Pi | Gaussianos

Celebrando infinitamente el día de Pi

Unos cuantos decimales de Pi

Como muchos de vosotros sabréis hoy, dia 14 de marzo, es el día de Pi. por si alguien no sabe por qué, la razón es que en el mundo anglosajón las fechas se escribe de la forma Mes/Día/Año. De esta forma el día de hoy sería el 3/14.

Todos los años escribo algo relacionado con Pi este día. Y este año no va a ser menos. Vamos a celebrar el día de Pi de forma infinita.

¿De forma infinita?

Vamos a celebrar este día de Pi de forma infinita mostrando diversas sumas y productos infinitos donde aparece este maravilloso número. Vamos con ellas:

Según parece, fue François Viète quien dio la primera expresión numérica exacta en la que aparece Pi. Concretamente fue este producto infinito:
$\cfrac{2}{\pi}=\sqrt{\cfrac{1}{2}} \cdot \sqrt{\cfrac{1}{2}+\cfrac{1}{2} \sqrt{\cfrac{1}{2}}} \cdot \sqrt{\cfrac{1}{2}+\cfrac{1}{2}\sqrt{\cfrac{1}{2}+\cfrac{1}{2} \sqrt{\cfrac{1}{2}}} \dots$

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Autor: ^DiAmOnD^ | Publicado el 14 de Marzo de 2010 | 14 Comentarios
Categorías: Pi

Cómo demostrar que π (pi) es trascendente

Introducción

El número $\pi$ , constante asociada a la circunferencia y al círculo, que condiciona la elección de parejas de números primos relativos, que puede aparecer en cualquier momento de nuestra vida, en los lugares más insospechados (hasta al tirar una aguja)…Este número, $\pi$ , es un número irracional (hecho que ya conocemos por partida doble, I y II). Pero también es un número trascendente. Recordemos la definición de número algebraico y número trascendente:

Un número real $\alpha$ es algebraico si existe un polinomio $p(x)$ con coeficientes enteros tal que $p( \alpha)=0$ , es decir, $\alpha$ es raíz de $p(x)$ .

Un número real $\alpha$ es trascendente si no es algebraico, es decir, si no existe ningún polinomio con coeficientes enteros tal que $\alpha$ sea raíz de él.

Es decir, lo que estamos diciendo es que no existe ningún polinomio con coeficientes enteros tal que $\pi$ sea una raíz del mismo. Y eso mismo es lo que vamos a demostrar.

El número $\pi$ es trascendente

Vamos a demostrar el siguiente resultado:

Teorema:

El número $\pi$ es trascendente sobre $\mathbb{Q}$ .

Demostración

En primer lugar tenemos que si $\pi$ fuera raíz de un polinomio con coeficientes en $\mathbb{Q}$ , entonces el número $i \pi$ también sería raíz de un polinomio de este tipo (no necesariamente del mismo). Sea este polinomio $p_1 (x)$ . Suponiéndolo de grado $n$ sus raíces serán $\alpha _1=i \pi, \alpha _2, \ldots , \alpha _n$ .

Por otra parte sabemos que $e^{i \pi}+1=0$ . Entonces:

$(e^{\alpha _1}+1) (e^{\alpha _2}+1 \ldots (e^{\alpha _n}+1)=0$ (1)

Ahora, dado que los $\alpha _i$ son raíces de una ecuación polinómica con coeficientes racionales, $p_1(x)=0$ , las sumas de cada dos raíces también serán raíces de una ecuación polinómica con coeficientes racionales, digamos $p_2 (x)=0$ , las sumas de cada tres raíces igual, digamos $p_3 (x)=0$ , y así sucesivamente. Entonces la ecuación:

$p(x)=p_1(x) p_2(x) \ldots p_n(x)=0$

es una ecuación polinómica cuyas raíces son todas las sumas que pueden hacerse entre los $\alpha _i$ . Eliminando las raíces que sean cero (si las hay) obtenemos que $p(x)=c x^r+ c_1 x^{r-1}+ \ldots + c_r$ , es decir, un polinomio de grado $r$ con coeficientes en $\mathbb{Q}$ que además cumple que $c_r \ne 0$ , ya que hemos eliminado las soluciones igual a cero que pudiera haber. Y además conocemos sus raíces: son todos los exponentes distintos de cero de $e$ que aparecen al desarrollar el producto (1) anterior. Llamando $\beta _1, \ldots , \beta _r$ a estas raíces obtenemos que:

$e^{\beta _1}+ \ldots + e^{\beta _r}+e^0+ \ldots + e^0=0$

Esto es:

$\displaystyle{\sum_{i=1}^r e^{\beta _i} +k=0}$

donde $k$ es un número entero estrictamente mayor que cero (ya que siempre aparece algún $1$ ).

