Otras constantes - 2/3 - Gaussianos

La identidad de Boya

Seguro que todos recordáis la identidad de Euler:

$e^{i \pi}+1=0$

Es una relación entre números enormemente bella (para mí la más bella). En este artículo os voy a mostrar otra relación entre ciertos números, debida al profesor Luis J. Boya, que también tiene su aquel. La he bautizado, como no podía ser de otra forma, como la identidad de Boya:

$\displaystyle{2 \pi= e^{\gamma} \prod_{n=2}^{\infty} exp \left (\frac{\zeta (n)}{\tbinom{n+1}{2}} \right )}$ (1)

Antes de demostrarla vamos a enumerar y presentar los elementos que en ella aparecen:
(Leer el resto del post)

Autor: ^DiAmOnD^ | Publicado el 7 de September de 2009
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Categorías: Demostraciones, Otras constantes, Pi

Algunas curiosidades sobre los números de Fibonacci

Si te parece interesante este artículo puedes votarlo en Menéame:

Curiosidades sobre los números de Fibonacci en Menéame

Números de Fibonacci Tanto la sucesión de Fibonacci $F_n$ como el número de oro o número aúreo $\phi$ poseen multitud de propiedades y relaciones. Algunas son relativamente evidentes y otras son bastante curiosas. Os voy a comentar en este artículo algunas con las que me he topado en los últimos días que me parecen interesantes y (en algún caso diría que) sorprendentes.

Fórmula de Binet
La siguiente fórmula, atribuida a Binet aunque parece que De Moivre ya la conocía 100 años antes (ya sabemos que en matemáticas no siempre podemos fiarnos de los nombres) nos dice cómo calcular el $n$ -ésimo número de Fibonacci. Nos la podemos encontrar de varias formas:
$F_n=\cfrac{(1+\sqrt{5})^n-(1-\sqrt{5})^n}{2^n \sqrt{5}}$ $F_n =\cfrac{\varphi^n-(1-\varphi)^n}{\sqrt 5}$ $F_n=\cfrac{\varphi^n-(-1/\varphi)^{n}}{\sqrt 5}$
Es sencillo comprobar este hecho por inducción. En este enlace podéis ver una prueba de ello.

Dado que $(1-\phi)^n$ tiende a ${0}$ cuando $n \rightarrow \infty$ podemos aproximar el número de Fibonacci $F_n$ a través de $\textstyle{\frac{\phi^n}{\sqrt{5}}}$ . Añadiendo un sumando podemos dar una fórmula exacta más reducida que las anteriores:
$F_n=\bigg \lfloor \cfrac{\varphi^n}{\sqrt 5} + \cfrac{1}{2} \bigg \rfloor$
Serie de potencias
Si tomamos la sucesión de Fibonacci de la siguiente forma:

$F_n= \begin{cases} 0, \mbox{ si } n = 0 \\ 1, \mbox{ si } n = 1 \\ F_{n-1}+F_{n-2}, \mbox{ si } n > 1 \end{cases}$
los números de Fibonacci son $0,1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89, \ldots$ . Tomemos la función $f(x)$ definida como la serie de potencias centrada en ${0}$ cuyos coeficientes son los números de Fibonacci, es decir:
$f(x)=\displaystyle{\sum_{n=0}^\infty F_n \, x^n}=0 \, x^0+1 \, x^1+1 \, x^2+2 \, x^3+ \ldots$
Entonces podemos demostrar que la $f(x)$ tiene una expresión bastante sencilla:
$f(x)=\cfrac{x}{1-x-x^2}$
Comprobar si un número entero positivo es un número de Fibonacci
Esta es la propiedad que más me sorprendió al verla de las que voy a comentar en esta entrada. Dice lo siguiente:

Si $N$ es un número entero positivo, $N$ es un número de Fibonacci si y sólo si $5 \cdot N^2+4$ ó $5 \cdot N^2-4$ es un cuadrado perfecto.

