicación de este procedimiento:

Número 20

  1. Los divisores de 20 son 1,2,4,5,10 y 20.
  2. Ahora:
    - El 1 tiene 1 divisor (el 1 solamente).
    - El 2 tiene 2 divisores (el 1 y el 2).
    - El 4 tiene 3 divisores (el 1, el 2 y el 4).
    - El 5 tiene 2 divisores (el 1 y el 5).
    - El 10 tiene 4 divisores (el 1, el 2, el 5 y el 10).
    - El 20 tiene 6 divisores (el 1, el 2, el 4, el 5, el 10 y el 20).
  3. Entonces el conjunto \{1,2,3,2,4,6 \} es un conjunto CuCu:

    1^3+2^3+3^3+2^3+4^3+6^3=(1+2+3+2+4+6)^2

    Efectivamente, ambos miembros de la igualdad dan como resultado 324.

Evidentemente este procedimiento tiene su demostración, pero en vez de reproducirla aquí prefiero que visitéis este enlace en el que el gran Ignacio Larrosa nos la cuenta.

Autor: ^DiAmOnD^ | Publicado el 23 de Abril de 2010 | 17 Comentarios
Categorías: Demostraciones, Números enteros, Números primos

Factorización de un primo de la forma 4k+1 en el anillo de los enteros gaussianos

Este artículo es una colaboración enviada por fede a gaussianos (arroba) gmail (punto) com.

Introducción

Un número primo de la forma 4k+1 es suma de los cuadrados de dos números enteros. Además la representación p=x^2 + y^2 es única si 0 < x < y.

Como x^2 + y^2 = (x+iy)(x-iy), la representación anterior da una factorización de un primo natural p = 4k+1 en el anillo de los enteros gaussianos. Además los factores (x+iy) y (x-iy) son primos en ese anillo.

Este post describe cómo obtener los enteros x,y que son solución de p=x^2 + y^2.

Describiendo el algoritmo

Podemos probar con un programa valores sucesivos de x hasta que encontremos la solución de x^2+y^2=p, y eso puede funcionar para primos pequeños como 100123456789 y 100987654321, pero no sirve para primos algo más grandes como el primo gemelo titánico más pequeño o el primo más pequeño de 2000 dígitos decimales.

La demostración de Zagier de que un primo de la forma 4k+1 es suma de dos cuadrados tampoco da un método práctico para encontrar la solución, ni las de Euler, Lagrange o Dedekind.

Tampoco la fórmula explícita de Gauss

x \equiv \dfrac{(2k)!}{2(k!)^2} \pmod{p}, \quad y \equiv (2k)!x \pmod{p}

es útil para calcular los valores de x e y.

Sin embargo existe un algoritmo muy simple para obtener la solución. Podemos describirlo de la siguiente forma:

Obtenemos un r < p tal que r = \pm \sqrt{-1} \pmod{p}, es decir, r^2 \equiv -1 \pmod{p}.

A continuación aplicamos el algoritmo de Euclides a \dfrac{p}{r}. El primer resto que encontramos menor que \sqrt{\dfrac{p}{2}} es el valor de x y el resto anterior es el valor de y.

El algoritmo se deriva de las demostraciones de Serret, Hermite y H.J. Smith, las primeras publicadas en el “Diario de Liouville” en 1848 y la última en el “Diario de Crelle” en 1855.

Calculadora de las componentes de los factores

Podéis probar el algoritmo introduciendo un primo en la casilla de abajo. Para encontrar primos de algunos centenares de dígitos, podéis copiar y pegar en la casilla de abajo primos cuyas 2 últimas cifras sean de la forma 4k+1 desde las páginas de “Prime Curios!”.

                                                   

  Paso  Resultado  Duración
1. Validación de entrada   
2. Busca no-residuo   
3. Calcula raíz de -1   
4. Alg.Euclides sobre p/r   
5. Comprobación  
 x =
 y =

Descripción de la calculadora

  • El paso 1 sólo verifica que el número introducido sea de la forma 4k+1.

    Los dos siguientes pasos sirven para obtener r = \sqrt{-1} \pmod{p}, y están basados en los resultados de la teoría elemental de residuos cuadráticos.

