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La función Gamma: una generalización del factorial

La función factorial de un número entero no negativo es bien conocida. Se conoce ya en últimos cursos de Bachillerato y en cualquier carrera de ciencias suele aparecer con cierta frecuencia. De forma recurrente podríamos definirla de la siguiente forma:

Si $a_n=n!$ :

$a_0=1$
$a_{n+1}=(n+1) \cdot a_n$

Es decir, el factorial de ${0}$ es $1$ ( $0!=1$ ) y el factorial de un número entero mayor que ${0}$ es el propio número multiplicado por el factorial de número entero anterior ( $(n+1)!=(n+1) \cdot n!$ ). Resumiendo y simplificando algo el tema podemos decir que $n!=n \cdot (n-1) \cdot \ldots \cdot 1$ , o lo que es lo mismo, $n!$ es el producto de todos los números naturales desde $n$ hasta $1$ . Por ejemplo:

$3!=3 \cdot 2 \cdot 1=6$
$5!=5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1=120$

Interesante función. Pero con una enorme limitación: como hemos dicho sólo puedo calcular el factorial a número enteros no negativos. Sí, son muchos, de hecho hay infinitos, pero aún así la cosa queda algo corta. ¿Qué pasa con los números racionales? ¿Y los irracionales? ¿Y los complejos?

En este post vamos a ver una función que nos servirá como generalización de esta función factorial: la función Gamma

La función Gamma

La función Gamma se define para todo número complejo $z$ cuya parte real positiva de la siguiente forma:

$\displaystyle{\Gamma(z)=\int_0^{\infty} t^{z-1}e^{-t}dt}$

Esta definición puede extenderse $\forall z\in\mathbb{C-Z^-}$ , siendo $\mathbb{Z^-}$ el conjunto de los números enteros negativos.

Vamos a ver algunas propiedades de esta función:

Propiedades

$\Gamma(1)=1$
$\Gamma(z+1)=z \; \Gamma(z)$
$\forall n\in\mathbb{N}, \Gamma(n+1)=n!$ (consecuencia de la propiedad anterior)
$\displaystyle{\Gamma(z) \; \Gamma\left(z + \cfrac{1}{2}\right) = 2^{1-2z} \; \sqrt{\pi} \; \Gamma(2z)}$
$\Gamma\left(\cfrac{1}{2}\right )= \sqrt{\pi}$ (consecuencia de la propiedad anterior)
$\Gamma(1-z) \Gamma(z) = \cfrac{\pi}{\sin{(\pi z)}}$

Generalización del factorial

La propiedad 2. es la que nos indica la generalización del factorial a través de esta función. Vamos a demostrarla:

$\displaystyle{\Gamma(z+1)=\int_0^{\infty} t^{z+1-1}e^{-t}dt=\int_0^{\infty} t^{z}e^{-t}dt}$

Utilizando integración por partes, siendo $u=t^z$ y $dv=e^{-t}dt$ . Por tanto $du=z \; t^{z-1}$ y $v=-e^{-t}$ y nos queda:

$\displaystyle{\Gamma(z+1)=\int_0^{\infty} t^{z}e^{-t}dt=-e^{-t} \; t^z \Bigg|_0^{\infty}+\int_0^{\infty} z \; t^{z-1}e^{-t}dt}$

El primer término vale ${0}$ (fácil verlo con un sencillo límite) y el otro término, sacando $z$ de la integral, es $z \; \Gamma(z)$ . Por tanto:

$\Gamma(z+1)=z \; \Gamma(z)$ .

Otras definiciones alternativas de esta función y otras propiedades no listadas aquí pueden verse en Gamma Function en la Wikipedia (en inglés). Por ejemplo, podremos ver la relación de esta función con la constante de Euler-Mascheroni $\gamma$ .

Hay muchos más sitios donde aparece la función $\Gamma$ . Os dejo a vosotros que nos habléis de ellas en los comentarios.

