En más de una ocasión hemos comentado que la serie armónica es divergente, esto es, que la suma de la siguiente serie
es infinito. Pero también hemos visto que cambiando los signos de algunos de los términos el resultado de la suma puede ser un número real. Por ejemplo, si cambiamos los signos de los términos que están colocados en posiciones pares obtenemos una serie cuya suma es 
:
De hecho vimos en Reordenando, que es gerundio que a partir de esta última serie podíamos obtener cualquier número real reordenando sus términos convenientemente.
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Autor: ^DiAmOnD^ | Publicado el 14 de marzo de 2012
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Categorías: Pi
Muy bueno el rap del grupo Rhyme ‘n Learn dedicado al número pi. Aquí tenéis el estribillo:
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Autor: ^DiAmOnD^ | Publicado el 15 de enero de 2012
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Categorías: Pi, Vídeos
Hay entes matemáticos que, por alguna misteriosa razón, necesitan tener protagonismo, necesitan sentirse importantes. Para conseguirlo intentan por todos los medios aparecer en cualquier situación, en cualquier lugar. O al menos eso parece.
Uno de ellos, como ya sabemos, es el número 
, al que podemos encontrar en los lugares más insospechados (como en la probabilidad de escoger dos números primos relativos). El número 
no le va a la zaga, también aparece en lugares donde no se le espera (el matching problem es un buen ejemplo). Y, sin lugar a dudas, el número áureo, 
, y, en general, la sucesión de Fibonacci poseen la misma característica. La podemos encontrar junto al triángulo de Pascal, en animales y tarjetas o en otras situaciones relacionadas con la naturaleza. Pero, ¿en un fractal? Pues sí amigos, la sucesión cuyo estudio comenzó Leonardo de Pisa, Fibonacci, es otro de esos conceptos matemáticos que nunca dejarán de sorprendernos.
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Autor: ^DiAmOnD^ | Publicado el 14 de enero de 2012
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Categorías: Fractales, Otras constantes, Pi
Hay números, digamos, extraños que de una forma u otra se empeñan en aparecer en los lugares más inesperados. Uno de ellos, sin lugar a dudas es (Pi), cuyas apariciones son cuanto menos sorprendentes. El número e y , el número áureo, son otras dos constantes interesantes en este sentido. Hoy vamos a ver una aparición de esta última, que no por conocida deja de ser inesperada.
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Autor: ^DiAmOnD^ | Publicado el 1 de diciembre de 2011
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Categorías: Otras constantes
¿Recordáis la imagen del Mazda Pi que publiqué hace unos años? Sí, un Mazda 3 en el que, a partir del 3, se había añadido un punto y después los primeros 27 decimales de Pi. Bien, pues ahora en SoyGik nos traen otro Mazda Pi, de California en esta ocasión:
En la imagen se pueden ver 39 decimales de Pi añadidos en la parte trasera del coche. La verdad es que la modificación es bastante friki-matemática…pero hay un pequeño error: los dos últimos decimales que aparecen están cambiados de lugar, es decir, los decimales que se han colocado en el coche deberían terminar en …84197 en vez de …84179. Aquí tenéis un par de enlaces donde aparecen los decimales correctos.
Bueno, salvo ese pequeño error, al dueño del coche le ha quedado bastante bien.
¿Conocéis alguna otra modificación del estilo a ésta?
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Autor: ^DiAmOnD^ | Publicado el 11 de noviembre de 2011
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Categorías: Humor matemático, Pi
Neil Bickford, un niño de 13 años, batió el otoño pasado el récord de cálculo de términos de la fracción continua de Pi utilizando el programa Mathematica. Neil calculó 458 millones de términos, batiendo así el récord anterior que estaba en 180 millones, y utilizo Mathematica para crear el programa que los calculó y para verificar dichos cálculos.
Neil Bickford junto a Stephen Wolfram
En palabras del propio Bickford, este programa generador de términos de la fracción continua de pi es “lo mejor para lo que he usado Mathematica”.
