Teoremas | Gaussianos

El teorema de Wilson

Introducción

El teorema de Wilson es un resultado de teoría de números relacionado con la primalidad de un número entero positivo. Fue atribuido a John Wilson por su profesor Edward Waring. Éste último comentó que Wilson había dejado anotado este resultado en un cuaderno pero que no lo había demostrado (os suena esta historia, ¿verdad?). El propio Waring tampoco pudo hacerlo y tuvo que ser Lagrange en 1771 quien dio la primera prueba.

En esta entrada vamos a dar una sencilla demostración que utiliza propiedades más o menos elementales de teoría de números.

El teorema de Wilson

Teorema: Sea $p$ un número entero mayor que 1. Entonces $p$ es primo si y sólo si

$(p-1)! \equiv -1 \; (mod \; p)$

Demostración:

De forma sencilla puede comprobarse que este resultado es cierto para $p=2$ y para $p=3$ . Supongamos entonces que $p > 3$ .

Para demostrar la implicación de derecha a izquierda (si $(p-1)! \equiv -1 \; (mod \; p)$ entonces $p$ es primo) vamos a demostrar su contrarrecíproco, es decir, vamos a demostrar que si $p$ es compuesto entonces no se cumple esa igualdad:

$\Longleftarrow)$ Supongamos que $p$ es compuesto. Entonces sus divisores positivos se encuentran entre los enteros $1,2, \ldots ,p-1$ . Por tanto es claro que $mcd ((p-1)!,p$ >1$. En particular $p$ tiene algún divisor $d > 1$ .

Supongamos ahora que el resultado es cierto, es decir, que $(p-1)! \equiv -1 \; (mod \; p)$ . Como $d$ divide a $p$ entonces $d$ también divide a $(p-1)!$ y, por la congruencia, $d$ divide a $(p-1)!+1$ . Por tanto $d$ divide a 1, hecho que nos lleva a una contradicción con la condición $d >1$ . En consecuencia la implicación de derecha a izquierda es cierta.

$\Longrightarrow)$ Supongamos ahora que $p$ es primo. Por tanto todos los enteros $1,2, \ldots , p-1$ son primos relativos con $p$ . Por otra parte ese conjunto de números forma un grupo con la multiplicación, en concreto el grupo $\mathbb{Z}_p$ de los enteros módulo $p$ (en realidad, al ser $p$ primo ese conjunto es un cuerpo, pero ahora sólo nos interesa su condición de grupo con esa operación). Entre otras cosas eso significa que para todo $a \in \mathbb{Z}_P$ existe un único $b \in \mathbb{Z}_p$ tal que $a \cdot b \equiv 1 \; (mod \; p)$ . También por ser $p$ primo se tiene que $a=b$ si y sólo si $a=1$ ó $a=p-1$ , es decir, $1$ y $p-1$ son inversos el uno del otro. Por tanto para cualquier otro elemento del grupo distinto de éstos se tiene que su inverso también es distinto de éstos. En consecuencia podemos agrupar el resto de elementos por parejas (cada uno junto a su inverso) para que se cumpla lo siguiente:

$2 \cdot 3 \cdot \ldots \cdot p-2 \equiv 1 \; (mod \; p)$

Esto es, $(p-2)! \equiv 1 \; (mod \; p)$ . Multiplicando ahora a ambos lados por $(p-1)$ y utilizando que $p-1 \equiv -1 \; (mod \; p)$ obtenemos el resultado buscado.

Utilidad del teorema

El teorema tiene principalmente valor teórico ya que en la práctica es relativamente complicado calcular $(p-1)!$ para valores grandes de $p$ . Por eso generalmente antes que este teorema suelen usarse otros tests de primalidad, como el pequeño teorema de Fermat.

De todas formas es útil para generar a partir de él fórmulas de primos, es decir, fórmulas que generar números primos (en Gaussianos ya vimos algo así con los números primos pseudogemelos). Aunque, como en el caso anterior, suelen ser fórmulas poco prácticas por lo costoso que es calcular $(p-1)!$ para $p$ muy grande.

De todas formas, como dije antes, la belleza del resultado reside en su valor teórico. Y algunas, en ocasiones, tenemos suficiente con ello.

