• 3: Roberto Carlos
• 5: Zidane
• 7: Raúl
• 11: Ronaldo
• 23: Beckham
• 1: Casillas (éste lo añado yo, ya que aunque el 1 no es un número primo sí que puede considerarse como la base los números naturales)

En cierto modo tiene sentido. Los números primos son los ladrillos a partir de los cuales se construyen todos los números naturales, por lo que sería razonable asignar dorsales primos a los jugadores en torno a los que se construye el equipo. Y la verdad es que, en general, no les salió mal.

La Roja y los números primos

¿Qué se puede decir de La Roja en lo que se refiere a este tema? Pues que gran parte de los jugadores cuyo dorsal es un número primo han tenido importante presencia en este mundial. Salvo el 2 de Albiol (lástima esa lesión), el 13 de Mata y el 17 de Arberloa, la presencia de los números primos en los momentos importantes de España en este mundial ha sido clave. Vamos a verlo:

• 1: Casillas (ya he dicho antes por qué lo añado)

  Aunque fue criticado en alguno de los amistosos anteriores al mundial, ¿qué sería de esta selección sin este crack bajo los palos? Por ejemplo, ¿qué hubiera pasado si no para ese penalty a Cardozo? Y esa es una de otras muchas. No hay partido en el que Casillas no nos salve una o varias veces de la catástrofe. Un seguro Iker.

  Por cierto, Casillas comentó que Reina le dijo cómo tiraría Cardozo el penalty. Un comentario crucial por lo tanto. ¿A qué no sabéis qué dorsal lleva Reina? El 23, primo.

• 3: Piqué

  Tremendo mundial el del central culé. Con una sobriedad y una seguridad fuera de lo común Gerard Piqué se está convirtiendo en uno de los mejores centrales del mundo y lo está demostrando en este mundial, dejándose la piel (y la cara, literalmente) en cada acción. Cuando el balón se acerca al área todos estamos tranquilos porque siempre aparece Piqué. Kaiser Gerard

• 5: Puyol

  Qué decir de Carles. La pareja que forma con Piqué es una de las mejores parejas de centrales de La Roja de (al menos) los últimos tiempos. Pero posiblemente lo que más se recordará de Puyol en este mundial es su gol a Alemania en la semifinal. Ese cabezazo pasará a formar parte de los grandes momentos de la selección, a la altura del gol de Zarra a Inglaterra en el mundial de 1950, del gol de Marcelino a la URSS en la Eurocopa de 1964 o del gol de Maceda también a Alemania en la Eurocopa de 1984. Decisivo Carles.

• 7: Villa

  Decir Villa es decir gol, y con la selección mucho más. España lleva 7 goles en este mundial, de los cuales el Guaje ha marcado 5, sobran más comentarios. Los partidos contra Portugal y Paraguay los desatascó él con sus dos dianas. Imprescindible David.

  Un detalle: el partido de octavos contra Portugal se decidió por el gol de Villa, pero hubo un jugador que fue clave en el resurgir de España en la segunda parte. Ese jugador fue Llorente, que, curiosamente, porta el dorsal 19, también primo.

Y algo más

El título de esta entrada llevaba un enigmático y algo más entre paréntesis. ¿De qué trata? Muy sencillo. El centro del campo está siendo la clave en este mundial. Bueno, en realidad es la clave del fútbol actual en general. Quien domina el centro del campo domina el partido. Pero no tenemos ningún número primo en esa zona. Uhmmm…mal rollo…

Nada de eso. Tenemos algo mejor: a Andrés Iniesta con el 6, que no es un número primo primo pero sí es un número perfecto (el primero).

Esa es mi teoría: los números primos junto con el primer número perfecto nos van a dar el mundial. Porque nuestros números primos pesan mucho más que los primos holandeses (los números primos, no seáis malos) y porque nuestro perfecto es infinitamente mejor que el suyo (Van Bommel). Y porque somos mejores que ellos, porque jugamos mejor, tanto en defensa como en ataque y porque tenemos un bloque que es la envidia del resto de selecciones nacionales del mundo. Hoy va a ser un día grande, de esos que se cuentan pasados los años.