Pero esto no es lo único de lo que es capaz Neil Bickford: también ha creado juegos y pasatiempos lógicos. Esta afición comenzó en Neil a los 10 años a partir de algunos libros de puzles de Ivan Moscovich.
Más información en From Pi to Puzzles, de Wolfram Blog, y en Numberplay: a triplet of time puzzles, del blog del New York Times Wordplay.
Recordemos que en Gaussianos ya hemos hablado sobre fracciones continuas, dando además algunas interesantes.
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Autor: ^DiAmOnD^ | Publicado el 28 de septiembre de 2011
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Categorías: Informática, Pi
The Golden Ratio Project es un experimento que están llevando a cabo Antonio y Alfredo con el objetivo de comprobar si de verdad el número tiene bien ganado el apelativo de divina proporción, o si, por el contrario, existen diferencias significativas en la concepción de belleza en relación con las proporciones.
Hace unos días se pusieron en contacto conmigo para explicarme de qué iba su proyecto. Reproduzco aquí las partes del mail que me enviaron en las que se habla del proyecto para que quede todo más claro (las negritas son mías):
Nos ponemos en contacto con ustedes para proponerles un experimento que acabamos de lanzar en Internet. La intención es comprobar si la reputación del número áureo es merecida. Como ustedes saben, dicha proporción áurea se definió en la Grecia Clásica y no fue hasta la época romántica cuando se rescató para ser encumbrada como ideal de belleza. En este proceso realmente nunca se ha tenido en cuenta la opinión de la gente, y eso precisamente es lo que pretendemos hacer, mediante un sencillo juego visual en el que se pide elegir entre dos rectángulos.
Un algoritmo genético toma esas decisiones como input para extraer la proporción más bella ¿Será la proporción áurea, o será otra? ¿será la misma en África que en Australia? Pretendemos responder a estas y otras preguntas.
Es necesario un número significativo y sostenido de visitas para tener una base estadística representativa. Carecemos de afán de lucro: nos mueven las ganas de experimentar y conocer. Por todo esto agradeceríamos mucho que accedieran a nuestra web y valoraran si creen interesante hacer referencia a ella en su blog, del que somos seguidores. Nosotros se lo agradeceríamos enormemente puesto que es lo que necesitamos para empezar a ganar relevancia en los buscadores de Internet. Pueden encontrar nuestro experimento en www.goldenratioproject.org.
Todavía no disponen de resultados que puedan dar algo de luz al asunto, que nos puedan contar algo sobre los gustos de la gente a la hora de elegir un rectángulo. Conforme vayan teniendo resultados interesantes de publicar los irán sacando.
Por si alguien quiere tener una idea sobre cómo es el algoritmo que usan os dejo aquí también un texto que me han enviado sobre ello:
Aunque nos enteramos una vez arrancado el proyecto, la idea de comprobar empíricamente si la proporción áurea es la más bella para el ser humano no es nueva. En el siglo XIX, Gustav Theodor Fechner, un psicólogo alemán, realizó ya un experimento parecido. En él enseñaba a diversos individuos una colección cerrada de rectángulos y les pedía elegir los que más les gustaban. Entre ellos se encontraban rectángulos con proporciones áureas o cuasi-áureas y parece ser que efectivamente éstos fueron los más exitosos.
Nuestro experimento comienza con una colección de rectángulos elegida al azar. El tamaño de dicha colección está definido en base al objetivo de visitas mensuales que nos hemos fijado a priori. Si este número fuera significativamente mayor o menor, hemos parametrizado el algoritmo para revisar el tamaño al alza o a la baja, según correspondiera. Cuando logremos un volumen de visitas estable y significativo fijaremos este parámetro definitivamente. La selección de padres para la siguiente generación la haremos en base al porcentaje de juegos ganados por cada rectángulo de la colección. El cruce es una combinación lineal convexa de los padres con un peso al azar y hemos fijado un umbral de mutación en el rango medio/alto de un algoritmo genético convencional. Esto lo hacemos porque queremos explorar siempre un rango amplio de proporciones. En nuestro caso la función a optimizar no existe pues se trata de una función de “belleza universal” que no tiene representación matemática. De hecho, si existiera, nuestro experimento no tendría sentido. De una generación a otra preservamos siempre la proporción mejor valorada. En la terminología de los algoritmos genéticos, hemos implementado un elitismo igual a uno.
