Teoremas en una isla

Me gustó la pregunta que hizo Juán de Mairena en su blog hace un tiempo y con su permiso la voy a hacer yo también aquí:

¿Qué tres teoremas matemáticos os llevaríais a una isla desierta?

A mí al menos me valdría que vuestra respuesta estuviera justificada por la utilidad de los mismos, por su belleza, por su importancia en algún campo…Elegid vosotros la razón.

Share

Demostrando el teorema de Pitágoras con la fórmula de Herón

El teorema de Pitágoras es uno de esos resultados matemáticos que no necesitan presentación. Todos conocemos este teorema y muchos lo aplicamos continuamente. Pero ¿cuánta gente es capaz de recordar así a bote pronto una demostración de este hecho? Bueno, sí, tenemos la que publicamos hace un tiempo en este blog. Pero hay muchas más.

Probablemente la fórmula de Herón sea menos conocida para el público en general. En este artículo vamos a ver una demostración del teorema de Pitágoras a partir de la fórmula de Herón.

(Leer el resto del post)

Share

El teorema de los cuatro cuadrados

A la vista de la interesante conversación sobre la expresión de un número natural como suma de cuatro cuadrados que se ha formado en los comentarios del post sobre el número 252 vamos a hablar un poco del tema.

El teorema de los cuatro cuadrados aparece en el libro Arithmetica de Diofanto (libro que ya nombramos aquí). Dice básicamente lo siguiente:

Todo número entero positivo puede expresarse como suma de cuatro cuadrados de números enteros

Por ejemplo:

5=2^2+1^2+0^2+0^2
18=3^2+3^2+0^2+0^2
348=18^2+4^2+2^2+2^2
8764=70^2+62^2+4^2+2^2

Para la demostración es interesante utilizar la identidad de los cuatro cuadrados de Euler, que dice que el producto de dos números expresables como suma de cuatro cuadrados también es expresable de esa forma. Esto es:

(a_1^2+a_2^2+a_3^2+a_4^2)(b_1^2+b_2^2+b_3^2+b_4^2)=\\=(a_1 b_1-a_2 b_2-a_3 b_3-a_4 b_4)^2+(a_1 b_2+a_2 b_1+a_3 b_4-a_4 b_3)^2+\\+(a_1 b_3-a_2 b_4+a_3 b_1+a_4 b_2)^2+(a_1 b_4+a_2 b_3-a_3 b_2+a_4 b_1)^2

Esta identidad puede probarse de forma directa realizando las operaciones o de otra forma más corta. A ver quién la comenta.

Con esto sólo hace falta comprobar el resultado para números primos. Además, como cada potencia de 2 es un cuadrado o la suma de dos cuadrados se tiene que el tema se reduce a demostrar el resultado para primos impares.

La idea de la demostración en este punto es clasificar los números primos impares en dos grandes grupos: los que son congruentes con 1 módulo 4 y los que son congruentes con 3 módulo 4. Después se demuestra el teorema para cada uno de los grupos y se completa con ello la demostración. Podéis verla en esta web, donde además tenéis algunos applets en java para calcular la descomposición de un número como suma de cuatro cuadrados. Aquí podéis ver uno de ellos.

Como decíamos antes este resultado se conoce desde los tiempos de Diofanto (siglo III a.C.), pero la primera demostración conocida es de Lagrange en 1770. Algo después, en 1798, Legendre mejoró el resultado demostrando que un número entero positivo puede expresarse como suma de tres cuadrados si y sólo si ese número no es de la forma 4^k (8m+7). Aunque en principio la prueba estaba incompleta el hueco que contenía fue rellenado por Gauss poco después.

En 1834 Jacobi encontró el número exacto de formas en las que se puede expresar un número entero positivo n como suma de cuatro cuadrados. Este número es 8 veces la suma de los divisores de n si n es impar y 24 veces la suma de los divisores impares de n si n es par.

Una de las generalizaciones de este teorema es teorema de los números poligonales de Fermat que básicamente dice que todo número entero positivo puede ser expresando como suma de, como mucho, 3 números triangulares, 4 números cuadrados, 5 números pentagonales, etc. Gauss demostró el resultado para números triangulares y Cauchy demostró el resto.

