Números primos - 2/7 - Gaussianos

Cómo generar conjuntos CuCu

Introducción

A los matemáticos nos encanta poner nombre a las cosas, y cuanto más descriptivo sea el nombre mucho mejor. Así, los puntos frontera de un conjunto son los que gráficamente situaríamos como frontera geográfica de dicho conjunto o una sucesión monótona es una sucesión en la que nunca pasa nada distinto, es decir, una sucesión en la que la tendencia no cambia, es siempre creciente o siempre decreciente, pero no hay cambios.

Los conjuntos que os voy a presentar hoy no tienen nombre (al menos yo no conozco ningún nombre para ellos). Por eso los he bautizado a partir de la propiedad que tienen. Son los conjuntos CuCu.

¿Qué es un conjunto CuCu?

Lo primero que voy a hacer es explicar qué es para mí un conjunto CuCu.

Un conjunto CuCu es un conjunto de números enteros positivos tales que la suma de sus Cubos es igual al Cuadrado de su suma. Es decir:

Un conjunto CuCu es un conjunto de números enteros positivos $\{ a_1, \ldots a_k \}$ que cumplen que:

$a_1^3+ \ldots + a_k^3=(a_1+ \ldots + a_k)^2$

Un ejemplo muy interesante de conjunto CuCu es el conjunto $\{1, 2, \ldots , n \}$ , para cualquier $n \in \mathbb{N}$ . Que este conjunto de números sea un conjunto CuCu significa lo siguiente:

$1^3+2^3+ \ldots + n^3=(1+2+ \ldots +n)^2$

Vamos a demostrar este resultado por inducción:

Demostración:

El resultado es evidente para $n=1$ :

$1^3=1^2$

Supongamos ahora que es cierto para $n$ , es decir, que

$(1+2+ \ldots +n)^2=1^3+2^3+ \ldots + n^3$

y demostremos que la igualdad es cierta para $n+1$ . Para ello partiremos de la parte de la igualdad relativa al cuadrado y utilizaremos el caso $n$ (esto es, la hipótesis de inducción) para llegar al objetivo buscado.

Partimos entonces de esta expresión:

$(1+2+ \ldots +n+(n+1))^2=$

Tomamos como primer término $1+2+\ldots +n$ y como segundo término $n+1$ y desarrollamos el cuadrado de la suma:

$=(1+2+ \ldots +n)^2+(n+1)^2+2(1+2+ \ldots+n)(n+1)=$

Ahora utilizamos la hipótesis de inducción en la primera suma y que $1+2+\ldots+n=\cfrac{n(n+1)}{2}$ en la segunda:

$=1^3+2^3+ \ldots +n^3+(n+1)^2+2 \cdot \cfrac{n(n+1)}{2} \cdot (n+1)=$

Operando ahora el último sumando obtenemos $n(n+1)^2$ y agrupándolo con el segundo sumando obtenemos $(n+1)^3$ , llegando entonces a la igualdad buscada. $\Box$

¿Cómo generar conjuntos CuCu?

Pero el conjunto de los primeros enteros positivos no es el único que cumple esta propiedad. De hecho existe un procedimiento para generar conjuntos de números que cumplen que la suma de sus cubos es igual al cuadrado de su suma, es decir, conjuntos CuCu.

Joseph Liouville

Dicho procedimiento se lo debemos a Joseph Liouville y consiste en lo siguiente:

Tomamos un número entero positivo cualquiera y calculamos los divisores de dicho número (el 1 y el propio número también cuentan).
De cada divisor calculado antes contamos cuántos divisores tiene.
Los números que designan las cantidades de divisores de cada divisor del número inicial son un conjunto CuCu.

Vamos a ver un ejemplo sobre la aplicación de este procedimiento:

Número $20$

Los divisores de $20$ son $1,2,4,5,10$ y $20$ .
Ahora:
- El 1 tiene $1$ divisor (el 1 solamente).
- El 2 tiene $2$ divisores (el 1 y el 2).
- El 4 tiene $3$ divisores (el 1, el 2 y el 4).
- El 5 tiene $2$ divisores (el 1 y el 5).
- El 10 tiene $4$ divisores (el 1, el 2, el 5 y el 10).
- El 20 tiene $6$ divisores (el 1, el 2, el 4, el 5, el 10 y el 20).
Entonces el conjunto $\{1,2,3,2,4,6 \}$ es un conjunto CuCu:
$1^3+2^3+3^3+2^3+4^3+6^3=(1+2+3+2+4+6)^2$
Efectivamente, ambos miembros de la igualdad dan como resultado $324$ .

