Pi | Gaussianos

¿Sabía que…

…en muchos países se sigue llamando a $\pi$ constante Ludolphina?

La razón es bien sencilla. A finales del siglo XVI se descubrieron varias aproximaciones del número $\pi$ :

V. Otho y A Anthonisz redescubrieron sobre el año 1573 de forma independiente la aproximación
$\pi \approx \cfrac{355}{113}$

a partir de las aproximaciones $\textstyle{377}{120}$ de Ptolomeo y $\cfrac{22}{7}$ de Arquimedes.
Viète encontró una aproximación de $\pi$ con 10 decimales exactos.

Pero el matemático alemán Ludolph Van Ceulen llegó más allá. En 1596 publicó una aproximación de $\pi$ con 20 decimales exactos, obtenida a partir de un polígono de 15 lados y duplicando sucesivamente el número de lados 37 veces. Pero fue más adelante cuando Van Ceulen encontró la aproximación que impresionó a sus sucesores. Mediante un polígono regular de $2^{62}$ lados Van Ceulen obtuvo una aproximación de $\pi$ con 35 decimales exactos. Según parece, su viuda hizo grabar en la tumba de Van Ceulen dicha aproximación:

$3,14159265358979323846264338327950288$

Fuente:

Historia de la matemática, de Carl B. Boyer.
Ludolph Van Ceulen en la Wikipedia española.

Autor: ^DiAmOnD^ | Publicado el 1 de September de 2010 | 3 Comentarios
Categorías: Pi, ¿Sabía que ...?

El número plateado

El número de oro (número áureo, proporción áurea…) puede definirse como la mayor solución real de la ecuación $x^2-x-1=0$ . Concretamente, como seguro que muchos de vosotros sabéis, su valor es:

$\phi=\cfrac{1+\sqrt{5}}{2}$

De este número ya hemos hablado por aquí en más de una ocasión: lo presentamos, también hablamos de él y su inverso y comentamos algunas de sus curiosidades.

Bien, pues éste no es el único número que merece un adjetivo relacionado con un metal precioso. En esta entrada vamos a presentar al número plateado (o número de plata) y también vamos a comentar algunas de sus curiosas e interesantes propiedades.
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Autor: ^DiAmOnD^ | Publicado el 16 de August de 2010 | 9 Comentarios
Categorías: Otras constantes

Nuevo récord de cálculo de decimales de pi

El pasado día 2 de agosto el ingeniero informático Shigeru Kondo y el estudiante (y gran programador) Alexander J. Yee han conseguido batir el récord de decimales del número $\pi$ , dejándolo en 5 billones de decimales. Este cálculo les llevo 3 meses y con la cantidad de decimales obtenida casi doblan el récord anterior, que estaba en 2’7 billones de decimales.

Y si debe ser un programador impresionante este Yee, ya que es el creador de y-cruncher, el programa que han utilizado para llegar a esta cifra de decimales y además tiene unos cuantos récords del mundo más en este sentido con otras constantes matemáticas.

En este enlace podéis ver el anuncio del récord y más información sobre el mismo.

La imagen la he sacado de aquí.

Autor: ^DiAmOnD^ | Publicado el 8 de August de 2010 | 17 Comentarios
Categorías: Noticias, Pi

¿Que tiene que ver el número e con los números primos?

Desde los comienzos del blog ciertas constantes han tenido un gran protagonismo en muchos artículos. Cierto es que el número $\pi$ se lleva la palma, pero pero también ha habido otras constantes a las que se les han dedicado artículos por su importancia y sus características, como $\sqrt{2}$ , la constante de Euler-Mascheroni $\gamma$ o el número $e$ .

Número e

Sobre este último tenemos varios artículos en los que aparece como protagonista principal o como actor secundario con un papel importante. Por ejemplo, hemos visto que es irracional y que es trascendente, dos características muy interesantes de un número que aparece tanto en nuestra vida diaria (más de lo que muchos piensan). También hablamos de cómo aparece al no formar ninguna pareja en el matching problem y, por otra parte, sabemos que es uno de los componentes de la identidad de Euler.

