Hace unos días publicaba una entrada sobre el sorprendente poliedro de Császár. En ella, además de comentar las interesantes y curiosas propiedades de esta figura, os proporcionaba dos plantillas del poliedro junto con instrucciones para construirlo. Y sobre ello va este post.
Lo que os propongo es un reto: Construir el poliedro de Császár. Da igual si lo hacéis a partir de alguna de esas dos plantillas o a partir de cualquier otra que podáis encontrar, la cuestión es que os hagáis vuestro propio poliedro de Császár. (Leer el resto del post)
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La Fórmula de Euler, maravilla matemática que vimos hace unos días, sólo es válida para poliedros convexos. En este artículo vamos a presentar el poliedro de Császár, una curiosa figura que nos va a servir como ejemplo de por qué los poliedros no convexos no cumplen la igualdad propuesta por Euler.
¿Qué es el poliedro de Császár?
El poliedro de Császár es un poliedro no convexo que no tiene diagonales (comparte esta propiedad con el tetraedro), es decir, cada uno de sus vértices está conectado con todos los demás por una arista. Podemos verlo en la siguiente imagen (tomada de MathWorld):
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Las matemáticas, esa ciencia abstracta, esa asignatura complicada, esa materia a veces incomprensible, esconden auténticas maravillas que algunos han olvidado y otros ni siquiera han conocido. Uno de los objetivos de este blog es mostraros esas perlas que en ocasiones permanecen ocultas a los ojos de la mayoría. Y este artículo os va a descubrir una de ellas: la fórmula de Euler. (Leer el resto del post)
Extraña pregunta para comenzar la semana, ¿verdad? Vamos a intentar responderla a lo largo de este artículo.
Introducción
La Topología (no confundir con Topografía) es una rama de las matemáticas que podríamos decir que se ocupa de las deformaciones continuas de cuerpos. La cuestión es más o menos como sigue:
En Topología, si podemos convertir un cuerpo en otro mediante una deformación que no implique rotura entonces los dos cuerpos son topológicamente iguales.
Por ejemplo, en Topología una circunferencia y una elipse son iguales (se dice que son homeomorfos). Y, como todo el mundo sabe, un dónut y una taza de café también son iguales. Valga esta imagen (que encontré en este post del blog Topología I de un antiguo profesor mío) como ejemplo de ello:
Así que ya sabéis, si alguna vez coincidís desayunando con profesor de Topología y veis que está mordiendo la taza e intentando beber de un dónut no os extrañéis y echadle una mano porque no sabe distinguirlos.
Y hasta un conejito es igual a una esfera (gracias Acho):
Introducido ya el tema de la deformación de cuerpos vamos a plantearnos cómo podemos sumarlos. En principio sabemos sumar números, pero también conocemos cómo se suman matrices del mismo orden (sumando las entradas de cada una de ellas que están en la misma posición), polinomios (sumando los coeficientes de los monomios de mismo grado) o funciones en general. Pero ¿podemos sumar superficies? En Topoplogía sí. (Leer el resto del post)
Autor: ^DiAmOnD^ | Publicado el 21 de December de 2009 | Comments Off Categorías: Topología
Dos horas buceando entre mis apuntes de la carrera (ese es el tiempo que he tardado en encontrar este teorema) bien valen un artículo. Sí, sé que en internet hay información, pero para mí mis apuntes son enormemente valiosos y no quería dejar escapar la oportunidad de consultarlo en ellos.
Introducción
Suena el despertador. Son las 6:30 de la mañana. Víctor se revuelve entre las sábanas, no quiere levantarse, el sueño le supera…pero no puede permitirlo. A las 8:30 tiene una entrevista de trabajo muy importante, puede que determinante para su futuro profesional.
- ¡¡Arriba chaval!!
Víctor se levanta de la cama de un salto y va directo al baño. Una ducha rápida complementada con un afeitado apurado le dejan nuevo. Desodorante, colonia y a arreglar esa cabeza. Ayer fue día (bueno, más bien noche) de salida informal con los amigos y el peinado fue más bien alocado, pero hoy toca seriedad y hay que bajarlo como sea. Secador por aquí, peine por allá. Y listo, su peinado hacia un lado presenta una completa armonía…¿completa?