Como podéis ver la regla es bien sencilla. Veamos algunos ejemplos:

$F_0=0$ es un número de Fibonacci porque $5 \cdot 0^2+4=4=2^2$
$F_1=1$ es un número de Fibonacci porque $5 \cdot 1^2-4=1=1^2$
$F_2=1$ es un número de Fibonacci porque $5 \cdot 1^2+4=9=3^2$
$F_3=2$ es un número de Fibonacci porque $5 \cdot 2^2-4=16=4^2$
$F_4=3$ es un número de Fibonacci porque $5 \cdot 3^2+4=49=7^2$
$4$ no es un número de Fibonacci porque ni $5 \cdot 4^2-4=76$ ni $5 \cdot 4^2+4=84$ son cuadrados perfectos.
$F_5=5$ es un número de Fibonacci porque $5 \cdot 5^2-4=121=11^2$
$6$ no es un número de Fibonacci porque ni $5 \cdot 6^2-4=176$ ni $5 \cdot 6^2+4=184$ son cuadrados perfectos.

Este dato lo he sacado de esta página, donde además comentan que este hecho fue demostrado por un tal Ira Gessel. He intentado buscar una demostración por internet pero no he encontrado nada concluyente. Partiendo de la fórmula de Binet yo he conseguido (a falta de ordenar mi razonamiento y algún pequeño detalle) demostrar la implicación hacia la derecha, es decir, Si $N$ es un número de Fibonacci entonces $5 \cdot N^2+4$ ó $5 \cdot N^2-4$ son cuadrados perfectos. La otra no he tenido tiempo de intentarla. A ver si alguien se anima con ello (con las dos implicaciones; si no sale nada ordeno mi demostración y la publico).
Relación con los números de Lucas
La sucesión de Lucas es una sucesión del mismo tipo que la sucesión de Fibonacci, es decir, se define igual, pero cuyos primeros términos son $2$ y $1$ , esto es:

$L_n=\begin{cases} 2, \mbox{ si } n = 0 \\ 1, \mbox{ si } n = 1 \\ L_{n-1}+L_{n-2}, \mbox{ si } n > 1 \end{cases}$
Su nombre viene de Édouard Lucas, matemático francés que estudió este tipo de sucesiones. Los números de Lucas son los términos de dicha sucesión. Los primeros son:
$2,1,3,4,7,11,18,29,47,76,123,199,322, \ldots$
Existe una relación muy estrecha entre la sucesión de Fibonacci y la sucesión de Lucas. De hecho internet está lleno de información sobre el tema. La curiosidad que quiero comentar me ha surgido escribiendo este artículo y no recuerdo haberla visto en ninguna página (si la encontráis por ahí escribid un comentario).

La cuestión está relacionada con la propiedad anterior. Hemos dicho que $N$ es un número de Fibonacci si $5 \cdot N^2+4$ ó $5 \cdot N^2-4$ son cuadrados perfectos. Según parece en cada caso uno y sólo uno de esos dos números es un cuadrado perfecto (con excepción de $F_1=F_2=1$ , para los cuales tanto uno como otro cumplen esa propiedad). No tengo demostración de ello pero así lo creo. Pero hay más: cuando $n$ es par el cuadrado perfecto es el que lleva el $+4$ y cuando $n$ es impar es el que tiene el $-4$ el que cumple que es un cuadrado perfecto. Lo he comprobado con más números pero no me he podido parar a intentar demostrarlo.

Y no acaba la cosa aquí. Conforme escribía los ejemplos me he fijado en los cuadrados perfectos que iban apareciendo: $2^2,1^2,3^2,4^2,7^2,11^2,18^2,29^2, \ldots$ ¿Os suenan? Pues sí, son los cuadrados de los números de Lucas. Al menos eso es lo que parece conforme avanzamos en el cálculo. Si esta propiedad fuera cierta, teniendo en cuenta la relación $+4$ si $n$ es par y $-4$ si $n$ es impar, tendríamos que la siguiente igualdad es cierta:
$(L_n)^2=5 \cdot (F_n)^2+4 \cdot (-1)^n$
No creo que haya descubierto nada nuevo, pero no recuerdo haberla visto en ninguna de las fuentes que he consultado. Si alguien tiene información sobre la veracidad o falsedad de la misma que nos lo comunique a través de un comentario.

Como he dicho antes hay otras muchas propiedades de la sucesión de Fibonacci (y de su relación con los números de Lucas) que serían dignas de mención. De hecho algunas de ellas ya han sido comentadas en Gaussianos. Otras todavía no. Os invito a que participéis en los comentarios con opiniones sobre las tres propiedades que os he presentado (demostrar los detalles que faltan sería interesante) así como con aportes en forma de otras propiedades interesantes sobre estos números.

