Pi - 2/8 - Gaussianos

Pi con cuatro cuatros

¿Recordáis el problema de los cuatro cuatros? Sí, ese problema en el que se pedía expresar todos los números naturales del 1 al 100 utilizando exactamente cuatro cuatros y pudiendo usar ciertas operaciones entre ellos. Pues, como sabréis los seguidores antiguos del blog, en Gaussianos conseguimos terminar la lista. Fue un gran logro, sobre todo por el brillante 73 que consiguió homero.
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Autor: ^DiAmOnD^ | Publicado el 6 de June de 2011
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Categorías: Números enteros, Pi

Pi y el conjunto de Mandelbrot

Segunda entrada de hoy relacionada con el día de Pi (como no podía ser menos). Después de conocer a algunos matemáticos que nacieron un día de Pi, 14 de marzo, vamos a ver ahora una relación existente entre $\pi$ y el conjunto de Mandelbrot…

(Hipotético) Lector (que no tiene por qué conocer el 100% de los aspectos relacionados con Pi): Un momento, un momento…Veamos. Pase que $\pi$ aparezca en las situaciones más insospechadas, como en la probabilidad de que dos números elegidos al azar sean coprimos, o en un experimento con una aguja, o hasta en ciertas series infinitas, pero ¿qué pinta junto al conjunto de Mandelbrot? Venga ya, ¿también va a aparecer $\pi$ en este fractal?

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Autor: ^DiAmOnD^ | Publicado el 14 de March de 2011
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Categorías: Carnaval de matematicas, Fractales, Pi

Celebrando el día de Pi con matemáticos nacidos ese mismo día

Hoy 14 de marzo, 3/14 en nomenclatura anglosajona, es el día de Pi. Por ello lo suyo era escribir hoy una entrada que de alguna manera esté relacionada con esta constante. Eso al menos es lo que he hecho en años anteriores:

Año 2007: El día de Pi y El día de Pi (II).
Año 2008: Feliz día de Pi (Año 2008).
Año 2009: Celebrando el día de Pi con una aguja y una medusa.
Año 2010: Celebrando infinitamente el día de Pi.

Este año quiero celebrar el día de $\pi$ con matemáticos nacidos este día 14 de marzo. Para encontrarlos he utilizado la magnífica página The MacTutor History of Mathematics Archive de la Universidad de Saint Andrews. Los matemáticos que aparecen en ella como nacidos el día 14 de marzo son los siguientes:
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Autor: ^DiAmOnD^ | Publicado el 14 de March de 2011
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Categorías: Carnaval de matematicas, Matemáticos, Pi

La construcción del dodecaedro en los Elementos de Euclides

Los Elementos de Euclides (aunque en realidad no sabemos qué partes de los Elementos son originales de Euclides, si hay alguna) culminan en el libro XIII y último con la construcción de los 5 poliedros regulares.

Presentamos aquí la construcción del dodecaedro que aparece en la proposición 17 del libro XIII.

Los antiguos griegos no utilizaban el término razón áurea, porque el dorado se le dio en el siglo XIX, ni tampoco el término divina proporción que usó Luca Pacioli en el siglo XV, sino el término más técnico razón extrema y media, definido al principio del libro VI de los Elementos.
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Autor: ^DiAmOnD^ | Publicado el 7 de February de 2011
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Categorías: Geometría, Historia, Otras constantes

Fibonacci, las abejas y las tarjetas de crédito

Gran parte de vosotros habréis oído que la sucesión de Fibonacci y el número áureo aparecen en muchos ámbitos de nuestra vida. Y seguro que muchos conocéis algunos casos en los que esto ocurre. Para vosotros, y sobre todo para quienes no sabían nada de esto, vamos a ver en este artículo un par de ejemplos.
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Autor: ^DiAmOnD^ | Publicado el 15 de October de 2010
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Categorías: Curiosidades, Geometría, Otras constantes

Pi y la serie armónica

Ayer hablábamos sobre algunas fracciones continuas interesantes entre las cuales se encontraban varias relacionadas con $\pi$ . Bien, pues hay otra más que también tiene una pinta tremendamente curiosa y que además ha aparecido hace relativamente poco. Es la siguiente:

$\cfrac{\pi}{2}=1+\cfrac{1}{1+\cfrac{1}{1/2+\cfrac{1}{1/3+\cfrac{1}{1/4+\cfrac{1}{1/5+\ddots}}}}}$

esto es, todos los numeradores son 1 y en los denominadores aparecen sumando los términos de la serie armónica en orden creciente.