Definimos ahora la siguiente función:

$f(x)=c^s x^{p-1} \cfrac{\lbrack p(x) \rbrack ^p}{(p-1)!}$

donde $s=rp-1$ y $p$ se determinará más adelante.

Tomando ahora la función $F(x)$ así:

$F(x)=f(x)+f^\prime (x)+ \ldots + f^{s+p)} (x)$

tenemos que

$\cfrac{d}{dx} \lbrack e^{-x} F(x) \rbrack =-e^{-x} f(x)$

de la misma forma que se vio en el post del pasado lunes. Por tanto:

$e^{-x} F(x)- F(0)=- \displaystyle{\int_0^x e^{-y} f(y) dy}$

Multiplicamos la igualdad anterior por $e^x$ y tomamos $y=\lambda x$ obtenemos:

$F(x)-e^x F(0)=-x \displaystyle{\int_0^1 e^{(1- \lambda )x} f(\lambda x) d \lambda}$

Consideremos ahora $x$ en el rango de los $\beta _i$ y sumemos en $i$ . Como $\sum e^{\beta _i} +k=0$ llegamos a lo siguiente:

$\displaystyle{\sum_{i=1}^r F(\beta _i)+k F(0)=-\sum_{i=1}^r \beta _i \int_0^1 e^{(1- \lambda) \beta _i} f(\lambda \beta _i) d \lambda}$

Y ahora viene la clave de la demostración: para valores suficientemente grandes de $p$ el lado izquierda de esta última igualdad es un entero distinto de cero. Vamos a intentar explicar el porqué.

Por definición de $f$ se tiene que $\displaystyle{\sum_{i=1}^r f^{t)} (\beta _i)=0}$ para $0 < t < p$ . Cada derivada de orden $p$ o mayor tiene un factor $p$ y un factor $c^s$ y $f^{t)} (\beta _i)$ es un polinomio en $\beta _i$ como mucho de grado $s$ . La suma es simétrica, y dado que cada coeficiente es divisible entre $c^s$ esa suma es un número entero. Entonces, al tener a $p$ como factor se tiene lo siguiente:

$\displaystyle{\sum_{i=1}^r f^{t)} (\beta _i)=p k_t}$ , con $t=p, \ldots , p+s$

Entonces el lado izquierdo de la igualdad es un entero más $k F(0)$ . VEamos ahora qué es $F(0)$ .

Se tiene lo siguiente:

$\begin{matrix} f^{t)} (0)=0, \; t=0, \ldots , p-2 \\ f^{p-1)} (0)=c^s c_r^p \; (c_r \ne 0) \\ f^{t)} (0)= p (entero), \; t=p, p+1, \ldots \end{matrix}$

Por tanto el lado izquierdo de la igualdad es un entero múltiplo de $p+c^s c_r^p k$ . Este término no es divisible por $p$ tomando este primo $p >k,c,c_r$ . Por tanto, para valores suficientemente grandes de $p$ se tiene que esa parte izquierda de la igualdad es un entero distinto de cero. Pero por otra parte, cuando $p$ tiende a infinito se tiene que la parte derecha de la igualdad tiende a cero. Esto es una contradicción que partió de considerar que $\pi$ era un número algebraico. Por tanto ya tenemos el resultado buscado:

El número $\pi$ es trascendente

Aplicación

Una de las aplicaciones más conocidas de la trascendencia de $\pi$ es la imposibilidad de cuadrar un círculo.

Fuente:

The trascendence of $\pi$ artículo en el que Steve Mayer, de Mathematics Weblog, reproduce la demostración dada por Ian Stewart en un curpo sobre Anillos y Cuerpos en 1970. La demostración sobre la trascendencia del número $e$ publicada en Gaussianos el pasado lunes también aparece en dicho documento.

Autor: ^DiAmOnD^ | Publicado el 26 de Noviembre de 2009 | 13 Comentarios
Categorías: Demostraciones, Pi

Cómo demostrar que el número e es trascendente

Introducción

El número $e$ , base del logaritmo neperiano, protagonista del matching problem y de la identidad de Euler es, como ya vimos, irracional. Pero es bien sabido también que este número es trascendente. Recordemos las definiciones de número algebraico y número trascendente:

Un número real $\alpha$ es algebraico si existe un polinomio $p(x)$ con coeficientes enteros tal que $p( \alpha)=0$ , es decir, $\alpha$ es una raíz de $p(x)$ .