Aclaro: esta es mi teoría. ¿Descabellada? Teniendo en cuenta que las decisiones de un pulpo están siendo protagonistas en todos los medios de comunicación (esto ya es el colmo: Cuatro emite el vaticinio del pulpo Paul para la final) o en las declaraciones de los políticos (por citar uno de los muchos ejemplos: Zapatero se reúne con Juan Manuel Santos, presidente electo de Colombia, y entre otras cosas debaten sobre la fiabilidad de las predicciones del pulpo), ¿por qué mi teoría va a ser una locura? Al tiempo.

Las imágenes de los jugadores han sido tomadas de Marca.com.

el número

Número e

Los primeros 25 números primos

Lo que no habíamos visto todavía (al menos que yo recuerde) es una relación más o menos clara y directa entre el número y los números primos. Vamos, una expresión que involucre a esta constante con este tipo tan especial de números, a este número irracional con estos números tan naturales. Pues ha llegado el momento.

El número y los números primos

Hace unos días llego al correo de Gaussianos un mail donde Laurato, lector del blog, me informaba sobre una cierta relación entre el número y los números primos. En él comentaba que le causó cierta impresión encontrarse con una expresión así y quería saber si había alguna demostración de ese hecho. La relación es la siguiente:

siendo el primorial de , que es el producto de todos los números primos menores o iguales que .

El descubridor de esta expresión es el español Sebastián Martín Ruiz, conocido por sus interesantes trabajos sobre teoría de números, centrados principalmente en el estudio de los números primos. Hace unos días estuve dando una vuelta por su web…pero no encontré nada sobre esta expresión.

Pero, como no podía ser de otra forma, no me quedé ahí. La curiosidad pudo conmigo y seguí dando vueltas por internet buscando información sobre este curioso límite. Y, por fin, encontré algo. MathWorld me abrió los ojos con su artículo sobre funciones de Chebyshev. En dicho artículo se definen dos funciones llamadas funciones de Chebyshev, pero a nosotros nos interesa solamente una de ellas:

En esta expresión es el logaritmo neperiano, denota el -ésimo número primo y es la función contadora de números primos, que nos da la cantidad de números primos menores o iguales que .

Operando un poco con la expresión de llegamos a lo siguiente:

De esta función se sabe, entre otras cosas, que:

A partir de este límite la demostración de nuestro resultado es coser y cantar. Tomemos , siendo el -ésimo número primo. Tenemos entonces lo siguiente:

Por otro lado, usando la última expresión encontrada para tenemos que

Utilizando las dos expresiones anteriores obtenemos lo siguiente:

y usando las propiedades de los logaritmos

Intercambiando ahora por obtenemos

De donde se obtiene la expresión buscada:

Las imágenes que ilustran el artículo están sacada de aquí y aquí respectivamente.

A los matemáticos nos encanta poner nombre a las cosas, y cuanto más descriptivo sea el nombre mucho mejor. Así, los puntos frontera de un conjunto son los que gráficamente situaríamos como frontera geográfica de dicho conjunto o una sucesión monótona es una sucesión en la que nunca pasa nada distinto, es decir, una sucesión en la que la tendencia no cambia, es siempre creciente o siempre decreciente, pero no hay cambios.

Los conjuntos que os voy a presentar hoy no tienen nombre (al menos yo no conozco ningún nombre para ellos). Por eso los he bautizado a partir de la propiedad que tienen. Son los conjuntos CuCu.

¿Qué es un conjunto CuCu?

Lo primero que voy a hacer es explicar qué es para mí un conjunto CuCu.

Un conjunto CuCu es un conjunto de números enteros positivos tales que la suma de sus Cubos es igual al Cuadrado de su suma. Es decir:

Un conjunto CuCu es un conjunto de números enteros positivos que cumplen que:

Un ejemplo muy interesante de conjunto CuCu es el conjunto , para cualquier . Que este conjunto de números sea un conjunto CuCu significa lo siguiente:

Vamos a demostrar este resultado por inducción:

Demostración:

El resultado es evidente para :

Supongamos ahora que es cierto para , es decir, que

y demostremos que la igualdad es cierta para . Para ello partiremos de la parte de la igualdad relativa al cuadrado y utilizaremos el caso (esto es, la hipótesis de inducción) para llegar al objetivo buscado.