Fuentes:

Prime Pages
Wilson theorem en la Wikipedia (en inglés)

Autor: ^DiAmOnD^ | Publicado el 20 de Octubre de 2008 | 3 Comentarios
Categorías: Demostraciones, Números enteros, Números primos, Teoremas

Zapatillas del último teorema de Fermat

Estoy seguro de que todos sabéis la historia del último teorema de Fermat (¿tú no? pues pincha aquí). Pero estoy seguro de que muy poca gente (quizá nadie) sabía de la existencia de estas zapatillas:

Zapatillas del último teorema de Fermat

En ellas, al parecer, podemos ver parte (para ponerla entera necesitarían un zapato algo grande) de la demostración del último teorema de Fermat. Pueden adquirirse en Zazzle por 60 $.

Os recomiendo que le echéis un ojo a la web. En ella puedes crear tu propio diseño y comenzar a venderlo. Por tanto tienen muchísimos artículos (camisetas, zapatillas, tarjetas, sombreros, bolsas, calendarios…) relacionados con muchísimos temas (animales, ciencia, tecnología, religión, naturaleza, política…). En particular, tienen muchísimas cosas relacionadas con matemáticas y más en concreto con demostraciones matemáticas. Muy curioso todo, la verdad.

Lo vi en Sí, lo sé (gracias por enviármelo Nadym).

Autor: ^DiAmOnD^ | Publicado el 12 de Septiembre de 2008 | 8 Comentarios
Categorías: Humor matemático, Teoremas

El teorema de Pick

El teorema de Pick es un resultado geométrico cuanto menos curioso, si no sorprendente. Nos permite calcular de forma muy sencilla el área de un polígono que cumpla ciertas condiciones. Se debe al matemático austriaco Georg Alexander Pick que lo demostró en 1899.

Vamos con el enunciado del teorema:

Teorema: Supongamos que tenemos una cuadrícula en la que cada vértice corresponde a un punto del plano cuyas coordenadas son números enteros y sea $P$ un polígono simple (es decir, sin agujeros) que cumple que todos sus vértices están situados sobre vértices de la cuadrícula. Es decir, algo así:

Sea $i$ el número de vértices de la cuadrícula que quedan dentro del polígono y sea $f$ el número de vértices de la cuadrícula que están en algún lado del polígono, es decir, los puntos frontera que tienen sus dos coordenadas enteras. Entonces el área del polígono puede calcularse de la siguiente forma:

$A_P=i+ \cfrac{f}{2}-1$

En el ejemplo que aparece en la imagen, $i=40$ y $f=12$ . Por tanto $A_P=40+ \textstyle{\frac{12}{2}}-1=45$ (unidades cuadradas).

Demostración:

Vamos a demostrar este resultado por inducción:

Sea $P$ un polígono simple y $T$ un triángulo con un lado común con $P$ . Asumimos que el teorema es cierto para $P$ y para $T$ de forma separada y demostremos que también es cierto para el polígono $PT$ conseguido a partir de $P$ añadiendo $T$ . Como $P$ y $T$ comparten un lado, todos los puntos frontera a lo largo del lado común, excepto los puntos extremos del lado, se convierten en puntos interiores de $PT$ . Por tanto, llamando $c$ al número de puntos frontera en común, tenemos que $i_{PT}=(i_P+i_T)+(c-2)$ y $f_{PT}=(f_P+f_T)-2(c-2)-2$ . De ello obtenemos que $(i_P+i_T)=i_{PT}-(c-2)$ y $(f_P+f_T)=f_{PT}+2(c-2)+2$ .

Como asumimos que el teorema es cierto para $P$ y $T$ de forma separada:

$\begin{matrix} A_{PT}=A_P+A_T= \\ =(i_P+ \cfrac{f_P}{2}-1)+(i_T+ \cfrac{f_T}{2}-1) = (i_P+i_T)+\cfrac{f_P+f_T}{2}-2= \\ = i_{PT}-(c-2)+ \cfrac{f_{PT}+2(c-2)+2}{2}-2 = i_{PT}+\cfrac{f_{PT}}{2}-1 \end{matrix}$

Por tanto, el polígono $A_{PT}$ cumple el teorema.