Los primeros 25 números primos

Y qué decir de los números primos, ellos sí que han aparecido en multitud de ocasiones por Gaussianos, ya sea demostrando su infinitud de varias formas (la demostración topológica me parece genial), generándolos o anunciando la aparición de nuevos miembros en esta familia tan peculiar.

Lo que no habíamos visto todavía (al menos que yo recuerde) es una relación más o menos clara y directa entre el número $e$ y los números primos. Vamos, una expresión que involucre a esta constante con este tipo tan especial de números, a este número irracional con estos números tan naturales. Pues ha llegado el momento.
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Autor: ^DiAmOnD^ | Publicado el 5 de July de 2010 | 9 Comentarios
Categorías: Demostraciones, Números primos, Otras constantes

Una de humor matemático (II)

Hoy os traigo unas cuantas imágenes curiosas relacionadas de una u otra manera con las matemáticas. Ahí van:

Imposible

Querrían decir parar en vez de pasar, ¿no? Gracias a Miguel, Alfredo y Jesús (no sé si me olvido de alguien), que me lo mandaron al mail del blog.

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Autor: ^DiAmOnD^ | Publicado el 8 de April de 2010 | 22 Comentarios
Categorías: Humor matemático, Pi

Celebrando infinitamente el día de Pi

Unos cuantos decimales de Pi

Como muchos de vosotros sabréis hoy, dia 14 de marzo, es el día de Pi. por si alguien no sabe por qué, la razón es que en el mundo anglosajón las fechas se escribe de la forma Mes/Día/Año. De esta forma el día de hoy sería el 3/14.

Todos los años escribo algo relacionado con Pi este día. Y este año no va a ser menos. Vamos a celebrar el día de Pi de forma infinita.

¿De forma infinita?

Vamos a celebrar este día de Pi de forma infinita mostrando diversas sumas y productos infinitos donde aparece este maravilloso número. Vamos con ellas:

Según parece, fue François Viète quien dio la primera expresión numérica exacta en la que aparece Pi. Concretamente fue este producto infinito:
$\cfrac{2}{\pi}=\sqrt{\cfrac{1}{2}} \cdot \sqrt{\cfrac{1}{2}+\cfrac{1}{2} \sqrt{\cfrac{1}{2}}} \cdot \sqrt{\cfrac{1}{2}+\cfrac{1}{2}\sqrt{\cfrac{1}{2}+\cfrac{1}{2} \sqrt{\cfrac{1}{2}}} \dots$

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Autor: ^DiAmOnD^ | Publicado el 14 de March de 2010 | 16 Comentarios
Categorías: Pi

Cómo demostrar que π (pi) es trascendente

Introducción

El número $\pi$ , constante asociada a la circunferencia y al círculo, que condiciona la elección de parejas de números primos relativos, que puede aparecer en cualquier momento de nuestra vida, en los lugares más insospechados (hasta al tirar una aguja)…Este número, $\pi$ , es un número irracional (hecho que ya conocemos por partida doble, I y II). Pero también es un número trascendente. Recordemos la definición de número algebraico y número trascendente:

Un número real $\alpha$ es algebraico si existe un polinomio $p(x)$ con coeficientes enteros tal que $p( \alpha)=0$ , es decir, $\alpha$ es raíz de $p(x)$ .

Un número real $\alpha$ es trascendente si no es algebraico, es decir, si no existe ningún polinomio con coeficientes enteros tal que $\alpha$ sea raíz de él.

Es decir, lo que estamos diciendo es que no existe ningún polinomio con coeficientes enteros tal que $\pi$ sea una raíz del mismo. Y eso mismo es lo que vamos a demostrar.

El número $\pi$ es trascendente

Vamos a demostrar el siguiente resultado:

Teorema:

El número $\pi$ es trascendente sobre $\mathbb{Q}$ .

Demostración

En primer lugar tenemos que si $\pi$ fuera raíz de un polinomio con coeficientes en $\mathbb{Q}$ , entonces el número $i \pi$ también sería raíz de un polinomio de este tipo (no necesariamente del mismo). Sea este polinomio $p_1 (x)$ . Suponiéndolo de grado $n$ sus raíces serán $\alpha _1=i \pi, \alpha _2, \ldots , \alpha _n$ .