Evidentemente este procedimiento tiene su demostración, pero en vez de reproducirla aquí prefiero que visitéis este enlace en el que el gran Ignacio Larrosa nos la cuenta.

Autor: ^DiAmOnD^ | Publicado el 23 de April de 2010
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Factorización de un primo de la forma 4k+1 en el anillo de los enteros gaussianos

Este artículo es una colaboración enviada por fede a gaussianos (arroba) gmail (punto) com.

Introducción

Un número primo de la forma $4k+1$ es suma de los cuadrados de dos números enteros. Además la representación $p=x^2 + y^2$ es única si $0 < x < y$ .

Como $x^2 + y^2 = (x+iy)(x-iy)$ , la representación anterior da una factorización de un primo natural $p = 4k+1$ en el anillo de los enteros gaussianos. Además los factores $(x+iy)$ y $(x-iy)$ son primos en ese anillo.

Este post describe cómo obtener los enteros $x,y$ que son solución de $p=x^2 + y^2$ .

Describiendo el algoritmo

Podemos probar con un programa valores sucesivos de $x$ hasta que encontremos la solución de $x^2+y^2=p$ , y eso puede funcionar para primos pequeños como 100123456789 y 100987654321, pero no sirve para primos algo más grandes como el primo gemelo titánico más pequeño o el primo más pequeño de 2000 dígitos decimales.

La demostración de Zagier de que un primo de la forma $4k+1$ es suma de dos cuadrados tampoco da un método práctico para encontrar la solución, ni las de Euler, Lagrange o Dedekind.

Tampoco la fórmula explícita de Gauss

$x \equiv \dfrac{(2k)!}{2(k!)^2} \pmod{p}, \quad y \equiv (2k)!x \pmod{p}$

es útil para calcular los valores de $x$ e $y$ .

Sin embargo existe un algoritmo muy simple para obtener la solución. Podemos describirlo de la siguiente forma:

Obtenemos un $r < p$ tal que $r = \pm \sqrt{-1} \pmod{p}$ , es decir, $r^2 \equiv -1 \pmod{p}$ .

A continuación aplicamos el algoritmo de Euclides a $\dfrac{p}{r}$ . El primer resto que encontramos menor que $\sqrt{\dfrac{p}{2}}$ es el valor de $x$ y el resto anterior es el valor de $y$ .

El algoritmo se deriva de las demostraciones de Serret, Hermite y H.J. Smith, las primeras publicadas en el “Diario de Liouville” en 1848 y la última en el “Diario de Crelle” en 1855.

Calculadora de las componentes de los factores

Podéis probar el algoritmo introduciendo un primo en la casilla de abajo. Para encontrar primos de algunos centenares de dígitos, podéis copiar y pegar en la casilla de abajo primos cuyas 2 últimas cifras sean de la forma $4k+1$ desde las páginas de “Prime Curios!”.

Paso	Resultado	Duración
1. Validación de entrada
2. Busca no-residuo
3. Calcula raíz de -1
4. Alg.Euclides sobre p/r
5. Comprobación
	x =
	y =

Descripción de la calculadora

El paso 1 sólo verifica que el número introducido sea de la forma 4k+1.
Los dos siguientes pasos sirven para obtener $r = \sqrt{-1} \pmod{p}$ , y están basados en los resultados de la teoría elemental de residuos cuadráticos.
En el paso 2 se busca un no-residuo cuadrático $t$ (es decir, un número que no sea un cuadrado $\pmod{p}$ ). Como la mitad de los números menores que $p$ son no-residuos, y es rápido determinar si un número es o no un residuo cuadrático (calculando el símbolo de Jacobi), probando con números al azar podemos obtener rápidamente un no-residuo cuadrático.
Sin embargo no está demostrado (todavía) que exista algoritmo determinista en tiempo polinomial para obtener un no-residuo cuadrático.

La implementación devuelve el menor no-residuo, si éste es menor que 2000.
Una vez que tenemos un no-residuo $t$ , en el paso 3 se obtiene $r = t^{(p-1)/4} \pmod{p}$ .
Por el criterio de Euler para residuos cuadráticos, $r= \pm \sqrt{-1} \pmod{p}$ .
Que el paso 4 nos da la solución se justifica por el teorema de Serret:

Si $r^2 \equiv -1 \pmod{p}, \ r < p$ , la lista de cocientes parciales del desarrollo en fracción continua de $\dfrac{p}{r}$ es simétrica (omando la lista de longitud par, lo que siempre es posible porque ${}[a_0, \ldots, a_n] = [a_0, \ldots, a_n-1, 1]$ ).