Autor: ^DiAmOnD^ | Publicado el 2 de March de 2009
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Categorías: Curiosidades, Otras constantes

Literatura irracional: el libro

Seguro que recordáis que hace un tiempo hablamos del I Concurso de Literatura Irracional organizado por El Espejo Lúdico, cuyos resultados también publicamos aquí.

En este último post con los resultados os comentaba que tenían pensado editar un libro donde aparecerían todos los relatos enviados al concurso. Pues el libro, cuya portada podéis ver a la derecha, ya está disponible. En él aparecen los ganadores de todas las categorías del concurso y el resto de relatos que recibieron.

Al igual que con el resto de libros de la Colección Espejo Lúdico, podéis descargarlo de forma gratuita en formato pdf desde esta página. También podéis adquirirlo por el precio (casi de coste) de 9,95€ desde ese mismo enlace.

Desde Gaussianos quiero enviar mi más sincera enhorabuena a Juan Luis. Ya son tres libros los que tiene editados, ofrecidos además en descarga gratuita. Seguro que todo el trabajo que estás realizando se verá recompensado.

Autor: ^DiAmOnD^ | Publicado el 16 de February de 2009
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Números algebraicos y trascendentes. Los 15 números trascendentes más famosos

Los números reales pueden subdividirse en conjuntos según muchos criterios de clasificación. En la entrada de hoy vamos a hablar de la subdivisión en números algebraicos y números trascendentes.

Los número algebraicos son los números reales que son solución de alguna ecuación polinómica cuyos coeficientes son números racionales. A la vista de esta definición es fácil comprender que todos los números racionales son algebraicos, ya que si $r= \textstyle{\frac{p}{q}}$ es un número racional (por tanto $p,q\in\mathbb{Z}$ ), entonces $r$ es solución de la ecuación polinómica $q \; x -p=0$ .

Pero no sólo son algebraicos los números racionales. También lo son muchos irracionales. Por ejemplo, el número irracional $\sqrt{2}$ es algebraico. Basta ver que es solución de la ecuación polinómica $x^2-2=0$ para darse cuenta de ello. Lo mismo ocurre con, por ejemplo, $\sqrt[3]{3}$ , que es solución de $x^3-3=0$ . Y con muchos más números irracionales.

Los números trascendentes son los números reales que no son solución de ninguna ecuación polinómica de coeficientes racionales. Por lo que hemos visto antes todos los números trascendentes son irracionales, aunque no todos los irracionales son trascendentes. Como ejemplos más representativos de este conjunto numérico tenemos al número $\pi$ y al número $e$ .

Viendo que en primera instancia es mucho más sencillo encontrar números algebraicos que números trascendentes uno podría pensar que hay muchos más del primer tipo que del segundo. Nada más lejos de la realidad. El conjunto de los números algebraicos es infinito numerable, es decir, tiene infinitos elementos pero podemos contarlos, mientras que el conjunto de los números trascendentes es infinito no numerable, esto es, también tiene infinitos elementos pero no los podemos contar. Conclusión: hay muchos más números reales trascendentes que algebraicos.

A la vista de este hecho no se entiende demasiado bien que sea tan complicado encontrar números trascendentes, pero la realidad es esa. Demostrar que un cierto número real es trascendente suele ser bastante complicado. El primero que lo consiguió fue Liouville demostrando que el número

$\displaystyle{\sum_{k=1}^\infty 10^{-k!}=0,110001000000000000000001000\ldots}$

es trascendente. Más adelante Hermite demostró que el número $e$ es trascendente y posteriormente Lindemann hizo lo propio con el número $\pi$ .