Se sabe que en dos dimensiones cualquier polígono puede ser triangulado. Por tanto, lo que hemos obtenido es que si el teorema es cierto para un triángulo $T$ y para un polígono formado por $n$ triángulos también lo es para un polígono formado por $n+1$ triángulos.

El último paso de la demostración es comprobar que el resultado es cierto para cualquier triángulo. Veámoslo:

Es fácil ver que el teorema se cumple para cualquier cuadrado de lado 1 (¿de verdad es fácil?). De aquí se deduce que es correcto para cualquier rectángulo con sus lados paralelos a los ejes. A partir de ésto deducimos que la fórmula es cierta para triángulos rectángulos obtenidos a partir de un rectángulo mediante un corte por una de sus diagonales.

Ahora, cualquier triángulo puede convertirse en un rectángulo añadiendo como mucho tres triángulos rectángulos. Como la fórmula es correcta para los triángulos rectángulos y para el rectángulo también lo es para cualquier triángulo.

Con esto concluye la inducción.

Hemos comentando anteriormente que el teorema es válido para polígonos simples, es decir, sin agujeros. Hay una generalización para cualquier polígono en la cual el $-1$ de la fórmula se sustituye por $- \chi (P)$ , es decir, la característica de Euler de $P$ .

Por otra parte, una superficie llamada el tetraedro de Reeve (de la cual no he encontrado información) demuestra que el teorema de Pick no se puede generalizar a tres dimensiones. Sin embargo, para dimensiones superiores sí hay una generalización vía polinomios de Ehrhart.

Fuente:

Pick’s Theorem en la Wikipedia (en inglés)

Autor: ^DiAmOnD^ | Publicado el 18 de Agosto de 2008 | 11 Comentarios
Categorías: Demostraciones, Geometría, Teoremas

El teorema de Morley

Este artículo es una colaboración de Fede enviada por mail a gaussianos (arroba) gmail (punto) com

Tenemos en la figura un triángulo ABC en negro, con los trisectores interiores de cada ángulo en gris y los trisectores exteriores de cada ángulo en verde.

morleypres4-r2

En 1899 Frank Morley descubrió el resultado que ahora se conoce como teorema de Morley:

Los puntos de intersección de los trisectores de los ángulos de cualquier triángulo ABC determinan triángulos equiláteros

En la imagen podemos verlos en azul:

- Los trisectores interiores adyacentes a cada lado se cortan en 3 puntos D, E y F que son los vértices de un triángulo equilátero.

- Los trisectores exteriores adyacentes a cada lado se cortan en 3 puntos G, H y I que son los vértices de un triángulo equilátero.

- El trisector interior por A adyacente al lado AB y el trisector exterior por B adyacente al lado AB se cortan en punto J. El trisector interior por A adyacente al lado AC y el trisector exterior por C adyacente al lado AC se cortan en punto K. Los trisectores exteriores por B y C adyacentes al lado BC se cortan en un punto G. Los puntos J, K y G son los vértices de un triángulo equilátero. Análogamente para los otros ángulos.

Podemos encontrar demostraciones del teorema de Morley en esta revista o en este sitio.

Como esas demostraciones son para el triángulo formado por las intersecciones de los trisectores interiores, damos una aquí para el triángulo formado por las intersecciones de los trisectores exteriores.

Si $\angle CBA = 3b$ , el ángulo entre los lados y los trisectores interiores y entre éstos es igual a $b$ y el ángulo entre los lados y los trisectores exteriores y entre éstos es igual a $\ 60^{\circ} - b$ .

Trisectores exteriores

morleylema2-r2

Demostramos que el triángulo formado por los trisectores exteriores adyacentes a cada lado es equilátero. Para ello usamos el siguiente lema:

Lema:

Sobre dos lados $PQ$ y $PR$ de un triángulo equilátero $PQR$ construimos hacia el exterior triángulos $PQH$ y $PRG$ como en la figura, de forma que $\angle PQH = \angle PRG = a,\ \ \angle RPG = b$ y $\ \angle QPH = c$ .
Reflejamos el triángulo $PQH$ sobre $PH$ para obtener el triángulo $PQ^\prime H$ y el triángulo $PRG$ sobre $PG$ para obtener el triángulo $PR^\prime G$ .

