Gaussianos

Graves confusiones sobre el número Pi

Macario Polo Usaola es Profesor Titular de Universidad de la UCLM y director del Departamento de Tecnologías y Sistemas de Información de la Escuela Superior de Informática de la misma. Sus áreas de investigación están relacionadas con el desarrollo de técnicas y herramientas para automatizar las tareas de la construcción y mantenimiento de software (información sacada de este enlace de la UPV, gracias Nadym).

Os comento esto porque hace un rato leo una columna de opinión en el periódico El Día de Ciudad Real sobre el número $\pi$ firmada por este señor. No suelo encontrarme con artículos de este tipo en periódicos (igual aparecen más, pero yo no me he encontrado demasiados) por lo que me he parado a leerlo. Y me he quedado de piedra. Puede entenderse que las matemáticas no son el campo en el que se mueve principalmente Macario, pero lo que a mi juicio es incomprensible es que escriba una columna de opinión sobre el número $\pi$ con tantos errores. El artículo podéis verlo en este enlace (yo no lo veo bien ni con Firefox ni con IE, pero se puede copiar el texto al bloc de notas y leerlo). Paso a comentar los errores:

El número en cuestión es trascendente, lo que viene a significar que tiene infinitos decimales sin periodo alguno.

FALSO: Un número trascendente es un número que no es solución de ninguna ecuación polinómica con coeficientes enteros. El número $\pi$ es trascendente, cierto, pero la definición de número trascendente que se da en el artículo es errónea. Por ejemplo, el número $\sqrt{2}$ tiene infinitos decimales sin período alguno pero no es trascendente, ya que es solución de la ecuación polinómica $x^2-2=0$ . Los números que tienen infinitos decimales no periódicos se denominan irracionales.

ninguna secuencia de decimales de $\pi$ se repite y, de este modo, cualquier número que se nos ocurra, por largo que sea (nuestra corta edad, nuestra cuenta corriente, los dos juntos, los números de cuenta de todos nuestros vecinos uno detrás de otro), se encuentra entre los decimales de esta constante.

FALSO: Acabamos de ver que un número que cumple que ninguna secuencia de decimales se repite indefinidamente es un número irracional, pero eso no significa que cualquier número que se nos ocurra esté contenido en ellos. Por ejemplo, en este blog ya hemos comentado que el número:

$\displaystyle{\sum_{k=1}^\infty 10^{-k!}=0,110001000000000000000001000\ldots}$

conocido como número de Liouville es irracional (de hecho es hasta trascendente), pero parece claro que no toda secuencia de números que se nos ocurra (ni siquiera nuestra edad en la mayoría de los casos) se encuentra en sus decimales.

Los números que cumplen eso se denominan números normales y, aunque se cree firmemente que $\pi$ lo es, todavía no se ha conseguido demostrar.

Podemos, por otro lado, inventarnos un código, parecido a como funcionan los ordenadores, y asignar a cada letra de nuestro alfabeto un par de números. Siguiendo el orden alfabético, por ejemplo, a la A podemos asignarle dos ceros (00); a la B, un cero y un uno (01); a la C, un cero y un dos (02); seguimos así hasta la Z, a la que, tras haber desechado la Ch, la Ll y la Ñ, asignamos el dos-cinco (25). Empecemos otra vez, de modo que la A sea también el 26, la B el 27, y seguimos así hasta el 99, que corresponde a la cuarta asignación que le hacemos a la V, que queda codificada entonces con los números 21, 47, 73 y 99. Si damos la vuelta pasamos al 00, que era la A, así que paramos.

Con este código, en las primeras cifras decimales de  encontramos las letras siguientes: oponjlbgmuarmgbycgttrnpxkgutxshxhdmgckivicdwzivrgbeocizgeeovjmsirygwfubhodcwlrtcgkbbphvkdhmuwqlcpddsscdjxohhsjcvewxliafnbmbmntmhooiiiiktramen
…que no significan nada en apariencia; pero hallamos en su final una palabra castellana, “tramen”, del verbo tramar. Si seguimos buscando más adelante encontramos colores, como “rojo”, o “azul”, y más adelante todavía palabras más largas, y frases corrientes, como “buenosdías”, o “adiósamigo”.