Partimos entonces de esta expresión:

Tomamos como primer término y como segundo término y desarrollamos el cuadrado de la suma:

Ahora utilizamos la hipótesis de inducción en la primera suma y que en la segunda:

Operando ahora el último sumando obtenemos y agrupándolo con el segundo sumando obtenemos , llegando entonces a la igualdad buscada.

¿Cómo generar conjuntos CuCu?

Pero el conjunto de los primeros enteros positivos no es el único que cumple esta propiedad. De hecho existe un procedimiento para generar conjuntos de números que cumplen que la suma de sus cubos es igual al cuadrado de su suma, es decir, conjuntos CuCu.

Joseph Liouville

1. Tomamos un número entero positivo cualquiera y calculamos los divisores de dicho número (el 1 y el propio número también cuentan).
2. De cada divisor calculado antes contamos cuántos divisores tiene.
3. Los números que designan las cantidades de divisores de cada divisor del número inicial son un conjunto CuCu.

Vamos a ver un ejemplo sobre la aplicación de este procedimiento:

Número

1. Los divisores de son y .
2. Ahora:
   - El 1 tiene divisor (el 1 solamente).
   - El 2 tiene divisores (el 1 y el 2).
   - El 4 tiene divisores (el 1, el 2 y el 4).
   - El 5 tiene divisores (el 1 y el 5).
   - El 10 tiene divisores (el 1, el 2, el 5 y el 10).
   - El 20 tiene divisores (el 1, el 2, el 4, el 5, el 10 y el 20).
3. Entonces el conjunto es un conjunto CuCu:

   

   Efectivamente, ambos miembros de la igualdad dan como resultado .

Evidentemente este procedimiento tiene su demostración, pero en vez de reproducirla aquí prefiero que visitéis este enlace en el que el gran Ignacio Larrosa nos la cuenta.

Este artículo es una colaboración enviada por fede a gaussianos (arroba) gmail (punto) com.

Introducción

Un número primo de la forma es suma de los cuadrados de dos números enteros. Además la representación es única si .

Como , la representación anterior da una factorización de un primo natural en el anillo de los enteros gaussianos. Además los factores y son primos en ese anillo.

Este post describe cómo obtener los enteros que son solución de .

Describiendo el algoritmo

Podemos probar con un programa valores sucesivos de hasta que encontremos la solución de , y eso puede funcionar para primos pequeños como 100123456789 y 100987654321, pero no sirve para primos algo más grandes como el primo gemelo titánico más pequeño o el primo más pequeño de 2000 dígitos decimales.

La demostración de Zagier de que un primo de la forma es suma de dos cuadrados tampoco da un método práctico para encontrar la solución, ni las de Euler, Lagrange o Dedekind.

Tampoco la fórmula explícita de Gauss

es útil para calcular los valores de e .

Sin embargo existe un algoritmo muy simple para obtener la solución. Podemos describirlo de la siguiente forma:

Obtenemos un tal que , es decir, .

A continuación aplicamos el algoritmo de Euclides a . El primer resto que encontramos menor que es el valor de y el resto anterior es el valor de .

El algoritmo se deriva de las demostraciones de Serret, Hermite y H.J. Smith, las primeras publicadas en el “Diario de Liouville” en 1848 y la última en el “Diario de Crelle” en 1855.

Calculadora de las componentes de los factores

Podéis probar el algoritmo introduciendo un primo en la casilla de abajo. Para encontrar primos de algunos centenares de dígitos, podéis copiar y pegar en la casilla de abajo primos cuyas 2 últimas cifras sean de la forma desde las páginas de “Prime Curios!”.

                                                   

Paso	Resultado	Duración
1. Validación de entrada
2. Busca no-residuo
3. Calcula raíz de -1
4. Alg.Euclides sobre p/r
5. Comprobación
	x =
	y =

Descripción de la calculadora

• El paso 1 sólo verifica que el número introducido sea de la forma 4k+1.