Otra de las generalizaciones es la siguiente: dados números naturales a,b,c,d podemos resolver la ecuación n=ax_1^2+bx_2^2+cx_3^2+dx_4^2 para todo n siendo x_1,x_2,x_3,x_4 enteros?

Como puede verse el teorema de los cuatro cuadrados es un caso particular de este hecho: el caso a=b=c=d=1. La solución general de este problema fue dada por Ramanujan:

Si asumimos, sin pérdida de generalidad, que a \le b \le c \le d entonces hay exactamente 54 elecciones de a,b,c,d tal que la ecuación anterior puede resolverse en enteros x_1,x_2,x_3,x_4 para todo n (en realidad Ramanujan dio una elección más, a=1,b=2,c=d=5, pero en este caso la ecuación no tiene solución para n=15).

Share

El "conjunto generador" de los números primos

Imaginaos que un día alguien (un profesor, un compañero de clase, un amigo…) os dice lo siguiente:

Soy capaz de darte una lista de 26 números primos tal que si tomas cualquier otro número primo puedes llegar a alguno de esos 26 tachando una o más de sus cifras.

La primera sensación (al menos así fue la mía) es de sorpresa. ¿Cómo puede existir una especie de conjunto generador de los números primos teniendo en cuenta que este conjunto es infinito (demostración de Euclides; demostración usando primos de Fermat) y la casi nula (al menos hasta donde se conoce en nuestros días) regularidad del mismo?

Supongamos que esa persona insiste mucho y nos acabamos creyendo el asunto. Lo siguiente que se nos puede pasar por la cabeza es que la demostración de este resultado debe ser muy larga y engorrosa. Cuando nos dicen que la misma no llega a página y media de un archivo pdf la sensación de sorpresa aumenta. Un resultado tan curioso con una demostración tan corta aún tiene más valor.

Algún problema debe tener esto, podríamos pensar. Resultado curioso e interesante, demostración no muy larga…Ya está, la demostración es muy poco intuitiva o utiliza resultados demasiado avanzados. Nada más lejos de la realidad: la demostración es totalmente constructiva y los números de la lista van apareciendo por sí solos después de utilizar razonamientos bastante básicos si tenemos en cuenta la potencia del resultado. En dos palabras: absolutamente increible.

¿Cómo se os ha quedado el cuerpo? ¿Hay ganas de adentrarse en el asunto? Espero que sí, porque vamos a ello.

(Leer el resto del post)

Share

El TVI y el dado de tres caras

Hace un tiempo Papá Oso, de Sospechosos Habituales, nos mandó una consulta sobre un post suyo de su blog El Hombre de los Dados. El artículo en cuestión relacionaba el teorema de los valores intermedios y los dados, intentando a partir de él construir un dado de 3 caras, es decir, una figura de 3 caras que cumpliera que las 3 caras tienen la misma probabilidad de salir al tirarla tipo dado. Este post va a servir para presentaros el artículo de Papá Oso y para que veáis la respuesta que yo le di.

(Leer el resto del post)

Share

La paradoja de Banach-Tarski

Vamos primero con un enunciado de la paradoja:

Si tomamos la esfera S2 (es decir, una esfera en el espacio) de radio 1 maciza es posible dividirla en 8 partes tal que aplicando movimientos rígidos oportunos a 5 de ellas por un lado y las otras 3 por otro podemos construir dos esferas de radio 1 iguales a la de partida:

Paradoja de Banach-Tarski

De hecho el número de piezas puede reducirse hasta 5 y se puede demostrar que con 4 es imposible.

Uno lee esto y lo primero que piensa es que le están engañando. Que en la demostración de este hecho hay alguna falacia, que mediante algún razonamiento matemático erróneo pero oculto conseguimos demostrar algo totalmente imposible. Nada más lejos de la realidad. Este hecho tiene una demostración totalmente rigurosa y sin ningún error ni engaño matemático. Por esta razón el apelativo de paradoja no es adecuado matemáticamente hablando, aunque sí lo es si atendemos a nuestra intuición.