Y mucho más delante, encontramos cualquier pensamiento que se nos ocurra, y este mismo artículo, y el otro que no he escrito o que deseché porque no me gustó, y también lo que el lector está pensando cuando lee estas líneas, tanto si es bueno como si es malo, y el Ingenioso Hidalgo en castellano antiguo, y también en inglés, y nuestro nombre con sus dos apellidos; y lo que nos ocurrió cualquier día aparece también relatado con tanto detalle que nos avergonzaría encontrarlo: sólo hace falta paciencia y ponerse a buscarlo.

FALSO: Por la misma razón que el punto anterior. No está demostrado que $\pi$ sea normal, por lo que no se puede asegurar que cualquier secuencia finita de letras se encuentre codificada entre los decimales de $\pi$ .

En consecuencia, Macario comenta básicamente tres curiosidades sobre el número $\pi$ y en las tres se confunde. Como dije antes veo normal que no sea un especialista en matemáticas, porque no es su campo, pero al menos podía haberse informado un poco mejor antes de escribir el artículo.

No me gustaría que nadie interpretara este post como una crítica al periódico El Día ni a los medios de comunicación tradicionales en general. El periodismo es muy complicado, y os aseguro que lo sé de muy primera mano. Es cierto que a veces hay errores, pero también es cierto que a veces es difícil evitarlos. Precisamente para que no se produzcan los periodistas que conozco intenta informarse lo máximo posible y en ciertos artículos específicos piden opinión y consejo a personas más metidas en el tema que ellos. Me parece que a Macario Polo Usaola le ha faltado precisamente eso, la opinión de una persona con más conocimientos sobre el tema, ya que, al menos leyendo este artículo, no parece que tenga demasiado claro lo que es y no es el número $\pi$ . Simplemente con haber consultado la Wikipedia, nombrada en su artículo, podría haber evitado esos errores.

He dejado el enlace a este post en un comentario en la web del periódico para que al menos sus lectores tengan la posibilidad de estar informados. Además, invito a Macario Polo Usaola a dar su punto de vista en este blog si lo cree conveniente.

Escrito por ^DiAmOnD^, 17 de Junio de 2008 en Pi
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Número normal

Como en algunos comentarios en ciertos artículos (por ejemplo, en algunos de números irracionales cebra) vi que no estaba demasiado claro qué era un número normal voy a intentar explicarlo en esta entrada.

Un número normal es un número real cuyos dígitos, en cualquier base, siguen una distribución uniforme, esto es, todos los dígitos son igualmente probables, todas las parejas de dígitos son igualmente probables, todas las ternas son igualmente probables…Cuando queremos referirnos a una base concreta $b$ diremos que el número es cuestión es normal en base $b$ . El concepto de número normal fue introducido por Émile Borel en 1909.

A la vista de esta definición podemos sacar varias cosas:

1.- En un número normal podemos encontrar todos los patrones posibles entre números; por ejemplo, si nos ceñimos a base 10, un número normal en base 10 contendrá en algún lugar de su expansión decimal a cualquier número natural que podamos pensar.
2.- Todo número normal debe ser necesariamente irracional, ya que si un número es racional tendrá un período y eso impide que haya equiprobabilidad.
3.- No todo número irracional es normal, ya que hay números irracionales en los cuales no aparece cualquier patrón de número naturales. Por ejemplo, la constante de Liouville

$\displaystyle{\sum_{j=1}^\infty 10^{-j!} = 0.110001000000000000000001000 \ldots}$

es un número irracional pero, evidentemente, no presenta todos los patrones posibles.

Después de la definición y de las observaciones iniciales viene la pregunta: ¿existen números normales? Y en ese caso, ¿cuántos hay? Vamos con las respuestas:

Sí, existen números normales. De hecho, casi todos los números reales son normales. El casi todos significa que el conjunto de los números reales no normales tiene medida de Lebesgue cero. Este resultado también fue demostrado por Borel, aunque su demostración es no constructiva. Fue Waclaw Sierpinski quien dio el primer ejemplo de número normal (no he podido encontrar de qué número se trata; si alguien lo sabe que lo comente). Por tanto hay muchísimos números normales. Sería lógico pensar entonces que es sencillo encontrarlos…nada más lejos de la realidad. Se conocen algunos, de otros se conjetura que lo son, hay más conjeturas sobre ellos, pero ni mucho menos es sencillo comprobar que un número irracional es o no es normal.