  • En el paso 2 se busca un no-residuo cuadrático t (es decir, un número que no sea un cuadrado \pmod{p}). Como la mitad de los números menores que p son no-residuos, y es rápido determinar si un número es o no un residuo cuadrático (calculando el símbolo de Jacobi), probando con números al azar podemos obtener rápidamente un no-residuo cuadrático.

    Sin embargo no está demostrado (todavía) que exista algoritmo determinista en tiempo polinomial para obtener un no-residuo cuadrático.

    La implementación devuelve el menor no-residuo, si éste es menor que 2000.

  • Una vez que tenemos un no-residuo t, en el paso 3 se obtiene r = t^{(p-1)/4} \pmod{p}.

    Por el criterio de Euler para residuos cuadráticos, r= \pm \sqrt{-1} \pmod{p}.

  • Que el paso 4 nos da la solución se justifica por el teorema de Serret:

    Si r^2 \equiv -1 \pmod{p}, \ r < p, la lista de cocientes parciales del desarrollo en fracción continua de \dfrac{p}{r} es simétrica (omando la lista de longitud par, lo que siempre es posible porque {}[a_0, \ldots, a_n] = [a_0, \ldots, a_n-1, 1]).

    A partir de los resultados mencionados en el post sobre fracciones continuas finitas, y con la notación usada alli, resulta que p = N[a_0,\ldots,a_h,a_h,\ldots ,a_0] = N[a_0,\ldots,a_h]^2 + N[a_0,\ldots,a_{h-1}]^2 .

    Por ser simétrica la fracción continua, los restos que se obtienen al aplicar el algoritmo de Euclides a \dfrac{p}{r} son los numeradores de los convergentes parciales (en orden inverso) y por tanto no hace falta calcular los numeradores de dichos convergentes parciales. Basta con aplicar el algoritmo de Euclides a \dfrac{p}{r} hasta que obtengamos un resto menor que \sqrt{\dfrac{p}{2}} .

  • Por último, en el paso 5 se comprueba si los valores obtenidos cumplen x^2 + y^2=p. Si no se cumple la igualdad, se concluye que el número p introducido no es primo (y los valores de t,r no serán, en general, correctos).

El teorema de Serret se demuestra fácilmente usando la relación entre numeradores y denominadores de los convergentes parciales consecutivos y las reglas de formación de esos numeradores y denominadores. De ese teorema se obtiene una demostración de que un primo de la forma 4k+1 es suma de dos cuadrados, que pertenece al grupo de demostraciones que parten de que, para un primo de esa forma, -1 es un cuadrado \pmod{p}

En cambio la demostración de H.J. Smith que exponemos a continuación no hace uso de este hecho.

La demostración de H.J. Smith

Usamos la notación {}[ a_0, a_1, \ldots, a_n ] para representar la fracción continua finita cuyos cocientes parciales son a_0,a_1, \ldots ,a_n. Designamos con N[ a_0, a_1, \ldots, a_n ] el numerador de la fracción {}[ a_0, a_1, \ldots, a_n ] .

Como {}[a_0, a_1, \ldots, a_{n-1}, 1 ] = [a_0, a_1, \ldots, a_{n-1} + 1 ], asumimos que el último cociente es siempre mayor que 1.

En el post sobre fracciones continuas vimos que se cumple

  • N[a_0, a_1, \ldots, a_n ] = N[a_n, a_{n-1}, \ldots, a_0 ] ,
  • N[a_0,\ldots,a_k,\ldots,a_n] = N[a_0,\ldots,a_k] N[a_{k+1},\ldots,a_n] + N[a_0,\ldots,a_{k-1}] N[a_{k+2},\ldots,a_n]

Estas identidades implican:

(1)   N[a_0,\ldots,a_h,a_h,\ldots ,a_0] = N[a_0,\ldots,a_h]^2 + N[a_0,\ldots,a_{h-1}]^2 .
(2)   N[a_0,\ldots,a_h,a_{h+1},a_h,\ldots ,a_0] = N[a_0,\ldots,a_{h}] ( N[a_0,\ldots,a_{h+1}] + N[a_0,\ldots,a_{h-1}] ) .