A partir de los resultados mencionados en el post sobre fracciones continuas finitas, y con la notación usada alli, resulta que $p = N[a_0,\ldots,a_h,a_h,\ldots ,a_0] = N[a_0,\ldots,a_h]^2 + N[a_0,\ldots,a_{h-1}]^2$ .

Por ser simétrica la fracción continua, los restos que se obtienen al aplicar el algoritmo de Euclides a $\dfrac{p}{r}$ son los numeradores de los convergentes parciales (en orden inverso) y por tanto no hace falta calcular los numeradores de dichos convergentes parciales. Basta con aplicar el algoritmo de Euclides a $\dfrac{p}{r}$ hasta que obtengamos un resto menor que $\sqrt{\dfrac{p}{2}}$ .
Por último, en el paso 5 se comprueba si los valores obtenidos cumplen $x^2 + y^2=p$ . Si no se cumple la igualdad, se concluye que el número $p$ introducido no es primo (y los valores de $t,r$ no serán, en general, correctos).

El teorema de Serret se demuestra fácilmente usando la relación entre numeradores y denominadores de los convergentes parciales consecutivos y las reglas de formación de esos numeradores y denominadores. De ese teorema se obtiene una demostración de que un primo de la forma $4k+1$ es suma de dos cuadrados, que pertenece al grupo de demostraciones que parten de que, para un primo de esa forma, -1 es un cuadrado $\pmod{p}$

En cambio la demostración de H.J. Smith que exponemos a continuación no hace uso de este hecho.

La demostración de H.J. Smith

Usamos la notación ${}[ a_0, a_1, \ldots, a_n ]$ para representar la fracción continua finita cuyos cocientes parciales son $a_0,a_1, \ldots ,a_n$ . Designamos con $N[ a_0, a_1, \ldots, a_n ]$ el numerador de la fracción ${}[ a_0, a_1, \ldots, a_n ]$ .

Como ${}[a_0, a_1, \ldots, a_{n-1}, 1 ] = [a_0, a_1, \ldots, a_{n-1} + 1 ]$ , asumimos que el último cociente es siempre mayor que 1.

En el post sobre fracciones continuas vimos que se cumple

$N[a_0, a_1, \ldots, a_n ] = N[a_n, a_{n-1}, \ldots, a_0 ]$ ,
$N[a_0,\ldots,a_k,\ldots,a_n] = N[a_0,\ldots,a_k] N[a_{k+1},\ldots,a_n] + N[a_0,\ldots,a_{k-1}] N[a_{k+2},\ldots,a_n]$

Estas identidades implican:

(1) $N[a_0,\ldots,a_h,a_h,\ldots ,a_0] = N[a_0,\ldots,a_h]^2 + N[a_0,\ldots,a_{h-1}]^2$ .
(2) $N[a_0,\ldots,a_h,a_{h+1},a_h,\ldots ,a_0] = N[a_0,\ldots,a_{h}] ( N[a_0,\ldots,a_{h+1}] + N[a_0,\ldots,a_{h-1}] )$ .

De esta última igualdad se concluye que si $a_0$ es mayor que 1 (y hay más de un cociente), $N[a_0,\ldots,a_h,a_{h+1},a_h,\ldots ,a_0]$ no es primo.

Para un primo de la forma $4k + 1$ , sea $S$ el conjunto de las fracciones $\dfrac{p}{i}, \ \ 2 \le i \le \dfrac{p-1}{2}$ , desarrolladas en fracción continua.

En el desarrollo en fracción continua de $\dfrac{p}{i} = [a_0, a_1, \ldots, a_n ]$ se tiene que $a_0 \ge 2$ , porque $i \le \dfrac{p-1}{2}$ , y $a_n \ge 2$ porque asumimos que el último cociente es mayor que 1.

La función $f([a_0, \ldots, a_n ]) = [a_n, \ldots, a_0]$ asocia a cada elemento de $S$ otro elemento de $S$ , porque el numerador de una fracción continua no se altera si se invierte el orden de los cocientes y el denominador es un número menor que $\dfrac {p}{2}$ , porque $a_n \ge 2$ .

La función $f$ es entonces una involución de $S$ .

Si $p=4k+1$ , el número de elementos de $S$ es $2k-1$ , un número impar, y entonces $f$ tiene por lo menos un punto fijo, es decir, existe un $r, \ 2 \le r \le \dfrac{p-1}{2}$ que da una fracción continua simétrica $\dfrac{p}{r} = [a_0, \ldots, a_h, a_h, \ldots, a_0]$ (por la observación (2) anterior, el número de cocientes ha de ser par porque $p$ es primo).

Entonces $p$ es suma de 2 cuadrados por la observación (1) anterior.