Vamos con un par de números de los que se conoce su normalidad:

1.- El número de Champernowne: $0,1234567891011121314151617181920212223 \ldots$

Este número se obtiene concatenando todos los números naturales. Se sabe que es normal en base 10, pero no se sabe si lo es o no en otras bases.

2.- La constante de Copeland-Ërdos: $0,23571113171923 \ldots$

Este número se obtiene concatenando todos los números primos en base 10. En 1945 Copeland y Ërdos demostraron que este número es normal en todas las bases.

3.- La constante de Chaitin $\Omega$ : que es la probabilidad de que un programa elegido al azar detenga correctamente a una maquina de Turing determinada.

Podemos definirlo también de la siguiente forma:

Sea $P$ el conjunto de todos los programas que se detienen y sea $|p|$ el tamaño en bits de un programa $p$ . Entonces:

$\displaystyle{\Omega = \sum_{p \in P} 2^{-|p|}}$

No podemos determinar todos sus dígitos ya que es un número no computable. Pero sabemos que los primeros dígitos de su expresión en base 10 son:

$\Omega=0,0078749969978123844 \ldots$

Uno de los temas más interesante sobre los números normales es si ciertas constantes famosas como $\pi,e,\sqrt{2}$ ó $ln(2)$ son números normales. Aunque se cree firmemente que lo son todavía no se ha podido demostrar ni refutar este hecho.

También existe, como en todos estos temas, una conjetura que de ser cierta sería un resultado ciertamente fuerte. EN este caso es la siguiente:

Todo número irracional algebraico es normal.

No se ha podido encontrar ningún contraejemplo de esta sentencia, pero tampoco se conoce ningún número irracional algebraico que sea normal. Si esta conjetura fuera cierta tendríamos de añadido que $\sqrt{2}$ es normal, al ser un número irracional algebraico.

Y para terminar os dejo un resultado sobre números normales relacionado con el análisis matemático:

Un número $x$ es normal en base $b$ si y sólo si

$\displaystyle{\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{1}{n}\sum_{k=0}^{n-1}e^{2 \pi i m b^k x}=0}$ , $\forall m\in\mathbb{Z}$ , $m\geq1$

Fuentes:

Normal number en la Wikipedia (inglés)
Las matemáticas de Oz, de Clifford A. Pickover
Constante de Chaitin en la Wikipedia (español)

Escrito por ^DiAmOnD^, 17 de Marzo de 2008 en Curiosidades, Pi
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Cómo demostrar que π (pi) es irracional (II)

Hoy, día de $\pi$ , vamos a ver una segunda demostración de la irracionalidad de esta constante, razón entre la longitud y el diámetro de una circunferencia (la primera demostración podéis verla en esta entrada).

Teorema: $\pi$ es irracional

Demostración:

Sea $\displaystyle{I_n(\alpha)=\int_{-1}^{1} (1-x^2)^n cos(\alpha x) dx}$ . Integrando por partes obtenemos lo siguiente:

$\alpha ^2 I_n=2n (2n-1) I_{n-1}-4n(n-1) I_{n-2}$

Siguiendo con la integración por partes llegamos a la siguiente expresión:

$\alpha ^{2n+1} I_n=n!(P_n sen(\alpha)+Q_n cos(\alpha))$ (1)

siendo $P_n$ , de grado $n$ , y $Q_n$ , de grado $n-1$ , polinomios de coeficientes enteros.

Tomamos $\textstyle{\alpha=\frac{\pi}{2}}$ y suponemos que $\pi$ es racional, digamos $\textstyle{\pi=\frac{a}{b}}$ , con $a,b \in \mathbb{Z}$ . Con ello, de (1) deducimos que

$J_n=\cfrac{a^{2n+1} I_n}{n!}$

es un número entero. Por otra parte, $J_n \rightarrow 0$ cuando $n \rightarrow \infty$ , ya que $a$ es fijo y la integral $I_n$ está acotada por $\textstyle{\displaystyle{\int_{-1}^{1} cos(\frac{\pi x}{2})}}$ , que es finita.