De esta última igualdad se concluye que si a_0 es mayor que 1 (y hay más de un cociente), N[a_0,\ldots,a_h,a_{h+1},a_h,\ldots ,a_0] no es primo.

Para un primo de la forma 4k + 1, sea S el conjunto de las fracciones \dfrac{p}{i}, \ \ 2 \le i \le \dfrac{p-1}{2} , desarrolladas en fracción continua.

En el desarrollo en fracción continua de \dfrac{p}{i} = [a_0, a_1, \ldots, a_n ] se tiene que a_0 \ge 2 , porque i \le \dfrac{p-1}{2} , y a_n \ge 2 porque asumimos que el último cociente es mayor que 1.

La función f([a_0, \ldots, a_n ]) = [a_n, \ldots, a_0] asocia a cada elemento de S otro elemento de S, porque el numerador de una fracción continua no se altera si se invierte el orden de los cocientes y el denominador es un número menor que \dfrac {p}{2}, porque a_n \ge 2.

La función f es entonces una involución de S.

Si p=4k+1, el número de elementos de S es 2k-1, un número impar, y entonces f tiene por lo menos un punto fijo, es decir, existe un r, \ 2 \le r \le \dfrac{p-1}{2} que da una fracción continua simétrica \dfrac{p}{r} = [a_0, \ldots, a_h, a_h, \ldots, a_0] (por la observación (2) anterior, el número de cocientes ha de ser par porque p es primo).

Entonces p es suma de 2 cuadrados por la observación (1) anterior.

Sea \dfrac{p}{r} = [a_0, \ldots, a_h, a_h, \ldots, a_0 ] = \dfrac{N[a_0, \ldots, a_h , a_h, \ldots, a_0]}{D[a_0, \ldots, a_h , a_h, \ldots, a_0]}.

Como

D[a_0,a_1,\ldots a_n] = N[a_1,\ldots a_n], \ \ r=N[a_1,\ldots a_h, a_h, \ldots, a_0]

y como

N[a_0 \ldots,a_n] N[a_1, \ldots,a_{n-1}] - N[a_0 \ldots,a_{n-1}] N[a_1, \ldots,a_n] = (-1)^{n-1}

tenemos que

p N[a_1,\ldots,a_h,a_h,\ldots, a_1] - r^2 = 1

y por tanto

r^2 \equiv -1 \pmod{p}

.

Autor: ^DiAmOnD^ | Publicado el 4 de Febrero de 2010 | 7 Comentarios
Categorías: Números enteros, Números primos

Los curiosos enteros gaussianos

Introducción

Un joven Gauss

Un joven Gauss

El conjunto \mathbb{Z}=\{ \ldots -3,-2,-1,0,1,2,3 \ldots \} de los números enteros es un conjunto numérico bien conocido por todos nosotros. Y, aunque seguro que en menor medida, también lo es el conjunto \mathbb{C}=\{ a+bi; \; a, b \in \mathbb{R} \} de los números complejos, conjunto numérico muy interesante y muy útil en gran cantidad de problemas relacionados con muchas ramas de las matemáticas.

¿Qué ocurriría sin mezclamos las dos definiciones de estos conjuntos? Me explico:

¿Tendrá alguna utilidad considerar el conjunto de los números complejos cuyas partes real e imaginaria son números enteros?

No habría sido extraño que fuera algo así lo que pensó Gauss al introducir este conjunto en 1832 (aunque en realidad su motivación fue el estudio sobre sumas de cuadrados). Y la verdad es que acertó (como muchas otras veces). Encontró un conjunto realmente especial. Vamos a hablar un poco sobre él y sobre sus interesantes y curiosas propiedades.
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Autor: ^DiAmOnD^ | Publicado el 1 de Febrero de 2010 | 23 Comentarios
Categorías: Números complejos, Números enteros, Números primos

El postulado de Bertrand

Introducción

En el artículo del pasado lunes sobre Joseph Bertrand hablamos de su famoso postulado, cuyo enunciado es el siguiente:

Postulado de Bertrand

Dado n un número natural mayor que 1, siempre existe un número primo p entre n y 2n, es decir:

