Pi | Gaussianos

Cadaeic Cadenza

El usuario 2pir ha propuesto este artículo en Menéame. Si queréis menearlo entrad aquí: Cadaeic Cadenza en Menéame.

Este artículo me lo inspiró agcp26 en este comentario en el post Mnemotecnia y Pi.

No, no me he equivocado en el título. ¿Qué es el Cadaeic Cadenza? Para empezar vamos a ver una cosa curiosa:

Mediante la asociación A=1, B=2, C=3, D=4, E=5, F=6, G=7, H=8, I=9 obtenemos lo siguiente:

C A D A E I C
3 1 4 1 5 9 3

Poniendo una coma decimal después del primer 3 tenemos… $3,141593$ . Es decir, obtenemos el número $\pi$ redondeado a seis decimales. Curioso, ¿verdad? ¿Casualidad? Veremos más adelante que no.

Para la palabra cadenza he encontrado esta posible explicación: Cadenza en MSN Encarta.

(Leer el resto del post)

Autor: ^DiAmOnD^ | Publicado el 6 de Septiembre de 2007 | 9 Comentarios
Categorías: Curiosidades, Pi

Probabilidad de escoger dos números coprimos

Hace ya más de un año os comentaba en esta entrada (la tercera de Gaussianos) cuál era la probabilidad de que al escoger al azar dos números naturales (mayores que 1) éstos fueran coprimos (primos relativos). Esta probabilidad es $\cfrac{6}{\pi^2}$ , pero no daba la demostración de este hecho. Este post va a servir para ello.

Teorema: La probabilidad de que al escoger al azar dos números naturales $x,y \ge 2$ sean coprimos (primos relativos) es $\cfrac{6}{\pi^2}$

Demostración

Supongamos que escogemos al azar dos números naturales $x,y \ge 2$ y menores que una cierta cota. Para que sean coprimos no deben tener ningún factor primo común.

Al escoger un número mayor o igual que 2, la probabilidad de que contenga al 2 como factor es $\frac{1}{2}$ . Al escoger dos números, la probabilidad de que los dos contengan al 2 como factor es $(\frac{1}{2})^2$ . Por tanto, la probabilidad de que no lo contengan a la vez los dos números es:

$p_2=1- (\frac{1}{2})^2$

Para el 3, la probabilidad de que un número lo contenga como factor es $\frac{1}{3}$ . Por analogía, la probabilidad de que no lo contengan los dos números a la vez será:

$p_3=1- (\frac{1}{3})^2$

Al ser estos hechos sucesos independientes la probabilidad de la intersección es el producto de las probabilidades. Aplicando este hecho obtenemos que la probabilidad de que dos números escogidos al azar sean coprimos es el producto de estos $p_i$ . Esto es:

$P=(1-(\frac{1}{2})^2)(1-(\frac{1}{3})^2) \cdots (1-(\frac{1}{n})^2)$

Tomamos $n$ hasta la raíz cuadrada de la cota superior.

Haciendo $n\to\infty$ obtenemos la probabilidad buscada.

Para calcularla utilizaremos la fórmula de la suma de una progresión geométrica. Esta fórmula es:

$\displaystyle\sum_{n=0}^\infty {a^n}=1+a+a^2+ \cdots a^k+ \cdots =\cfrac{1}{1-a}$

Por ejemplo, para el primer término tomamos $a=(\frac{1}{2})^2$ y damos la vuelta a la fórmula anterior:

$1-(\frac{1}{2})^2= \frac{1}{1+(\frac{1}{2})^2+(\frac{1}{2})^4+ \cdots +(\frac{1}{2})^{2k}}$

Haciendo lo mismo con todos los números primos nos queda lo siguiente:

$P= \cfrac{1}{1+(\frac{1}{2})^2+(\frac{1}{2})^4+ \cdots +(\frac{1}{2})^{2k}} \cfrac{1}{1+(\frac{1}{3})^2+(\frac{1}{3})^4+ \cdots +(\frac{1}{3})^{2k}} \cdots$

Ya estamos cerca.