  Los dos siguientes pasos sirven para obtener , y están basados en los resultados de la teoría elemental de residuos cuadráticos.

• En el paso 2 se busca un no-residuo cuadrático (es decir, un número que no sea un cuadrado ). Como la mitad de los números menores que son no-residuos, y es rápido determinar si un número es o no un residuo cuadrático (calculando el símbolo de Jacobi), probando con números al azar podemos obtener rápidamente un no-residuo cuadrático.

  Sin embargo no está demostrado (todavía) que exista algoritmo determinista en tiempo polinomial para obtener un no-residuo cuadrático.

  La implementación devuelve el menor no-residuo, si éste es menor que 2000.

• Una vez que tenemos un no-residuo , en el paso 3 se obtiene .

  Por el criterio de Euler para residuos cuadráticos, .

• Que el paso 4 nos da la solución se justifica por el teorema de Serret:
  

  Si , la lista de cocientes parciales del desarrollo en fracción continua de es simétrica (omando la lista de longitud par, lo que siempre es posible porque ).

  A partir de los resultados mencionados en el post sobre fracciones continuas finitas, y con la notación usada alli, resulta que .

  Por ser simétrica la fracción continua, los restos que se obtienen al aplicar el algoritmo de Euclides a son los numeradores de los convergentes parciales (en orden inverso) y por tanto no hace falta calcular los numeradores de dichos convergentes parciales. Basta con aplicar el algoritmo de Euclides a hasta que obtengamos un resto menor que .

• Por último, en el paso 5 se comprueba si los valores obtenidos cumplen . Si no se cumple la igualdad, se concluye que el número introducido no es primo (y los valores de no serán, en general, correctos).

El teorema de Serret se demuestra fácilmente usando la relación entre numeradores y denominadores de los convergentes parciales consecutivos y las reglas de formación de esos numeradores y denominadores. De ese teorema se obtiene una demostración de que un primo de la forma es suma de dos cuadrados, que pertenece al grupo de demostraciones que parten de que, para un primo de esa forma, -1 es un cuadrado

En cambio la demostración de H.J. Smith que exponemos a continuación no hace uso de este hecho.

La demostración de H.J. Smith

Usamos la notación para representar la fracción continua finita cuyos cocientes parciales son . Designamos con el numerador de la fracción .

Como , asumimos que el último cociente es siempre mayor que 1.

En el post sobre fracciones continuas vimos que se cumple

• ,
• 

Estas identidades implican:

(1)   .
(2)   .

De esta última igualdad se concluye que si es mayor que 1 (y hay más de un cociente), no es primo.

Para un primo de la forma , sea el conjunto de las fracciones , desarrolladas en fracción continua.

En el desarrollo en fracción continua de se tiene que , porque , y porque asumimos que el último cociente es mayor que 1.

La función asocia a cada elemento de otro elemento de , porque el numerador de una fracción continua no se altera si se invierte el orden de los cocientes y el denominador es un número menor que , porque .

La función es entonces una involución de .

Si , el número de elementos de es , un número impar, y entonces tiene por lo menos un punto fijo, es decir, existe un que da una fracción continua simétrica (por la observación (2) anterior, el número de cocientes ha de ser par porque es primo).

Entonces es suma de 2 cuadrados por la observación (1) anterior.

Sea .

Como

y como

tenemos que

y por tanto

.

Un joven Gauss

¿Qué ocurriría sin mezclamos las dos definiciones de estos conjuntos? Me explico:

¿Tendrá alguna utilidad considerar el conjunto de los números complejos cuyas partes real e imaginaria son números enteros?

No habría sido extraño que fuera algo así lo que pensó Gauss al introducir este conjunto en 1832 (aunque en realidad su motivación fue el estudio sobre sumas de cuadrados). Y la verdad es que acertó (como muchas otras veces). Encontró un conjunto realmente especial. Vamos a hablar un poco sobre él y sobre sus interesantes y curiosas propiedades.