\forall n > 1, \exists p \mbox{ primo tal que } n < p < 2n

En este mismo artículo comentamos que la primera demostración conocida de la veracidad de esta conjetura se debe a Chebychev, y que tanto Ramanujan como Ërdos habían dado más adelante pruebas más simples de este hecho. La de Ërdos la podéis consultar aquí y la de Ramanujan es la que vamos a desarrollar en esta entrada.
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Autor: ^DiAmOnD^ | Publicado el 19 de Noviembre de 2009 | 11 Comentarios
Categorías: Demostraciones, Números primos

Joseph Bertrand: un postulado para la eternidad

Joseph BertrandJoseph Louis François Bertrand fue un matemático francés del siglo XIX que nació en París el 11 de marzo de 1822 y murió en la misma ciudad el 5 de abril de 1900. Sus trabajos se centraron principalmente en teoría de números, geometría diferencial, teoría de la probabilidad, economía y termodinámica.

Hijo del físico Alexandre Jacques François Bertrand, Joseph estuvo rodeado de matemáticas durante toda su vida. Duhamel (seguro que a quienes hayáis estudiado ecuaciones en derivadas parciales os suena) era amigo de su padre y se encargó de la tutela de nuestro protagonista tras la muerte de éste, y su hermana Louise estuvo casada con Hermite. Además Picard se casó con una hija de estos últimos.

Sea como fuere Bertrand demostró grandes capacidades científicas desde pequeño. Con 9 años ya era capaz de comprender álgebra y geometría elemental y hablaba en latín con fluidez. Con 11 años se le permitió asistir a algunas clases en la École Polytechnique y con 16 obtuvo su primer título. Un año después se doctoraba gracias a una tesis sobre termodinámica. Este mismo año, 1839, entró oficialmente en la École Polytechnique y publicó su primer trabajo, concretamente sobre teoría matemática de la electricidad. En 1841 entró como profesor en el Liceo Saint-Louis, puesto que ocupó hasta 1848. Más adelante fue profesor en la École Polytechnique (una de las escuelas de ingenieros francesa más prestigiosa) y del Collège de France. También fue miembro de la Academia de Ciencias de París.

Entre sus trabajos podemos destacar los siguientes:

  • Mémoire sur le nombre de valeurs que peut prendre une fonction quand on y permute les lettres qu’elle renferme, trabajo dedicado a ciertos estudios sobre grupos que a la postre se convirtió en su mayor contribución a la teoría de números.
  • Reedición de Mécanique analytique de Lagrange.
  • Méthode des moindres carrés, traducción al francés del trabajo de Gauss sobre teoría de errores y el método de los mínimos cuadrados.
  • Notas sobre teoría de probabilidad.

Además de por sus publicaciones académicas, Bertrand fue famoso por publicar libros de texto. Entre ellos destacan:

  • Traité d’arithmetique
  • Traité élémentaire d’algèbre

dirigidos a alumnos de secundaria, y:

  • Traité de calcul différentiel et de calcul intégral
  • Thermodynamique
  • Leçons sur la théorie mathématique de l’électricité

para alumnos de niveles superiores.

Su libro Calcul des probabilitiés, publicado en 1888, merece ser comentado por contener una famosa paradoja sobre probabilidades que a partir de ese momento pasó a conocerse como paradoja de Bertrand. Bertrand formula la siguiente cuestión:

Consideremos un triángulo equilátero inscrito en un círculo. Supongamos que elegimos al azar una cuerda de la circunferencia de dicho círculo. Entonces, ¿cuál es la probabilidad de que la cuerda sea más grande que el lado del triángulo?

En este enlace de la Wikipedia inglesa podéis ver los tres argumentos, aparentemente válidos, que da Bertrand para resolver este problema. Y podéis comprobar que los tres dan probabilidades distintas. ¿Por qué? A grandes rasgos la clave de la paradoja es el significado de al azar en la elección de la cuerda.

Aparte de ésta hay otras dos paradojas que se atribuyen a Joseph Bertrand:

Joseph BertrandPero sin duda el aspecto de su vida matemática que ha hecho famoso a Bertrand para siempre ha sido el conocido como postulado de Bertrand, cuya formulación es la siguiente:

Dado n un número natural mayor que 1, siempre existe un número primo p tal que n < p < 2n.