Sea $\dfrac{p}{r} = [a_0, \ldots, a_h, a_h, \ldots, a_0 ] = \dfrac{N[a_0, \ldots, a_h , a_h, \ldots, a_0]}{D[a_0, \ldots, a_h , a_h, \ldots, a_0]}$ .

Como

$D[a_0,a_1,\ldots a_n] = N[a_1,\ldots a_n], \ \ r=N[a_1,\ldots a_h, a_h, \ldots, a_0]$

y como

$N[a_0 \ldots,a_n] N[a_1, \ldots,a_{n-1}] - N[a_0 \ldots,a_{n-1}] N[a_1, \ldots,a_n] = (-1)^{n-1}$

tenemos que

$p N[a_1,\ldots,a_h,a_h,\ldots, a_1] - r^2 = 1$

y por tanto

$r^2 \equiv -1 \pmod{p}$

Autor: ^DiAmOnD^ | Publicado el 4 de February de 2010
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Los curiosos enteros gaussianos

Introducción

Un joven Gauss

El conjunto $\mathbb{Z}=\{ \ldots -3,-2,-1,0,1,2,3 \ldots \}$ de los números enteros es un conjunto numérico bien conocido por todos nosotros. Y, aunque seguro que en menor medida, también lo es el conjunto $\mathbb{C}=\{ a+bi; \; a, b \in \mathbb{R} \}$ de los números complejos, conjunto numérico muy interesante y muy útil en gran cantidad de problemas relacionados con muchas ramas de las matemáticas.

¿Qué ocurriría sin mezclamos las dos definiciones de estos conjuntos? Me explico:

¿Tendrá alguna utilidad considerar el conjunto de los números complejos cuyas partes real e imaginaria son números enteros?

No habría sido extraño que fuera algo así lo que pensó Gauss al introducir este conjunto en 1832 (aunque en realidad su motivación fue el estudio sobre sumas de cuadrados). Y la verdad es que acertó (como muchas otras veces). Encontró un conjunto realmente especial. Vamos a hablar un poco sobre él y sobre sus interesantes y curiosas propiedades.
(Leer el resto del post)

Autor: ^DiAmOnD^ | Publicado el 1 de February de 2010
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El postulado de Bertrand

Introducción

En el artículo del pasado lunes sobre Joseph Bertrand hablamos de su famoso postulado, cuyo enunciado es el siguiente:

Postulado de Bertrand

Dado $n$ un número natural mayor que 1, siempre existe un número primo $p$ entre $n$ y $2n$ , es decir:

$\forall n > 1, \exists p \mbox{ primo tal que } n < p < 2n$

En este mismo artículo comentamos que la primera demostración conocida de la veracidad de esta conjetura se debe a Chebychev, y que tanto Ramanujan como Ërdos habían dado más adelante pruebas más simples de este hecho. La de Ërdos la podéis consultar aquí y la de Ramanujan es la que vamos a desarrollar en esta entrada.
(Leer el resto del post)

Autor: ^DiAmOnD^ | Publicado el 19 de November de 2009
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Joseph Bertrand: un postulado para la eternidad

Joseph Bertrand Joseph Louis François Bertrand fue un matemático francés del siglo XIX que nació en París el 11 de marzo de 1822 y murió en la misma ciudad el 5 de abril de 1900. Sus trabajos se centraron principalmente en teoría de números, geometría diferencial, teoría de la probabilidad, economía y termodinámica.

Hijo del físico Alexandre Jacques François Bertrand, Joseph estuvo rodeado de matemáticas durante toda su vida. Duhamel (seguro que a quienes hayáis estudiado ecuaciones en derivadas parciales os suena) era amigo de su padre y se encargó de la tutela de nuestro protagonista tras la muerte de éste, y su hermana Louise estuvo casada con Hermite. Además Picard se casó con una hija de estos últimos.

Sea como fuere Bertrand demostró grandes capacidades científicas desde pequeño. Con 9 años ya era capaz de comprender álgebra y geometría elemental y hablaba en latín con fluidez. Con 11 años se le permitió asistir a algunas clases en la École Polytechnique y con 16 obtuvo su primer título. Un año después se doctoraba gracias a una tesis sobre termodinámica. Este mismo año, 1839, entró oficialmente en la École Polytechnique y publicó su primer trabajo, concretamente sobre teoría matemática de la electricidad. En 1841 entró como profesor en el Liceo Saint-Louis, puesto que ocupó hasta 1848. Más adelante fue profesor en la École Polytechnique (una de las escuelas de ingenieros francesa más prestigiosa) y del Collège de France. También fue miembro de la Academia de Ciencias de París.