La demostración de este hecho se debe a Thomas J Pickett y Ann Coleman, se publicó en diciembre de 2008 en American Mathematical Monthly y utiliza, entre otras cosas, la siguiente fracción continua que Euler encontró

$\cfrac{\pi}{2}=1+\cfrac{1}{1+\cfrac{1\cdot 2}{1+\cfrac{2\cdot 3}{1+\cfrac{3 \cdot 4}{1+\cfrac{4 \cdot 5}{1+\ddots}}}}}$

y el siguiente producto infinito debido a Wallis:

$\cfrac{\pi}{2}=\cfrac{2}{1} \cdot \cfrac{2}{3} \cdot \cfrac{4}{3} \cdot \cfrac{4}{5} \cdot \cfrac{6}{5} \cdot \cfrac{6}{7} \cdot \dots$

Otra fracción continua más para $\pi$ que una tendencia bastante regular…

…Un momento, ahora que digo regular…uhmmm…Si dijimos en el post de ayer que cuando todos los numeradores eran igual a 1 se llamaba regular a la fracción continua, entonces ésta también sería una fracción continua regular de $\pi$ . Pero en el anterior post comentamos que la fracción continua regular era única. ¿Qué es lo que falla? Es fácil, pero bueno, al menos os tengo un mínimo rato entretenidos buscando el detalle.

Por cierto, gracias Juan Pablo por lo que tú ya sabes.

Autor: ^DiAmOnD^ | Publicado el 1 de October de 2010
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Categorías: Cálculo, Pi

Algunas fracciones continuas interesantes

Hace no mucho tiempo hablábamos sobre fracciones continuas, comentando algunas de sus características y hace algo más de tiempo fede nos hablaba sobre su interpretación combinatoria.

En el primero de ellos hablamos, entre otras cosas, de cómo calcular la fracción continua de un número racional y de un número cuadrático irracional (número irracional que es solución de una ecuación de segundo grado). En este artículo vamos a ver algunas fracciones continuas interesantes de ciertos números cuadráticos irracionales y de otros números irracionales que no cumplen esa característica.

Fracción continua de $\phi$

El número áureo, $\phi=\textstyle{\frac{1+\sqrt{5}}{2}}$ , es un número cuadrático irracional, ya que es un número irracional y es solución de la ecuación $x^2-x-1=0$ . Como comentamos en el primer post enlazado antes, este tipo de números tienen una fracción continua infinita (por ser irracionales) y periódica (por ser cuadráticos). Concretamente $\phi$ tiene la siguiente fracción continua:

$\phi=1+\cfrac{1}{1+\cfrac{1}{1+\cfrac{1}{1+\cfrac{1}{1+\cfrac{1}{1+\ddots}}}}}$

que suele representarse, como ya dijimos en su momento, por $[1; 1,1,1,1,1 \ldots]$ o simplemente por $[1;\overline{1}]$ (escribimos una línea sobre la secuencia que se repite).

Fracción continua del número plateado $\delta _S$

El número plateado $\delta _S$ es $1+\sqrt{2}$ . Su fracción continua, que ya comentamos en ese post, es la siguiente:

$\delta _S=2+\cfrac{1}{2+\cfrac{1}{2+\cfrac{1}{2+\cfrac{1}{2+\cfrac{1}{2+\ddots}}}}}$

por lo que su representación de la forma anterior es $[2; \overline{2}]$ .

Y como también dijimos en aquel artículo, tanto $\phi$ como $\delta _S$ son dos casos particulares de los medias metálicas entre dos números naturales, que pueden definirse como la mayor solución de la ecuación $x^2-nx-1=0$ , y cuya fracción continua es:

$n+\cfrac{1}{n+\cfrac{1}{n+\cfrac{1}{n+\cfrac{1}{n+\cfrac{1}{n+\ddots}}}}}$

o simplemente $[n;\overline{n}]$ .