Miremos ahora qué pasaría si multiplicáramos todas las fracciones y desarrolláramos todos los productos. El resultado sería una fracción cuyo numerador es $1$ y cuyo denominador es una suma de fracciones. ¿Qué tienen de particular esas fracciones? Pues muy sencillo: todas ellas tienen numerador $1$ y denominador un cuadrado perfecto. De hecho hay más: haciendo $k,n\to\infty$ tenemos que en el denominador aparece la suma de los inversos de los cuadrados perfectos de todos los números naturales. Es decir, que esa probabilidad tiende a una fracción cuyo numerador es $1$ y cuyo denominador es la suma de los inversos de los cuadrados perfectos de todos los números naturales. ¿Os suena esa suma? ¡Exacto!: El problema de Basilea. El valor de esta suma es bien conocido:

$\displaystyle 1+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+ \cdots +\frac{1}{k^2}+ \cdots=\sum_{n=1}^\infty {\cfrac{1}{n^2}}=\cfrac{\pi^2}{6}$

Por tanto tenemos:

$P=\cfrac{1}{\displaystyle\sum_{n=1}^\infty {\cfrac{1}{n^2}}}=\cfrac{1}{\frac{\pi^2}{6}}=\cfrac{6}{\pi^2}$

Esto es:

La probabilidad de que al elegir dos números naturales mayores o iguales que 2 sean primos relativos es
$P=\cfrac{6}{\pi^2}$

q.e.d.

Fuente: MENSA

Autor: ^DiAmOnD^ | Publicado el 20 de Agosto de 2007 | 77 Comentarios
Categorías: Demostraciones, Estadística, Números primos, Pi

Mnemotecnia y e

Ayer publicaba una frase para poder recordar las primeras cifras del número $\pi$ y el número $e$ no podía ser menos. En El Espejo Lúdico encuentro una frase para este número:

El trabajo y esfuerzo de recordar e revuelve mi estómago, pero podré acordarme. Será fácil si leo todas las frases. La repetida canción será cantada y así verás el número huevón

Como en el otro caso cada cifra corresponde con el número de letras de cada palabra de la frase.

¿Conocéis alguna más aparte de éstas y de las dos que ya podíamos ver en este post? Si es así comentadlas. Y si alguien tiene tiempo y se dedica a crear alguna que me lo diga y se la publico.

Autor: ^DiAmOnD^ | Publicado el 16 de Agosto de 2007 | 5 Comentarios
Categorías: Otras constantes

La constante de Euler-Mascheroni

En Matemáticas hay varias constantes, digamos, extrañas que son muy conocidas, como por ejemplo el número pi y el número e. Quien más quien menos las conoce y ha trabajado con ellas. Pero también hay constantes interesantes que no son tan conocidas. En este post vamos a hablar de una de ellas: la constante de Euler-Mascheroni, que se representa con la letra griega gamma: $\displaystyle\gamma$ .

Esta constante se define de la siguiente forma:

$\mathbf{\displaystyle\gamma=\lim_{n \rightarrow \infty }\left( \sum_{k=1}^n \frac{1}{k}-\ln(n) \right)}$

Es decir, $\displaystyle\gamma$ se define como el límite de la diferencia de la sucesión de sumas parciales de la serie armónica y el logaritmo neperiano.

Otras formas de definirla son las siguientes:

$\displaystyle\gamma=\int_1^\infty\left({1\over\lfloor x\rfloor}-{1\over x}\right)\,dx=- \int_0^\infty { \ln(x) \over e^x }\,dx$

Su valor aproximado es: $\displaystyle\gamma \simeq 0,577\;215\;664\;901\;532\;860\;607\;\ldots$

No se sabe si $\displaystyle\gamma$ es un número racional. Lo que sí se conoce es que si lo fuera su denominador sería mayor que 10²⁴²⁰⁸⁰. Casi nada.

En diciembre del año 2006 Alexander J. Yee calculó la constante de Euler-Mascheroni con más de 116 millones de cifras decimales, récord para este número. En esta página podéis ver este récord y descargar un archivo con el número en cuestión. Pero cuidado, ocupa 52 megas. Vía Microsiervos.