Entre sus trabajos podemos destacar los siguientes:

Mémoire sur le nombre de valeurs que peut prendre une fonction quand on y permute les lettres qu’elle renferme, trabajo dedicado a ciertos estudios sobre grupos que a la postre se convirtió en su mayor contribución a la teoría de números.
Reedición de Mécanique analytique de Lagrange.
Méthode des moindres carrés, traducción al francés del trabajo de Gauss sobre teoría de errores y el método de los mínimos cuadrados.
Notas sobre teoría de probabilidad.

Además de por sus publicaciones académicas, Bertrand fue famoso por publicar libros de texto. Entre ellos destacan:

Traité d’arithmetique
Traité élémentaire d’algèbre

dirigidos a alumnos de secundaria, y:

Traité de calcul différentiel et de calcul intégral
Thermodynamique
Leçons sur la théorie mathématique de l’électricité

para alumnos de niveles superiores.

Su libro Calcul des probabilitiés, publicado en 1888, merece ser comentado por contener una famosa paradoja sobre probabilidades que a partir de ese momento pasó a conocerse como paradoja de Bertrand. Bertrand formula la siguiente cuestión:

Consideremos un triángulo equilátero inscrito en un círculo. Supongamos que elegimos al azar una cuerda de la circunferencia de dicho círculo. Entonces, ¿cuál es la probabilidad de que la cuerda sea más grande que el lado del triángulo?

En este enlace de la Wikipedia inglesa podéis ver los tres argumentos, aparentemente válidos, que da Bertrand para resolver este problema. Y podéis comprobar que los tres dan probabilidades distintas. ¿Por qué? A grandes rasgos la clave de la paradoja es el significado de al azar en la elección de la cuerda.

Aparte de ésta hay otras dos paradojas que se atribuyen a Joseph Bertrand:

Joseph Bertrand Pero sin duda el aspecto de su vida matemática que ha hecho famoso a Bertrand para siempre ha sido el conocido como postulado de Bertrand, cuya formulación es la siguiente:

Dado $n$ un número natural mayor que 1, siempre existe un número primo $p$ tal que $n < p < 2n$ .

Es decir, Bertrand postuló que para todo número natural mayor que 1 siempre existe un número primo que queda entre ese número natural y su doble.

En realidad esta es la versión débil del postulado de Bertrand. La versión más fuerte dice que para todo $n$ número natural mayor que 3 existe un número primo $p$ tal que $n < p < 2n-2$ , aunque como hemos comentado antes es la primera versión la que se conoce como postulado de Bertrand.

Bertrand conjeturó dicha propiedad de los números primos en 1845, pero no consiguió demostrarla. Tuvo que ser Chebychev quien, en 1850, dio la primera demostración que se conoce de dicho resultado. Más adelante Ramanujan y el genial Paul Ërdos dieron demostraciones más simples. Igual durante esta semana nos encontramos con alguna de ellas por aquí…

Como detalle final señalar que Bertrand sufrió en 1842 un accidente de tren cuyo resultado fue rotura de nariz junto con unas marcas en la cara que mantuvo a lo largo de su vida.

Fuentes:

Joseph Bertrand en MacTutor.
Joseph Bertrand en la Wikipedia (en inglés).

Autor: ^DiAmOnD^ | Publicado el 16 de November de 2009
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Todo primo congruente con 1 módulo 4 es suma de dos cuadrado

Introducción

El resultado que da título a este artículo es bien conocido:

Todo primo congruente con 1 módulo 4 es suma de dos cuadrados.

Este resultado fue propuesto por Fermat a través de una carta enviada a Marín Mersenne. Como era habitual en él, Fermat no dio ninguna demostración de este hecho. La primera que se conoce se debe a Euler, que consiguió demostrar el resultado utilizando el método del descenso infinito. Después Lagrange, Gauss y Dedekind (entre otros) dieron otras demostraciones o simplificaciones de éstas.

En este artículo vamos a ver una demostración bastante elegante (aunque no constructiva) debida a Don Zagier que me envió vengoroso hace ya bastante tiempo después de publicarla en su propio blog. Vamos con ella.
(Leer el resto del post)

Autor: ^DiAmOnD^ | Publicado el 9 de November de 2009
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La espiral de Sacks

Seguimos con la temática principal de esta semana. Hoy os traigo una variante de la espiral de Ulam: la espiral de Sacks.

La espiral de Sacks es una especie de variante de la espiral de Ulam descubierta por Robert Sacks en 1994. La idea es colocar todos los números naturales, comenzando desde el cero, sobre una espiral de Arquímedes. Se construye de la siguiente forma:

Colocamos el cero en el comienzo de la espiral. Después vamos colocando los números enteros positivos sobre la espiral a distancia proporcional haciendo que los cuadrados perfectos queden alineados hacia la derecha en la fila central. Algo así:

La idea ahora es resaltar los primos sobre los compuestos.