Un número real $\alpha$ es trascendente si no es algebraico, es decir, si $\alpha$ no es raíz de ningún polinomio con coeficientes enteros.

Es decir, no existe ningún polinomio con coeficientes enteros que tenga al número $e$ entre sus raíces. Pero la demostración de este hecho no es ni mucho menos trivial, aunque no es muy difícil de seguir. A ello vamos a dedicar el resto del artículo.
(Leer el resto del post)

Autor: ^DiAmOnD^ | Publicado el 23 de Noviembre de 2009 | 16 Comentarios
Categorías: Demostraciones, Otras constantes

La identidad de Boya

Seguro que todos recordáis la identidad de Euler:

$e^{i \pi}+1=0$

Es una relación entre números enormemente bella (para mí la más bella). En este artículo os voy a mostrar otra relación entre ciertos números, debida al profesor Luis J. Boya, que también tiene su aquel. La he bautizado, como no podía ser de otra forma, como la identidad de Boya:

$\displaystyle{2 \pi= e^{\gamma} \prod_{n=2}^{\infty} exp \left (\frac{\zeta (n)}{\tbinom{n+1}{2}} \right )}$ (1)

Antes de demostrarla vamos a enumerar y presentar los elementos que en ella aparecen:
(Leer el resto del post)

Autor: ^DiAmOnD^ | Publicado el 7 de Septiembre de 2009 | 9 Comentarios
Categorías: Demostraciones, Otras constantes, Pi

Falacias geométricas resueltas

En las últimas semanas hemos visto dos entradas en las que mostrábamos varias falacias geométricas. Aunque algunos de vosotros ya habéis dado solución a las mismas en los comentarios de cada uno de los dos artículos no está de más que lo hagamos en un post propio. Éste va a estar dedicado a ello.

Falacias Geométricas (I)

En Falacias Geométricas (I) se presentaban tres supuestos teoremas que en realidad son falsos. Unas posibles razones son las siguientes:

ÁNGULO RECTUSO

Este teorema decía que a veces un ángulo recto puede ser igual a un ángulo obtuso.

El teorema es falso por lo siguiente: el punto $K$ está mal situado. Si dibujado con suficiente precisión la figura el punto $K$ queda tan por debajo de la recta $DC$ que la recta que une $G$ con $K$ queda totalmente en el exterior del cuadrado $ABCD$ inicial. Por tanto la demostración planteada no puede aplicarse.

ISOSCELOSIS

Este resultado afirmaba que todos los triángulos son isósceles.

El error en este caso vuelve a ser de construcción: el punto $F$ está siempre situado fuera del triángulo y en posición tal que al trazar perpendiculares desde $F$ a los lados $AB$ y $AC$ una de las perpendiculares intersecará a uno de los lados del triángulo, pero la otra intersecará a una prolongación del otro lado.

ÁNGULO=ÁNGULO, LADO=LADO $\Rightarrow$ PARALELOGRAMO
Falacia cuadrilátero
La demostración es correcta si $X$ e $Y$ se encuentra cada uno sobre un lado del cuadrilátero, o si tanto $X$ como $Y$ se encuentran en proyecciones de los lados, pero falla si uno se encuentra en un lado y el otro en la prolongación de un lado, como ocurre en la figura de la derecha. Se puede ver que dicha figura cumple las hipótesis del teorema, pero claramente no es un paralelogramo.

Falacias Geométricas (II)

En Falacias Geométricas (II) os presentaba otros dos supuestos teoremas geométricos que, como pasa con los anteriores, también resultan falsos. Os dejo un análisis de cada uno.

¿QUE $\pi$ ES CUÁNTO?

Este teorema aseguraba que $\pi=2$ .

Siguiendo la construcción planteada está claro que conforme los semicírculos van haciéndose más pequeños sus radios se van acercando cada vez más a cero (tienen por límite cero) y, por tanto, la línea ondulante formada por ellos puede aproximarse tanto como queramos al diámetro del círculo inicial. Pero los semicírculos no pierden su forma en ningún momento. Dado que continúan siendo semicírculos (da igual su tamaño) su longitud total sigue sieno $\pi$ .

Esta falacia es un claro ejemplo de sucesión convergente cuyos términos tienen ciertas propiedades que su límite no hereda.

QUE NOOOOO, QUE EL QUINTO POSTULADO NO ES INDEPENDIEEEEENTE

Con este último resultado se demostraba que el quinto postulado de la geometría euclídea no era independiente de los otros cuatro.