Escrito por ^DiAmOnD^, 5 de Noviembre de 2007 en Cálculo, Demostraciones, Otras constantes
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The matching problem o cómo no formar ninguna pareja

Imaginemos que nos encontramos alguna de esta situaciones y nos planteamos la pregunta que viene en cada una de ellas:

Un profesor manda un trabajo para casa a un grupo de alumnos. Ellos entregan los mismos al profesor y cuando éste los va a devolver corregidos lo hace aleatoriamente. ¿Cuál es la probabilidad de que ninguno de los alumnos reciba su propio trabajo?
En una fiesta hay un cierto número de hombres ataviados con sombrero. Dejan los mismos en una sala y al término de la celebración cogen su sombrero de forma aleatoria. ¿Cuál es la probabilidad de que ninguno de los hombres lleve su propio sombrero?
Vamos a enviar felicitaciones de Navidad a nuestros familiares. Rellenamos las tarjetas por un lado y los sobres por otro y luego metemos las tarjetas en los sobres aleatoriamente. ¿Cuál es lo probabilidad de que ninguna de las tarjetas acabe en el sobre que le corresponde?

Todos estos ejemplos son casos en los que podemos aplicar el, al parecer, llamado The Matching Problem, aunque también he visto que lo llaman Montmort’s matching problem en honor a Pierre Raymond de Montmort, matemático francés nacido en 1678.

Bueno, vamos al tema. Para empezar, creo que se ve bastante claro que todos los casos son equivalentes. Entonces, ¿cuál diríais que es la probabilidad que se nos pide? Lo primero que uno podría pensar es: depende del número de alumnos, hombres y familiares que haya en cada caso. Es decir, que lo normal sería pensar que esa probabilidad depende del número de individuos que tenga la población. Pues no es así. La probabilidad es siempre la misma. Bueno, no exactamente. En realidad la probabilidad se acerca a un número concreto conforme el número de individuos se acerca a infinito. Curioso, ¿no?

Y ahora la pregunta es: ¿cuál es esa probabilidad? Pues bueno, teniendo en cuenta que si llamamos $N_n$ a la variable aleatoria que nos indica el número de emparejamientos válidos de entre $n$ se puede llegar a que su función de probabilidad es la siguiente:

$\displaystyle{P(N_n=k)=\cfrac{1}{k!} \cdot \sum_{j=0}^{n-k} \cfrac{(-1)^j}{j!}}$ con $k=0,1, \ldots ,n$

la probabilidad de que no se haya formado ninguna pareja válida nos la da la probabilidad de que $N_n$ sea igual a ${0}$ . Es decir:

$\displaystyle{P(N_n=0)=\sum_{j=0}^{n} \cfrac{(-1)^j}{j!}}$

¿Os suena esta suma? Seguro que a muchos sí. Hacemos límite cuando $n \to \infty$ y obtenemos lo que queremos:

$\displaystyle{P(N_n=0)=\sum_{j=0}^{n} \cfrac{(-1)^j}{j!} \xrightarrow{n \to \infty} \cfrac{1}{e}}$

Es decir, que la probabilidad de que no se forme ninguna pareja válida se acerca a $\cfrac{1}{e}$ tanto más como grande sea $n$ . Al parecer con $n=5$ ya nos queda una buena aproximación. Lo sorprendente es que cuanto más grande sea $n$ mejor es la aproximación a $\cfrac{1}{e}$ . Y digo yo: ¿cuánto vale ese número? Pues algo así como $0.367879441$ . Es decir, que en una situación de este tipo no se forma ninguna pareja válida aproximadamente el $36,8$ % de las veces. Y ese tanto por ciento se va acercando cada vez más a $\cfrac{1}{e} \cdot 100$ conforme aumenta el valor de $n$ .

Realmente curioso el asunto. ¿Esperabais que la probabilidad fuera más alta o más baja?

Fuentes:

Matching Problem en Math Fun Facts
The Matching Problem en Università di Firenze
The Matching Problem en The University of Alabama in Huntsville

Escrito por ^DiAmOnD^, 30 de Octubre de 2007 en Curiosidades, Estadística, Otras constantes
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Mnemotecnia y e

Ayer publicaba una frase para poder recordar las primeras cifras del número $\pi$ y el número $e$ no podía ser menos. En El Espejo Lúdico encuentro una frase para este número:

El trabajo y esfuerzo de recordar e revuelve mi estómago, pero podré acordarme. Será fácil si leo todas las frases. La repetida canción será cantada y así verás el número huevón

Como en el otro caso cada cifra corresponde con el número de letras de cada palabra de la frase.

¿Conocéis alguna más aparte de éstas y de las dos que ya podíamos ver en este post? Si es así comentadlas. Y si alguien tiene tiempo y se dedica a crear alguna que me lo diga y se la publico.