Lema:

En la construcción anterior, si $a + b + c = 60^{\circ}$ , los puntos $G$ y $H$ están en la recta $R^\prime Q^\prime$ y $\angle PGH = a + b$ .

Porque como $\angle R^\prime PQ^\prime = 2b + 60^{\circ} + 2c < 180^{\circ}$ y el triángulo $R^\prime PQ^\prime$ es isósceles, porque $PR^\prime$ y $PQ^\prime$ son iguales al lado del triángulo equilátero, tenemos que $\angle PR^\prime Q^\prime = \angle PQ^\prime R^\prime = a$ , porque $2a + 2b + 2c + 60^{\circ} = 180^{\circ}$ . Pero por construcción también $\angle PR^\prime G = \angle PQ^\prime H = a$ , luego los puntos $G$ y $H$ están en la recta $R^\prime Q^\prime$ .

Y por tanto $\angle PGH = 180^{\circ} - \angle PGR^\prime = 180^{\circ} - \angle PGR = a+b = 60^{\circ} - c$ .

morleyteor1-r2

Ahora, si tenemos un triángulo cualquiera $ABC$ , con $\ \angle BAC = 3a,\ \angle ABC = 3b,\ \angle BCA = 3c$ , construimos sobre los lados de un triángulo equilátero $PQR$ , triángulos $PRG$ , $PQF$ y $QPH$ haciendo ángulos $a,\ b,\ c,\ a,\ b,\ c$ con los lados del triángulo equilátero como en la figura.

Entonces, por el lema anterior, como $a + b + c = 60^{\circ}, \ \angle PGH = 60^{\circ}-c$ , $\ \angle RGF = 60^{\circ} - c$ . Pero como $\ \angle RGP = 120^{\circ} + c$ , resulta que $\begin{matrix} \ \angle FGH = \angle RGP - \angle PGH - \angle RGF = \\ = 120^{\circ} + c - (60^{\circ}-c) - (60^{\circ}-c) = 3c \end{matrix}$ .

De la misma forma obtenemos $\angle GFH = 3a$ y $\angle FHG = 3b$ . Por lo tanto el triángulo $FHG$ es semejante al triángulo $ABC$ . Pero como $\angle PGH = \angle RGF = 60^{\circ}-c$ , las lineas $GP$ y $GR$ son trisectores exteriores de $FHG$ , y también $FR$ , $FQ$ , $HQ$ y $HF$ . Y estos trisectores exteriores se cortan en $P$ , $Q$ y $R$ que son los vértices de un triángulo equilátero. Y como la semejanza preserva los ángulos, y $ABC$ es semejante a $FHG$ , en nuestro triángulo original $ABC$ también los puntos se intersección de los trisectores exteriores serán vértices de un triángulo equilátero, como queríamos demostrar.

Trigonométricamente se demuestra que el lado del triángulo equilátero formado por la intersección de los trisectores exteriores es $8R \ \mathrm{sen}(a+120^{\circ})\ \mathrm{sen}(b+120^{\circ})\ \mathrm{sen}(c+120^{\circ}),$ donde $R$ es el radio del círculo circunscrito.

La importancia de este teorema radica en que la trisección de un ángulo no es resoluble con regla y compás. Esta es la razón principal por la cual se cree que el enunciado y demostración de este teorema tan sencillo e intuitivo se le escapó a los griegos, ya que ellos no consideraban los resultados relacionados con operaciones que no pudieran hacerse con regla y compás, y no se publicó hasta finales del siglo XIX, cuando los matemáticos se atreven a considerar propiedades de figuras no construibles con estas normas.

Como última curiosidad, al parecer el propio Morley no estaba demasiado contento con el descubrimiento de este teorema, ya que los matemáticos del momento se centraron en él por su sencillez y por lo inesperado del resultado y dejaron a un lado el resto de sus trabajos.

