Porque todo tiende a infinito…
¿Os imagináis a Mariano Rajoy presentando la demostración de un teorema? ¿O a Zapatero, Aznar o Felipe González? Yo tampoco. Al menos por estos lares no parece que los máximos mandatarios tengan “buenas relaciones” con las matemáticas. Pero no es así en todos sitios. En Estados Unidos hay un caso que por conocido no deja de ser interesante. Nos referimos a James Garfield y su demostración del teorema de Pitagoras.
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El conocido como teorema de Ptolomeo es uno de esos resultados interesantes en geometría plana que además de ser sencillos de enunciar también lo son de demostrar, y que además de tener distintas formas de demostrarse es una herramienta muy útil para usarla en la demostración de otros teoremas de interés.
En esta entrada vamos a ver una prueba totalmente visual recogida en una única imagen. Pero no vamos a quedarnos ahí, sino que vamos a explicarla para que se comprenda mejor.
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Me encantan los resultados geométricos. Si os digo la verdad, la geometría nunca fue la rama de las matemáticas que más me llamó la atención, pero no puedo negar que muchos teoremas geométricos tienen “algo” que los hace especiales, no son como los demás. Resultados como el teorema de Van Aubel o los teoremas de Varignon y Thébault, hasta el propio teorema de Pitagoras, están cargados de belleza. Tienen, como he dicho antes, algo especial.
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Desde hace un tiempo se está especulando con que Shinichi Mochizuki, de la Universidad de Kyoto, estaba cerca de publicar una posible demostración de la veracidad de la conjetura ABC, un importantísimo problema no resuelto de teoría de números. Pues bien, ese momento ha llegado.
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En estos momentos en los que la inversión en ciencia en España tiene pinta de seguir la gráfica de una exponencial de exponente negativo es posible que sea interesante recordar que a lo largo de la historia podemos encontrar muchos ejemplos de personajes de las altas esferas de la aristocracia o del gobierno de algún país que han mantenido relaciones muy estrechas con la ciencia en todas sus variantes. Hasta se conocen jefes de gobierno con conocimientos matemáticos interesantes, como James Gardfield, presidente de los Estados Unidos que desarrolló una demostración del teorema de Pitágoras. Pero quizás uno de los más representativos de esta categoría de gobernantes sea Napoleón Bonaparte.
Napoleón Bonaparte, el Emperador de los Franceses, gustaba de relacionarse con lo más granado de las matemáticas de su época. Es bastante conocida su amistad con matemáticos de la talla de Gaspard Monge, Pierre Simon Laplace y Joseph Louis Lagrange, que de hecho llegaron a recibir títulos nobiliarios de Napoleón. Sobre la relación con ellos hay un par de anécdotas relativamente conocidas que vamos a contar.
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La historia del último teorema de Fermat (UTF), ese resultado que estuvo más de 300 años sin demostrar desde la propuesta vacilona del propio Fermat hasta que Wiles le hincó el diente, está repleta de intentos de demostración de todo tipo, algunos de ellos serios y otros bastante ingenuos. A mediados del siglo XIX uno de ellos estuvo a punto de hacer que el UTF clavara la rodilla en el suelo, cual vencido en una batalla, pero una propiedad relacionada con la factorización de ciertos números echó al traste dicha prueba. El protagonista fue Gabriel Lamé y su intento de demostración del UTF es uno de los más conocidos de entre los que fracasaron.
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A mitad del siglo XX, con la IA todavía en pañales, no fueron pocos quienes dedicaron sus esfuerzos a intentar crear máquinas inteligentes, máquinas que pudieran hacer tareas de forma parecida a como las realizamos los seres humanos. Los juegos de mesa, como las damas o el ajedrez, fueron una temática recurrente en estos intentos. Por ejemplo, Arthur Samuel inventó una máquina que jugaba razonablemente bien a las damas y que aprendía de cada partida para mejorar su juego, hasta el punto de llegar a ganar a su creador con relativa frecuencia y quedar en posiciones realmente decentes en campeonatos. Pero hoy no vamos a hablar de juegos de mesa, sino que nos vamos a parar en uno de esos intentos de creación de IA que tiene que ver con las matemáticas: la máquina de Gelernter.
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El maravilloso teorema de la Bola Peluda, es un resultado que se suele ilustrar diciendo que es imposible peinar una bola que esté completamente cubierta de pelo. Ya se habló en Gaussianos hace un tiempo acerca de él, y hoy vamos a volver a hacerlo.
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Hace unos días, Terence Tao hizo público un resultado que representa un paso importante para acercarse a la demostración de la conjetura de Goldbach. Aprovechando la ocasión Rafael Tesoro se ha ofrecido para resumirnos varios resultados relacionados con el estudio de este famoso problema.
Multiplicando los números primos se forman todos los números enteros positivos, pero, ¿qué ocurre si los sumamos?
Leonhard Euler mantuvo una extensa correspondencia con Christian Goldbach. Con fecha 30 de junio de 1742 escribe:
[...] que todo número que es resoluble como [suma] de dos primos puede [a su vez] ser representado como [suma] de tantos primos como se quiera, puede ser ilustrado y confirmado por una observación, misma que usted me comunicó formalmente, concretamente, que todos los números pares son suma de dos primos [...] Sin embargo que todo número par sea la suma de dos números primos, lo que considero un teorema correcto, es algo que no puedo demostrar.
Estas palabras de Euler marcan el inicio de las referencias a lo que hoy se conoce como conjetura de Goldbach. El tío Petros, protagonista de la novela de Apostolos Doxiadis (v. referencia [D] más abajo) descarta intentar tanto la hipótesis de Riemann como el último teorema de Fermat y elige esforzarse durante toda una vida por desentrañar la elusiva dificultad de este problema.
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Independientemente de los conocimientos o de la capacidad de comprensión que uno pueda tener, en ocasiones las matemáticas pueden dejarte bastante sorprendido. Y no hay que irse a temáticas poco conocidas dentro de esta ciencia, o a un nivel de conocimientos tan alto que sólo sea alcanzable por unas pocas personas en el mundo. Resultados que nos sorprendan pueden encontrarse mucho más cerca y mucho más al alcance de todo. Hoy os traigo uno de ellos: el teorema clausura-complemento de Kuratowski.
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