Dada la dificultad que tiene encontrar números trascendentes os dejo una lista con los 15 números trascendentes más famosos. Para algunos no existe demostración, pero se cree con gran firmeza que lo son:

$\pi$
$e$
Constante de Euler-Mascheroni: $\gamma = 0,577215 \dots$ (no demostrado)
Constante de Catalan: $G= \displaystyle{\sum_{k=0}^\infty \textstyle{\frac{(-1)^k}{(2k+1)^2}}}$ (no demostrado)
Constante de Liouville: $\displaystyle{\sum_{k=1}^\infty 10^{-k!}=0,110001000000000000000001000\ldots}$
Constante de Chaitin: $\omega$ (que además es no computable)
Número de Chapernowne: $0,12345678910111213 \ldots$
Ciertos valores de la función $\zeta$ de Riemann, como $\zeta (3)$
$ln(2)$
El número de Hilbert: $2^{\sqrt{2}}$
$e^{\pi}$
$\pi^e$ (no demostrado)
El número de Morse-Thue: $0,01101001 \ldots$
$i^i= 0,207879576 \ldots$
Los números de Feigenbaum (no demostrado):

$\begin{matrix} \delta = 4.66920160910299067185320382 \ldots \\ \alpha = 2.502907875095892822283902873218 \ldots \end{matrix}$

En relación con los números trascendentes tenemos un resultado muy interesante probado de forma independiente por Alexandr Gelfond y Theodor Schneider:

Teorema: (de Gelfond-Schneider)

Si $\alpha$ y $\beta$ son números complejos algebraicos, $\alpha \ne 0,1$ , y $\beta$ no es racional, entonces $\alpha^{\beta}$ es trascendente.

Este teorema nos ayuda a demostrar que, por ejemplo, $e^{\pi}$ es trascendente (¿cómo?).

¿Conocéis otros números trascendentes interesantes que no aparezcan en esta lista? Por otra parte, no sé cuánto hace que Clifford Pickover realizó la misma, por lo que puede que se haya avanzado en la demostración de la trascendencia de alguno de los que hemos comentado que no la tenían. Si sabéis algo del tema os agradecería que dejarais un comentario.

Fuentes:

The 15 most famous trascendental numbers.
Sucesión de Thue-Morse en la Wikipedia (es español).
Números de Feigenbaum en la Wikipedia (en español).

P.D.: Qué raro que en la lista no aparezca el número de Cöpeland-Ërdos: $0,235711131719 \ldots$ teniendo en cuenta lo curiosa que es su construcción.

Autor: ^DiAmOnD^ | Publicado el 19 de January de 2009
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Categorías: Curiosidades, Otras constantes, Pi, Teoremas

Coincidencias matemáticas

Generalmente las matemáticas son muy curiosas en muchos sentidos, y puede que uno de los más claros (y posiblemente más accesibles para todo el mundo) sean los números. Me refiero exactamente a las curiosidades numéricas, números que en principio no tienen nada que ver y que en realidad son tan parecidos que parecen iguales. De hecho para muchas cosas se pueden considerar iguales, ya que la diferencia que hay entre ellos es tan pequeña que en la vida real no seríamos capaces de apreciarla. Hoy os traigo una lista de coincidencias en ese sentido:

$e^\pi\simeq\pi^e$
Estas dos potencias que relacionan estas constantes tan conocidas tienen valores muy cercanos:

$e^\pi\simeq 23,1407$
$\pi^e\simeq 22,4592$
$\pi^2\simeq 10$
Concretamente $\pi^2\simeq 9,8696$ . De hecho esto se utiliza en la práctica utilizando $latex\sqrt{10}$ como aproximación de $\pi$ .
$\pi\simeq \frac{22}{7}$
Este hecho ya lo conocíamos en Gaussianos. De hecho se conoce una aproximación mejor: $\pi\simeq \textstyle{\frac{355}{113}}$ .
$\log_2{x} \simeq \ln{x}+\log_{10}{x}$
La diferencia es más o menos del 5%.
$2^{10} \simeq 10^3$
Se tiene que $2^{10}=1024$ y $10^3=1000$ .
$e^\pi\simeq \pi+20$
Mucho más aproximado que el primer dato de esta lista.
$e^{\pi \cdot \sqrt{n}} \simeq k\in\mathbb{Z}$
Es decir, $e^{\pi \cdot \sqrt{n}}$ se acerca mucho a un número entero para ciertos valores de $n$ . Quizás el más conocido sea el resultado para $n=163$ .
Una milla $\simeq \phi$ kilómetros
Ya que una milla son 1609 metros y $\phi$ kilómetros serían 1618 metros. Evidentemente, $\phi$ es el número aúreo.
$2^{\frac{7}{12}}\simeq \frac{3}{2}$
Ya que $2^{\frac{7}{12}}=1,49831$ y $\frac{3}{2}=1,5$ . Este hecho tiene ciertas aplicaciones en música.
$\pi\simeq\frac{63}{25}\left ( \frac{17+15\sqrt{5}}{7+15\sqrt{5}}\right )$
No conozco ninguna utilidad de esto, pero la aproximación es buenísima. No me extraña que, según parece, se deba al grandísimo Ramanujan.