En la versión actual del algoritmo no vamos a segmentar los resultados por zonas geográficas pero cuando el volumen de alguna sea significativo, iremos abriéndolos por ellas. Tenemos mucha curiosidad por saber si los africanos tienen el mismo ideal de belleza que los asiáticos, por poner un ejemplo.
Nuestro proyecto nunca acaba: la idea es ir publicando regularmente la evolución del óptimo y que todos podamos comprobar si éste converge o no a la proporción áurea. Por supuesto, puede que algoritmo no converja (según los criterios de parada que hemos definido) o que lo haga a alguna proporción significativamente distinta a la áurea. Creemos que estos resultados son también muy interesantes.
Y ya para finalizar, agradecemos enormemente cualquier comentario, crítica o sugerencia. Para ello hemos habilitado el apartado correspondiente en la web.
Espero que os haya parecido interesante la idea y corráis a su web a realizar el test.
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Autor: ^DiAmOnD^ | Publicado el 10 de agosto de 2011
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Categorías: Noticias, Otras constantes
Que 
es un número irracional (es decir, que no puede escribirse como una fracción donde el numerador y el denominador sean números enteros) es de sobra conocido por todos. De hecho existen muchas demostraciones de este resultado. Hay una muy conocida que utiliza reducción al absurdo y que es muy sencilla de comprender, y otra, quizás menos conocida, que utiliza descenso infinito. Las dos pueden consultarse en Dos demostraciones de la irracionalidad de raíz de 2.
Estas dos demostraciones son algebraicas: en ellas se utilizan propiedades de los conjuntos numéricos, números primos, factorización, divisibilidad…Lo que os traigo hoy es una demostración geométrica de la irracionalidad de que en cierto modo es equivalente a la que acabamos de citar que usa descenso infinito, pero que podría considerarse mucho más bella, por ser esencialmente geométrica, y más sencilla de comprender.
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Autor: ^DiAmOnD^ | Publicado el 2 de agosto de 2011
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Categorías: Demostraciones, Otras constantes, Teoremas
¿Recordáis el problema de los cuatro cuatros? Sí, ese problema en el que se pedía expresar todos los números naturales del 1 al 100 utilizando exactamente cuatro cuatros y pudiendo usar ciertas operaciones entre ellos. Pues, como sabréis los seguidores antiguos del blog, en Gaussianos conseguimos terminar la lista. Fue un gran logro, sobre todo por el brillante 73 que consiguió homero.
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Autor: ^DiAmOnD^ | Publicado el 6 de junio de 2011
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Categorías: Números enteros, Pi
Segunda entrada de hoy relacionada con el día de Pi (como no podía ser menos). Después de conocer a algunos matemáticos que nacieron un día de Pi, 14 de marzo, vamos a ver ahora una relación existente entre y el conjunto de Mandelbrot…
(Hipotético) Lector (que no tiene por qué conocer el 100% de los aspectos relacionados con Pi): Un momento, un momento…Veamos. Pase que aparezca en las situaciones más insospechadas, como en la probabilidad de que dos números elegidos al azar sean coprimos, o en un experimento con una aguja, o hasta en ciertas series infinitas, pero ¿qué pinta junto al conjunto de Mandelbrot? Venga ya, ¿también va a aparecer en este fractal?
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Autor: ^DiAmOnD^ | Publicado el 14 de marzo de 2011
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Categorías: Carnaval de matematicas, Fractales, Pi