Por otra parte sabemos que $e^{i \pi}+1=0$ . Entonces:

$(e^{\alpha _1}+1) (e^{\alpha _2}+1 \ldots (e^{\alpha _n}+1)=0$ (1)

Ahora, dado que los $\alpha _i$ son raíces de una ecuación polinómica con coeficientes racionales, $p_1(x)=0$ , las sumas de cada dos raíces también serán raíces de una ecuación polinómica con coeficientes racionales, digamos $p_2 (x)=0$ , las sumas de cada tres raíces igual, digamos $p_3 (x)=0$ , y así sucesivamente. Entonces la ecuación:

$p(x)=p_1(x) p_2(x) \ldots p_n(x)=0$

es una ecuación polinómica cuyas raíces son todas las sumas que pueden hacerse entre los $\alpha _i$ . Eliminando las raíces que sean cero (si las hay) obtenemos que $p(x)=c x^r+ c_1 x^{r-1}+ \ldots + c_r$ , es decir, un polinomio de grado $r$ con coeficientes en $\mathbb{Q}$ que además cumple que $c_r \ne 0$ , ya que hemos eliminado las soluciones igual a cero que pudiera haber. Y además conocemos sus raíces: son todos los exponentes distintos de cero de $e$ que aparecen al desarrollar el producto (1) anterior. Llamando $\beta _1, \ldots , \beta _r$ a estas raíces obtenemos que:

$e^{\beta _1}+ \ldots + e^{\beta _r}+e^0+ \ldots + e^0=0$

Esto es:

$\displaystyle{\sum_{i=1}^r e^{\beta _i} +k=0}$

donde $k$ es un número entero estrictamente mayor que cero (ya que siempre aparece algún $1$ ).

Definimos ahora la siguiente función:

$f(x)=c^s x^{p-1} \cfrac{\lbrack p(x) \rbrack ^p}{(p-1)!}$

donde $s=rp-1$ y $p$ se determinará más adelante.

Tomando ahora la función $F(x)$ así:

$F(x)=f(x)+f^\prime (x)+ \ldots + f^{s+p)} (x)$

tenemos que

$\cfrac{d}{dx} \lbrack e^{-x} F(x) \rbrack =-e^{-x} f(x)$

de la misma forma que se vio en el post del pasado lunes. Por tanto:

$e^{-x} F(x)- F(0)=- \displaystyle{\int_0^x e^{-y} f(y) dy}$

Multiplicamos la igualdad anterior por $e^x$ y tomamos $y=\lambda x$ obtenemos:

$F(x)-e^x F(0)=-x \displaystyle{\int_0^1 e^{(1- \lambda )x} f(\lambda x) d \lambda}$

Consideremos ahora $x$ en el rango de los $\beta _i$ y sumemos en $i$ . Como $\sum e^{\beta _i} +k=0$ llegamos a lo siguiente:

$\displaystyle{\sum_{i=1}^r F(\beta _i)+k F(0)=-\sum_{i=1}^r \beta _i \int_0^1 e^{(1- \lambda) \beta _i} f(\lambda \beta _i) d \lambda}$

Y ahora viene la clave de la demostración: para valores suficientemente grandes de $p$ el lado izquierda de esta última igualdad es un entero distinto de cero. Vamos a intentar explicar el porqué.

Por definición de $f$ se tiene que $\displaystyle{\sum_{i=1}^r f^{t)} (\beta _i)=0}$ para $0 < t < p$ . Cada derivada de orden $p$ o mayor tiene un factor $p$ y un factor $c^s$ y $f^{t)} (\beta _i)$ es un polinomio en $\beta _i$ como mucho de grado $s$ . La suma es simétrica, y dado que cada coeficiente es divisible entre $c^s$ esa suma es un número entero. Entonces, al tener a $p$ como factor se tiene lo siguiente:

$\displaystyle{\sum_{i=1}^r f^{t)} (\beta _i)=p k_t}$ , con $t=p, \ldots , p+s$

Entonces el lado izquierdo de la igualdad es un entero más $k F(0)$ . VEamos ahora qué es $F(0)$ .

