La constante “entre primos gemelos”
Abr29

La constante “entre primos gemelos”

El estudio de los primos gemelos ha sido un tema recurrente desde, que se sepa, la época de Euclides (siglo III a.C.), pero el tiempo transcurrido desde entonces no implica que conozcamos todo lo que se puede conocer sobre ello. De hecho, la mayoría de los resultados relacionados con los primos gemelos que se conocen son en realidad conjeturas (esto es, enunciados que se creen ciertos pero que no están ni demostrados ni refutados)

Después de todo este tiempo uno podría pensar que ya no se podrían encontrar cuestiones interesantes relacionadas con los primos gemelos que no se hayan estudiado hasta ahora, pero nada más lejos de la realidad. Y hoy vamos a comentar una de ellas.

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“La conjetura débil de Goldbach”, coloquio de Harald Helfgott en el ICMAT
Feb19

“La conjetura débil de Goldbach”, coloquio de Harald Helfgott en el ICMAT

El próximo viernes 21 de febrero el matemático peruano Harald Helfgott dará una charla sobre la conjetura débil de Goldbach en el ICMAT. El evento se encuadra dentro de la serie de coloquios que organiza el ICMAT junto con la Universidad Autónoma de Madrid.

Aunque en Gaussianos ya hemos hablado sobre el tema (de hecho el propio Harald Helfgott publicó en este blog un extenso post en el que explicaba las líneas generales de su demostración), creo que es interesante volver a recordar algunos de los detalles más importantes de la historia de este resultado y de otros relacionados con él. Por ello, a continuación podréis encontrar un resumen de esta historia realizado por Javier Cilleruelo (que ya ha colaborado en otras ocasiones en Gaussianos, por ejemplo con este post sobre su resolución del problema de los conjuntos generalizados de Sidon) en el que también se incluyen enlaces a los artículos de Gaussianos que han hablado sobre esta conjetura.

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¿Existen polinomios que den valores primos para todo número natural?
Dic20

¿Existen polinomios que den valores primos para todo número natural?

El polinomio n^2+n+41 es ampliamente conocido por una curiosa propiedad que tiene: da como resultado números primos para todos los valores naturales de n desde 0 a 39. Es decir, 40 valores primos en 40 números naturales consecutivos, una interesante característica sobre todo teniendo en cuenta la “simpleza” del polinomio, tanto por sus coeficientes como por su bajo grado.

Evidentemente este polinomio, descubierto por Leonhard Euler, no es el único que cumple una propiedad parecida. Por ejemplo, el polinomio 2n^2+29 toma 29 valores primos distintos para n de 0 a 28, y 36n^2-810n+2753 da 45 valores primos distintos para n de 0 a 44. Y, en general, mediante interpolación podemos construir polinomios que den valores primos distintos para la cantidad finita de valores naturales consecutivos que queramos (aunque tanto el grado como los coeficientes del polinomio resultante serán, posiblemente, mucho más grandes que los que hemos mostrados aquí). En este post hablo un poco más sobre este tema.

Es más o menos natural hacerse ahora la pregunta que titula este artículo: ¿existen polinomios que den valores primos para todo número natural? En aquella entrada comentaba lo siguiente:

Y, por qué no, ¿habrá algún polinomio que dé siempre números primos? Pues no, no lo hay. Goldbach (sí, sí, el de la conjetura de Goldbach) demostró que con coeficientes enteros no es posible encontrar un polinomio que dé números primos para todo número natural, y más tarde Legendre demostró lo mismo para funciones algebraicas racionales. Lástima.

O sea, que la respuesta a la pregunta es no: no hay polinomios que den valores primos para todos los números naturales (excluyendo, evidentemente, los polinomios constantes que sean igual a un número primo). Ahora, ¿cómo podemos demostrarlo?

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¿Cómo que 1+2+4+8+…=-1?
Nov26

¿Cómo que 1+2+4+8+…=-1?

Este artículo es una colaboración de Antonio Rojas. Aunque por Gaussianos ya lo conocemos (propuso el noveno desafío GyG), no está mal que se presente:

Soy (no necesariamente por este orden) sevillano, matemático, profesor, y amante de la ciencia en general. Mi hábitat natural es el Departamento de Álgebra de la Universidad de Sevilla.

Es un honor para mí contribuir con este post al blog matemático en español por excelencia. Resulta todo un reto para los que nos dedicamos a la investigación matemática bajar de vez en cuando los pies a la tierra e intentar explicar de manera simple las herramientas y los resultados con los que trabajamos diariamente. No garantizo haberlo conseguido, pero aquí va mi mejor intento.


Una de las cosas raras provocadas por el infinito que contó Gaussianos en su charla de Naukas Bilbao 2013 (que podéis ver aquí si no lo habéis hecho ya y que está un poco más detallada aquí) es la leyenda del ajedrez. En la versión infinita de esta leyenda, el rey ofrece a Sissa una suma infinita de granos de trigo

S=1+2+4+8+16+\cdots+2^{63}+2^{64}+2^{65}+ \cdots

Este “número” cumple que S=1+2(1+2+4+8+\cdots)=1+2S, por lo que despejando se obtiene S=-1, es decir, ¡Sissa le debe un grano de trigo al rey!

Para comprender esta paradoja, debemos saber qué se entiende por una suma de infinitos términos. Una tal suma se llama serie, y decimos que la serie converge a un cierto valor S si la sucesión formada por las sumas parciales de los primeros n términos de la serie se acerca tanto como queramos a S a partir de un cierto n. En ese caso, podemos decir que el valor de la suma infinita es igual a S. En notación matemática,

s_1+s_2+s_3+s_4+\cdots=S

quiere decir que

\displaystyle{\lim_{n\to\infty}(s_1+s_2+\cdots+s_n)=S}.

Por ejemplo, la serie

\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\frac{1}{16}+\cdots+\frac{1}{2^n}+\cdots

tiene suma 1, puesto que \frac{1}{2}+\cdots+\frac{1}{2^n}=1-\frac{1}{2^n}, que se acerca tanto como queramos a 1 a partir de un cierto término.

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De 70000000 a 700 en seis meses
Oct29

De 70000000 a 700 en seis meses

Yitnag ZhangHace unos meses la comunidad matemática internacional se revolucionaba gracias al trabajo Bounded gaps between primes, de YiTang Zhang, en el que se demostraba que existen infinitas parejas de primos que están a una distancia de, como mucho, 70000000. Esto se vio como un avance en el estudio de la conjetura de los primos gemelos, que dice que existen infinitas parejas de primos cuya distancia es como mucho 3 (o, lo que es lo mismo, exactamente 2, ya que no puede ser 1 para infinitas parejas). Sí, 70000000 es mucho y bajar de ahí a 3 parece misión imposible, pero por primera vez teníamos un número de donde partir, y además parecía que ese 70000000 era fácilmente mejorable.

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Harald Andrés Helfgott nos habla sobre su demostración de la conjetura débil de Goldbach
Oct23

Harald Andrés Helfgott nos habla sobre su demostración de la conjetura débil de Goldbach

Hace unos meses conocíamos la noticia de la demostración de la conjetura débil de Goldbach por parte de Harald Andrés Helfgott, matemático peruano especialista en teoría de números que en la actualidad es investigador del Centre National de la Recherche Scientifique (CNRS) de Francia. Aquí tenéis su CV en francés y aquí una versión más breve en inglés (ambos en formato pdf).

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