La demostración planteada para este controvertido problema es perfectamente válida en el sentido de que por $C$ puede construirse una recta que sea paralela a $AB$ , pero no demuestra que dicha paralela sea única. Hay otros muchos métodos para construir una paralela a la recta dada que pase por $C$ , pero nuestra demostración no garantiza que todas esas paralelas sean la misma recta.

De hecho, por poner un ejemplo, en geometría hiperbólica pueden trazarse por $C$ infinitas paralelas. Dicha posibilidad sólo puede descartarse aplicando el quinto postulado o alguno equivalente a él.

Conclusión

Estas falacias presentadas en esas dos entradas deben servirnos principalmente para una cosa: no podemos fiarnos solamente de los dibujos. Las representaciones gráficas pueden engañarnos si nos las presentan con un poquito de mala leche. Por ello debemos tener cuidado con ellas y aplicar nuestros conocimientos para descubrir si dicha representación es correcta o es falsa.

Para terminar os comento que tanto los enunciados de las falacias como las propuestas de solución están sacadas del libroRuedas, Vida y otras diversiones matemáticas, de Martin Gardner; perteneciente a la colección Desafíos Matemáticos de RBA.

Autor: ^DiAmOnD^ | Publicado el 23 de Julio de 2009 | 4 Comentarios
Categorías: Demostraciones, Geometría, Pi

Falacias geométricas (II)

En este artículo os voy a mostrar otras dos falacias geométricas que no son fáciles de refutar (las tres anteriores las podéis ver en Falacias geométricas (I)).

¿Que $\pi$ es cuánto?

El valor de $\pi$ , razón entre la longitud de una circunferencia y el diámetro de la misma, es bastante conocido por todo el mundo. Es un número irracional (podéis verlo aquí y aquí) cuyo valor redondeado a cinco decimales es $3,14159$ . Pues bien, vamos a demostrar el siguiente teorema:

Teorema:

El valor de $\pi$ es $2$ .

Demostración:

Pi es igual a 2

Partimos de la conocido símbolo del yin-yang, como puede verse en la figura de la derecha. Supongamos que el diámetro $AB$ es igual a $2$ . Sabiendo que la longitud de una circunferencia de diámetro $2$ es $L=2 \pi$ tenemos que la longitud de la semicircunferencia que va de $A$ a $B$ es $\pi$ .

Los dos semicírculos de tamaño inmediatamente inferior, los que forman la curva central del típico símbolo del yin-yang, tienen longitud $\textstyle{\frac{\pi}{2}}$ (son semicircunferencias de una de diámetro $1$ ), por lo que la suma de sus longitudes vuelve a ser $\pi$ . Si dibujamos otros dos semicírculos del mismo tipo dentro de cada uno de los dos semicírculos anteriores tenemos que cada uno de ellos tendrán longitud $\textstyle{\frac{\pi}{4}}$ . Como tendremos cuatro semicírculos así, la suma de sus longitudes vuelve a ser $\pi$ .

Continuando con el proceso obtenemos siempre un conjunto de semicírculos, cada vez más pequeños, cuya suma de longitudes es $\pi$ . El límite de la curva formada por esos semicírculos es el diámetro $AB$ . Esto es, si realizamos esta construcción infinitas veces, tenemos que cuando el límite de los diámetros de las circunferencias sea ${0}$ la curva formada por los semicírculos coincide con el diámetro $AB$ . Pero la curva mide $\pi$ y $AB$ mide $2$ . Por tanto $\pi=2$ .

Que nooooo, que el quinto postulado no es independieeeeente

El quinto postulado de la geometría euclídea, el conocido postulado de las paralelas, afirma (utilizando una de sus versiones más sencillas) que a partir de una recta y un punto exterior a la misma sólo puede trazarse una única recta paralela a la dada que pase por dicho punto. Está demostrado que ese postulado es independiente de los otros cuatro y que tanto tomándolo como cierto como tomando cualquiera de los dos enunciados que obtendríamos negándolo obtenemos geometrías consistentes.

¿Seguro? Vamos a demostrar el siguiente teorema:

Teorema:

El postulado euclídeo de las paralelas puede ser demostrado a partir de los restantes axiomas de la geometría euclídea.

Demostración:

Paralelas

En la figura adjunta tenemos un gráfico de la demostración. La recta de la que partimos es la recta $AB$ y el punto dado es $C$ . Trazamos desde $C$ una perpendicular a $AB$ (puede construirse sin utilizar el postulado de las paralelas que sólo puede construirse una perpendicular como ésta), obteniendo así el punto $D$ . Por el punto $C$ trazamos la recta $EF$ , perpendicular a $CD$ (también única, por lo dicho anteriormente).

