La distinción entre condición necesaria y condición suficiente es un tema muy costoso de entender para mucha gente, tengan los estudios que tengan. En principio, partiendo de la denominación de cada una de estas condiciones es sencillo distinguirlas, pero en la práctica hay muchas ocasiones en las que la gente se lía bastante con ello. Ante una condición necesaria mucha gente piensa que lo que está viendo es una condición suficiente, y viceversa. Y hasta hay ocasiones en las que teniendo una condición solamente necesaria (o solamente suficiente) se cree que en realidad es de los dos tipos, necesaria y suficiente.
En general esto ocurre con las implicaciones:
Si es cierto A, entonces es cierto B
Que esto ocurra no significa ni Si es cierto B, entonces es cierto A ni Si no es cierto A, entonces no es cierto B, pero en muchos casos se piensa que sí. Voy a poner un sencillo ejemplo, que es el más frecuentemente uso con mis alumnos:
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Autor: ^DiAmOnD^ | Publicado el 19 de July de 2011
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Categorías: Cálculo, Teoremas
Me entero a través de este post de “La aventura de las matemáticas”, blog de Jesús Soto, que se ha subido al arXiv una nueva supuesta demostración del último teorema de Fermat (UTF). Lo interesante de la misma es que utiliza simplemente teoría de números de nivel básico, es decir, utiliza matemáticas que el propio Pierre de Fermat tenía a su disposición en su época. El autor de este intento de demostración es Daniele de Pedis, que al parecer trabaja en el National Institute of Nuclear Physics de Italia.
El pdf podéis descargarlo haciendo click en el siguiente enlace:
Fermat’s Last Theorem – Is this the marvelous proof?
Como bien comenta el propio Jesús Soto en su blog, puede que este nuevo intento suene a ¿Quién tiene una demostración de la conjetura de Goldbach?, pero él mismo dice que éste es su primer intento, que no pretende engañar a nadie con él y que, evidentemente, puede estar equivocado.
Como siempre, ya sabéis que sería interesante que comentarais todo lo que veáis conveniente sobre la demostración, ya sea que la veis bien, que habeís encontrado algún error o cualquier otra cosa.
Autor: ^DiAmOnD^ | Publicado el 6 de May de 2011
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Categorías: Demostraciones, Números enteros, Teoremas
Como muchos de vosotros recordareis, hace poco tiempo (hablábamos de ello en diciembre del año pasado) tres matemáticos, Javier Cilleruelo, Carlos Vinuesa (españoles) e Imre Ruzsa (húngaro) resolvieron la conjetura de los conjuntos generalizados de Sidon. En el post que acabo de enlazar hablábamos sobre el tema, sobre el problema en cuestión, pero no se profundizaba demasiado en él ni en su demostración.
Tiempo después, a raíz de una cuestión que me comentó Samuel, un lector del blog y alumno de Javier Cilleruelo, me puse en contacto con Javier para ver si nos podía ayudar a profundizar en el tema. Y la verdad es que desde el principio Javier se ofreció amablemente a colaborar. Al final el tema ha quedado en una entrevista en la que se habla del problema de los conjuntos generalizados de Sidon y de algunas otras cosas. Aquí os la dejo.
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Autor: ^DiAmOnD^ | Publicado el 17 de March de 2011
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Categorías: Carnaval de matematicas, Demostraciones, Matemáticos, Teoremas
El teorema de Pitagoras…ese resultado que todos conocemos…bueno, en realidad ese resultado del que todos conocen el nombre, pero del que muchos no se acuerdan con exactitud (o al menos, del que mucho no son capaces de recitar a la primera la frasecita que lo describe).
El teorema de Pitagoras es posiblemente el teorema del que existen más demostraciones publicadas (de hecho, en Gaussianos ya hemos publicado alguna, por ejemplo ésta, estas dos o ésta otra, algo menos trivial). Aunque posiblemente se conozcan muchas más, en 1927 el matemático estadounidense E. S. Loomis catalogó 367 demostraciones del teorema de Pitagoras en su libro The Pythagorean Proposition.
La demostración que os traigo hoy, al parecer descubierta por un inglés llamado Henry Perigal en 1874 (aunque en algunos sitios se le atribuye a Henry Dudeney) es de las que nos gustan a muchos, simple pero tremendamente descriptiva. Además, la simetría que presenta la construcción le da un toque de belleza que seguro que muchos de vosotros sabréis apreciar.
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Autor: ^DiAmOnD^ | Publicado el 4 de January de 2011
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Categorías: Demostraciones, Geometría, Teoremas
Cuando uno estudia en profundidad una figura tan simple como el triángulo se da cuenta de que en realidad esa simplicidad reside solamente en su manera de representarla. En lo relacionado con las propiedades que tiene, con las características que posee o con las curiosas e interesantes relaciones que se puede encontrar en su interior el tema no es ni mucho menos simple, más bien al contrario. La riqueza y variedad que puede encontrarse en el estudio de un, como decía, simple triángulo parece no tener límites.
Lo que os traigo hoy es una de esas cosas simples que en realidad no lo son tanto. Una curiosa propiedad que cumple todo triángulo y en la que posiblemente ni siquiera hayáis reparado. Hoy os presento la conocida como línea de Simson.