Espero que os haya parecido interesante la lista. Si conocéis más hechos de este tipo no dudéis en comunicárnoslo a través de un comentario.

Fuente:

List of mathematical coincidences

Autor: ^DiAmOnD^ | Publicado el 1 de December de 2008
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Categorías: Curiosidades, Otras constantes, Pi

I Concurso de Literatura Irracional

Juan Luis, de El Espejo Lúdico, me propone vía mail que comente algo sobre su concurso. Vamos con él:

I Concurso de Literatura Irracional

El Espejo Lúdico organiza (como ya algunos nos pedíais) un concurso literario, el I Concurso de Literatura Irracional.

El adjetivo irracional no se refiere al contenido sino que se pide que se escriban microrrelatos usando como base las cifras de algunos de los más célebres números irracionales, un poco al estilo de las reglas nemotécnicas que se utilizan para recordar por ejemplo el número pi.

Puedes descargar aquí las “bases serias“, si bien resumimos en esta entrada las principales condiciones:

Los microrrelatos, escritos en español, tendrán un máximo de veinte palabras y deberán cumplir, como decíamos, el requisito de que el número de letras de cada palabra sea la cifra correspondiente de uno de los números irracionales que se proponen en el concurso, tal y como se muestra en el siguiente ejemplo:

Los números irracionales que se proponen como base en el concurso son $\pi$ (Pi), $\sqrt{2}$ (raíz de 2) y $\phi$ (número aúreo).

Para evitar confusiones se usarán las 20 primeras cifras de cada número (sin contar los ceros) tal como aparecen en la lista de constantes matemáticas de la Wikipedia, esto es:

$\pi$ :

3 1 4 1 5 9 2 6 5 3 5 8 9 7 9 3 2 3 8 4
$\sqrt{2}$ :

1 4 1 4 2 1 3 5 6 2 3 7 3 9 5 4 8 8 1 6
$\phi$ :

1 6 1 8 3 3 9 8 8 7 4 9 8 9 4 8 4 8 2 4

Independientemente del número de palabras del microrrelato, hay que comenzar siempre por la primera cifra del número elegido y respetar el orden de las cifras hasta la correspondiente a la última palabra del relato (no vale “elegir trozos”).

Podéis enviar vuestros relatos a nuestra dirección de correo habitual antes del 20 de noviembre de 2008. Dentro del cuerpo del correo podéis incluir con vuestro nombre los relatos que queráis pero precedidos de PI, RAIZ o PHI para señalar cuál de los números se ha elegido como base.

Los microrrelatos recibidos serán publicados antes del 30 de noviembre en tres entradas del blog “El Espejo Lúdico” (una por número). Entre los candidatos elegiremos un ganador durante la primera quincena del mes de diciembre así como tres accésits correspondientes a los tres distintos números irracionales.

Para más infomación consultad la entrada original:

I Concurso de Literatura Irracional

Autor: ^DiAmOnD^ | Publicado el 3 de November de 2008
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Categorías: Otras constantes, Pi

La función Gamma: una generalización del factorial

La función factorial de un número entero no negativo es bien conocida. Se conoce ya en últimos cursos de Bachillerato y en cualquier carrera de ciencias suele aparecer con cierta frecuencia. De forma recurrente podríamos definirla de la siguiente forma:

Si $a_n=n!$ :

$a_0=1$
$a_{n+1}=(n+1) \cdot a_n$

Es decir, el factorial de ${0}$ es $1$ ( $0!=1$ ) y el factorial de un número entero mayor que ${0}$ es el propio número multiplicado por el factorial de número entero anterior ( $(n+1)!=(n+1) \cdot n!$ ). Resumiendo y simplificando algo el tema podemos decir que $n!=n \cdot (n-1) \cdot \ldots \cdot 1$ , o lo que es lo mismo, $n!$ es el producto de todos los números naturales desde $n$ hasta $1$ . Por ejemplo:

$3!=3 \cdot 2 \cdot 1=6$
$5!=5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1=120$

Interesante función. Pero con una enorme limitación: como hemos dicho sólo puedo calcular el factorial a número enteros no negativos. Sí, son muchos, de hecho hay infinitos, pero aún así la cosa queda algo corta. ¿Qué pasa con los números racionales? ¿Y los irracionales? ¿Y los complejos?