El teorema que afirma que dos rectas perpendiculares a una dada son paralelas puede demostrarse sin necesidad de utilizar el postulado de las paralelas, por lo que las rectas $AB$ y $EF$ son paralelas.

Queda demostrado entonces el postulado de las paralelas.

El reto

¿Podéis refutar estas dos demostraciones?

Autor: ^DiAmOnD^ | Publicado el 9 de Julio de 2009 | 44 Comentarios
Categorías: Demostraciones, Geometría, Pi

Celebrando el día de π (pi) con una aguja y una medusa

Como muchos de vosotros sabréis, hoy es el día de $\pi$ (pi). Por si alguien no sabe por qué es así explico la razón:

En el mundo anglosajón las fechas se escriben de esta forma:

Mes/Día

Por tanto hoy, 14 de marzo, sería 3,14, aproximación de $\pi$ a dos decimales.

Otros años (como podréis ver al final del artículo) hemos hablado de páginas relacionadas con $\pi$ , hemos publicado wallpapers, etc. Este año os voy a hablar de un tema que para mí es una de las situaciones más sorprendentes en donde aparece $\pi$ y que todavía no había tocado en Gaussianos: la aguja de Buffon.

La aguja de Buffon

El experimento es bien sencillo y se puede realizar sin ningún problema en casa:

Tomemos una aguja de longitud $l$ , un folio y un bolígrafo. Dibujemos en el folio rectas paralelas distancia una longitud $l$ entre ellas. Después lancemos la aguja en el papel un cierto número de veces. En cada lanzamiento la aguja puede cortar una de las líneas o quedar totalmente entre dos de ellas (lo podéis ver en la figura de la derecha). Contemos el número de lanzamientos, $N$ , y el número de veces en las que la aguja corta a alguna de las rectas, $A$ . Multiplicamos $N$ por $2$ y dividimos el resultado entre $A$ . Veréis que el resultado es muy cercano a $\pi$ y será tanto más cercano a él cuanto mayor sea el número de lanzamientos.

Esto es lo que demostró Georges Louis Leclerc, conde de Buffon en 1777. El experimento está relacionado con la probabilidad. El enunciado más formal podría ser así:

En la situación anterior, si llamamos $S$ al suceso la aguja corta a una línea, tenemos que:

$P(S)=\cfrac{A}{N}=\cfrac{2}{\pi}$

Si la aguja es más corta que la distancia entre las líneas, llamémosla $D$ , se puede demostrar que:

$\pi=\cfrac{2 \cdot N \cdot L}{A \cdot D}$

Si la situación es la contraria es resultado que obtenemos se complica bastante.

Podéis ver un desarrollo matemático de la aguja de Buffon en MathWorld.

El experimento de la aguja de Buffon, por tanto, puede utilizarse para calcular aproximaciones de $\pi$ . El problema que nos encontraríamos radica en que la convergencia del método es bastante lenta. En este enlace tenéis un simulador de java del experimento donde podéis comprobar que para llegar a una aproximación relativamente cercana a $\pi$ hay que realizar muchísimos lanzamientos.

π-cadura

Para completar el artículo os dejo una curiosa foto que me envió Daniel al mail hace ya bastante tiempo y que no recuerdo haber visto en ningún otro sitio. Se trata de una picadura de medusa que tiene una forma muy parecida al número $\pi$ :

Picadura Pi

Como me comentaba Daniel en dicho correo el tema es bastante curioso ya que no está creado a propósito para tener esta forma sino que ha sido la propio naturaleza la que modeló la picadura con esa forma.

Otros días de $\pi$ en Gaussianos:

2007:
El día de $\pi$
El día de $\pi$ (II)
2008:
Feliz día de $\pi$

Y, evidentemente, en Microsiervos también celebran el día de $\pi$ .

Imagen y datos obtenidos de la Wikipedia en español.

Autor: ^DiAmOnD^ | Publicado el 14 de Marzo de 2009 | 12 Comentarios
Categorías: Pi

Algunas curiosidades sobre los números de Fibonacci

Si te parece interesante este artículo puedes votarlo en Menéame:

Curiosidades sobre los números de Fibonacci en Menéame

Números de Fibonacci Tanto la sucesión de Fibonacci $F_n$ como el número de oro o número aúreo $\phi$ poseen multitud de propiedades y relaciones. Algunas son relativamente evidentes y otras son bastante curiosas. Os voy a comentar en este artículo algunas con las que me he topado en los últimos días que me parecen interesantes y (en algún caso diría que) sorprendentes.

