Otras constantes - Gaussianos

El fractal de Fibonacci, una auténtica belleza de construcción

Hay entes matemáticos que, por alguna misteriosa razón, necesitan tener protagonismo, necesitan sentirse importantes. Para conseguirlo intentan por todos los medios aparecer en cualquier situación, en cualquier lugar. O al menos eso parece.

Uno de ellos, como ya sabemos, es el número $\pi$ , al que podemos encontrar en los lugares más insospechados (como en la probabilidad de escoger dos números primos relativos). El número $e$ no le va a la zaga, también aparece en lugares donde no se le espera (el matching problem es un buen ejemplo). Y, sin lugar a dudas, el número áureo, $\phi$ , y, en general, la sucesión de Fibonacci poseen la misma característica. La podemos encontrar junto al triángulo de Pascal, en animales y tarjetas o en otras situaciones relacionadas con la naturaleza. Pero, ¿en un fractal? Pues sí amigos, la sucesión cuyo estudio comenzó Leonardo de Pisa, Fibonacci, es otro de esos conceptos matemáticos que nunca dejarán de sorprendernos.
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Autor: ^DiAmOnD^ | Publicado el 14 de January de 2012
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Categorías: Fractales, Otras constantes, Pi

Una inesperada aparición del número áureo

Hay números, digamos, extraños que de una forma u otra se empeñan en aparecer en los lugares más inesperados. Uno de ellos, sin lugar a dudas es $\pi$ (Pi), cuyas apariciones son cuanto menos sorprendentes. El número e y $\phi$ , el número áureo, son otras dos constantes interesantes en este sentido. Hoy vamos a ver una aparición de esta última, que no por conocida deja de ser inesperada.
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Autor: ^DiAmOnD^ | Publicado el 1 de December de 2011
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Categorías: Otras constantes

The Golden Ratio Project: ¿Está la belleza en el ojo del que mira o se puede medir?

The Golden Ratio Project es un experimento que están llevando a cabo Antonio y Alfredo con el objetivo de comprobar si de verdad el número $\phi$ tiene bien ganado el apelativo de divina proporción, o si, por el contrario, existen diferencias significativas en la concepción de belleza en relación con las proporciones.

Hace unos días se pusieron en contacto conmigo para explicarme de qué iba su proyecto. Reproduzco aquí las partes del mail que me enviaron en las que se habla del proyecto para que quede todo más claro (las negritas son mías):

Nos ponemos en contacto con ustedes para proponerles un experimento que acabamos de lanzar en Internet. La intención es comprobar si la reputación del número áureo es merecida. Como ustedes saben, dicha proporción áurea se definió en la Grecia Clásica y no fue hasta la época romántica cuando se rescató para ser encumbrada como ideal de belleza. En este proceso realmente nunca se ha tenido en cuenta la opinión de la gente, y eso precisamente es lo que pretendemos hacer, mediante un sencillo juego visual en el que se pide elegir entre dos rectángulos.

Un algoritmo genético toma esas decisiones como input para extraer la proporción más bella ¿Será la proporción áurea, o será otra? ¿será la misma en África que en Australia? Pretendemos responder a estas y otras preguntas.

Es necesario un número significativo y sostenido de visitas para tener una base estadística representativa. Carecemos de afán de lucro: nos mueven las ganas de experimentar y conocer. Por todo esto agradeceríamos mucho que accedieran a nuestra web y valoraran si creen interesante hacer referencia a ella en su blog, del que somos seguidores. Nosotros se lo agradeceríamos enormemente puesto que es lo que necesitamos para empezar a ganar relevancia en los buscadores de Internet. Pueden encontrar nuestro experimento en www.goldenratioproject.org.

Todavía no disponen de resultados que puedan dar algo de luz al asunto, que nos puedan contar algo sobre los gustos de la gente a la hora de elegir un rectángulo. Conforme vayan teniendo resultados interesantes de publicar los irán sacando.