Se tiene lo siguiente:

$\begin{matrix} f^{t)} (0)=0, \; t=0, \ldots , p-2 \\ f^{p-1)} (0)=c^s c_r^p \; (c_r \ne 0) \\ f^{t)} (0)= p (entero), \; t=p, p+1, \ldots \end{matrix}$

Por tanto el lado izquierdo de la igualdad es un entero múltiplo de $p+c^s c_r^p k$ . Este término no es divisible por $p$ tomando este primo $p >k,c,c_r$ . Por tanto, para valores suficientemente grandes de $p$ se tiene que esa parte izquierda de la igualdad es un entero distinto de cero. Pero por otra parte, cuando $p$ tiende a infinito se tiene que la parte derecha de la igualdad tiende a cero. Esto es una contradicción que partió de considerar que $\pi$ era un número algebraico. Por tanto ya tenemos el resultado buscado:

El número $\pi$ es trascendente

Aplicación

Una de las aplicaciones más conocidas de la trascendencia de $\pi$ es la imposibilidad de cuadrar un círculo.

Fuente:

The trascendence of $\pi$ artículo en el que Steve Mayer, de Mathematics Weblog, reproduce la demostración dada por Ian Stewart en un curpo sobre Anillos y Cuerpos en 1970. La demostración sobre la trascendencia del número $e$ publicada en Gaussianos el pasado lunes también aparece en dicho documento.

Autor: ^DiAmOnD^ | Publicado el 26 de November de 2009 | Comments Off
Categorías: Demostraciones, Pi

Cómo demostrar que el número e es trascendente

Introducción

El número $e$ , base del logaritmo neperiano, protagonista del matching problem y de la identidad de Euler es, como ya vimos, irracional. Pero es bien sabido también que este número es trascendente. Recordemos las definiciones de número algebraico y número trascendente:

Un número real $\alpha$ es algebraico si existe un polinomio $p(x)$ con coeficientes enteros tal que $p( \alpha)=0$ , es decir, $\alpha$ es una raíz de $p(x)$ .

Un número real $\alpha$ es trascendente si no es algebraico, es decir, si $\alpha$ no es raíz de ningún polinomio con coeficientes enteros.

Es decir, no existe ningún polinomio con coeficientes enteros que tenga al número $e$ entre sus raíces. Pero la demostración de este hecho no es ni mucho menos trivial, aunque no es muy difícil de seguir. A ello vamos a dedicar el resto del artículo.
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Autor: ^DiAmOnD^ | Publicado el 23 de November de 2009 | 17 Comentarios
Categorías: Demostraciones, Otras constantes

La identidad de Boya

Seguro que todos recordáis la identidad de Euler:

$e^{i \pi}+1=0$

Es una relación entre números enormemente bella (para mí la más bella). En este artículo os voy a mostrar otra relación entre ciertos números, debida al profesor Luis J. Boya, que también tiene su aquel. La he bautizado, como no podía ser de otra forma, como la identidad de Boya:

$\displaystyle{2 \pi= e^{\gamma} \prod_{n=2}^{\infty} exp \left (\frac{\zeta (n)}{\tbinom{n+1}{2}} \right )}$ (1)

Antes de demostrarla vamos a enumerar y presentar los elementos que en ella aparecen:
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Autor: ^DiAmOnD^ | Publicado el 7 de September de 2009 | Comments Off
Categorías: Demostraciones, Otras constantes, Pi

Falacias geométricas resueltas

En las últimas semanas hemos visto dos entradas en las que mostrábamos varias falacias geométricas. Aunque algunos de vosotros ya habéis dado solución a las mismas en los comentarios de cada uno de los dos artículos no está de más que lo hagamos en un post propio. Éste va a estar dedicado a ello.