Por tanto $J_n$ es entero, $\forall n\in\mathbb{N}$ , y además $J_n \rightarrow 0$ cuando $n \rightarrow \infty$ . Por tanto $J_n=0$ para algún $n$ . Pero el integrando de $I_n$ es continuo y es positivo en todo el intervalo $(-1,1)$ . Por tanto $J_n \ne 0$ .

Esta es la contradicción a la que se llega asumiendo que $\pi$ es racional. Por tanto queda demostrado que $\pi$ es irracional.

Escrito por ^DiAmOnD^, 14 de Marzo de 2008 en Aprenda como, Pi
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Feliz día de π (año 2008)

Pues sí, como todos los años llega el día 14 de marzo, que en nomenclatura anglosajona se escribe 3/14, o lo que es lo mismo…¡¡el día de $\pi$ !!. Os dejo por aquí como recordatorio los posts del año pasado dedicados a este día:

El día de $\pi$
El día de $\pi$ (II)

Para este año también hay algo dedicado a este número. Pero eso será en el próximo post…

Escrito por ^DiAmOnD^, 14 de Marzo de 2008 en Pi
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¿Sabía que…

…como promedio, el número de representaciones de un número entero positivo $s$ como suma de dos cuadrados de números enteros (es decir, $s=n^2+m^2$ con $n,m\in\mathbb{Z}$ ) es $\pi$ ?

Al menos eso nos asegura Clifford A. Pickover en su libro Las matemáticas de Oz, que ya habréis visto en algún post y que probablemente veréis en alguno más.

¿Qué es eso del promedio? Muy sencillo:

${0}$ : Representaciones:1: $0=0^2+0^2$
$1$ : Representaciones: 4: $1=1^2+0^2,1=(-1)^2+0^2,1=0^2+1^2,1=0^2+(-1)^2$
$2$ : Representaciones: 4: $2=1^2+1^2,2=(-1)^2+1^2,2=1^2+(-1)^2,2=(-1)^2+(-1)^2$
$3$ : Representaciones: 0

y así, respectivamente, el $4$ tiene 4; el $5$ tiene 8; el $6$ tiene 0, el $7$ tiene 0, el $8$ tiene 4, el $9$ tiene 4, el $10$ tiene 8…

El promedio para cada $n$ se hace así: se suman las representaciones de cada número entre ${0}$ y $n$ y se divide el resultado entre $n$ . Por ejemplo, para los números del ${0}$ al $10$ haríamos el siguiente cálculo:

$\cfrac{1+4+4+0+4+8+0+0+4+4+8}{10}=3,7$

Bueno, pues al parecer si hacemos crecer $n$ ese promedio tiende a $\pi$ .

No he podido encontrar más información sobre el asunto. Si alguien encuentra algo que me lo comunique. Lo que sí he podido encontrar es cómo saber cuántas representaciones hay en cada caso, ya que en principio uno no ve una forma sencilla de calcular cuántas representaciones tiene un número entero positivo cualquiera como suma de dos cuadrados. Pues hay una forma, no de calcular el número de representaciones para cada número sino el número total de representaciones de todos los números desde ${0}$ hasta un cierto $n$ (es decir, la suma que luego deberíamos dividir entre $n$ ). Ese número es el número de puntos de coordenadas enteras dentro de un círculo de radio $\sqrt{n}$ según este post del blog de Juán de Mairena. Con este dato calcular esa suma de representaciones es mucho más sencillo.

Como podéis volver a ver, y como seguiréis viendo, el número $\pi$ sigue apareciendo en los lugares más insospechados.

Escrito por ^DiAmOnD^, 7 de Febrero de 2008 en Pi, ¿Sabía que ...?
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Cómo demostrar que π (pi) es irracional

Hace ya un tiempo vimos cómo demostrar que el número $e$ es irracional. En este post vamos a ver cómo demostrar que $\pi$ es irracional.