En este post vamos a ver una función que nos servirá como generalización de esta función factorial: la función Gamma

La función Gamma

La función Gamma se define para todo número complejo $z$ cuya parte real positiva de la siguiente forma:

$\displaystyle{\Gamma(z)=\int_0^{\infty} t^{z-1}e^{-t}dt}$

Esta definición puede extenderse $\forall z\in\mathbb{C-Z^-}$ , siendo $\mathbb{Z^-}$ el conjunto de los números enteros negativos.

Vamos a ver algunas propiedades de esta función:

Propiedades

$\Gamma(1)=1$
$\Gamma(z+1)=z \; \Gamma(z)$
$\forall n\in\mathbb{N}, \Gamma(n+1)=n!$ (consecuencia de la propiedad anterior)
$\displaystyle{\Gamma(z) \; \Gamma\left(z + \cfrac{1}{2}\right) = 2^{1-2z} \; \sqrt{\pi} \; \Gamma(2z)}$
$\Gamma\left(\cfrac{1}{2}\right )= \sqrt{\pi}$ (consecuencia de la propiedad anterior)
$\Gamma(1-z) \Gamma(z) = \cfrac{\pi}{\sin{(\pi z)}}$

Generalización del factorial

La propiedad 2. es la que nos indica la generalización del factorial a través de esta función. Vamos a demostrarla:

$\displaystyle{\Gamma(z+1)=\int_0^{\infty} t^{z+1-1}e^{-t}dt=\int_0^{\infty} t^{z}e^{-t}dt}$

Utilizando integración por partes, siendo $u=t^z$ y $dv=e^{-t}dt$ . Por tanto $du=z \; t^{z-1}$ y $v=-e^{-t}$ y nos queda:

$\displaystyle{\Gamma(z+1)=\int_0^{\infty} t^{z}e^{-t}dt=-e^{-t} \; t^z \Bigg|_0^{\infty}+\int_0^{\infty} z \; t^{z-1}e^{-t}dt}$

El primer término vale ${0}$ (fácil verlo con un sencillo límite) y el otro término, sacando $z$ de la integral, es $z \; \Gamma(z)$ . Por tanto:

$\Gamma(z+1)=z \; \Gamma(z)$ .

Otras definiciones alternativas de esta función y otras propiedades no listadas aquí pueden verse en Gamma Function en la Wikipedia (en inglés). Por ejemplo, podremos ver la relación de esta función con la constante de Euler-Mascheroni $\gamma$ .

Hay muchos más sitios donde aparece la función $\Gamma$ . Os dejo a vosotros que nos habléis de ellas en los comentarios.

Autor: ^DiAmOnD^ | Publicado el 5 de November de 2007
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Categorías: Cálculo, Demostraciones, Otras constantes

The matching problem o cómo no formar ninguna pareja

Imaginemos que nos encontramos alguna de esta situaciones y nos planteamos la pregunta que viene en cada una de ellas:

Un profesor manda un trabajo para casa a un grupo de alumnos. Ellos entregan los mismos al profesor y cuando éste los va a devolver corregidos lo hace aleatoriamente. ¿Cuál es la probabilidad de que ninguno de los alumnos reciba su propio trabajo?
En una fiesta hay un cierto número de hombres ataviados con sombrero. Dejan los mismos en una sala y al término de la celebración cogen su sombrero de forma aleatoria. ¿Cuál es la probabilidad de que ninguno de los hombres lleve su propio sombrero?
Vamos a enviar felicitaciones de Navidad a nuestros familiares. Rellenamos las tarjetas por un lado y los sobres por otro y luego metemos las tarjetas en los sobres aleatoriamente. ¿Cuál es lo probabilidad de que ninguna de las tarjetas acabe en el sobre que le corresponde?