Como podéis ver la situación es parecida a la de la espiral de Ulam: una cierta disposición de los números naturales que no debería tener demasiada importancia en la que resaltamos los números primos.

Posiblemente a la larga se descubra que en realidad no la tiene, pero en este caso también aparecen situaciones cuanto menos curiosas. La siguiente imagen muestra la espiral de Sacks para 2026 puntos:

Espiral para 2026 puntos

Comienzan a intuirse ciertas curvas como más primos que otras. Veamos una imagen con más puntos, en concreto con 46656:

Espiral para 46656 puntos

Ahora se ven más claramente algunas curvas con una realmente destacable densidad de números primos, como la señalada con la flecha. No creo que pueda negarse que esto convierte a este tipo de construcciones en objetos dignos de estudio. Quién sabe si en algún momento pudieran servir para predecir la situación de números primos realmente grandes.

El estudio que puede realizarse de los detalles de esta construcción es bastante amplio. Por ejemplo, pueden reconocerse muchas curvas cuyos elementos tienen características comunes, como que todos tienen una descomposición en factores similar o que están relacionados con el mismo polinomio de segundo grado. Os recomiendo el primer enlace de las fuentes para profundizar sobre el tema.

Fuentes:

Number Spiral: web de Robert Sacks con un estudio detallado de la espiral que lleva su nombre.
The Sacks Number Spiral: artículo sobre la espiral de Sacks.

Autor: ^DiAmOnD^ | Publicado el 17 de September de 2009
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La espiral de Ulam

Hay conferencias y conferencias. Las hay cortas y las hay extensas; las hay aburridas y las hay entretenidas; algunas por la temática parecen una muerte y luego resultan ser muy interesantes, al igual que otras parece que van a ser buenas por lo llamativo del título pero acaban siendo un auténtico…digamos…somnífero.

Quien más quien menos ha asistido alguna vez a una conferencia. Yo mismo asistí a varias en mis años de carrera. Recuerdo principalmente dos de ellas, una sobre matemáticas y pompas de jabón y otra sobre fractales, que me encantaron. Bueno, en realidad también recuerdo haber asistido a una de esas que he comentado antes que a priori parecen interesantes pero que al final resultan aburridísimas. Además la ponencia corría a cargo de un matemático francés que la dio en inglés. Casi nada.

El caso es que Stanislaw Ulam (sí, el del Cuaderno Escocés) debió asistir a una conferencia de este tipo cuando comenzó nuestra historia, concretamente en 1963. Cuando uno se encuentra en esa situación tiene varias opciones: abandonar la sala (posiblemente sea una opción de mal gusto, pero ahí está), leer o estudiar (si uno está en situación de ello), comentar con el compañero para evitar los bostezos…Nuestro amigo Ulam optó por otra: escribir en un papel. ¿Qué escribió? Pues como buen matemático lo que escribió fueron números. En concreto números naturales comenzando en el uno.

En principio este hecho no tiene nada de particular. ¿Qué podrían significar un puñado de números escritos en un papel? Al menos Ulam eligió una disposición original para estos números: en forma de espiral, como puede verse en la siguiente figura:

Disposición de los números naturales en espiral

Bien, queda curioso el asunto. Utilidad y novedad nula, pero curioso.

Claro, supongo que Ulam se cansó en algún momento de escribir número y observando su creación se preguntaría qué hacer ahora (la conferencia debía ser una castaña de mucho cuidado a ojos de Ulam). Me estoy imaginando lo que pasó por la cabeza de Ulam en esos momentos:

Mente de Stanislaw Ulam: ¿Qué números podrían ser significativos para resaltarlo en tal espiral? Qué mejor que los primos. Bueno, pues vamos a marcarlos en la espiral.

En este punto os animo a que lo intentéis, a que escribáis unos cuantos números desde el uno en adelante en forma de espiral (cuantos más mejor) y marquéis los números primos de alguna forma para que resalten sobre el resto. Seguimos con Ulam:

Mente de Stanislaw Ulam: Mira qué bien queda. Un momento, qué casualidad, pues no que parece que se agrupan en diagonales. Bah, seguro que es casualidad. En cuanto aumente el tamaño de la espiral posiblemente la disposición sea tan caótica como parece serlo entre los números naturales.

Pero aumentando el tamaño de la espiral…

Mente de Stanislaw Ulam: ¡¡Pero bueno!! ¡¡Si el patrón de los primos en diagonal es aún más evidente conforme aumentamos el tamaño de la espiral!!

