Nueva imagen del poliedro de Császár: Ángel

Vuelve el poliedro de Császár a Gaussianos. En esta ocasión lo hace con una imagen que nos ha enviado Angel de su creación:
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El teorema de Turan: el comienzo de la teoría de grafos extrema

A estas alturas de la película creo que a pocos se les escapará que la teoría de grafos es muy importante en la actualidad: su utilización en redes, comunicación, biología o sociología hacen de esta rama de las matemáticas una herramienta esencial para el estudio y la modelización de muchos aspectos de nuestra vida.

Históricamente, se considera el estudio y resolución del problema de los puentes de Königsberg por parte de Leonhard Euler como el comienzo de la teoría de grafos. Hoy vamos a hablar del nacimiento de una parte de ella, la teoría de grafos extrema, y del resultado a partir del cual comenzó su estudio, el teorema de Turan.
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Nicolaas de Bruijn, del “BEST theorem” al confirmador de teorías matemáticas

Cuando uno se encuentra con un resultado matemático cuyo nombre es the BEST theorem (es decir, el mejor teorema, y encima en mayúsculas) se ilusiona, espera un resultado magnífico, maravilloso, útil ingenioso, en definitiva precisamente lo que su propio nombre indica, el mejor teorema. Cuando uno se entera de que BEST son las iniciales de las personas a las que debemos dicho resultado la ilusión baja, no nos engañemos. Pero la curiosidad por saber de qué trata dicho resultado puede más que esta bajada, ¿verdad?
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¿Existe algún resultado tipo el teorema de los cuatro colores en tres dimensiones?

El teorema de los cuatro colores asegura que todo mapa plano puede colorearse con, a lo sumo, cuatro colores de forma que regiones con frontera común tengan colores distintos. Atentos: mapa plano. Es decir, un mapa que se pueda dibujar en un plano, en dos dimensiones (*). ¿Y qué ocurre si subimos una dimensión? Esto es, ¿existe algún resultado tipo el teorema de los cuatro colores para mapas formados por regiones tridimensionales?
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El teorema de los cuatro colores: la teoría de grafos al servicio del coloreado de mapas

Seguro que muchos de los lectores de este blog conocen el teorema que da título a esta entrada. El teorema de los cuatro colores es un importante (y bastante conocido) resultado de teoría de grafos que, aunque ha sido citado ya por aquí, no tenía un post dedicado a él. Creo que hoy, después de conocer el fallecimiento de Kenneth Appel (uno de los matemáticos que lo demostró) el pasado 19 de abril, es un buen día para ello.
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El problema de las tres casas y los tres suministros y la banda de Möbius

Seguro que muchos de vosotros conocéis el problema de las tres casas y los tres suministros. Sí, ése en el que hay que intentar conectar tres casas con tres centrales de suministro de agua, luz y gas con la condición de que ninguno de los caminos usados para estas conexiones se corten.

Este problema no tiene solución, como ya hemos visto por aquí, y la teoría de grafos nos dice por qué. La cuestión es que este problema se puede modelizar mediante grafos. El grafo que queremos construir se denomina K_{3,3} (la K es en honor a Kazimierz Kuratowski), por lo que el problema ahora sería el siguiente: ¿podemos construir el grafo K_{3,3} en un plano de forma que no haya dos aristas que se corten (en un punto que no sea un vértice)? Pues la respuesta es no, no se puede. El propio Kuratowski demostró que K_{3,3} no es plano (no se puede dibujar en un plano sin que haya cortes entre aristas en puntos que no son vértices), por lo que el “problema de los suministros” no tiene solución en un plano.
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Cómo “tetraizar” el poliedro de Császár

Existe un teorema en Topología que dice que todo polígono es triangulable. Es decir, todo polígono, convexo o no, puede subdividirse en triángulos. De hecho, en este teorema se basan otros muchos resultados topológicos.

A partir de este conocimiento es bastante razonable preguntarse si en tres dimensiones ocurre lo mismo. Es decir, ¿es todo poliedro “tetraizable”? O lo que es lo mismo, ¿se puede dividir todo poliedro en tres dimensiones en tetraedros (regulares o no)? En este blog sabemos ya que la respuesta es NO, ya que existen poliedro tridimensionales que no pueden subdividirse en tetraedro. El poliedro de Schönhardt es uno de ellos.
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Alexander y su particular esfera: una cuestión de “cuernos”

El teorema de la curvan de Jordan es un maravilloso resultado relacionado con curvas en el plano que une enunciado sencillo y tremendamente intuitivo con demostración más que complicada. Dicho resultado nos asegura que toda curva C cerrada y simple (es decir, que no tiene autointersecciones, que no se corta a sí misma) divide al plano en dos partes, cuya frontera común es C, tales que una de ellas está acotada (interior de C) y la otra no está acotada (exterior de C).
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Relanzamiento de la iniciativa “Yo construí el poliedro de Császár” con una nueva imagen: Martí

En esta entrada os traigo una nueva imagen del poliedro de Császár enviada por vosotros, concretamente por Martí, que me la envió hace ya un tiempecillo. La tenéis a continuación:
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Nueva imagen del poliedro de Császár: Carlos

Hacía muchísimo tiempo que no publicaba nueva imagen del poliedro de Császár enviada por vosotros, y he decidido hacerlo hoy, a ver si conseguimos reflotar la iniciativa. En esta ocasión la envía Carlos, @carlospina97. Aquí la tenéis, una imagen que rezuma frikismo por los cuatro costados (y muy apropiada teniendo en cuenta la entrada que publiqué ayer):
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