Escrito por ^DiAmOnD^, 16 de Agosto de 2007 en Otras constantes
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La constante de Euler-Mascheroni

En Matemáticas hay varias constantes, digamos, extrañas que son muy conocidas, como por ejemplo el número pi y el número e. Quien más quien menos las conoce y ha trabajado con ellas. Pero también hay constantes interesantes que no son tan conocidas. En este post vamos a hablar de una de ellas: la constante de Euler-Mascheroni, que se representa con la letra griega gamma: $\displaystyle\gamma$ .

Esta constante se define de la siguiente forma:

$\mathbf{\displaystyle\gamma=\lim_{n \rightarrow \infty }\left( \sum_{k=1}^n \frac{1}{k}-\ln(n) \right)}$

Es decir, $\displaystyle\gamma$ se define como el límite de la diferencia de la sucesión de sumas parciales de la serie armónica y el logaritmo neperiano.

Otras formas de definirla son las siguientes:

$\displaystyle\gamma=\int_1^\infty\left({1\over\lfloor x\rfloor}-{1\over x}\right)\,dx=- \int_0^\infty { \ln(x) \over e^x }\,dx$

Su valor aproximado es: $\displaystyle\gamma \simeq 0,577\;215\;664\;901\;532\;860\;607\;\ldots$

No se sabe si $\displaystyle\gamma$ es un número racional. Lo que sí se conoce es que si lo fuera su denominador sería mayor que 10²⁴²⁰⁸⁰. Casi nada.

En diciembre del año 2006 Alexander J. Yee calculó la constante de Euler-Mascheroni con más de 116 millones de cifras decimales, récord para este número. En esta página podéis ver este récord y descargar un archivo con el número en cuestión. Pero cuidado, ocupa 52 megas. Vía Microsiervos.

Vamos a ver algunas expresiones más en las que aparece $\displaystyle\gamma$ :

Integrales cuyo resultado es $\displaystyle\gamma$

$\displaystyle\gamma=-\int_0^1 { \log\log\left (\frac{1}{x}\right ) }\,dx$

$\displaystyle\gamma= \int_0^\infty { \frac{1}{x} \left ( \frac{1}{1+x}-e^{-x} \right ) }\,dx$

Integrales que involucran a $\displaystyle\gamma$

$\displaystyle\int_0^\infty { e^{-x^2} \log x }\,dx = -\tfrac14(\gamma+2 \log 2) \sqrt{\pi}$

$\displaystyle\int_0^\infty { e^{-x} \log^2 x }\,dx = \gamma^2 + \frac{\pi^2}{6}$ (¿os suena ese $\displaystyle\frac{\pi^2}{6}$ ?)

Relación con $\displaystyle \log{\frac{4}{\pi}}$

$\displaystyle\gamma = \int_{0}^{1}\int_{0}^{1} \frac{x-1}{(1-x\,y)\log(x\,y)} \, dx\,dy = \sum_{n=1}^\infty \left ( \frac{1}{n}-\log\frac{n+1}{n} \right )$

$\displaystyle log \left ( \frac{4}{\pi} \right ) = \int_{0}^{1}\int_{0}^{1} \frac{x-1}{(1+x\,y)\log(x\,y)} \, dx\,dy = \sum_{n=1}^\infty (-1)^{n-1} \left( \frac{1}{n}-\log\frac{n+1}{n} \right)$

Relación con la función $\displaystyle\Gamma$

$\displaystyle\gamma = \lim_{n \to \infty} \left [ \frac{ \Gamma(\frac{1}{n}) \Gamma(n+1)\, n^{1+1/n}}{\Gamma(2+n+\frac{1}{n})} - \frac{n^2}{n+1} \right ]$

Relación con el número e

$\displaystyle e^\gamma = \lim_{n \to \infty} \frac {1} {\log p_n} \prod_{i=1}^n \frac {p_i} {p_i - 1}$

siendo $p_n$ el n-ésimo número primo.

El valor de este número es:

$\displaystyle e^\gamma =1.78107241799019798523650410310717954916964521430343\ldots$

Mezclando las tres constantes

$\displaystyle\frac{e^{1+\gamma /2}}{\sqrt{2\,\pi}} = \prod_{n=1}^\infty e^{-1+1/(2\,n)}\,\left (1+\frac{1}{n} \right )^n$

Como podéis ver la constante de Euler-Mascheroni será poco conocida pero no se le puede achacar que tenga poco protagonismo en Matemáticas. Si queréis ver más expresiones en las que aparece no tenéis más que consultar los enlaces que os dejo abajo.