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Autor: ^DiAmOnD^ | Publicado el 18 de November de 2010
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Categorías: Carnaval de matematicas, Curiosidades, Demostraciones, Geometría, Teoremas
Joseph Louis Lagrange
El conocido como
teorema del valor medio o
teorema de Lagrange (bueno, en realidad uno de ellos, ya que hay varios que llevan el nombre de Lagrange) es un resultado debido al matemático
francés italiano
Joseph Louis Lagrange que se estudia tanto en bachillerato como en la universidad. La versión del mismo para funciones reales de una variable real dice lo siguiente:
Teorema: (de Lagrange o del valor medio)
Dada una función 
definida en un intervalo cerrado ![[a,b]](http://s.wordpress.com/latex.php?latex=%5Ba%2Cb%5D&bg=ffffff&fg=000000&s=0 "[a,b]")
, si esa función es continua es dicho intervalo cerrado y derivable en el intervalo abierto 
, entonces existe al menos un punto 
de este intervalo abierto tal que:
esto es, si una función es continua en un intervalo cerrado y derivable en el correspondiente intervalo abierto entonces existe al menos un punto donde la derivada de la función es igual a la variación media de la misma. Parece difícil, pero veremos que no lo es tanto.
Bien, ¿cómo se puede aplicar esto a la vida real? Posiblemente haya más aplicaciones, pero hoy vamos a ver una que puede provocar que nos llevemos una multa que en principio no nos esperamos.
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Autor: ^DiAmOnD^ | Publicado el 10 de November de 2010
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Categorías: Curiosidades, Cálculo, Teoremas
Georg Cantor
Pues no, el conjunto
de los números reales
no es numberable, aunque,
como vimos hace ya un tiempo, algunos todavía se empeñen en
demostrar lo contrario. Bueno, a lo que íbamos. El hecho de que
no sea numerable significa que no se puede poner en correspondencia biunívoca con los números naturales, o lo que es lo mismo, los naturales y los reales no pueden emparejarse totalmente, ya que siempre habrá número reales que no tenga pareja en los naturales.
Como comentaba ayer, en Gaussianos ya publiqué una demostración de este hecho debida a Cantor. En esta entrada os muestro otra que me mandó Daniel a gaussianos (arroba) gmail (punto) com .
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Autor: ^DiAmOnD^ | Publicado el 9 de June de 2010
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Categorías: Cálculo, Demostraciones, Teoremas
El Instituto Clay de Matemáticas ha concedido un premio por valor de un millón de dólares a Grigory (Grisha) Perelman, matemático ruso que se ha hecho famoso por su demostración sobre la veracidad de la conjetura de Poincaré. Esta cantidad es la que instauró dicha institución para quien resolviera alguno de los siete problemas del milenio. La conjetura de Poincaré era uno de ellos, aparte de llevar casi 100 años sin demostración.
La concesión de este premio tiene una historia bastante peculiar. Perelman sube al arXiv unos artículos sirven para demostrar la veracidad de la conjetura de Poincaré, la medalla Fields, aunque al final rechaza dicho galardón. Después aparecen varias demostraciones publicadas que siguen la línea que marcan los artículos de Perelman. Éste no publica su demostración, digamos, oficialmente, pero es el primero que da en el clavo con ella.
La cuestión es que parece que este detalle es el que ha provocado que se le conceda este premio a Perelman con tanto retraso. Os recomiendo que leáis el artículo de Francis, (th) E mule Science’s news (el enlace está al final de esta entrada) sobre el tema.
Y la pregunta es: ¿aceptará Perelman este premio? Teniendo en cuenta que rechazó la medalla Fields no me extrañaría que también rechazara éste. Se verá.
Artículos relacionados:
Autor: ^DiAmOnD^ | Publicado el 22 de March de 2010
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Categorías: Geometría, Noticias, Teoremas
Introducción
Hace ya bastante tiempo comentamos una curiosa propiedad del número 26. Concretamente es ésta:
El número 26 es el único número natural que está situado entre un cuadrado (
) y un cubo (
).
Al parecer fue Fermat quien demostró dicho resultado, pero en el post donde dábamos cuenta de esta característica del 26 no se daba ninguna prueba de este hecho. Fue Juanbuffer quien aportaba en un comentario un pdf con una demostración del mismo (que si no recuerdo mal no estaba en español). Por desgracia parece que ya no se puede acceder a dicho documento (al menos yo no puedo). Por este motivo me puse a buscar…y la he encontrado. Mi admirado Carlos Ivorra es quien me ha proporcionado dicha prueba. Bueno, en realidad no sé si es suya, pero aparece en uno de los libros en formato pdf que tiene disponibles en su web: Teoría de Números.
En este artículo vais a poder ver esta demostración.
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Autor: ^DiAmOnD^ | Publicado el 1 de March de 2010
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Categorías: Demostraciones, Números enteros, Teoremas
Este artículo es una colaboración enviada por Juanjo a gaussianos (arroba) gmail (punto) com. Si estás interesado en colaborar no dudes en enviar tu propuesta.
Introducción
Existen demostraciones del Teorema de Pitágoras bastante elaboradas desde el punto de vista matemático, siguiendo un razonamiento puramente abstracto y fundamentado en las leyes de la lógica. También podemos encontrar demostraciones de este resultado a partir de otros, como la que apareció en este blog utilizando la fórmula de Herón. Y, cómo no, es fácil encontrar demostraciones puramente geométricas (también vimos una de este estilo en Gaussianos). En este artículo vamos a ver dos de ellas.
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Autor: ^DiAmOnD^ | Publicado el 21 de January de 2010
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Categorías: Demostraciones, Geometría, Teoremas