Por un lado, si conseguimos asumir como cierto el resultado podemos pensar en realizarlo. Es decir, en tomar una esfera material de radio 1 y dividirla en las partes correspondientes para a partir de ellas formar las otras dos esferas. Quitémonos esa idea de la cabeza. No se puede hacer en el mondo real, ya que una de las piezas está formada sólo por un punto y físicamente hablando el concepto geométrico de punto no es real.

Por otro lado uno podría decir: no puede ser, el volumen final dobla al inicial. Vamos, que en el caso de que las esferas sean materiales nos estaríamos saltando a la torera el principio de conservación de la materia. Acabamos de decir que el resultado no se puede comprobar en la realidad, pero de todas formas el tema del volumen matemáticamente hablando parece que sigue siendo un problema ya que los movimientos rígidos deben conservar el volumen. Para darse cuenta de que tal problema no existe tenemos que recurrir a la teoría de medida. Digamos que esta teoría es la que se encarga de asociar una medida a cada conjunto, en este caso el volumen. La cuestión en este caso es que las partes en las que dividimos la esfera son conjuntos no-medibles (que también los hay). No es que tengan medida 0, sino que no se pueden medir. Es decir, no se les puede asociar una medida y por tanto no podemos apelar a la conservación de la medida por movimientos rígidos. Intuitivamente es complicado de entender pero matemáticamente es totalmente cierto. La existencia de estos conjuntos no-medibles se prueba utilizando el famoso y controvertido históricamente axioma de elección.

La demostración del resultado está basada en las propiedades de los giros del espacio y utiliza varios resultados, entre ellos uno de Hausdorff relativo a los giros y el axioma de elección comentado anteriormente. Es bastante engorrosa para el lector poco iniciado y me atrevería a decir que hasta para el iniciado. Pero lo bueno que tiene es que es constructiva, es decir, no nos demuestra que el resultado es cierto mediante razonamientos que nada tienen que ver con el mismo sino que nos dice exactamente cómo tenemos que dividir la esfera. Algo es algo.

Otra conclusión que podemos sacar a partir de este resultado es la siguiente:

Podemos tomar una esfera maciza del tamaño de la Tierra, dividirla en un cierto número finito de partes y después de aplicarle movimientos rígidos oportunos a las mismas formar una esfera maciza del tamaño del Sol

Increible pero cierto, aunque sólo sea matemáticamente hablando.
Fuentes:

Share

La conjetura de Catalan

Como todos sabemos 23=8 y 32=9. Es decir, tenemos dos potencias de números naturales que dan como resultado dos números naturales consecutivos. Intentemos buscar algún otro caso éste. Si vamos probando vemos que con números relativamente pequeños no encontramos ninguno. Pero siempre podría darse una situación así para números más grandes.

En 1844 el matemático belga Eugène Charles Catalan conjeturó que no es posible encontrar otro ejemplo como el comentado al principio. Esta conjetura, denominada conjetura de Catalan, puede formularse de la siguiente forma:

La ecuación xa-yb=1, para x,y,a,b > 1, tiene como única solución la siguiente: x=3, y=2, a=2, b=3

Pero ya sabemos lo que pasa con las conjeturas, que hasta que no se demuestran no puede saberse si son ciertas (ya vimos que, por ejemplo, la conjetura de Polya y la conjetura de Euler resultaron falsas mientras que el último teorema de Fermat resultó cierto). Y para saberlo debemos encontrar una demostración de la misma o un contraejemplo que la refute.

¿Existe alguna demostración de la conjetura o algún contraejemplo que nos diga que es falsa? La respuesta es sí. Y la conjetura resultó…¡¡cierta!!. El matemático rumano-alemán Preda Mihăilescu la demostró en 2002, por lo que la conjetura pasó a llamarse teorema de Mihăilescu.