Fracción continua de $e$

El número $e$ , irracional y trascendente, tiene una fracción continua sorprendentemente simple teniendo en cuenta la naturaleza de este número. Aquí la tenéis:

$e=2+\cfrac{1}{1+\cfrac{1}{2+\cfrac{1}{1+\cfrac{1}{1+\cfrac{1}{4+\cfrac{1}{1+\cfrac{1}{1+\cfrac{1}{6+\cfrac{1}{1+\ddots}}}}}}}}}$

expresión ésta que equivale a $[2;1,2,1,1,4,1,1,6,1 \ldots]$ y que se suele escribir de forma reducida de la siguiente forma: $[2;\overline{1,2k,1}]$ , con $k$ número natural mayor o igual que 1. Repito, al menos para mí es sorprendente que el número $e$ tenga asociada esta fracción continua tan, digamos, simétrica. Característica que también sorprende en esta fracción continua de $\sqrt{e}$

$\sqrt{e}=1+\cfrac{1}{1+\cfrac{1}{1+\cfrac{1}{1+\cfrac{1}{5+\cfrac{1}{1+\cfrac{1}{1+\cfrac{1}{9+\cfrac{1}{1+\cfrac{1}{1+\ddots}}}}}}}}}$

o sea, $\sqrt{e}=[1;1,1,1,5,1,1,9,1,1 \ldots]=[1;\overline{4k-3,1,1}]$ , para $k$ número natural mayor o igual que 1.

Si hablamos de fracciones continuas generalizadas (las que no obligan a que los numeradores sean siempre 1), el número $e$ puede expresarse, entre otras, de la siguiente curiosa forma:

$e=2+\cfrac{2}{2+\cfrac{3}{3+\cfrac{4}{4+\cfrac{5}{5+\cfrac{6}{6+\cfrac{7}{7+\cfrac{8}{8+\cfrac{9}{9+\cfrac{10}{10+\ddots}}}}}}}}}$

Fracciones continuas de $\pi$

Y terminamos con la joya de la corona: el número $\pi$ . Además de la multitud de propiedades que posee y de la cantidad de curiosidades que lo rodean, es muy interesante en lo que se refiere a las fracciones continuas que están relacionadas con él.

Si hablamos de fracción continua regular (recuerdo que así es como se denomina a la que sólo acepta numeradores iguales a 1), la de $\pi$ es:

$3+\cfrac{1}{7+\cfrac{1}{15+\cfrac{1}{1+\cfrac{1}{292+\cfrac{1}{1+\ddots}}}}}$

Vamos, una fracción continua sin ninguna regularidad aparente (básicamente como el propio número $\pi$ , irracional y trascendente al igual que $e$ ) y de la que bien poco se conoce.

Pero, como siempre, el número $\pi$ nos tiene guardadas multitud de sorpresas. En este caso en forma de fracciones continuas sorprendentemente simétricas. Por ejemplo la siguiente:

$\pi=\cfrac{4}{1+\cfrac{1^2}{2+\cfrac{3^2}{2+\cfrac{5^2}{2+\cfrac{7^2}{2+\ddots}}}}}$

es decir, desde el segundo paso los numeradores son los cuadrados de los números impares y en los denominadores el número que aparece sumando siempre es 2.

Vamos con otra:

$\pi=\cfrac{4}{1+\cfrac{1^2}{3+\cfrac{2^2}{5+\cfrac{3^2}{7+\cfrac{4^2}{9+\ddots}}}}}$

esto es, desde el segundo paso los numeradores son los cuadrados de los números naturales y en los denominadores aparecen sumando los números impares.

Otra más:

$\pi=3+\cfrac{1^2}{6+\cfrac{3^2}{6+\cfrac{5^2}{6+\cfrac{7^2}{6+\cfrac{9^2}{6+\ddots}}}}}$

en la que los numeradores son los cuadrados de los números impares y abajo se repite el 6 indefinidamente.

No me digáis que no es inquietante.