Teorema: $\pi$ es irracional

Demostración

Definimos la siguiente función:

$f(x)=\cfrac{x^n(1-x)^n}{n!}$

Utilizando el binomio de Newton podemos expresar $f(x)$ así:

$f(x)=\cfrac{1}{n!} \cdot x^n \cdot \displaystyle{\sum_{k=0}^n {n \choose k} (-1)^k x^k=\cfrac{1}{n!} \sum_{k=0}^n {n \choose k} (-1)^k x^{n+k}}$

Cuando $r < n$ se tiene que $f^{(r)}(0)=0$ (al derivar menos de $n$ veces el término $x^n$ no desaparece del todo) y cuando $r > 2n$ también obtenemos que $f^{(r)}(0)=0$ (ya que la propia función es la función ${0}$ al derivar más veces que su propio grado). Para calcular el resto de las derivadas en ${0}$ tomamos $m=1,2, \ldots ,n-1$ y las calculamos para todo $x$ :

$f^{(n+m)}(x)=\displaystyle{\cfrac{1}{n!} \sum_{k=0}^n {n \choose k} \cfrac{(n+k)!}{(k-m)!} (-1)^k x^{k-m}}$

Teniendo en cuenta esta expresión vemos fácilmente que $f^{(n+m)}(0)$ es un número entero para $m=1,2, \ldots ,n-1$ .

Por tanto tenemos que $f^{(s)}(0)$ es un número entero $\forall s \in \mathbb{N}$ . Como $f(1-x)=f(x)$ también tenemos que $f^{(s)}(1)$ es un número entero $\forall s \in \mathbb{N}$ .

Después de estos preliminares vamos con la demostración. En realidad vamos a demostrar que $\pi^2$ es irracional, hecho del que se deduce muy fácilmente que $\pi$ es irracional (¿Por qué?). La demostración comienza suponiendo que $\pi^2$ es racional, es decir, $\pi^2= \textstyle{\frac{a}{b}}$ , con $a,b\in\mathbb{Z^+}$ , es decir, enteros positivos. Definimos para cualquier entero positivo $n$ la siguiente función:

$F_n (x)=b^n [\pi^{2n} f(x)-\pi^{2n-2} f^{\prime\prime}(x)+\pi^{2n-4} f^{(4)} (x) - \ldots + (-1^n) f^{(2n)}(x)]$

Al ser $f(0)=f(1)=0$ y $f^{(s)}(0)$ un número entero $\forall s\in\mathbb{N}$ se tiene que $F_n (0)$ y $F_n (1)$ son enteros (los denominadores que aparecerían al sustituir $\pi^2$ por su supuesta expresión como fracción se cancelarían con el término $b^n$ del principio).

Realizamos ahora el siguiente cálculo basado en la función $F_n$ :

$\cfrac{d}{dx} [F^\prime _n (x) sen(\pi x)-\pi F_n (x) cos(\pi x)]=[F^{\prime\prime}_n (x)+ \pi^2 F_n (x)] sen(\pi x)=b^n \pi^{2n+2} f(x) sen(\pi x)$

Sustituyendo $\pi^2$ por $\textstyle{\frac{a}{b}}$ tenemos:

$\cfrac{d}{dx} [F^\prime _n (x) sen(\pi x)-\pi F_n (x) cos(\pi x)]=\pi^2 a^n f(x) sen(\pi x)$

Integrando obtenemos lo siguiente (pasamos $\pi$ dividiendo a la derecha):

$\displaystyle{\int_0^1 \pi a^n f(x) sen(\pi x) dx=\left [ \cfrac{F^\prime_n (x) sen(\pi x)}{\pi}-F_n (x) cos(\pi x) \right ]_0^1=F_n(1)+F_n(0)}$

que como hemos visto antes es un número entero.