Todos estos ejemplos son casos en los que podemos aplicar el, al parecer, llamado The Matching Problem, aunque también he visto que lo llaman Montmort’s matching problem en honor a Pierre Raymond de Montmort, matemático francés nacido en 1678.

Bueno, vamos al tema. Para empezar, creo que se ve bastante claro que todos los casos son equivalentes. Entonces, ¿cuál diríais que es la probabilidad que se nos pide? Lo primero que uno podría pensar es: depende del número de alumnos, hombres y familiares que haya en cada caso. Es decir, que lo normal sería pensar que esa probabilidad depende del número de individuos que tenga la población. Pues no es así. La probabilidad es siempre la misma. Bueno, no exactamente. En realidad la probabilidad se acerca a un número concreto conforme el número de individuos se acerca a infinito. Curioso, ¿no?

Y ahora la pregunta es: ¿cuál es esa probabilidad? Pues bueno, teniendo en cuenta que si llamamos $N_n$ a la variable aleatoria que nos indica el número de emparejamientos válidos de entre $n$ se puede llegar a que su función de probabilidad es la siguiente:

$\displaystyle{P(N_n=k)=\cfrac{1}{k!} \cdot \sum_{j=0}^{n-k} \cfrac{(-1)^j}{j!}}$ con $k=0,1, \ldots ,n$

la probabilidad de que no se haya formado ninguna pareja válida nos la da la probabilidad de que $N_n$ sea igual a ${0}$ . Es decir:

$\displaystyle{P(N_n=0)=\sum_{j=0}^{n} \cfrac{(-1)^j}{j!}}$

¿Os suena esta suma? Seguro que a muchos sí. Hacemos límite cuando $n \to \infty$ y obtenemos lo que queremos:

$\displaystyle{P(N_n=0)=\sum_{j=0}^{n} \cfrac{(-1)^j}{j!} \xrightarrow{n \to \infty} \cfrac{1}{e}}$

Es decir, que la probabilidad de que no se forme ninguna pareja válida se acerca a $\cfrac{1}{e}$ tanto más como grande sea $n$ . Al parecer con $n=5$ ya nos queda una buena aproximación. Lo sorprendente es que cuanto más grande sea $n$ mejor es la aproximación a $\cfrac{1}{e}$ . Y digo yo: ¿cuánto vale ese número? Pues algo así como $0.367879441$ . Es decir, que en una situación de este tipo no se forma ninguna pareja válida aproximadamente el $36,8$ % de las veces. Y ese tanto por ciento se va acercando cada vez más a $\cfrac{1}{e} \cdot 100$ conforme aumenta el valor de $n$ .

Realmente curioso el asunto. ¿Esperabais que la probabilidad fuera más alta o más baja?

Fuentes:

Matching Problem en Math Fun Facts
The Matching Problem en Università di Firenze
The Matching Problem en The University of Alabama in Huntsville

Autor: ^DiAmOnD^ | Publicado el 30 de October de 2007
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Categorías: Curiosidades, Estadística, Otras constantes

Mnemotecnia y e

Ayer publicaba una frase para poder recordar las primeras cifras del número $\pi$ y el número $e$ no podía ser menos. En El Espejo Lúdico encuentro una frase para este número:

El trabajo y esfuerzo de recordar e revuelve mi estómago, pero podré acordarme. Será fácil si leo todas las frases. La repetida canción será cantada y así verás el número huevón

Como en el otro caso cada cifra corresponde con el número de letras de cada palabra de la frase.

¿Conocéis alguna más aparte de éstas y de las dos que ya podíamos ver en este post? Si es así comentadlas. Y si alguien tiene tiempo y se dedica a crear alguna que me lo diga y se la publico.

Autor: ^DiAmOnD^ | Publicado el 16 de August de 2007
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Categorías: Otras constantes

La constante de Euler-Mascheroni

En Matemáticas hay varias constantes, digamos, extrañas que son muy conocidas, como por ejemplo el número pi y el número e. Quien más quien menos las conoce y ha trabajado con ellas. Pero también hay constantes interesantes que no son tan conocidas. En este post vamos a hablar de una de ellas: la constante de Euler-Mascheroni, que se representa con la letra griega gamma: $\displaystyle\gamma$ .