El conjunto de los enteros gaussianos

El conjunto al que nos referimos se denomina en la actualidad conjunto de los enteros gaussianos, se representa como y su definición es la siguiente:

Es decir, los enteros gaussianos son los números complejos cuyas partes real e imaginaria son números enteros.

Este conjunto de enteros gaussianos es un anillo con las operaciones suma y producto habituales en los números complejos. Por tanto es un subanillo de . De hecho es más: es un dominio de factorización única (DFU). Esto significa que la factorización de un entero gaussianos como producto de sus factores primos es única (salvo el orden de colocación de dichos factores). Eso no ocurre en todos los conjuntos de este tipo. Por ejemplo, el conjunto

es un anillo, pero no es un DFU, ya que hay elementos de dicho conjunto que tienen varias factorizaciones esencialmente distintas. Por ejemplo el 6:

y

Y con esto entramos en uno de los temas que más interés puede suscitar en este conjunto de enteros gaussianos: todo lo referente a sus elementos primos, es decir, los primos gaussianos. Por ello les dedico un punto separado del resto.

Primos gaussianos

Comencemos con un ejemplo. En los números enteros el número 17 es primo, ya que sólo es divisible por 1 por él mismo. Pero en :

Es decir, el número 17 tiene más divisores aparte del 1 y de él mismo, por lo que deja de ser primo si lo consideramos en el conjunto de los enteros gaussianos. Curioso, ¿verdad?

Pero eso no ocurre con todos los números primos de . Por ejemplo, 7 es primo en y también lo es en .

En este punto la pregunta está bastante clara:

¿Hay alguna forma de saber si un número primo en sigue siéndolo también en ?

Pues la respuesta es sí. Si es un primo de de la forma entonces deja de ser primo en (este es el caso del 17), pero si es de la forma entonces sigue siendo primo en .

El 2 es un caso especial, ya que no cumple ninguna de esas dos descripciones. Entonces, ¿es un primo gaussiano? Pues no:

En general, dejando aparte el caso del 2, un entero gaussiano es un primo gaussiano si y sólo si:

1. O o es cero y el otro es un primo de de la forma (o su negativo, ).
2. Ambos son distintos de cero y es un primo de .

Por tanto, es un primo gaussiano (es y ) y también lo es (ya que , que es primo en ), pero no es un primo gaussiano.

Aplicaciones

Una de las aplicaciones más interesantes de estos enteros gaussianos la encontró el propio Gauss y se refiere a la ley de reciprocidad cuadrática, resultado que ya ha aparecido por este blog varias veces. Concretamente Gauss encontró que esta ley puede plantearse y demostrarse más fácilmente utilizando enteros gaussianos.

En Gaussian Integer de la Wikipedia inglesa podéis ver algún otro detalle interesante sobre los enteros gaussianos.

En el artículo del pasado lunes sobre Joseph Bertrand hablamos de su famoso postulado, cuyo enunciado es el siguiente:

Postulado de Bertrand

Dado un número natural mayor que 1, siempre existe un número primo entre y , es decir:

En este mismo artículo comentamos que la primera demostración conocida de la veracidad de esta conjetura se debe a Chebychev, y que tanto Ramanujan como Ërdos habían dado más adelante pruebas más simples de este hecho. La de Ërdos la podéis consultar aquí y la de Ramanujan es la que vamos a desarrollar en esta entrada.

Demostración de la veracidad del postulado de Bertrand

La demostración que vamos a reproducir aquí, atribuida a Ramanujan, puede resultar algo complicada de seguir. Por ello debemos estar muy atentos a cada paso.

Sea un número natural mayor que 1. Comenzamos definiendo como la suma de los logaritmos de todos los números primos menores o iguales que , es decir:

Tomamos ahora las siguientes expresiones:

(1)
(2)

donde es la parte entera de (es decir, el mayor número entero que es menor que ).