Y en realidad así es. Misteriosamente los números primos tienden a agruparse en ciertas diagonales. No todos, cierto, pero sí que puede considerarse como realmente curioso que en una disposición de los números naturales de este tipo exista esta tendencia de agrupación, digamos, gráfica, de un conjunto con tan pocas regularidades como los números primos. Echad un ojo a esta imagen y lo podréis ver con más detalle:

Espiral de Ulam

Quizás sea necesario aclarar un hecho en este momento. Sabemos que, excepto el 2, todos los números primos son impares. Teniendo en cuenta esto es evidente que en una representación en espiral como la anterior todos los impares caen en diagonal, por lo que todos los primos caen en las diagonales. Lo sorprendente de la espiral de Ulam no es eso, sino que exista cierta tendencia de los números primos a caer en algunas diagonales más que en otras. Aumentando mucho el tamaño de la espiral se pueden ver diagonales con muy pocos números primos y diagonales repletas de ellos. Eso es lo sorprendente, y para mí difícilmente explicable, de la espiral de Ulam.

Por cierto, parece que estos mismos patrones también se presentan si comenzamos la espiral con otros números. Este hecho es aún más importante, ya que podría significar que la agrupación de los números primos en ciertas diagonales es independiente del comienzo de la espiral, confirmando así un patrón de los mismos. La cosa sería ver cómo podríamos utilizar esto para comprender mejor este conjunto de números tan misterioso.

Os dejo a continuación un par de enlaces interesantes sobre el tema:

Applet de java sobre la espiral de Ulam en la web de Darío Alpern. Pueden verse los números naturales hasta $10^{14}$ , con los números primos marcados en verde. Además aparece alguna explicación interesante sobre el tema.
Espiral de Ulam en forma de triángulo.

Moraleja: No desechéis ninguna de vuestras ideas, por tonta, simple o descabellada que os parezca. Analizadla y estudiadla antes de olvidarla, ya que en cualquier lugar podemos encontrarnos un hecho curioso, interesante o sorprendente.

Autor: ^DiAmOnD^ | Publicado el 14 de September de 2009
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Categorías: Curiosidades, Números primos

Los números de Carmichael

La aventura de buscar qué números enteros positivos son primos es tan antigua como las propias matemáticas. Desde siempre los números primos han fascinado a los matemáticos. Los números primos, los átomos a partir de los cuales se pueden obtener todos los números naturales. Para no fascinar al personal.

Esto conlleva que desde siempre se hayan intentado desarrollar métodos para la búsqueda de los números primos. Quizás el más antiguo de los que se conocen sea la Criba de Eratóstenes, que consiste en lo siguiente:

Escribimos todos los números naturales desde el 2 hasta un cierto $n$ , por ejemplo hasta 120 (como aparece en la figura, tomada de la Wikipedia en español). Nos quedamos con el 2, que es primo, y tachamos todos los múltiplos de 2. Nos quedamos con el siguiente número no tachado, que en este caso es el 3, y lo declaramos como primo, tachando después todos los múltiplos de 3. Seguimos de esta forma, quedándonos con el primer número no tachado como primo y tachando sus múltiplos. Conseguimos así descartar todos los compuestos y localizar todos los primos.

Interesante método, pero con un gran inconveniente: el proceso es larguísimo si $n$ es muy grande. Por ello no serviría para localizar primos grandes, ya que costaría demasiado aplicar el método hasta el final. Imaginaos que quisiéramos determinar si un número de ocho cifras es primo…las dimensiones del cuadro y el tiempo que tardaríamos en terminar no son ni mucho menos asumibles.
(Leer el resto del post)

Autor: ^DiAmOnD^ | Publicado el 31 de August de 2009
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¿Por qué el caso n=4 es tan importante?

Introducción

Mucho se ha hablado en Gaussianos de Fermat y su último teorema. Pero que yo recuerde todavía no se ha mostrado ninguna demostración relacionada con él. En este artículo vamos a ver la de un caso, concretamente $n=4$ , que a la postre resulta determinante para la demostración global del teorema.

Primer paso: demostrar el teorema para n=4

Sello del Teorema de Fermat-Wiles
Por si alguien no sabe todavía de qué va este último teorema vamos a enunciarlo otra vez:

No existen enteros positivos $x,y,z$ y $n$ tales que $x^n+y^n=z^n$ para n > 2.

En esta parte del artículo vamos a demostrar que este resultado es cierto para $n=4$ , es decir:

Teorema: No existen enteros positivos $x,y$ y $z$ tales que $x^4+y^4=z^4$ .