Por si alguien quiere tener una idea sobre cómo es el algoritmo que usan os dejo aquí también un texto que me han enviado sobre ello:

Aunque nos enteramos una vez arrancado el proyecto, la idea de comprobar empíricamente si la proporción áurea es la más bella para el ser humano no es nueva. En el siglo XIX, Gustav Theodor Fechner, un psicólogo alemán, realizó ya un experimento parecido. En él enseñaba a diversos individuos una colección cerrada de rectángulos y les pedía elegir los que más les gustaban. Entre ellos se encontraban rectángulos con proporciones áureas o cuasi-áureas y parece ser que efectivamente éstos fueron los más exitosos.

Nuestro experimento comienza con una colección de rectángulos elegida al azar. El tamaño de dicha colección está definido en base al objetivo de visitas mensuales que nos hemos fijado a priori. Si este número fuera significativamente mayor o menor, hemos parametrizado el algoritmo para revisar el tamaño al alza o a la baja, según correspondiera. Cuando logremos un volumen de visitas estable y significativo fijaremos este parámetro definitivamente. La selección de padres para la siguiente generación la haremos en base al porcentaje de juegos ganados por cada rectángulo de la colección. El cruce es una combinación lineal convexa de los padres con un peso al azar y hemos fijado un umbral de mutación en el rango medio/alto de un algoritmo genético convencional. Esto lo hacemos porque queremos explorar siempre un rango amplio de proporciones. En nuestro caso la función a optimizar no existe pues se trata de una función de “belleza universal” que no tiene representación matemática. De hecho, si existiera, nuestro experimento no tendría sentido. De una generación a otra preservamos siempre la proporción mejor valorada. En la terminología de los algoritmos genéticos, hemos implementado un elitismo igual a uno.

En la versión actual del algoritmo no vamos a segmentar los resultados por zonas geográficas pero cuando el volumen de alguna sea significativo, iremos abriéndolos por ellas. Tenemos mucha curiosidad por saber si los africanos tienen el mismo ideal de belleza que los asiáticos, por poner un ejemplo.

Nuestro proyecto nunca acaba: la idea es ir publicando regularmente la evolución del óptimo y que todos podamos comprobar si éste converge o no a la proporción áurea. Por supuesto, puede que algoritmo no converja (según los criterios de parada que hemos definido) o que lo haga a alguna proporción significativamente distinta a la áurea. Creemos que estos resultados son también muy interesantes.

Y ya para finalizar, agradecemos enormemente cualquier comentario, crítica o sugerencia. Para ello hemos habilitado el apartado correspondiente en la web.

Espero que os haya parecido interesante la idea y corráis a su web a realizar el test.

Autor: ^DiAmOnD^ | Publicado el 10 de August de 2011
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Categorías: Noticias, Otras constantes

Una demostración geométrica de la irracionalidad de raíz de 2

Que $\sqrt{2}$ es un número irracional (es decir, que no puede escribirse como una fracción donde el numerador y el denominador sean números enteros) es de sobra conocido por todos. De hecho existen muchas demostraciones de este resultado. Hay una muy conocida que utiliza reducción al absurdo y que es muy sencilla de comprender, y otra, quizás menos conocida, que utiliza descenso infinito. Las dos pueden consultarse en Dos demostraciones de la irracionalidad de raíz de 2.

Estas dos demostraciones son algebraicas: en ellas se utilizan propiedades de los conjuntos numéricos, números primos, factorización, divisibilidad…Lo que os traigo hoy es una demostración geométrica de la irracionalidad de $\sqrt{2}$ que en cierto modo es equivalente a la que acabamos de citar que usa descenso infinito, pero que podría considerarse mucho más bella, por ser esencialmente geométrica, y más sencilla de comprender.
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Autor: ^DiAmOnD^ | Publicado el 2 de August de 2011
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Categorías: Demostraciones, Otras constantes, Teoremas

La construcción del dodecaedro en los Elementos de Euclides

Los Elementos de Euclides (aunque en realidad no sabemos qué partes de los Elementos son originales de Euclides, si hay alguna) culminan en el libro XIII y último con la construcción de los 5 poliedros regulares.