Por otro lado, es sencillo de demostrar que para $0 < x < 1$ se tiene que $0 < f(x) < \textstyle{\frac{1}{n!}}$ . Multiplicando a ambos lados por $\pi a^n$ obtenemos:

$0 < \pi a^n f(x) < \cfrac{\pi a^n}{n!}$

Multiplicamos por $sen(\pi x)$ y acotamos la parte de la derecha (ya que $sen(x) < 1, \forall x\in\mathbb{R}$ ):

$0 < \pi a^n f(x) sen(\pi x) < \cfrac{\pi a^n sen(\pi x)}{n!} < \cfrac{\pi a^n}{n!}$

Integrando entre ${0}$ y $1$ obtenemos:

$\displaystyle{0 < \int_0^1 \pi a^n f(x) sen(\pi x) dx < \cfrac{\pi a^n}{n!}}$

Pero la última fracción es menor que $1$ para $n$ suficientemente grande. Por tanto tenemos lo siguiente:

$\displaystyle{0 < \int_0^1 \pi a^n f(x) sen(\pi x) dx < 1}$

Pero habíamos visto antes que $\displaystyle{\int_0^1 \pi a^n f(x) sen(\pi x) dx}$ era un número entero. Es decir, hemos llegado a un número entero entre ${0}$ y $1$ . Esa es la contradicción.

Por tanto $\pi^2$ es irracional y en consecuencia $\pi$ también lo es.

Fuentes:

Pi is irrational
Calculus, libro de Michael Spivak

Escrito por ^DiAmOnD^, 5 de Febrero de 2008 en Demostraciones, Pi
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Nuevo récord de dígitos de Pi de memoria…¿seguro?

Probablemente muchos de vosotros hayáis visto estos días en los informativos la noticia sobre el nuevo récord Guinness de decimales del número $\pi$ por parte de Jaime García Serrano. Por ejemplo, en este enlace, podéis verlo.

El anterior récord, aunque no fue homologado, pertenecía a Akira Haraguchi, psiquiatra japonés.

El caso es que al parecer este nuevo reto con los decimales de $\pi$ no ha sido como los anteriores. En otras tentativas se recitaron todos los decimales, pero en ésta no se hizo así. En un cierto momento Jaime dice que si siguiera estaría unas 50 horas seguidas. Por tanto si quieren pueden escoger una página de entre las 652 que componen el pdf con los 150000 decimales de $\pi$ y la elegida es la 197. Jaime pide la página anterior para continuar a partir de ella y cuando la ha inspeccionado la sigue. Hasta aquí bueno, se podría aceptar. El problema es que los números que aparecen en esa página no pertenecen al listado los 150000 primeros decimales del número $\pi$ . Increíble, ¿verdad? Veámoslo:

Silvia, una lectora de Gaussianos, me ha enviado un mail con el enlace a la noticia en El Mundo en el que se puede ver un vídeo del evento. La noticia es ésta y el vídeo es el siguiente:

La página 197, la elegida supongo que por el notario es la siguiente:

Decimales Pi página 197

Yo he probado un par de secuencia en un par de páginas que tienen almacenados muchos más decimales de $\pi$ que esos 150000 y no aparecen o aparecen mucho después del 150000. Las páginas son Pi Search (200 millones de decimales almacenados) y Pi Phone Number Search String (4200 millones de decimales almacenados).

Os pongo un ejemplo:

En la imagen aparece, entre otras, la secuencia $8128562$ . Según las dos páginas esta secuencia aparece en la posición $4885157$ , muy por delante de la posición 150000.

O alguien nos explica este asunto, a poder ser el propio Jaime, o creo que el prestigio de este calculista va a bajar bastante.

Escrito por ^DiAmOnD^, 28 de Enero de 2008 en Noticias, Pi
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La función Gamma: una generalización del factorial

La función factorial de un número entero no negativo es bien conocida. Se conoce ya en últimos cursos de Bachillerato y en cualquier carrera de ciencias suele aparecer con cierta frecuencia. De forma recurrente podríamos definirla de la siguiente forma:

Si $a_n=n!$ :

$a_0=1$
$a_{n+1}=(n+1) \cdot a_n$

Es decir, el factorial de ${0}$ es $1$ ( $0!=1$ ) y el factorial de un número entero mayor que ${0}$ es el propio número multiplicado por el factorial de número entero anterior ( $(n+1)!=(n+1) \cdot n!$ ). Resumiendo y simplificando algo el tema podemos decir que $n!=n \cdot (n-1) \cdot \ldots \cdot 1$ , o lo que es lo mismo, $n!$ es el producto de todos los números naturales desde $n$ hasta $1$ . Por ejemplo:

$3!=3 \cdot 2 \cdot 1=6$
$5!=5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1=120$

Interesante función. Pero con una enorme limitación: como hemos dicho sólo puedo calcular el factorial a número enteros no negativos. Sí, son muchos, de hecho hay infinitos, pero aún así la cosa queda algo corta. ¿Qué pasa con los números racionales? ¿Y los irracionales? ¿Y los complejos?