Fórmula de Binet
La siguiente fórmula, atribuida a Binet aunque parece que De Moivre ya la conocía 100 años antes (ya sabemos que en matemáticas no siempre podemos fiarnos de los nombres) nos dice cómo calcular el $n$ -ésimo número de Fibonacci. Nos la podemos encontrar de varias formas:

$F_n=\cfrac{(1+\sqrt{5})^n-(1-\sqrt{5})^n}{2^n \sqrt{5}}$

$F_n =\cfrac{\varphi^n-(1-\varphi)^n}{\sqrt 5}$

$F_n=\cfrac{\varphi^n-(-1/\varphi)^{n}}{\sqrt 5}$

Es sencillo comprobar este hecho por inducción. En este enlace podéis ver una prueba de ello.

Dado que $(1-\phi)^n$ tiende a ${0}$ cuando $n \rightarrow \infty$ podemos aproximar el número de Fibonacci $F_n$ a través de $\textstyle{\frac{\phi^n}{\sqrt{5}}}$ . Añadiendo un sumando podemos dar una fórmula exacta más reducida que las anteriores:

$F_n=\bigg \lfloor \cfrac{\varphi^n}{\sqrt 5} + \cfrac{1}{2} \bigg \rfloor$
Serie de potencias
Si tomamos la sucesión de Fibonacci de la siguiente forma:

$F_n= \begin{cases} 0, \mbox{ si } n = 0 \\ 1, \mbox{ si } n = 1 \\ F_{n-1}+F_{n-2}, \mbox{ si } n > 1 \end{cases}$

los números de Fibonacci son $0,1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89, \ldots$ . Tomemos la función $f(x)$ definida como la serie de potencias centrada en ${0}$ cuyos coeficientes son los números de Fibonacci, es decir:

$f(x)=\displaystyle{\sum_{n=0}^\infty F_n \, x^n}=0 \, x^0+1 \, x^1+1 \, x^2+2 \, x^3+ \ldots$

Entonces podemos demostrar que la $f(x)$ tiene una expresión bastante sencilla:

$f(x)=\cfrac{x}{1-x-x^2}$
Comprobar si un número entero positivo es un número de Fibonacci
Esta es la propiedad que más me sorprendió al verla de las que voy a comentar en esta entrada. Dice lo siguiente:

Si $N$ es un número entero positivo, $N$ es un número de Fibonacci si y sólo si $5 \cdot N^2+4$ ó $5 \cdot N^2-4$ es un cuadrado perfecto.

Como podéis ver la regla es bien sencilla. Veamos algunos ejemplos:

$F_0=0$ es un número de Fibonacci porque $5 \cdot 0^2+4=4=2^2$
$F_1=1$ es un número de Fibonacci porque $5 \cdot 1^2-4=1=1^2$
$F_2=1$ es un número de Fibonacci porque $5 \cdot 1^2+4=9=3^2$
$F_3=2$ es un número de Fibonacci porque $5 \cdot 2^2-4=16=4^2$
$F_4=3$ es un número de Fibonacci porque $5 \cdot 3^2+4=49=7^2$
$4$ no es un número de Fibonacci porque ni $5 \cdot 4^2-4=76$ ni $5 \cdot 4^2+4=84$ son cuadrados perfectos.
$F_5=5$ es un número de Fibonacci porque $5 \cdot 5^2-4=121=11^2$
$6$ no es un número de Fibonacci porque ni $5 \cdot 6^2-4=176$ ni $5 \cdot 6^2+4=184$ son cuadrados perfectos.

Este dato lo he sacado de esta página, donde además comentan que este hecho fue demostrado por un tal Ira Gessel. He intentado buscar una demostración por internet pero no he encontrado nada concluyente. Partiendo de la fórmula de Binet yo he conseguido (a falta de ordenar mi razonamiento y algún pequeño detalle) demostrar la implicación hacia la derecha, es decir, Si $N$ es un número de Fibonacci entonces $5 \cdot N^2+4$ ó $5 \cdot N^2-4$ son cuadrados perfectos. La otra no he tenido tiempo de intentarla. A ver si alguien se anima con ello (con las dos implicaciones; si no sale nada ordeno mi demostración y la publico).
Relación con los números de Lucas
La sucesión de Lucas es una sucesión del mismo tipo que la sucesión de Fibonacci, es decir, se define igual, pero cuyos primeros términos son $2$ y $1$ , esto es:

$L_n=\begin{cases} 2, \mbox{ si } n = 0 \\ 1, \mbox{ si } n = 1 \\ L_{n-1}+L_{n-2}, \mbox{ si } n > 1 \end{cases}$

Su nombre viene de Édouard Lucas, matemático francés que estudió este tipo de sucesiones. Los números de Lucas son los términos de dicha sucesión. Los primeros son:

$2,1,3,4,7,11,18,29,47,76,123,199,322, \ldots$

Existe una relación muy estrecha entre la sucesión de Fibonacci y la sucesión de Lucas. De hecho internet está lleno de información sobre el tema. La curiosidad que quiero comentar me ha surgido escribiendo este artículo y no recuerdo haberla visto en ninguna página (si la encontráis por ahí escribid un comentario).