Vamos a ver algunas expresiones más en las que aparece $\displaystyle\gamma$ :

Integrales cuyo resultado es $\displaystyle\gamma$

$\displaystyle\gamma=-\int_0^1 { \log\log\left (\frac{1}{x}\right ) }\,dx$

$\displaystyle\gamma= \int_0^\infty { \frac{1}{x} \left ( \frac{1}{1+x}-e^{-x} \right ) }\,dx$

Integrales que involucran a $\displaystyle\gamma$

$\displaystyle\int_0^\infty { e^{-x^2} \log x }\,dx = -\tfrac14(\gamma+2 \log 2) \sqrt{\pi}$

$\displaystyle\int_0^\infty { e^{-x} \log^2 x }\,dx = \gamma^2 + \frac{\pi^2}{6}$ (¿os suena ese $\displaystyle\frac{\pi^2}{6}$ ?)

Relación con $\displaystyle \log{\frac{4}{\pi}}$

$\displaystyle\gamma = \int_{0}^{1}\int_{0}^{1} \frac{x-1}{(1-x\,y)\log(x\,y)} \, dx\,dy = \sum_{n=1}^\infty \left ( \frac{1}{n}-\log\frac{n+1}{n} \right )$

$\displaystyle log \left ( \frac{4}{\pi} \right ) = \int_{0}^{1}\int_{0}^{1} \frac{x-1}{(1+x\,y)\log(x\,y)} \, dx\,dy = \sum_{n=1}^\infty (-1)^{n-1} \left( \frac{1}{n}-\log\frac{n+1}{n} \right)$

Relación con la función $\displaystyle\Gamma$

$\displaystyle\gamma = \lim_{n \to \infty} \left [ \frac{ \Gamma(\frac{1}{n}) \Gamma(n+1)\, n^{1+1/n}}{\Gamma(2+n+\frac{1}{n})} - \frac{n^2}{n+1} \right ]$

Relación con el número e

$\displaystyle e^\gamma = \lim_{n \to \infty} \frac {1} {\log p_n} \prod_{i=1}^n \frac {p_i} {p_i - 1}$

siendo $p_n$ el n-ésimo número primo.

El valor de este número es:

$\displaystyle e^\gamma =1.78107241799019798523650410310717954916964521430343\ldots$

Mezclando las tres constantes

$\displaystyle\frac{e^{1+\gamma /2}}{\sqrt{2\,\pi}} = \prod_{n=1}^\infty e^{-1+1/(2\,n)}\,\left (1+\frac{1}{n} \right )^n$

Como podéis ver la constante de Euler-Mascheroni será poco conocida pero no se le puede achacar que tenga poco protagonismo en Matemáticas. Si queréis ver más expresiones en las que aparece no tenéis más que consultar los enlaces que os dejo abajo.

Fuentes:

Constante de Euler-Mascheroni en la Wikipedia
Euler-Mascheroni Constant en la Wikipedia (inglés)
Euler-Mascheroni Constant en MathWorld

Autor: ^DiAmOnD^ | Publicado el 16 de Julio de 2007 | 10 Comentarios
Categorías: Otras constantes

¿Sabía que…

…las siguientes potencias relacionadas con la unidad imaginaria i

i elevado a i y raíz i de i

en realidad son números reales?

Para comprobarlo necesitamos conocer la siguiente propiedad de los logaritmos: log(a^b)=b log(a). Vamos con las dos demostraciones:

Primera potencia

Valor de i elevado a i

Segunda potencia

Valor de raíz i de i

Conclusión

Al ver las demostraciones es bastante evidente lo expuesto al comienzo del post, pero no deja de ser curioso que dos números formados de esa manera únicamente con la unidad imaginaria acaben siendo números reales. Y, cómo no, con el número π apareciendo por ahí en medio, como casi siempre.

Autor: ^DiAmOnD^ | Publicado el 10 de Julio de 2007 | 10 Comentarios
Categorías: Demostraciones, Números complejos, Pi

Cómo probar que 22/7 es mayor que π

Arquímedes demostró en su obra Sobre la medida del círculo la siguiente desigualdad relacionada con el número π:

Desigualdad de Arquímedes para π

Podéis comprobar con la calculadora que la desigualdad es totalmente cierta.