En este post vamos a ver una función que nos servirá como generalización de esta función factorial: la función Gamma

La función Gamma

La función Gamma se define para todo número complejo $z$ cuya parte real positiva de la siguiente forma:

$\displaystyle{\Gamma(z)=\int_0^{\infty} t^{z-1}e^{-t}dt}$

Esta definición puede extenderse $\forall z\in\mathbb{C-Z^-}$ , siendo $\mathbb{Z^-}$ el conjunto de los números enteros negativos.

Vamos a ver algunas propiedades de esta función:

Propiedades

$\Gamma(1)=1$
$\Gamma(z+1)=z \; \Gamma(z)$
$\forall n\in\mathbb{N}, \Gamma(n+1)=n!$ (consecuencia de la propiedad anterior)
$\displaystyle{\Gamma(z) \; \Gamma\left(z + \cfrac{1}{2}\right) = 2^{1-2z} \; \sqrt{\pi} \; \Gamma(2z)}$
$\Gamma\left(\cfrac{1}{2}\right )= \sqrt{\pi}$ (consecuencia de la propiedad anterior)
$\Gamma(1-z) \Gamma(z) = \cfrac{\pi}{\sin{(\pi z)}}$

Generalización del factorial

La propiedad 2. es la que nos indica la generalización del factorial a través de esta función. Vamos a demostrarla:

$\displaystyle{\Gamma(z+1)=\int_0^{\infty} t^{z+1-1}e^{-t}dt=\int_0^{\infty} t^{z}e^{-t}dt}$

Utilizando integración por partes, siendo $u=t^z$ y $dv=e^{-t}dt$ . Por tanto $du=z \; t^{z-1}$ y $v=-e^{-t}$ y nos queda:

$\displaystyle{\Gamma(z+1)=\int_0^{\infty} t^{z}e^{-t}dt=-e^{-t} \; t^z \Bigg|_0^{\infty}+\int_0^{\infty} z \; t^{z-1}e^{-t}dt}$

El primer término vale ${0}$ (fácil verlo con un sencillo límite) y el otro término, sacando $z$ de la integral, es $z \; \Gamma(z)$ . Por tanto:

$\Gamma(z+1)=z \; \Gamma(z)$ .

Otras definiciones alternativas de esta función y otras propiedades no listadas aquí pueden verse en Gamma Function en la Wikipedia (en inglés). Por ejemplo, podremos ver la relación de esta función con la constante de Euler-Mascheroni $\gamma$ .

Hay muchos más sitios donde aparece la función $\Gamma$ . Os dejo a vosotros que nos habléis de ellas en los comentarios.

Escrito por ^DiAmOnD^, 5 de Noviembre de 2007 en Cálculo, Demostraciones, Otras constantes
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The matching problem o cómo no formar ninguna pareja

Imaginemos que nos encontramos alguna de esta situaciones y nos planteamos la pregunta que viene en cada una de ellas:

Un profesor manda un trabajo para casa a un grupo de alumnos. Ellos entregan los mismos al profesor y cuando éste los va a devolver corregidos lo hace aleatoriamente. ¿Cuál es la probabilidad de que ninguno de los alumnos reciba su propio trabajo?
En una fiesta hay un cierto número de hombres ataviados con sombrero. Dejan los mismos en una sala y al término de la celebración cogen su sombrero de forma aleatoria. ¿Cuál es la probabilidad de que ninguno de los hombres lleve su propio sombrero?
Vamos a enviar felicitaciones de Navidad a nuestros familiares. Rellenamos las tarjetas por un lado y los sobres por otro y luego metemos las tarjetas en los sobres aleatoriamente. ¿Cuál es lo probabilidad de que ninguna de las tarjetas acabe en el sobre que le corresponde?