Presentamos aquí la construcción del dodecaedro que aparece en la proposición 17 del libro XIII.

Los antiguos griegos no utilizaban el término razón áurea, porque el dorado se le dio en el siglo XIX, ni tampoco el término divina proporción que usó Luca Pacioli en el siglo XV, sino el término más técnico razón extrema y media, definido al principio del libro VI de los Elementos.
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Autor: ^DiAmOnD^ | Publicado el 7 de February de 2011
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Categorías: Geometría, Historia, Otras constantes

Fibonacci, las abejas y las tarjetas de crédito

Gran parte de vosotros habréis oído que la sucesión de Fibonacci y el número áureo aparecen en muchos ámbitos de nuestra vida. Y seguro que muchos conocéis algunos casos en los que esto ocurre. Para vosotros, y sobre todo para quienes no sabían nada de esto, vamos a ver en este artículo un par de ejemplos.
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Autor: ^DiAmOnD^ | Publicado el 15 de October de 2010
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Categorías: Curiosidades, Geometría, Otras constantes

Algunas fracciones continuas interesantes

Hace no mucho tiempo hablábamos sobre fracciones continuas, comentando algunas de sus características y hace algo más de tiempo fede nos hablaba sobre su interpretación combinatoria.

En el primero de ellos hablamos, entre otras cosas, de cómo calcular la fracción continua de un número racional y de un número cuadrático irracional (número irracional que es solución de una ecuación de segundo grado). En este artículo vamos a ver algunas fracciones continuas interesantes de ciertos números cuadráticos irracionales y de otros números irracionales que no cumplen esa característica.

Fracción continua de $\phi$

El número áureo, $\phi=\textstyle{\frac{1+\sqrt{5}}{2}}$ , es un número cuadrático irracional, ya que es un número irracional y es solución de la ecuación $x^2-x-1=0$ . Como comentamos en el primer post enlazado antes, este tipo de números tienen una fracción continua infinita (por ser irracionales) y periódica (por ser cuadráticos). Concretamente $\phi$ tiene la siguiente fracción continua:

$\phi=1+\cfrac{1}{1+\cfrac{1}{1+\cfrac{1}{1+\cfrac{1}{1+\cfrac{1}{1+\ddots}}}}}$

que suele representarse, como ya dijimos en su momento, por $[1; 1,1,1,1,1 \ldots]$ o simplemente por $[1;\overline{1}]$ (escribimos una línea sobre la secuencia que se repite).

Fracción continua del número plateado $\delta _S$

El número plateado $\delta _S$ es $1+\sqrt{2}$ . Su fracción continua, que ya comentamos en ese post, es la siguiente:

$\delta _S=2+\cfrac{1}{2+\cfrac{1}{2+\cfrac{1}{2+\cfrac{1}{2+\cfrac{1}{2+\ddots}}}}}$

por lo que su representación de la forma anterior es $[2; \overline{2}]$ .

Y como también dijimos en aquel artículo, tanto $\phi$ como $\delta _S$ son dos casos particulares de los medias metálicas entre dos números naturales, que pueden definirse como la mayor solución de la ecuación $x^2-nx-1=0$ , y cuya fracción continua es:

$n+\cfrac{1}{n+\cfrac{1}{n+\cfrac{1}{n+\cfrac{1}{n+\cfrac{1}{n+\ddots}}}}}$

o simplemente $[n;\overline{n}]$ .