Extra: relación entre $\phi$ , $e$ y $\pi$ mediante fracciones continuas

Y para terminar un extra extraordinariamente sorprendente. Aquí tenéis una fracción continua, debida a Ramanujan (no sé por qué pero no me extraña nada que sea de él), que relaciona a $\phi$ , $e$ y $\pi$ :

$(\sqrt{2+\phi}-\phi) \cdot e^{2 \pi / 5}=1+\cfrac{e^{-2 \pi}}{1+\cfrac{e^{-4 \pi}}{1+\cfrac{e^{-6 \pi}}{1+\cfrac{e^{-8 \pi}}{1+\cfrac{e^{-10 \pi}}{1+\ddots}}}}}$

Casi nada…

Por cierto, ¿conocéis alguna fracción continua interesante que no aparezca por aquí?

Fuentes:

An Introduction to the Continued Fraction en la web de Ron Knott.
Continued Fraction en la Wikipedia inglesa.

Autor: ^DiAmOnD^ | Publicado el 30 de September de 2010
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Categorías: Cálculo, Otras constantes, Pi

¿Tanto para un cero?

Poco después del último récord de cálculo de decimales de $\pi$ , nos encontramos con un nuevo récord, pero de naturaleza distinta. Nicholas Sze, de Yahoo, ha calculado el bit 2000 billones de $\pi$ y algunos de los cercanos a él. Pero para ello no ha calculado todos los anteriores, sino que ha utlizado ciertas técnicas para calcular partes de $\pi$ .

Para este cálculo ha utilizado 1000 ordenadores de Yahoo durante 23 días, aunque en realidad el cálculo ha supuesto 503 años en tiempo de CPU (casi nada). Para ello, Nicholas utilizó MapReduce, de Google (curioso, ¿verdad?), cuya utilidad es dividir ciertos problemas en otros menores para después combinar los resultados obtenidos. Al final, lo que Nicholas consiguió calcular fueron los bits de $\pi$ desde la posición 1999999999999997 hasta la posición 2000000000000252.

Ah, por cierto, el bit de $\pi$ que ocupa la posición 2000 billones es…un cero. Después de conocer este dato, más de un alumno mío pondría cara de asombro y pronunciaría la frase que titula esta entrada:

¿Tanto para un cero?

Más información en esta entrada de Microsiervos y en la web personal de Nicholas Sze.

Autor: ^DiAmOnD^ | Publicado el 17 de September de 2010
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Categorías: Noticias, Pi

¿Sabía que…

…en muchos países se sigue llamando a $\pi$ constante Ludolphina?

La razón es bien sencilla. A finales del siglo XVI se descubrieron varias aproximaciones del número $\pi$ :

V. Otho y A Anthonisz redescubrieron sobre el año 1573 de forma independiente la aproximación
$\pi \approx \cfrac{355}{113}$

a partir de las aproximaciones $\textstyle{\cfrac{377}{120}}$ de Ptolomeo y $\cfrac{22}{7}$ de Arquimedes.
Viète encontró una aproximación de $\pi$ con 10 decimales exactos.

Pero el matemático alemán Ludolph Van Ceulen llegó más allá. En 1596 publicó una aproximación de $\pi$ con 20 decimales exactos, obtenida a partir de un polígono de 15 lados y duplicando sucesivamente el número de lados 37 veces. Pero fue más adelante cuando Van Ceulen encontró la aproximación que impresionó a sus sucesores. Mediante un polígono regular de $2^{62}$ lados Van Ceulen obtuvo una aproximación de $\pi$ con 35 decimales exactos. Según parece, su viuda hizo grabar en la tumba de Van Ceulen dicha aproximación:

$3,14159265358979323846264338327950288$

Fuente:

Historia de la matemática, de Carl B. Boyer.
Ludolph Van Ceulen en la Wikipedia española.

Autor: ^DiAmOnD^ | Publicado el 1 de September de 2010
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Categorías: Pi, ¿Sabía que ...?

El número plateado

El número de oro (número áureo, proporción áurea…) puede definirse como la mayor solución real de la ecuación $x^2-x-1=0$ . Concretamente, como seguro que muchos de vosotros sabéis, su valor es:

$\phi=\cfrac{1+\sqrt{5}}{2}$

De este número ya hemos hablado por aquí en más de una ocasión: lo presentamos, también hablamos de él y su inverso y comentamos algunas de sus curiosidades.

Bien, pues éste no es el único número que merece un adjetivo relacionado con un metal precioso. En esta entrada vamos a presentar al número plateado (o número de plata) y también vamos a comentar algunas de sus curiosas e interesantes propiedades.
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