Esta constante se define de la siguiente forma:

$\mathbf{\displaystyle\gamma=\lim_{n \rightarrow \infty }\left( \sum_{k=1}^n \frac{1}{k}-\ln(n) \right)}$

Es decir, $\displaystyle\gamma$ se define como el límite de la diferencia de la sucesión de sumas parciales de la serie armónica y el logaritmo neperiano.

Otras formas de definirla son las siguientes:

$\displaystyle\gamma=\int_1^\infty\left({1\over\lfloor x\rfloor}-{1\over x}\right)\,dx=- \int_0^\infty { \ln(x) \over e^x }\,dx$

Su valor aproximado es: $\displaystyle\gamma \simeq 0,577\;215\;664\;901\;532\;860\;607\;\ldots$

No se sabe si $\displaystyle\gamma$ es un número racional. Lo que sí se conoce es que si lo fuera su denominador sería mayor que 10²⁴²⁰⁸⁰. Casi nada.

En diciembre del año 2006 Alexander J. Yee calculó la constante de Euler-Mascheroni con más de 116 millones de cifras decimales, récord para este número. En esta página podéis ver este récord y descargar un archivo con el número en cuestión. Pero cuidado, ocupa 52 megas. Vía Microsiervos.

Vamos a ver algunas expresiones más en las que aparece $\displaystyle\gamma$ :

Integrales cuyo resultado es $\displaystyle\gamma$

$\displaystyle\gamma=-\int_0^1 { \log\log\left (\frac{1}{x}\right ) }\,dx$ $\displaystyle\gamma= \int_0^\infty { \frac{1}{x} \left ( \frac{1}{1+x}-e^{-x} \right ) }\,dx$

Integrales que involucran a $\displaystyle\gamma$

$\displaystyle\int_0^\infty { e^{-x^2} \log x }\,dx = -\tfrac14(\gamma+2 \log 2) \sqrt{\pi}$ $\displaystyle\int_0^\infty { e^{-x} \log^2 x }\,dx = \gamma^2 + \frac{\pi^2}{6}$ (¿os suena ese $\displaystyle\frac{\pi^2}{6}$ ?)

Relación con $\displaystyle \log{\frac{4}{\pi}}$

$\displaystyle\gamma = \int_{0}^{1}\int_{0}^{1} \frac{x-1}{(1-x\,y)\log(x\,y)} \, dx\,dy = \sum_{n=1}^\infty \left ( \frac{1}{n}-\log\frac{n+1}{n} \right )$ $\displaystyle log \left ( \frac{4}{\pi} \right ) = \int_{0}^{1}\int_{0}^{1} \frac{x-1}{(1+x\,y)\log(x\,y)} \, dx\,dy = \sum_{n=1}^\infty (-1)^{n-1} \left( \frac{1}{n}-\log\frac{n+1}{n} \right)$

Relación con la función $\displaystyle\Gamma$

$\displaystyle\gamma = \lim_{n \to \infty} \left [ \frac{ \Gamma(\frac{1}{n}) \Gamma(n+1)\, n^{1+1/n}}{\Gamma(2+n+\frac{1}{n})} - \frac{n^2}{n+1} \right ]$

Relación con el número e

$\displaystyle e^\gamma = \lim_{n \to \infty} \frac {1} {\log p_n} \prod_{i=1}^n \frac {p_i} {p_i -1}$

siendo $p_n$ el n-ésimo número primo.

El valor de este número es:

$\displaystyle e^\gamma =1.78107241799019798523650410310717954916964521430343\ldots$

Mezclando las tres constantes

$\displaystyle\frac{e^{1+\gamma /2}}{\sqrt{2\,\pi}} = \prod_{n=1}^\infty e^{-1+1/(2\,n)}\,\left (1+\frac{1}{n} \right )^n$

Como podéis ver la constante de Euler-Mascheroni será poco conocida pero no se le puede achacar que tenga poco protagonismo en Matemáticas. Si queréis ver más expresiones en las que aparece no tenéis más que consultar los enlaces que os dejo abajo.

Fuentes:

Constante de Euler-Mascheroni en la Wikipedia
Euler-Mascheroni Constant en la Wikipedia (inglés)
Euler-Mascheroni Constant en MathWorld

Autor: ^DiAmOnD^ | Publicado el 16 de July de 2007
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Categorías: Otras constantes

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