Fracción continua de $e$

El número $e$ , irracional y trascendente, tiene una fracción continua sorprendentemente simple teniendo en cuenta la naturaleza de este número. Aquí la tenéis:

$e=2+\cfrac{1}{1+\cfrac{1}{2+\cfrac{1}{1+\cfrac{1}{1+\cfrac{1}{4+\cfrac{1}{1+\cfrac{1}{1+\cfrac{1}{6+\cfrac{1}{1+\ddots}}}}}}}}}$

expresión ésta que equivale a $[2;1,2,1,1,4,1,1,6,1 \ldots]$ y que se suele escribir de forma reducida de la siguiente forma: $[2;\overline{1,2k,1}]$ , con $k$ número natural mayor o igual que 1. Repito, al menos para mí es sorprendente que el número $e$ tenga asociada esta fracción continua tan, digamos, simétrica. Característica que también sorprende en esta fracción continua de $\sqrt{e}$

$\sqrt{e}=1+\cfrac{1}{1+\cfrac{1}{1+\cfrac{1}{1+\cfrac{1}{5+\cfrac{1}{1+\cfrac{1}{1+\cfrac{1}{9+\cfrac{1}{1+\cfrac{1}{1+\ddots}}}}}}}}}$

o sea, $\sqrt{e}=[1;1,1,1,5,1,1,9,1,1 \ldots]=[1;\overline{4k-3,1,1}]$ , para $k$ número natural mayor o igual que 1.

Si hablamos de fracciones continuas generalizadas (las que no obligan a que los numeradores sean siempre 1), el número $e$ puede expresarse, entre otras, de la siguiente curiosa forma:

$e=2+\cfrac{2}{2+\cfrac{3}{3+\cfrac{4}{4+\cfrac{5}{5+\cfrac{6}{6+\cfrac{7}{7+\cfrac{8}{8+\cfrac{9}{9+\cfrac{10}{10+\ddots}}}}}}}}}$

Fracciones continuas de $\pi$

Y terminamos con la joya de la corona: el número $\pi$ . Además de la multitud de propiedades que posee y de la cantidad de curiosidades que lo rodean, es muy interesante en lo que se refiere a las fracciones continuas que están relacionadas con él.

Si hablamos de fracción continua regular (recuerdo que así es como se denomina a la que sólo acepta numeradores iguales a 1), la de $\pi$ es:

$3+\cfrac{1}{7+\cfrac{1}{15+\cfrac{1}{1+\cfrac{1}{292+\cfrac{1}{1+\ddots}}}}}$

Vamos, una fracción continua sin ninguna regularidad aparente (básicamente como el propio número $\pi$ , irracional y trascendente al igual que $e$ ) y de la que bien poco se conoce.

Pero, como siempre, el número $\pi$ nos tiene guardadas multitud de sorpresas. En este caso en forma de fracciones continuas sorprendentemente simétricas. Por ejemplo la siguiente:

$\pi=\cfrac{4}{1+\cfrac{1^2}{2+\cfrac{3^2}{2+\cfrac{5^2}{2+\cfrac{7^2}{2+\ddots}}}}}$

es decir, desde el segundo paso los numeradores son los cuadrados de los números impares y en los denominadores el número que aparece sumando siempre es 2.

Vamos con otra:

$\pi=\cfrac{4}{1+\cfrac{1^2}{3+\cfrac{2^2}{5+\cfrac{3^2}{7+\cfrac{4^2}{9+\ddots}}}}}$

esto es, desde el segundo paso los numeradores son los cuadrados de los números naturales y en los denominadores aparecen sumando los números impares.

Otra más:

$\pi=3+\cfrac{1^2}{6+\cfrac{3^2}{6+\cfrac{5^2}{6+\cfrac{7^2}{6+\cfrac{9^2}{6+\ddots}}}}}$

en la que los numeradores son los cuadrados de los números impares y abajo se repite el 6 indefinidamente.

No me digáis que no es inquietante.