Y para terminar comentar que Catalan no sólo es famoso por su conjetura. Sus trabajos versan sobre fracciones continuas, geometría descriptiva, teoría de números y combinatoria. Entre todos esos trabajos podemos destacar los números de Catalan y los poliedros de Catalan.

Fuentes:

Share

El teorema de Danica McKellar

Danica McKellar…¿quién es esa chica? A ver si con una foto la recordáis:

Danica McKellar

¡¡Exacto!! Es Winnie, de la serie Aquellos Maravillosos Años. Sí, la amiga/novia de Kevin (Fred Savage en la vida real). En la IMDB podéis encontrar más información sobre ella. Y en Stuff Magazine podéis recrearos algo más.

Sí, todo eso está muy bien, pero ¿qué hace Danica en Gaussianos? Pues muy sencillo: la señorita Danica McKellar es coautora de la demostración de un teorema matemático. Aquí tenéis un pdf con el teorema y su demostración: Percolation and Gibbs states multiplicity for ferromagnetic Ashkin–Teller models on Z2. Siento no poder dar más información sobre el tema ya que por desgracia se sale de mis conocimientos.

En su web personal podéis encontrar, además de su filmografía, fotos, etc., una sección dedicada a su relación con las Matemáticas. En ella podéis ver que se graduó en la Univerdad de UCLA, que participó como coautora en la demostración de ese teorema sin ni siquiera haber terminado sus estudios y además algunas respuestas a problemas sobre Matemáticas que ha recibido. Entre ellas, por cierto, podemos encontrar algunas que ya hemos contestado nosotros, como la del post Camarero…¿dónde está el dinero? o la del post 0’999…=1.

Y otra curiosidad: Danica McKellar tiene número de Erdös-Bacon1 igual a 6. Por tanto debe tener un número de Erdös bastante bajo.

Para que luego algunos digan que no hay chicas guapas relacionadas con las Matemáticas.

1: El número de Erdös-Bacon es la suma del número de Erdös que explicamos hace un tiempo aquí y el número de Bacon, que está relacionado con el actor Kevin Bacon y se calcula de forma equivalente al anterior: 1 si has trabajado con él en una película, 2 si has trabajado en una película con alguien ue ha trabajado con él en otra, y así sucesivamente.

Share

La fórmula de Stirling

Una sucesión es una función de los números naturales N a los números reales R, es decir, una función que asocia a cada número natural un número real. Se suelen representar como an. Se dice que una sucesión an es convergente si conforme aumentamos el valor de n el valor de an se acerca cada vez más a un cierto número, al que llamaremos límite de la sucesión.

El cálculo de límites de sucesiones es un tema que suele estar presente en todos los temario de Cálculo de carreras de ciencias (Ingenierías, Matemáticas, Físicas, Químicas…) y existen bastantes métodos para realizar ese cálculo dependiendo de la estructura de la propia sucesión. En este post vamos a ver una equivalencia bastante inesperada que podemos usar para calcular un límite en el que aparece el término n!: la fórmula de Stirling.
(Leer el resto del post)

Share

Dos demostraciones de la irracionalidad de raíz de 2

Como ya hemos dicho alguna que otra vez en este blog se sabe que raíz de 2 es un número irracional, es decir, que no puede escribirse en forma de fracción. Pero todavía no os habíamos mostrado ninguna demostración. En este post vamos a ver dos demostraciones posibles de este hecho. La primera de ellas es la que podíamos denominar clásica, la que suele aparecer en todos los escritos sobre el tema, y que usa reducción al absurdo. La segunda no es ni mucho menos común, ya que usa descenso infinito. Vamos a verlas:

Teorema: Raíz de 2 es irracional – Demostración por Reducción al Absurdo

La demostración comienza suponiendo que raíz de 2 no es irracional y acabará en algo contradictorio. Si no es irracional debe ser obligatoriamente racional, es decir, debe ser igual a una fracción así:

Podemos suponer sin ningún problema que el máximo común divisor de p y q es 1, es decir, que no tienen factores comunes y por tanto son primos relativos. Elevamos al cuadrado y operando queda:

(Leer el resto del post)

Share

Anterior

Siguiente