Autor: ^DiAmOnD^ | Publicado el 28 de Enero de 2008 | 5 Comentarios
Categorías: Colaboraciones, Demostraciones, Geometría, Teoremas

Teoremas en una isla

Me gustó la pregunta que hizo Juán de Mairena en su blog hace un tiempo y con su permiso la voy a hacer yo también aquí:

¿Qué tres teoremas matemáticos os llevaríais a una isla desierta?

A mí al menos me valdría que vuestra respuesta estuviera justificada por la utilidad de los mismos, por su belleza, por su importancia en algún campo…Elegid vosotros la razón.

Autor: ^DiAmOnD^ | Publicado el 18 de Octubre de 2007 | 13 Comentarios
Categorías: Teoremas

Demostrando el teorema de Pitágoras con la fórmula de Herón

El teorema de Pitágoras es uno de esos resultados matemáticos que no necesitan presentación. Todos conocemos este teorema y muchos lo aplicamos continuamente. Pero ¿cuánta gente es capaz de recordar así a bote pronto una demostración de este hecho? Bueno, sí, tenemos la que publicamos hace un tiempo en este blog. Pero hay muchas más.

Probablemente la fórmula de Herón sea menos conocida para el público en general. En este artículo vamos a ver una demostración del teorema de Pitágoras a partir de la fórmula de Herón.

(Leer el resto del post)

Autor: ^DiAmOnD^ | Publicado el 16 de Octubre de 2007 | 30 Comentarios
Categorías: Aprenda como, Demostraciones, Geometría, Historia, Teoremas

El teorema de los cuatro cuadrados

A la vista de la interesante conversación sobre la expresión de un número natural como suma de cuatro cuadrados que se ha formado en los comentarios del post sobre el número 252 vamos a hablar un poco del tema.

El teorema de los cuatro cuadrados aparece en el libro Arithmetica de Diofanto (libro que ya nombramos aquí). Dice básicamente lo siguiente:

Todo número entero positivo puede expresarse como suma de cuatro cuadrados de números enteros

Por ejemplo:

$5=2^2+1^2+0^2+0^2$
$18=3^2+3^2+0^2+0^2$
$348=18^2+4^2+2^2+2^2$
$8764=70^2+62^2+4^2+2^2$

Para la demostración es interesante utilizar la identidad de los cuatro cuadrados de Euler, que dice que el producto de dos números expresables como suma de cuatro cuadrados también es expresable de esa forma. Esto es:

$(a_1^2+a_2^2+a_3^2+a_4^2)(b_1^2+b_2^2+b_3^2+b_4^2)=\\=(a_1 b_1-a_2 b_2-a_3 b_3-a_4 b_4)^2+(a_1 b_2+a_2 b_1+a_3 b_4-a_4 b_3)^2+\\+(a_1 b_3-a_2 b_4+a_3 b_1+a_4 b_2)^2+(a_1 b_4+a_2 b_3-a_3 b_2+a_4 b_1)^2$

Esta identidad puede probarse de forma directa realizando las operaciones o de otra forma más corta. A ver quién la comenta.

Con esto sólo hace falta comprobar el resultado para números primos. Además, como cada potencia de 2 es un cuadrado o la suma de dos cuadrados se tiene que el tema se reduce a demostrar el resultado para primos impares.

La idea de la demostración en este punto es clasificar los números primos impares en dos grandes grupos: los que son congruentes con 1 módulo 4 y los que son congruentes con 3 módulo 4. Después se demuestra el teorema para cada uno de los grupos y se completa con ello la demostración. Podéis verla en esta web, donde además tenéis algunos applets en java para calcular la descomposición de un número como suma de cuatro cuadrados. Aquí podéis ver uno de ellos.

Como decíamos antes este resultado se conoce desde los tiempos de Diofanto (siglo III a.C.), pero la primera demostración conocida es de Lagrange en 1770. Algo después, en 1798, Legendre mejoró el resultado demostrando que un número entero positivo puede expresarse como suma de tres cuadrados si y sólo si ese número no es de la forma $4^k (8m+7)$ . Aunque en principio la prueba estaba incompleta el hueco que contenía fue rellenado por Gauss poco después.