Extra: relación entre $\phi$ , $e$ y $\pi$ mediante fracciones continuas

Y para terminar un extra extraordinariamente sorprendente. Aquí tenéis una fracción continua, debida a Ramanujan (no sé por qué pero no me extraña nada que sea de él), que relaciona a $\phi$ , $e$ y $\pi$ :

$(\sqrt{2+\phi}-\phi) \cdot e^{2 \pi / 5}=1+\cfrac{e^{-2 \pi}}{1+\cfrac{e^{-4 \pi}}{1+\cfrac{e^{-6 \pi}}{1+\cfrac{e^{-8 \pi}}{1+\cfrac{e^{-10 \pi}}{1+\ddots}}}}}$

Casi nada…

Por cierto, ¿conocéis alguna fracción continua interesante que no aparezca por aquí?

Fuentes:

An Introduction to the Continued Fraction en la web de Ron Knott.
Continued Fraction en la Wikipedia inglesa.

Autor: ^DiAmOnD^ | Publicado el 30 de September de 2010
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Categorías: Cálculo, Otras constantes, Pi

El número plateado

El número de oro (número áureo, proporción áurea…) puede definirse como la mayor solución real de la ecuación $x^2-x-1=0$ . Concretamente, como seguro que muchos de vosotros sabéis, su valor es:

$\phi=\cfrac{1+\sqrt{5}}{2}$

De este número ya hemos hablado por aquí en más de una ocasión: lo presentamos, también hablamos de él y su inverso y comentamos algunas de sus curiosidades.

Bien, pues éste no es el único número que merece un adjetivo relacionado con un metal precioso. En esta entrada vamos a presentar al número plateado (o número de plata) y también vamos a comentar algunas de sus curiosas e interesantes propiedades.
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Autor: ^DiAmOnD^ | Publicado el 16 de August de 2010
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Categorías: Otras constantes

¿Que tiene que ver el número e con los números primos?

Desde los comienzos del blog ciertas constantes han tenido un gran protagonismo en muchos artículos. Cierto es que el número $\pi$ se lleva la palma, pero pero también ha habido otras constantes a las que se les han dedicado artículos por su importancia y sus características, como $\sqrt{2}$ , la constante de Euler-Mascheroni $\gamma$ o el número $e$ .

Número e

Sobre este último tenemos varios artículos en los que aparece como protagonista principal o como actor secundario con un papel importante. Por ejemplo, hemos visto que es irracional y que es trascendente, dos características muy interesantes de un número que aparece tanto en nuestra vida diaria (más de lo que muchos piensan). También hablamos de cómo aparece al no formar ninguna pareja en el matching problem y, por otra parte, sabemos que es uno de los componentes de la identidad de Euler.

Los primeros 25 números primos

Y qué decir de los números primos, ellos sí que han aparecido en multitud de ocasiones por Gaussianos, ya sea demostrando su infinitud de varias formas (la demostración topológica me parece genial), generándolos o anunciando la aparición de nuevos miembros en esta familia tan peculiar.

Lo que no habíamos visto todavía (al menos que yo recuerde) es una relación más o menos clara y directa entre el número $e$ y los números primos. Vamos, una expresión que involucre a esta constante con este tipo tan especial de números, a este número irracional con estos números tan naturales. Pues ha llegado el momento.
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Autor: ^DiAmOnD^ | Publicado el 5 de July de 2010
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Categorías: Demostraciones, Números primos, Otras constantes

Cómo demostrar que el número e es trascendente

Introducción

El número $e$ , base del logaritmo neperiano, protagonista del matching problem y de la identidad de Euler es, como ya vimos, irracional. Pero es bien sabido también que este número es trascendente. Recordemos las definiciones de número algebraico y número trascendente:

Un número real $\alpha$ es algebraico si existe un polinomio $p(x)$ con coeficientes enteros tal que $p( \alpha)=0$ , es decir, $\alpha$ es una raíz de $p(x)$ .

Un número real $\alpha$ es trascendente si no es algebraico, es decir, si $\alpha$ no es raíz de ningún polinomio con coeficientes enteros.

Es decir, no existe ningún polinomio con coeficientes enteros que tenga al número $e$ entre sus raíces. Pero la demostración de este hecho no es ni mucho menos trivial, aunque no es muy difícil de seguir. A ello vamos a dedicar el resto del artículo.
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