A partir de (1) se obtiene fácilmente (sólo con realizar las operaciones) que:

(3)

Y a partir de (2), también de forma sencilla, obtenemos lo siguiente:

(4)

Dado que y son funciones crecientes, obtenemos a partir de (3) y (4) que las siguientes desigualdades son ciertas:

(5)
(6)

Por otra parte, puede demostrarse que (a ver quién se atreve a hacerlo en los comentarios):

(7)

Ahora, ayudándonos de la aproximación de Stirling obtenemos lo siguiente a partir de (7):

(8)

Uniendo ahora la información proporcionada por (6), (8) y (9) se ve claramente que:

(10)
(11)

Tomemos ahora la expresión (10) y cambiemos por y sumemos los resultados. Obtenemos lo siguiente:

(12)

Uniendo en este punto la información proporcionada por (5) y (12) llegamos a (13):

Y utilizando este punto (13) junto con el (11) se obtiene:

(14)

Por otra parte, es evidente que:

En consecuencia tenemos:

(15)

Este hecho finaliza la demostración para . ¿Por qué? Muy sencillo. Recordemos que era la suma de los logaritmos de todos los números primos menores o iguales que , y lo que hemos obtenido que es que esa suma es mayor para que para . Esto sólo puede ocurrir si en la suma para aparece algún logaritmo más que los que aparecen en la suma para . Y para que ello ocurra debe haber algún número primo entre y (no puede ser el propio , ya que es un número par y por tanto compuesto) que aporte ese logaritmo a la suma. Es decir, hemos demostrado que para existe al menos un número primo entre y . Comprobando ahora la veracidad de la conjetura para valores de menores que 162 (sencillo) se demuestra en su totalidad el postulado de Bertrand.

Fuente:

• Journal of the Indian Mathematical Society

Como habéis podido ver la demostración es relativamente elemental, pero algo complicada de seguir. Además contiene algunos pasos que no se demuestran pero que no parecen totalmente evidentes. No estaría mal que alguno de vosotros los aclarara en un comentario.

Hijo del físico Alexandre Jacques François Bertrand, Joseph estuvo rodeado de matemáticas durante toda su vida. Duhamel (seguro que a quienes hayáis estudiado ecuaciones en derivadas parciales os suena) era amigo de su padre y se encargó de la tutela de nuestro protagonista tras la muerte de éste, y su hermana Louise estuvo casada con Hermite. Además Picard se casó con una hija de estos últimos.

Sea como fuere Bertrand demostró grandes capacidades científicas desde pequeño. Con 9 años ya era capaz de comprender álgebra y geometría elemental y hablaba en latín con fluidez. Con 11 años se le permitió asistir a algunas clases en la École Polytechnique y con 16 obtuvo su primer título. Un año después se doctoraba gracias a una tesis sobre termodinámica. Este mismo año, 1839, entró oficialmente en la École Polytechnique y publicó su primer trabajo, concretamente sobre teoría matemática de la electricidad. En 1841 entró como profesor en el Liceo Saint-Louis, puesto que ocupó hasta 1848. Más adelante fue profesor en la École Polytechnique (una de las escuelas de ingenieros francesa más prestigiosa) y del Collège de France. También fue miembro de la Academia de Ciencias de París.

Entre sus trabajos podemos destacar los siguientes:

• Mémoire sur le nombre de valeurs que peut prendre une fonction quand on y permute les lettres qu’elle renferme, trabajo dedicado a ciertos estudios sobre grupos que a la postre se convirtió en su mayor contribución a la teoría de números.
• Reedición de Mécanique analytique de Lagrange.
• Méthode des moindres carrés, traducción al francés del trabajo de Gauss sobre teoría de errores y el método de los mínimos cuadrados.
• Notas sobre teoría de probabilidad.

Además de por sus publicaciones académicas, Bertrand fue famoso por publicar libros de texto. Entre ellos destacan:

• Traité d’arithmetique
• Traité élémentaire d’algèbre

dirigidos a alumnos de secundaria, y:

• Traité de calcul différentiel et de calcul intégral
• Thermodynamique
• Leçons sur la théorie mathématique de l’électricité

para alumnos de niveles superiores.