La cuestión está relacionada con la propiedad anterior. Hemos dicho que $N$ es un número de Fibonacci si $5 \cdot N^2+4$ ó $5 \cdot N^2-4$ son cuadrados perfectos. Según parece en cada caso uno y sólo uno de esos dos números es un cuadrado perfecto (con excepción de $F_1=F_2=1$ , para los cuales tanto uno como otro cumplen esa propiedad). No tengo demostración de ello pero así lo creo. Pero hay más: cuando $n$ es par el cuadrado perfecto es el que lleva el $+4$ y cuando $n$ es impar es el que tiene el $-4$ el que cumple que es un cuadrado perfecto. Lo he comprobado con más números pero no me he podido parar a intentar demostrarlo.

Y no acaba la cosa aquí. Conforme escribía los ejemplos me he fijado en los cuadrados perfectos que iban apareciendo: $2^2,1^2,3^2,4^2,7^2,11^2,18^2,29^2, \ldots$ ¿Os suenan? Pues sí, son los cuadrados de los números de Lucas. Al menos eso es lo que parece conforme avanzamos en el cálculo. Si esta propiedad fuera cierta, teniendo en cuenta la relación $+4$ si $n$ es par y $-4$ si $n$ es impar, tendríamos que la siguiente igualdad es cierta:

$(L_n)^2=5 \cdot (F_n)^2+4 \cdot (-1)^n$

No creo que haya descubierto nada nuevo, pero no recuerdo haberla visto en ninguna de las fuentes que he consultado. Si alguien tiene información sobre la veracidad o falsedad de la misma que nos lo comunique a través de un comentario.

Como he dicho antes hay otras muchas propiedades de la sucesión de Fibonacci (y de su relación con los números de Lucas) que serían dignas de mención. De hecho algunas de ellas ya han sido comentadas en Gaussianos. Otras todavía no. Os invito a que participéis en los comentarios con opiniones sobre las tres propiedades que os he presentado (demostrar los detalles que faltan sería interesante) así como con aportes en forma de otras propiedades interesantes sobre estos números.

Autor: ^DiAmOnD^ | Publicado el 2 de Marzo de 2009 | 19 Comentarios
Categorías: Curiosidades, Otras constantes

Literatura irracional: el libro

Seguro que recordáis que hace un tiempo hablamos del I Concurso de Literatura Irracional organizado por El Espejo Lúdico, cuyos resultados también publicamos aquí.

En este último post con los resultados os comentaba que tenían pensado editar un libro donde aparecerían todos los relatos enviados al concurso. Pues el libro, cuya portada podéis ver a la derecha, ya está disponible. En él aparecen los ganadores de todas las categorías del concurso y el resto de relatos que recibieron.

Al igual que con el resto de libros de la Colección Espejo Lúdico, podéis descargarlo de forma gratuita en formato pdf desde esta página. También podéis adquirirlo por el precio (casi de coste) de 9,95€ desde ese mismo enlace.

Desde Gaussianos quiero enviar mi más sincera enhorabuena a Juan Luis. Ya son tres libros los que tiene editados, ofrecidos además en descarga gratuita. Seguro que todo el trabajo que estás realizando se verá recompensado.

Autor: ^DiAmOnD^ | Publicado el 16 de Febrero de 2009 | 4 Comentarios
Categorías: Noticias, Otras constantes, Pi

Números algebraicos y trascendentes. Los 15 números trascendentes más famosos

Los números reales pueden subdividirse en conjuntos según muchos criterios de clasificación. En la entrada de hoy vamos a hablar de la subdivisión en números algebraicos y números trascendentes.

Los número algebraicos son los números reales que son solución de alguna ecuación polinómica cuyos coeficientes son números racionales. A la vista de esta definición es fácil comprender que todos los números racionales son algebraicos, ya que si $r= \textstyle{\frac{p}{q}}$ es un número racional (por tanto $p,q\in\mathbb{Z}$ ), entonces $r$ es solución de la ecuación polinómica $q \; x -p=0$ .