Falacias Geométricas (I)

En Falacias Geométricas (I) se presentaban tres supuestos teoremas que en realidad son falsos. Unas posibles razones son las siguientes:

ÁNGULO RECTUSO

Este teorema decía que a veces un ángulo recto puede ser igual a un ángulo obtuso.

El teorema es falso por lo siguiente: el punto $K$ está mal situado. Si dibujado con suficiente precisión la figura el punto $K$ queda tan por debajo de la recta $DC$ que la recta que une $G$ con $K$ queda totalmente en el exterior del cuadrado $ABCD$ inicial. Por tanto la demostración planteada no puede aplicarse.

ISOSCELOSIS

Este resultado afirmaba que todos los triángulos son isósceles.

El error en este caso vuelve a ser de construcción: el punto $F$ está siempre situado fuera del triángulo y en posición tal que al trazar perpendiculares desde $F$ a los lados $AB$ y $AC$ una de las perpendiculares intersecará a uno de los lados del triángulo, pero la otra intersecará a una prolongación del otro lado.

ÁNGULO=ÁNGULO, LADO=LADO $\Rightarrow$ PARALELOGRAMO
Falacia cuadrilátero
La demostración es correcta si $X$ e $Y$ se encuentra cada uno sobre un lado del cuadrilátero, o si tanto $X$ como $Y$ se encuentran en proyecciones de los lados, pero falla si uno se encuentra en un lado y el otro en la prolongación de un lado, como ocurre en la figura de la derecha. Se puede ver que dicha figura cumple las hipótesis del teorema, pero claramente no es un paralelogramo.

Falacias Geométricas (II)

En Falacias Geométricas (II) os presentaba otros dos supuestos teoremas geométricos que, como pasa con los anteriores, también resultan falsos. Os dejo un análisis de cada uno.

¿QUE $\pi$ ES CUÁNTO?

Este teorema aseguraba que $\pi=2$ .

Siguiendo la construcción planteada está claro que conforme los semicírculos van haciéndose más pequeños sus radios se van acercando cada vez más a cero (tienen por límite cero) y, por tanto, la línea ondulante formada por ellos puede aproximarse tanto como queramos al diámetro del círculo inicial. Pero los semicírculos no pierden su forma en ningún momento. Dado que continúan siendo semicírculos (da igual su tamaño) su longitud total sigue sieno $\pi$ .

Esta falacia es un claro ejemplo de sucesión convergente cuyos términos tienen ciertas propiedades que su límite no hereda.

QUE NOOOOO, QUE EL QUINTO POSTULADO NO ES INDEPENDIEEEEENTE

Con este último resultado se demostraba que el quinto postulado de la geometría euclídea no era independiente de los otros cuatro.

La demostración planteada para este controvertido problema es perfectamente válida en el sentido de que por $C$ puede construirse una recta que sea paralela a $AB$ , pero no demuestra que dicha paralela sea única. Hay otros muchos métodos para construir una paralela a la recta dada que pase por $C$ , pero nuestra demostración no garantiza que todas esas paralelas sean la misma recta.

De hecho, por poner un ejemplo, en geometría hiperbólica pueden trazarse por $C$ infinitas paralelas. Dicha posibilidad sólo puede descartarse aplicando el quinto postulado o alguno equivalente a él.

Conclusión

Estas falacias presentadas en esas dos entradas deben servirnos principalmente para una cosa: no podemos fiarnos solamente de los dibujos. Las representaciones gráficas pueden engañarnos si nos las presentan con un poquito de mala leche. Por ello debemos tener cuidado con ellas y aplicar nuestros conocimientos para descubrir si dicha representación es correcta o es falsa.

Para terminar os comento que tanto los enunciados de las falacias como las propuestas de solución están sacadas del libroRuedas, Vida y otras diversiones matemáticas, de Martin Gardner; perteneciente a la colección Desafíos Matemáticos de RBA.

Autor: ^DiAmOnD^ | Publicado el 23 de July de 2009 | Comments Off
Categorías: Demostraciones, Geometría, Pi

¿Sabía que…

El número plateado

Nuevo récord de cálculo de decimales de pi

¿Que tiene que ver el número e con los números primos?

Una de humor matemático (II)