Su libro Calcul des probabilitiés, publicado en 1888, merece ser comentado por contener una famosa paradoja sobre probabilidades que a partir de ese momento pasó a conocerse como paradoja de Bertrand. Bertrand formula la siguiente cuestión:

Consideremos un triángulo equilátero inscrito en un círculo. Supongamos que elegimos al azar una cuerda de la circunferencia de dicho círculo. Entonces, ¿cuál es la probabilidad de que la cuerda sea más grande que el lado del triángulo?

En este enlace de la Wikipedia inglesa podéis ver los tres argumentos, aparentemente válidos, que da Bertrand para resolver este problema. Y podéis comprobar que los tres dan probabilidades distintas. ¿Por qué? A grandes rasgos la clave de la paradoja es el significado de al azar en la elección de la cuerda.

Aparte de ésta hay otras dos paradojas que se atribuyen a Joseph Bertrand:

• Paradoja de Bertrand en Economía
• Paradoja de la caja de Bertrand

Pero sin duda el aspecto de su vida matemática que ha hecho famoso a Bertrand para siempre ha sido el conocido como postulado de Bertrand, cuya formulación es la siguiente:

Dado un número natural mayor que 1, siempre existe un número primo tal que .

Es decir, Bertrand postuló que para todo número natural mayor que 1 siempre existe un número primo que queda entre ese número natural y su doble.

En realidad esta es la versión débil del postulado de Bertrand. La versión más fuerte dice que para todo número natural mayor que 3 existe un número primo tal que , aunque como hemos comentado antes es la primera versión la que se conoce como postulado de Bertrand.

Bertrand conjeturó dicha propiedad de los números primos en 1845, pero no consiguió demostrarla. Tuvo que ser Chebychev quien, en 1850, dio la primera demostración que se conoce de dicho resultado. Más adelante Ramanujan y el genial Paul Ërdos dieron demostraciones más simples. Igual durante esta semana nos encontramos con alguna de ellas por aquí…

Como detalle final señalar que Bertrand sufrió en 1842 un accidente de tren cuyo resultado fue rotura de nariz junto con unas marcas en la cara que mantuvo a lo largo de su vida.

Fuentes:

• Joseph Bertrand en MacTutor.
• Joseph Bertrand en la Wikipedia (en inglés).

El resultado que da título a este artículo es bien conocido:

Todo primo congruente con 1 módulo 4 es suma de dos cuadrados.

Este resultado fue propuesto por Fermat a través de una carta enviada a Marín Mersenne. Como era habitual en él, Fermat no dio ninguna demostración de este hecho. La primera que se conoce se debe a Euler, que consiguió demostrar el resultado utilizando el método del descenso infinito. Después Lagrange, Gauss y Dedekind (entre otros) dieron otras demostraciones o simplificaciones de éstas.

En este artículo vamos a ver una demostración bastante elegante (aunque no constructiva) debida a Don Zagier que me envió vengoroso hace ya bastante tiempo después de publicarla en su propio blog. Vamos con ella.

Todo primo congruente con 1 módulo 4 es suma de dos cuadrados

En primer lugar vamos a escribir el enunciado de nuestro teorema:

Teorema:

Todo primo congruente con 1 módulo 4 (esto es, ) puede expresarse como suma de dos cuadrados.

Demostración

Tomamos un número primo y comenzamos definiendo el siguiente conjunto:

Un par de consideraciones sobre :

• Ninguno de los elementos de tiene una coordenada nula, ya que si alguna de ellas fuera cero no podría ser un número primo.
• El conjunto es finito, ya que todas las coordenadas de un elemento de son menores que el propio .