Pero no sólo son algebraicos los números racionales. También lo son muchos irracionales. Por ejemplo, el número irracional $\sqrt{2}$ es algebraico. Basta ver que es solución de la ecuación polinómica $x^2-2=0$ para darse cuenta de ello. Lo mismo ocurre con, por ejemplo, $\sqrt[3]{3}$ , que es solución de $x^3-3=0$ . Y con muchos más números irracionales.

Los números trascendentes son los números reales que no son solución de ninguna ecuación polinómica de coeficientes racionales. Por lo que hemos visto antes todos los números trascendentes son irracionales, aunque no todos los irracionales son trascendentes. Como ejemplos más representativos de este conjunto numérico tenemos al número $\pi$ y al número $e$ .

Viendo que en primera instancia es mucho más sencillo encontrar números algebraicos que números trascendentes uno podría pensar que hay muchos más del primer tipo que del segundo. Nada más lejos de la realidad. El conjunto de los números algebraicos es infinito numerable, es decir, tiene infinitos elementos pero podemos contarlos, mientras que el conjunto de los números trascendentes es infinito no numerable, esto es, también tiene infinitos elementos pero no los podemos contar. Conclusión: hay muchos más números reales trascendentes que algebraicos.

A la vista de este hecho no se entiende demasiado bien que sea tan complicado encontrar números trascendentes, pero la realidad es esa. Demostrar que un cierto número real es trascendente suele ser bastante complicado. El primero que lo consiguió fue Liouville demostrando que el número

$\displaystyle{\sum_{k=1}^\infty 10^{-k!}=0,110001000000000000000001000\ldots}$

es trascendente. Más adelante Hermite demostró que el número $e$ es trascendente y posteriormente Lindemann hizo lo propio con el número $\pi$ .

Dada la dificultad que tiene encontrar números trascendentes os dejo una lista con los 15 números trascendentes más famosos. Para algunos no existe demostración, pero se cree con gran firmeza que lo son:

$\pi$
$e$
Constante de Euler-Mascheroni: $\gamma = 0,577215 \dots$ (no demostrado)
Constante de Catalan: $G= \displaystyle{\sum_{k=0}^\infty \textstyle{\frac{(-1)^k}{(2k+1)^2}}}$ (no demostrado)
Constante de Liouville: $\displaystyle{\sum_{k=1}^\infty 10^{-k!}=0,110001000000000000000001000\ldots}$
Constante de Chaitin: $\omega$ (que además es no computable)
Número de Chapernowne: $0,12345678910111213 \ldots$
Ciertos valores de la función $\zeta$ de Riemann, como $\zeta (3)$
$ln(2)$
El número de Hilbert: $2^{\sqrt{2}}$
$e^{\pi}$
$\pi^e$ (no demostrado)
El número de Morse-Thue: $0,01101001 \ldots$
$i^i= 0,207879576 \ldots$
Los números de Feigenbaum (no demostrado):

$\begin{matrix} \delta = 4.66920160910299067185320382 \ldots \\ \alpha = 2.502907875095892822283902873218 \ldots \end{matrix}$

En relación con los números trascendentes tenemos un resultado muy interesante probado de forma independiente por Alexandr Gelfond y Theodor Schneider:

Teorema: (de Gelfond-Schneider)

Si $\alpha$ y $\beta$ son números complejos algebraicos, $\alpha \ne 0,1$ , y $\beta$ no es racional, entonces $\alpha^{\beta}$ es trascendente.

Este teorema nos ayuda a demostrar que, por ejemplo, $e^{\pi}$ es trascendente (¿cómo?).

¿Conocéis otros números trascendentes interesantes que no aparezcan en esta lista? Por otra parte, no sé cuánto hace que Clifford Pickover realizó la misma, por lo que puede que se haya avanzado en la demostración de la trascendencia de alguno de los que hemos comentado que no la tenían. Si sabéis algo del tema os agradecería que dejarais un comentario.

Fuentes:

The 15 most famous trascendental numbers.
Sucesión de Thue-Morse en la Wikipedia (es español).
Números de Feigenbaum en la Wikipedia (en español).

P.D.: Qué raro que en la lista no aparezca el número de Cöpeland-Ërdos: $0,235711131719 \ldots$ teniendo en cuenta lo curiosa que es su construcción.

Autor: ^DiAmOnD^ | Publicado el 19 de Enero de 2009 | 14 Comentarios
Categorías: Curiosidades, Otras constantes, Pi, Teoremas

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