El genio griego utilizó para ello polígonos inscritos y circunscritos a una circunferencia.

El número 22/7 se tiene desde entonces como una gran aproximación del número π teniendo en cuenta lo simple que es la fracción y las pocas herramientas de las que se disponía en aquella época. En este post vamos a ver una demostración de que este cociente es mayor que π utilizando integrales:
(Leer el resto del post)

Autor: ^DiAmOnD^ | Publicado el 18 de Junio de 2007 | 13 Comentarios
Categorías: Demostraciones, Pi

Algoritmos para el cálculo de Pi

En toda la historia se han descubierto/creado muchas maneras para calcular aproximaciones del número Pi. En el post del día de Pi ya vimos algunas aproximaciones numéricas. Hoy os traigo dos algoritmos para el cálculo de aproximaciones de Pi. Vamos con ellos:

Algoritmo de Gauss-Legendre:
Partimos de los siguientes datos iniciales:

A partir de ellos realizamos la siguientes operaciones:

Entonces Pi se aproxima de la siguiente forma:

El método tiene convergencia de segundo orden. Es decir, en cada iteración duplicamos el número de dígitos exactos obtenidos en la iteración anterior.
Algoritmo de Borwein:
Partimos de los siguientes datos iniciales:

Con ellos operamos de la siguiente forma:

Entonces se tiene lo siguiente:

La convergencia de este método es cuártica. Es decir, en cada iteración se consiguen el cuádruple de dígitos exactos que en la iteración anterior. Existen variaciones de este método que consiguen en cada iteración muchos más dígitos exactos. En este enlace de la Wikipedia inglesa podéis ver algunas de ellas.

Evidentemente existen muchísimos más. Y también muchas fórmulas que involucran a Pi mediante las cuales podemos calcular aproximaciones de este número. Más adelante irán apareciendo en este blog muchas más. Se aceptan sugerencias en los comentarios.

Autor: ^DiAmOnD^ | Publicado el 11 de Junio de 2007 | 33 Comentarios
Categorías: Pi

Mazda Pi

Comenzamos la semana con una imagen curiosa. El amor por las Matemáticas puede provocar situaciones muy curiosas. En este caso el protagonista es el número Pi y el lugar donde lo vemos es la parte trasera de un Mazda 3. El propietario decidió añadir al lado del 3 un punto y los 27 primeros decimales del número Pi. La cosa quedó así:

Mazda 3 y el número Pi

Cuanto menos curioso.

Visto en Webmaniacos.

Y ya lanzo una pregunta: ¿conocéis otros casos parecidos a éste? Es decir, ¿sabéis de algún sitio o lugar en el que se haya inscrito de alguna manera un número o una fórmula? Espero vuestras respuestas.

Autor: ^DiAmOnD^ | Publicado el 28 de Mayo de 2007 | 18 Comentarios
Categorías: Humor matemático, Pi

El día de π (II)

Completamos la información sobre el día de π con algunos enlaces más:

Wallpaper de π a 1024×768 visto en freeman seagull que lo sacó de demasiada cafeína:

El día de π en Microsiervos
π.com traducido como xn--1xa.com
El día de pi en la Wikipedia española y en la Wikipedia inglesa
El día de π en el periódico 20 Minutos

Por cierto, por si no os habéis dado cuenta os lo digo aquí: hemos aprovechado este día para crear una nueva categoría en el blog dedicada exclusivamente a π: Categoría π. En ella encontraréis todos nuestros posts relacionados con este número (si encontráis alguno antiguo que no esté en la categoría avisadnos con un comentario).

Autor: ^DiAmOnD^ | Publicado el 14 de Marzo de 2007 | 10 Comentarios
Categorías: Pi

El día de π

Hoy 14 de marzo es, como todos los años el día de π. Supongo que casi todo el mundo sabe por qué, pero por si acaso lo aclaro: según la forma de expresar las fechas en los países anglosajones hoy es 3-14.

INCISO: Aunque el día de la aproximación de π se celebra el 22 de julio, ya que 22/7 = 3′14285714, buena aproximación de π con 2 decimales.