Vamos a definir ahora la siguiente aplicación :

Algunos comentarios sobre esta :

• La aplicación está bien definida, ya que todas las coordenadas son positivas (teniendo en cuenta los conjuntos de definición de cada trozo) y la terna resultante en cada caso vuelve a ser un elemento de (esto último puede comprobarse de forma sencilla desarrollando las operaciones correspondientes en cada caso).
• La aplicación es una involución, es decir, una función que cumple que . Esto también es sencillo de demostrar, pero al igual que en el caso anterior debemos tener cuidado con el tipo de terna que obtenemos. Por ejemplo, si está en el tercer tramo, su imagen es , que pertenece al los del primer tramo ya que . Aplicándole a este punto y realizando las operaciones correspondientes vemos que obtenemos de nuevo . El resto de casos se comprueban también de manera sencilla.
• La aplicación tiene un único punto fijo (es decir, un punto tal que ).. Para el primer tramo, un punto fijo implicaría , por lo que la última coordenada sería , cosa que es imposible. Para el tercer tramo debería cumplirse que , por lo que debería ser cero, hecho que tampoco puede producirse. Por ello los únicos puntos fijos que tenga deben ser del segundo tramo. Si eso ocurre debe ser , por lo que la búsqueda de puntos fijos se centra ahora en encontrar puntos , es decir, que verifiquen . Si sacamos factor común tenemos la igualdad , lo que implica (por ser primo) que . Por ello el único punto fijo de es . Además de aquí también obtenemos que es necesario que .

Utilizando ahora el hecho siguiente:

Un conjunto finito y su subconjunto de puntos fijos para cualquier involución tienen la misma paridad.

Como tiene un único punto fijo, su subconjunto de puntos fijos tiene cardinal impar. Por ello también tiene un número impar de elementos.

Definimos ahora una segunda aplicación que también es una involución:

El hecho de que es una involución es evidente. Pero además, como tiene cardinal impar entonces el conjunto de puntos fijos de también tiene un número impar de elementos, por lo que debe existir al menos un punto fijo. Dicho punto fijo será entonces de la forma . Pero como este punto es un elemento de se tiene lo siguiente:

con lo que nuestro número primo de la forma cumple que se puede escribir como suma de dos cuadrados, concretamente los de y .

Actualización:

Para quien quiera profundizar os dejo un enlace JSTOR donde puede consultarse el artículo original:

Don Zagier, A one-sentence proof that every prime p ≡ 1 mod 4 is a sum of two squares. Amer. Math. Monthly 97 (1990), no. 2, 144, doi:10.2307/2323918
http://www.jstor.org/pss/2323918

Para finalizar comentar que las consideraciones adicionales que aparecen en el artículo de vengoroso no forman parte de la demostración original de Zagier.

La espiral de Sacks es una especie de variante de la espiral de Ulam descubierta por Robert Sacks en 1994. La idea es colocar todos los números naturales, comenzando desde el cero, sobre una espiral de Arquímedes. Se construye de la siguiente forma:

Colocamos el cero en el comienzo de la espiral. Después vamos colocando los números enteros positivos sobre la espiral a distancia proporcional haciendo que los cuadrados perfectos queden alineados hacia la derecha en la fila central. Algo así:

La idea ahora es resaltar los primos sobre los compuestos.

Como podéis ver la situación es parecida a la de la espiral de Ulam: una cierta disposición de los números naturales que no debería tener demasiada importancia en la que resaltamos los números primos.

Posiblemente a la larga se descubra que en realidad no la tiene, pero en este caso también aparecen situaciones cuanto menos curiosas. La siguiente imagen muestra la espiral de Sacks para 2026 puntos:

Comienzan a intuirse ciertas curvas como más primos que otras. Veamos una imagen con más puntos, en concreto con 46656:

Ahora se ven más claramente algunas curvas con una realmente destacable densidad de números primos, como la señalada con la flecha. No creo que pueda negarse que esto convierte a este tipo de construcciones en objetos dignos de estudio. Quién sabe si en algún momento pudieran servir para predecir la situación de números primos realmente grandes.

El estudio que puede realizarse de los detalles de esta construcción es bastante amplio. Por ejemplo, pueden reconocerse muchas curvas cuyos elementos tienen características comunes, como que todos tienen una descomposición en factores similar o que están relacionados con el mismo polinomio de segundo grado. Os recomiendo el primer enlace de las fuentes para profundizar sobre el tema.

Fuentes:

• Number Spiral: web de Robert Sacks con un estudio detallado de la espiral que lleva su nombre.
• The Sacks Number Spiral: artículo sobre la espiral de Sacks.