Todos estos ejemplos son casos en los que podemos aplicar el, al parecer, llamado The Matching Problem, aunque también he visto que lo llaman Montmort’s matching problem en honor a Pierre Raymond de Montmort, matemático francés nacido en 1678.

Bueno, vamos al tema. Para empezar, creo que se ve bastante claro que todos los casos son equivalentes. Entonces, ¿cuál diríais que es la probabilidad que se nos pide? Lo primero que uno podría pensar es: depende del número de alumnos, hombres y familiares que haya en cada caso. Es decir, que lo normal sería pensar que esa probabilidad depende del número de individuos que tenga la población. Pues no es así. La probabilidad es siempre la misma. Bueno, no exactamente. En realidad la probabilidad se acerca a un número concreto conforme el número de individuos se acerca a infinito. Curioso, ¿no?

Y ahora la pregunta es: ¿cuál es esa probabilidad? Pues bueno, teniendo en cuenta que si llamamos $N_n$ a la variable aleatoria que nos indica el número de emparejamientos válidos de entre $n$ se puede llegar a que su función de probabilidad es la siguiente:

$\displaystyle{P(N_n=k)=\cfrac{1}{k!} \cdot \sum_{j=0}^{n-k} \cfrac{(-1)^j}{j!}}$ con $k=0,1, \ldots ,n$

la probabilidad de que no se haya formado ninguna pareja válida nos la da la probabilidad de que $N_n$ sea igual a ${0}$ . Es decir:

$\displaystyle{P(N_n=0)=\sum_{j=0}^{n} \cfrac{(-1)^j}{j!}}$

¿Os suena esta suma? Seguro que a muchos sí. Hacemos límite cuando $n \to \infty$ y obtenemos lo que queremos:

$\displaystyle{P(N_n=0)=\sum_{j=0}^{n} \cfrac{(-1)^j}{j!} \xrightarrow{n \to \infty} \cfrac{1}{e}}$

Es decir, que la probabilidad de que no se forme ninguna pareja válida se acerca a $\cfrac{1}{e}$ tanto más como grande sea $n$ . Al parecer con $n=5$ ya nos queda una buena aproximación. Lo sorprendente es que cuanto más grande sea $n$ mejor es la aproximación a $\cfrac{1}{e}$ . Y digo yo: ¿cuánto vale ese número? Pues algo así como $0.367879441$ . Es decir, que en una situación de este tipo no se forma ninguna pareja válida aproximadamente el $36,8$ % de las veces. Y ese tanto por ciento se va acercando cada vez más a $\cfrac{1}{e} \cdot 100$ conforme aumenta el valor de $n$ .

Realmente curioso el asunto. ¿Esperabais que la probabilidad fuera más alta o más baja?

Fuentes:

Matching Problem en Math Fun Facts
The Matching Problem en Università di Firenze
The Matching Problem en The University of Alabama in Huntsville

Escrito por ^DiAmOnD^, 30 de Octubre de 2007 en Curiosidades, Estadística, Otras constantes
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Cadaeic Cadenza

El usuario 2pir ha propuesto este artículo en Menéame. Si queréis menearlo entrad aquí: Cadaeic Cadenza en Menéame.

Este artículo me lo inspiró agcp26 en este comentario en el post Mnemotecnia y Pi.

No, no me he equivocado en el título. ¿Qué es el Cadaeic Cadenza? Para empezar vamos a ver una cosa curiosa:

Mediante la asociación A=1, B=2, C=3, D=4, E=5, F=6, G=7, H=8, I=9 obtenemos lo siguiente:

C A D A E I C
3 1 4 1 5 9 3

Poniendo una coma decimal después del primer 3 tenemos… $3,141593$ . Es decir, obtenemos el número $\pi$ redondeado a seis decimales. Curioso, ¿verdad? ¿Casualidad? Veremos más adelante que no.

Para la palabra cadenza he encontrado esta posible explicación: Cadenza en MSN Encarta.

(Sigue leyendo …)

Escrito por ^DiAmOnD^, 6 de Septiembre de 2007 en Curiosidades, Pi
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