Fuentes:

Constante de Euler-Mascheroni en la Wikipedia
Euler-Mascheroni Constant en la Wikipedia (inglés)
Euler-Mascheroni Constant en MathWorld

Escrito por ^DiAmOnD^, 16 de Julio de 2007 en Otras constantes
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Dos demostraciones de la irracionalidad de raíz de 2

Como ya hemos dicho alguna que otra vez en este blog se sabe que raíz de 2 es un número irracional, es decir, que no puede escribirse en forma de fracción. Pero todavía no os habíamos mostrado ninguna demostración. En este post vamos a ver dos demostraciones posibles de este hecho. La primera de ellas es la que podíamos denominar clásica, la que suele aparecer en todos los escritos sobre el tema, y que usa reducción al absurdo. La segunda no es ni mucho menos común, ya que usa descenso infinito. Vamos a verlas:

Teorema: Raíz de 2 es irracional - Demostración por Reducción al Absurdo

La demostración comienza suponiendo que raíz de 2 no es irracional y acabará en algo contradictorio. Si no es irracional debe ser obligatoriamente racional, es decir, debe ser igual a una fracción así:

Podemos suponer sin ningún problema que el máximo común divisor de p y q es 1, es decir, que no tienen factores comunes y por tanto son primos relativos. Elevamos al cuadrado y operando queda:

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Escrito por ^DiAmOnD^, 2 de Noviembre de 2006 en Demostraciones, Otras constantes, Teoremas
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La identidad de Euler

En Matemáticas hay igualdades muy útiles, interesantes o simplemente bellas. La identidad de Euler es, para mí, una igualdad que lo tiene todo. Relaciona los que podríamos considerar como los 5 números más importantes de las Matemáticas: e, π (Pi), i, 0 y 1. ¿Cómo los relaciona?. Pues de la siguiente forma:

Explicación

¿Por qué se cumple esa igualdad?. Pues muy sencillo. Vamos con la demostración:
(Sigue leyendo …)

Escrito por ^DiAmOnD^, 13 de Octubre de 2006 en Demostraciones, Números complejos, Otras constantes, Pi, Teoremas
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Cómo demostrar que el número e es irracional

El número e es bien conocido en el mundo de las Matemáticas. Es la base de los logaritmos neperianos, y su valor redondeando a 5 decimales es e = 2′71828. Se sabe que es un número irracional¹ y trascendente². El post va a estar dedicado a demostrar que e es irracional. Demostraremos este hecho mediante reducción al absurdo (en este post vimos en qué consistía este método de demostración). Vamos con ella:

Comenzamos mostrando una propiedad bien conocida del número e:

(1)

Supongamos ahora que podemos obtener e como cociente de dos enteros positivos (por la expresión anterior claramente e debe ser positivo), es decir:

(2)

siendo p y q enteros positivos. Multiplicamos la expresión (1) por q! a ambos lados, obteniendo:

(3)

Por (2) tenemos que q!e es un número entero, y claramente la parte de la suma que aparece explícitamente en (3) también es un número entero. Por tanto la diferencia entre ellos, digamos R, también será un número entero (y positivo). Veamos qué forma tiene R:

Simplificamos los factoriales:

Como q + 2 > q + 1, q + 3 > q + 1, etc, se cumple la siguiente desigualdad:

Sacando factor común y usando la fórmula de la suma de una progresión geométrica:

Pero q era un entero positivo, por tanto q > 1. En consecuencia su inverso será menor que 1. Tenemos entonces que R es un número entero positivo que cumple la siguiente cadena de desigualdades:

Pero como no existe ningún número entero entre 0 y 1 tenemos que la esta situación no puede darse. Es decir, hemos llegado a una contradicción que partió del hecho de suponer que e era racional. Por tanto, utilizando reducción al absurdo, obtenemos que el número e es un número irracional.

Fuente: Math Forum

¹: Un número real se dice irracional si no puede expresarse mediante como cociente de números enteros. Se caracterizan por tener una expresión decimal con infinitos decimales que no siguen ningún período.

²: Un número real se dice trascendente si no es solución de ninguna ecuación polinómica con coeficientes enteros. Es lo contrario de número algebraico

Escrito por ^DiAmOnD^, 10 de Octubre de 2006 en Demostraciones, Otras constantes
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