En 1834 Jacobi encontró el número exacto de formas en las que se puede expresar un número entero positivo $n$ como suma de cuatro cuadrados. Este número es 8 veces la suma de los divisores de $n$ si $n$ es impar y 24 veces la suma de los divisores impares de $n$ si $n$ es par.

Una de las generalizaciones de este teorema es teorema de los números poligonales de Fermat que básicamente dice que todo número entero positivo puede ser expresando como suma de, como mucho, 3 números triangulares, 4 números cuadrados, 5 números pentagonales, etc. Gauss demostró el resultado para números triangulares y Cauchy demostró el resto.

Otra de las generalizaciones es la siguiente: dados números naturales $a,b,c,d$ podemos resolver la ecuación $n=ax_1^2+bx_2^2+cx_3^2+dx_4^2$ para todo $n$ siendo $x_1,x_2,x_3,x_4$ enteros?

Como puede verse el teorema de los cuatro cuadrados es un caso particular de este hecho: el caso $a=b=c=d=1$ . La solución general de este problema fue dada por Ramanujan:

Si asumimos, sin pérdida de generalidad, que $a \le b \le c \le d$ entonces hay exactamente 54 elecciones de $a,b,c,d$ tal que la ecuación anterior puede resolverse en enteros $x_1,x_2,x_3,x_4$ para todo $n$ (en realidad Ramanujan dio una elección más, $a=1,b=2,c=d=5$ , pero en este caso la ecuación no tiene solución para $n=15$ ).

Autor: ^DiAmOnD^ | Publicado el 17 de Septiembre de 2007 | 6 Comentarios
Categorías: Números enteros, Números primos, Teoremas

El “conjunto generador” de los números primos

Imaginaos que un día alguien (un profesor, un compañero de clase, un amigo…) os dice lo siguiente:

Soy capaz de darte una lista de 26 números primos tal que si tomas cualquier otro número primo puedes llegar a alguno de esos 26 tachando una o más de sus cifras.

La primera sensación (al menos así fue la mía) es de sorpresa. ¿Cómo puede existir una especie de conjunto generador de los números primos teniendo en cuenta que este conjunto es infinito (demostración de Euclides; demostración usando primos de Fermat) y la casi nula (al menos hasta donde se conoce en nuestros días) regularidad del mismo?

Supongamos que esa persona insiste mucho y nos acabamos creyendo el asunto. Lo siguiente que se nos puede pasar por la cabeza es que la demostración de este resultado debe ser muy larga y engorrosa. Cuando nos dicen que la misma no llega a página y media de un archivo pdf la sensación de sorpresa aumenta. Un resultado tan curioso con una demostración tan corta aún tiene más valor.

Algún problema debe tener esto, podríamos pensar. Resultado curioso e interesante, demostración no muy larga…Ya está, la demostración es muy poco intuitiva o utiliza resultados demasiado avanzados. Nada más lejos de la realidad: la demostración es totalmente constructiva y los números de la lista van apareciendo por sí solos después de utilizar razonamientos bastante básicos si tenemos en cuenta la potencia del resultado. En dos palabras: absolutamente increible.

¿Cómo se os ha quedado el cuerpo? ¿Hay ganas de adentrarse en el asunto? Espero que sí, porque vamos a ello.

(Leer el resto del post)

Autor: ^DiAmOnD^ | Publicado el 13 de Agosto de 2007 | 15 Comentarios
Categorías: Demostraciones, Números primos, Teoremas

El TVI y el dado de tres caras

Hace un tiempo Papá Oso, de Sospechosos Habituales, nos mandó una consulta sobre un post suyo de su blog El Hombre de los Dados. El artículo en cuestión relacionaba el teorema de los valores intermedios y los dados, intentando a partir de él construir un dado de 3 caras, es decir, una figura de 3 caras que cumpliera que las 3 caras tienen la misma probabilidad de salir al tirarla tipo dado. Este post va a servir para presentaros el artículo de Papá Oso y para que veáis la respuesta que yo le di.

