Javier Cilleruelo nos habla sobre el problema de los conjuntos generalizados de Sidon
Mar17

Javier Cilleruelo nos habla sobre el problema de los conjuntos generalizados de Sidon

Como muchos de vosotros recordareis, hace poco tiempo (hablábamos de ello en diciembre del año pasado) tres matemáticos, Javier Cilleruelo, Carlos Vinuesa (españoles) e Imre Ruzsa (húngaro) resolvieron la conjetura de los conjuntos generalizados de Sidon. En el post que acabo de enlazar hablábamos sobre el tema, sobre el problema en cuestión, pero no se profundizaba demasiado en él ni en su demostración.

Tiempo después, a raíz de una cuestión que me comentó Samuel, un lector del blog y alumno de Javier Cilleruelo, me puse en contacto con Javier para ver si nos podía ayudar a profundizar en el tema. Y la verdad es que desde el principio Javier se ofreció amablemente a colaborar. Al final el tema ha quedado en una entrevista en la que se habla del problema de los conjuntos generalizados de Sidon y de algunas otras cosas. Aquí os la dejo.

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Demostración “simétrica” del teorema de Pitagoras
Ene04

Demostración “simétrica” del teorema de Pitagoras

El teorema de Pitagoras…ese resultado que todos conocemos…bueno, en realidad ese resultado del que todos conocen el nombre, pero del que muchos no se acuerdan con exactitud (o al menos, del que mucho no son capaces de recitar a la primera la frasecita que lo describe).

El teorema de Pitagoras es posiblemente el teorema del que existen más demostraciones publicadas (de hecho, en Gaussianos ya hemos publicado alguna, por ejemplo ésta, estas dos o ésta otra, algo menos trivial). Aunque posiblemente se conozcan muchas más, en 1927 el matemático estadounidense E. S. Loomis catalogó 367 demostraciones del teorema de Pitagoras en su libro The Pythagorean Proposition.

La demostración que os traigo hoy, al parecer descubierta por un inglés llamado Henry Perigal en 1874 (aunque en algunos sitios se le atribuye a Henry Dudeney) es de las que nos gustan a muchos, simple pero tremendamente descriptiva. Además, la simetría que presenta la construcción le da un toque de belleza que seguro que muchos de vosotros sabréis apreciar.

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La línea de Simson
Nov18

La línea de Simson

Cuando uno estudia en profundidad una figura tan simple como el triángulo se da cuenta de que en realidad esa simplicidad reside solamente en su manera de representarla. En lo relacionado con las propiedades que tiene, con las características que posee o con las curiosas e interesantes relaciones que se puede encontrar en su interior el tema no es ni mucho menos simple, más bien al contrario. La riqueza y variedad que puede encontrarse en el estudio de un, como decía, simple triángulo parece no tener límites.

Lo que os traigo hoy es una de esas cosas simples que en realidad no lo son tanto. Una curiosa propiedad que cumple todo triángulo y en la que posiblemente ni siquiera hayáis reparado. Hoy os presento la conocida como línea de Simson.

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Los radares de Lagrange
Nov10

Los radares de Lagrange

Joseph Louis Lagrange

Joseph Louis Lagrange

El conocido como teorema del valor medio o teorema de Lagrange (bueno, en realidad uno de ellos, ya que hay varios que llevan el nombre de Lagrange) es un resultado debido al matemático francés italiano Joseph Louis Lagrange que se estudia tanto en bachillerato como en la universidad. La versión del mismo para funciones reales de una variable real dice lo siguiente:

Teorema: (de Lagrange o del valor medio)

Dada una función f(x) definida en un intervalo cerrado [a,b], si esa función es continua es dicho intervalo cerrado y derivable en el intervalo abierto (a,b), entonces existe al menos un punto c de este intervalo abierto tal que:

f'(c)=\cfrac{f(b)-f(a)}{b-a}

esto es, si una función es continua en un intervalo cerrado y derivable en el correspondiente intervalo abierto entonces existe al menos un punto donde la derivada de la función es igual a la variación media de la misma. Parece difícil, pero veremos que no lo es tanto.

Bien, ¿cómo se puede aplicar esto a la vida real? Posiblemente haya más aplicaciones, pero hoy vamos a ver una que puede provocar que nos llevemos una multa que en principio no nos esperamos.

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Que no, que el conjunto de los números reales no es numerable
Jun09

Que no, que el conjunto de los números reales no es numerable

Georg Cantor

Georg Cantor

Pues no, el conjunto \mathbb{R} de los números reales no es numberable, aunque, como vimos hace ya un tiempo, algunos todavía se empeñen en demostrar lo contrario. Bueno, a lo que íbamos. El hecho de que \mathbb{R} no sea numerable significa que no se puede poner en correspondencia biunívoca con los números naturales, o lo que es lo mismo, los naturales y los reales no pueden emparejarse totalmente, ya que siempre habrá número reales que no tenga pareja en los naturales.

Como comentaba ayer, en Gaussianos ya publiqué una demostración de este hecho debida a Cantor. En esta entrada os muestro otra que me mandó Daniel a gaussianos (arroba) gmail (punto) com .

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Grigory Perelman, premiado con un millón de dólares por el Instituto Clay
Mar22

Grigory Perelman, premiado con un millón de dólares por el Instituto Clay

El Instituto Clay de Matemáticas ha concedido un premio por valor de un millón de dólares a Grigory (Grisha) Perelman, matemático ruso que se ha hecho famoso por su demostración sobre la veracidad de la conjetura de Poincaré. Esta cantidad es la que instauró dicha institución para quien resolviera alguno de los siete problemas del milenio. La conjetura de Poincaré era uno de ellos, aparte de llevar casi 100 años sin demostración.

La concesión de este premio tiene una historia bastante peculiar. Perelman sube al arXiv unos artículos sirven para demostrar la veracidad de la conjetura de Poincaré, la medalla Fields, aunque al final rechaza dicho galardón. Después aparecen varias demostraciones publicadas que siguen la línea que marcan los artículos de Perelman. Éste no publica su demostración, digamos, oficialmente, pero es el primero que da en el clavo con ella.

Grisha Perelman presentando su demostración sobre la conjetura de geometrización de Thurston

La cuestión es que parece que este detalle es el que ha provocado que se le conceda este premio a Perelman con tanto retraso. Os recomiendo que leáis el artículo de Francis, (th) E mule Science’s news (el enlace está al final de esta entrada) sobre el tema.

Y la pregunta es: ¿aceptará Perelman este premio? Teniendo en cuenta que rechazó la medalla Fields no me extrañaría que también rechazara éste. Se verá.

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