Demostración:

Vamos a utilizar el método de reducción al absurdo. Supongamos que existen $x,y$ y $z$ tales que $x^4+y^4=z^4$ . Podemos suponer que cada par de ellos son primos relativos (ya que si dos de ellos tuvieran un divisor común el otro también debería tenerlo y por tanto podríamos simplificarlo). Esto implica que $x^2,y^2$ y $z^2$ son una terna pitagórica (es decir, terna de números cuyas longitudes son los lados de un triángulo rectángulo), por lo que, intercambiando los papeles de $x$ e $y$ si fuera necesario, tenemos lo siguiente (echad un ojo al artículo sobre ternas pitagóricas enlazado en esta misma frase si no sabéis por qué):

$x^2=2pq$
$y^2=p^2-q^2$
$z^2=p^2+q^2$

donde $p$ y $q$ tienen distinta paridad y cumplen que $0 < q < p$ .

Pero la segunda ecuación se puede escribir como $y^2 + q^2 = p^2$ y, como $p$ y $q$ son primos relativos, se sigue que $y, p$ y $q$ forman una terna pitagórica primitiva. Por lo tanto $p$ es impar y, como $p$ y $q$ tienen distinta paridad, $q$ es par.

De aquí:

$q = 2ab$
$y = a^2 – b^2$
$p = a^2 + b^2$

donde $a$ y $b$ son primos relativos de paridad opuesta y $a > b > 0$ . Así:

$x^2 = 2pq = 4ab(a^2 + b^2)$

Esto demuestra que $ab(a^2 + b^2)$ es un cuadrado (exactamente el cuadrado de $\textstyle{\frac{x}{2}}$ ). Pero $ab$ y $a^2 + b^2$ son primos relativos, ya que si un primo $P$ divide a $ab$ debería dividir también a $a$ o a $b$ , pero no a ambos, ya que $a$ y $b$ son primos relativos. Por tanto no puede dividir a $a^2 + b^2$ .

En consecuencia $ab$ y $a^2 + b^2$ deben ser ambos cuadrados. Pero si $ab$ es un cuadrado deben ser $a$ y $b$ los dos cuadrados (al ser primos relativos). Digamos entonces que $a = X^2$ y $b = Y^2$ . Por tanto $X^4 + Y^4 = a^2 + b^2$ es un cuadrado. Pero esto es suficiente para aplicar el método del descenso infinito, ya que la única suposición que se hizo al principio es que $z^4$ era un cuadrado, no una cuarta potencia. En otras palabras, si $x$ e $y$ son enteros positivos tal que $x^4 + y^4$ es un cuadrado la demostración anterior nos permite encontrar otros dos enteros positivos, $X$ e $Y$ , tales que $X^4 + Y^4$ es un cuadrado. Además:

$X^4 + Y^4 = a^2 + b^2 = p < p^2 + q^2 = z^2 < z^4 = x^4 + y^4$

Por tanto tenemos una sucesión decreciente infinita de enteros positivos, lo cual es imposible. Es decir, este razonamiento prueba que el último teorema de Fermat se cumple para $n = 4$ .

¿Qué tiene de especial el caso $n=4$ ?

Partiendo de lo que acabamos de demostrar se tiene que $x^{4m} + y^{4m} = z^{4m}$ no se puede dar para $x, y$ y $z$ enteros positivos cuando $m$ es un entero positivo, ya que $X = x^m$ , $Y = y^m$ y $Z = z^m$ serían solución de $X^4 + Y^4 = Z^4$ , pudiendo aplicarles entonces la demostración anterior. Por tanto el último teorema de Fermat es cierto para todo $n$ múltiplo de 4.

Ahora, un entero positivo $n > 2$ que no es múltiplo de 4 no es una potencia de 2. Entonces debe ser divisible por algún primo $p \ne 2$ , digamos $n = pm$ . Por tanto es obvio que para demostrar que $x^n + y^n = z^n$ es imposible será suficiente demostrar que $x^p + y^p = z^p$ es imposible. Esto es:

Una vez que el último teorema de Fermat ha sido probado en el caso $n = 4$ la demostración del caso general se reduce a probarlo en el caso en el que $n > 2$ es primo.

Esta es la importancia del caso $n=4$ : demostrando el teorema sólo en este caso permite tenerlo demostrado para todos los no primos.

Ahora sólo faltaría demostrarlo para los exponentes números primos.

Imagen tomada de Kelso Images.

Autor: ^DiAmOnD^ | Publicado el 20 de August de 2009
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Categorías: Demostraciones, Números enteros, Números primos, Teoremas

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