(Leer el resto del post)

Autor: ^DiAmOnD^ | Publicado el 28 de Junio de 2007 | 34 Comentarios
Categorías: Cálculo, Estadística, Teoremas

La paradoja de Banach-Tarski

Vamos primero con un enunciado de la paradoja:

Si tomamos la esfera S² (es decir, una esfera en el espacio) de radio 1 maciza es posible dividirla en 8 partes tal que aplicando movimientos rígidos oportunos a 5 de ellas por un lado y las otras 3 por otro podemos construir dos esferas de radio 1 iguales a la de partida:

De hecho el número de piezas puede reducirse hasta 5 y se puede demostrar que con 4 es imposible.

Uno lee esto y lo primero que piensa es que le están engañando. Que en la demostración de este hecho hay alguna falacia, que mediante algún razonamiento matemático erróneo pero oculto conseguimos demostrar algo totalmente imposible. Nada más lejos de la realidad. Este hecho tiene una demostración totalmente rigurosa y sin ningún error ni engaño matemático. Por esta razón el apelativo de paradoja no es adecuado matemáticamente hablando, aunque sí lo es si atendemos a nuestra intuición.

Por un lado, si conseguimos asumir como cierto el resultado podemos pensar en realizarlo. Es decir, en tomar una esfera material de radio 1 y dividirla en las partes correspondientes para a partir de ellas formar las otras dos esferas. Quitémonos esa idea de la cabeza. No se puede hacer en el mondo real, ya que una de las piezas está formada sólo por un punto y físicamente hablando el concepto geométrico de punto no es real.

Por otro lado uno podría decir: no puede ser, el volumen final dobla al inicial. Vamos, que en el caso de que las esferas sean materiales nos estaríamos saltando a la torera el principio de conservación de la materia. Acabamos de decir que el resultado no se puede comprobar en la realidad, pero de todas formas el tema del volumen matemáticamente hablando parece que sigue siendo un problema ya que los movimientos rígidos deben conservar el volumen. Para darse cuenta de que tal problema no existe tenemos que recurrir a la teoría de medida. Digamos que esta teoría es la que se encarga de asociar una medida a cada conjunto, en este caso el volumen. La cuestión en este caso es que las partes en las que dividimos la esfera son conjuntos no-medibles (que también los hay). No es que tengan medida 0, sino que no se pueden medir. Es decir, no se les puede asociar una medida y por tanto no podemos apelar a la conservación de la medida por movimientos rígidos. Intuitivamente es complicado de entender pero matemáticamente es totalmente cierto. La existencia de estos conjuntos no-medibles se prueba utilizando el famoso y controvertido históricamente axioma de elección.

La demostración del resultado está basada en las propiedades de los giros del espacio y utiliza varios resultados, entre ellos uno de Hausdorff relativo a los giros y el axioma de elección comentado anteriormente. Es bastante engorrosa para el lector poco iniciado y me atrevería a decir que hasta para el iniciado. Pero lo bueno que tiene es que es constructiva, es decir, no nos demuestra que el resultado es cierto mediante razonamientos que nada tienen que ver con el mismo sino que nos dice exactamente cómo tenemos que dividir la esfera. Algo es algo.

Otra conclusión que podemos sacar a partir de este resultado es la siguiente:

Podemos tomar una esfera maciza del tamaño de la Tierra, dividirla en un cierto número finito de partes y después de aplicarle movimientos rígidos oportunos a las mismas formar una esfera maciza del tamaño del Sol

Increible pero cierto, aunque sólo sea matemáticamente hablando.
Fuentes:

La paradoja de Banach-Tarski por Carlos Ivorra
La paradoja de Banach-Tarski en Tío Petros

Autor: ^DiAmOnD^ | Publicado el 23 de Mayo de 2007 | 25 Comentarios
Categorías: Geometría, Matemáticas, Teoremas

El teorema de Wilson

Introducción

El teorema de Wilson

Utilidad del teorema

Zapatillas del último teorema de Fermat

El teorema de Pick

El teorema de Morley

Trisectores exteriores

Teoremas en una isla

Demostrando el teorema de Pitágoras con la fórmula de Herón

El teorema de los cuatro cuadrados

El “conjunto generador” de los números primos

El TVI y el dado de tres caras

La paradoja de Banach-Tarski

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