- ¡¡Aghh!! Este maldito remolino…¿va a poder conmigo?…¡¡No!!
¿Podrá conseguir nuestro amigo Víctor que su pelo esté complemente perfecto? (Leer el resto del post)
¿Dónde está el punto , en el interior o en el exterior de la curva?
Posiblemente no os sea demasiado difícil acertar con un simple vistazo al dibujo. Pero imaginad ahora que la curva cubre la extensión de un campo de fútbol. ¿Sería la cosa tan sencilla? Creo que no. Entonces:
¿Qué procedimiento general utilizarías para determinar la situación del punto?
Seguro que muchos ya sabéis la respuesta. Para quien no la sepa responderemos a lo largo de este texto. (Leer el resto del post)
La presentación del juego es la que aparece en la imagen. El objetivo del mismo es conectar cada una de las casas de la fila superior con los tres círculos de la fila inferior si que ninguna de las líneas de conexión corte a otra. En este punto os dejo intentarlo para ver quién es el primero en conseguirlo.
Si representamos cada uno de los iconos (tanto las casas como los círculos) mediante puntos (vértices) y tomamos también las líneas de conexión (aristas) lo que obtenemos es un grafo.
Llamando a los vértices superiores y a los inferiores y representando como a la arista que une el vértice con el vértice obtenemos el grafo conocido como :
Seguís intentando conectar las tres casas con los tres círculos, ¿no? Por intentarlo que no quede, continuad con ello.
Partiendo de que dos aristas de un grafo sólo pueden contarse en un vértice (es decir, que si tenemos dibujados los vértices de antemano dos aristas no pueden cortarse en ningún punto nada más que en ellos) vamos a definir ahora lo que es un grafo plano:
Se dice que un grafo es plano si puede embeberse (algo así como “meterse”) en .
Es decir, un grafo es plano si podemos dibujarlo en un papel sin que ninguna de las aristas corte a otra en un punto que no sea un vértice.
Ahora, antes de dar la solución del juego, vamos a definir otro grafo, :
Es decir, es un grafo que tiene 5 vértices y que tiene como aristas todas las líneas que conectan cada vértice con todos los demás, como podéis ver en la imagen. A este grafo también se le denomina grafo completo de 5 vértices.
Y ahora vamos con la solución del asunto. El matemático polaco Kazimierz Kuratowski demostró lo siguiente (os dejo una versión débil del teorema):
Teorema de Kuratowski:
Un grafo es plano si no contiene como subgrafo a ni a .
Es decir, ni ni son grafos planos (ya que cada uno de ellos se contiene a sí mismo como subgrafo). O lo que es lo mismo, no pueden dibujarse en un papel con la condición de que ninguna arista corte a otra en un punto que no sea desde el principio un vértice.
La demostración de este teorema necesita de ciertos conocimientos previos sobre teoría de grafos relativamente avanzados y es algo complicada, por eso no la adjunto. Yo la conocí en 4º de carrera y la verdad es que me pareció bastante curioso el asunto ya que responde la típica pregunta que mucha gente se hace con las matemáticas: ¿pueden las matemáticas resolver problemas, digamos, tangibles? La respuesta es sí: en este caso las matemáticas nos dicen por qué no podemos realizar ese dibujo con esas condiciones.
En Gaussianos ya hemos visto, que yo recuerde, dos demostraciones de la infinitud de los números primos: la de Euclides y la que utiliza los números de Fermat. En esta entrada vamos a otra demostración de este hecho.
La prueba que vamos a ver es topológica y se debe al matemático israelí Hillel Furstenberg. A mí me parece muy interesante ya que en principio a uno no se le ocurre qué relación puede haber entre la infinitud de los números primos y la topología. Esta demostración, por tanto, servirá como otro ejemplo más de la conexión que existe entre ramas tan distintas de las matemáticas. (Leer el resto del post)
Después de ver la demostración de la divergencia de la serie armónica os dejo dos problemas que me ha mandado al mail fede. Problema 1 Demostrar que en su progresión hacia infinito la serie armónica no coincide nunca con un número entero, es decir, no es un nunca un número entero, para . Problema 2 [...]
, en el interior o en el exterior de la curva?
a los vértices superiores y 
a los inferiores y representando como 
a la arista que une el vértice 
con el vértice 
obtenemos el grafo conocido como 
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