Es decir, Bertrand postuló que para todo número natural mayor que 1 siempre existe un número primo que queda entre ese número natural y su doble.

En realidad esta es la versión débil del postulado de Bertrand. La versión más fuerte dice que para todo n número natural mayor que 3 existe un número primo p tal que n < p < 2n-2, aunque como hemos comentado antes es la primera versión la que se conoce como postulado de Bertrand.

Bertrand conjeturó dicha propiedad de los números primos en 1845, pero no consiguió demostrarla. Tuvo que ser Chebychev quien, en 1850, dio la primera demostración que se conoce de dicho resultado. Más adelante Ramanujan y el genial Paul Ërdos dieron demostraciones más simples. Igual durante esta semana nos encontramos con alguna de ellas por aquí…

Como detalle final señalar que Bertrand sufrió en 1842 un accidente de tren cuyo resultado fue rotura de nariz junto con unas marcas en la cara que mantuvo a lo largo de su vida.

Fuentes:

Autor: ^DiAmOnD^ | Publicado el 16 de Noviembre de 2009 | 13 Comentarios
Categorías: Matemáticos, Números primos

Todo primo congruente con 1 módulo 4 es suma de dos cuadrado

Introducción

El resultado que da título a este artículo es bien conocido:

Todo primo congruente con 1 módulo 4 es suma de dos cuadrados.

Este resultado fue propuesto por Fermat a través de una carta enviada a Marín Mersenne. Como era habitual en él, Fermat no dio ninguna demostración de este hecho. La primera que se conoce se debe a Euler, que consiguió demostrar el resultado utilizando el método del descenso infinito. Después Lagrange, Gauss y Dedekind (entre otros) dieron otras demostraciones o simplificaciones de éstas.

En este artículo vamos a ver una demostración bastante elegante (aunque no constructiva) debida a Don Zagier que me envió vengoroso hace ya bastante tiempo después de publicarla en su propio blog. Vamos con ella.
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Autor: ^DiAmOnD^ | Publicado el 9 de Noviembre de 2009 | 9 Comentarios
Categorías: Demostraciones, Números primos

La espiral de Sacks

Seguimos con la temática principal de esta semana. Hoy os traigo una variante de la espiral de Ulam: la espiral de Sacks.

La espiral de Sacks es una especie de variante de la espiral de Ulam descubierta por Robert Sacks en 1994. La idea es colocar todos los números naturales, comenzando desde el cero, sobre una espiral de Arquímedes. Se construye de la siguiente forma:

Colocamos el cero en el comienzo de la espiral. Después vamos colocando los números enteros positivos sobre la espiral a distancia proporcional haciendo que los cuadrados perfectos queden alineados hacia la derecha en la fila central. Algo así:

Comienzo de la espiral

La idea ahora es resaltar los primos sobre los compuestos.

Como podéis ver la situación es parecida a la de la espiral de Ulam: una cierta disposición de los números naturales que no debería tener demasiada importancia en la que resaltamos los números primos.

Posiblemente a la larga se descubra que en realidad no la tiene, pero en este caso también aparecen situaciones cuanto menos curiosas. La siguiente imagen muestra la espiral de Sacks para 2026 puntos:

Espiral para 2026 puntos

Comienzan a intuirse ciertas curvas como más primos que otras. Veamos una imagen con más puntos, en concreto con 46656:

Espiral para 46656 puntos

Ahora se ven más claramente algunas curvas con una realmente destacable densidad de números primos, como la señalada con la flecha. No creo que pueda negarse que esto convierte a este tipo de construcciones en objetos dignos de estudio. Quién sabe si en algún momento pudieran servir para predecir la situación de números primos realmente grandes.

El estudio que puede realizarse de los detalles de esta construcción es bastante amplio. Por ejemplo, pueden reconocerse muchas curvas cuyos elementos tienen características comunes, como que todos tienen una descomposición en factores similar o que están relacionados con el mismo polinomio de segundo grado. Os recomiendo el primer enlace de las fuentes para profundizar sobre el tema.

Fuentes:

Autor: ^DiAmOnD^ | Publicado el 17 de Septiembre de 2009 | 11 Comentarios
Categorías: Curiosidades, Números primos

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