Celebrando el día de π (pi) con una aguja y una medusa

Como muchos de vosotros sabréis, hoy es el día de $\pi$ (pi). Por si alguien no sabe por qué es así explico la razón:

En el mundo anglosajón las fechas se escriben de esta forma:

Mes/Día

Por tanto hoy, 14 de marzo, sería 3,14, aproximación de $\pi$ a dos decimales.

Otros años (como podréis ver al final del artículo) hemos hablado de páginas relacionadas con $\pi$ , hemos publicado wallpapers, etc. Este año os voy a hablar de un tema que para mí es una de las situaciones más sorprendentes en donde aparece $\pi$ y que todavía no había tocado en Gaussianos: la aguja de Buffon.

La aguja de Buffon

El experimento es bien sencillo y se puede realizar sin ningún problema en casa:

Tomemos una aguja de longitud $l$ , un folio y un bolígrafo. Dibujemos en el folio rectas paralelas distancia una longitud $l$ entre ellas. Después lancemos la aguja en el papel un cierto número de veces. En cada lanzamiento la aguja puede cortar una de las líneas o quedar totalmente entre dos de ellas (lo podéis ver en la figura de la derecha). Contemos el número de lanzamientos, $N$ , y el número de veces en las que la aguja corta a alguna de las rectas, $A$ . Multiplicamos $N$ por $2$ y dividimos el resultado entre $A$ . Veréis que el resultado es muy cercano a $\pi$ y será tanto más cercano a él cuanto mayor sea el número de lanzamientos.

Esto es lo que demostró Georges Louis Leclerc, conde de Buffon en 1777. El experimento está relacionado con la probabilidad. El enunciado más formal podría ser así:

En la situación anterior, si llamamos $S$ al suceso la aguja corta a una línea, tenemos que:

$P(S)=\cfrac{A}{N}=\cfrac{2}{\pi}$

Si la aguja es más corta que la distancia entre las líneas, llamémosla $D$ , se puede demostrar que:

$\pi=\cfrac{2 \cdot N \cdot L}{A \cdot D}$

Si la situación es la contraria es resultado que obtenemos se complica bastante.

Podéis ver un desarrollo matemático de la aguja de Buffon en MathWorld.

El experimento de la aguja de Buffon, por tanto, puede utilizarse para calcular aproximaciones de $\pi$ . El problema que nos encontraríamos radica en que la convergencia del método es bastante lenta. En este enlace tenéis un simulador de java del experimento donde podéis comprobar que para llegar a una aproximación relativamente cercana a $\pi$ hay que realizar muchísimos lanzamientos.

π-cadura

Para completar el artículo os dejo una curiosa foto que me envió Daniel al mail hace ya bastante tiempo y que no recuerdo haber visto en ningún otro sitio. Se trata de una picadura de medusa que tiene una forma muy parecida al número $\pi$ :

Picadura Pi

Como me comentaba Daniel en dicho correo el tema es bastante curioso ya que no está creado a propósito para tener esta forma sino que ha sido la propio naturaleza la que modeló la picadura con esa forma.

Otros días de $\pi$ en Gaussianos:

2007:
El día de $\pi$
El día de $\pi$ (II)
2008:
Feliz día de $\pi$

Y, evidentemente, en Microsiervos también celebran el día de $\pi$ .

Imagen y datos obtenidos de la Wikipedia en español.

Sin comentarios

Trackback | 14 Mar, 2009

Bitacoras.com
Trackback | 14 Mar, 2009

Celebrando el día de π (pi) con una aguja y una medusa
Omar-P | 14 de March de 2009 | 22:58

Hace 130 años, el 14 de marzo de 1879, nació Albert Einstein.
Daniel | 15 de March de 2009 | 00:58

Feliz día de pi para todos. Ya no me acordaba de esa foto, jajaja. Por cierto, podías haber puesto un hipervínculo en mi nombre hacia mi blog (http://piladeboton.blogspot.com/ Autospam) xD. Un saludo.
^DiAmOnD^ | 15 de March de 2009 | 01:02

Buenas Daniel. No he caído, lo pongo ahora mismo. Y de paso borro uno de los comentarios, que ha salido repetido .
Pablo | 15 de March de 2009 | 02:01

Algo más de información:
http://pabloreyes.es/2008/10/29/aproximandonos-a-pi/

Siento el spam
Fernando* | 15 de March de 2009 | 12:10

Es 1777, no 1977
^DiAmOnD^ | 15 de March de 2009 | 15:13

Ups, 200 años de diferencia nada más . Lo cambio ahroa. Gracias Fernando.
Omar-P | 15 de March de 2009 | 15:59

El número 2/Pi = 0.636619772367581343075535053490057448…
también es llamado constante de Buffon.
Tobar | 15 de March de 2009 | 23:42

el inverso de la constante de buffon es una serie conocida como serie de wallis.

$\frac{2}{1} \cdot \frac{2}{3} \cdot \frac{4}{3} \cdot \frac{4}{5} \cdot \frac{6}{5} \cdot \frac{6}{7} \cdot \frac{8}{7} \cdot \frac{8}{9} \cdot \dots = \frac{\pi}{2}$

de manera mas compacta, el inverso de la constante de buffon se escribe como:

$\prod_{n=1}^{\infty} \frac{(2n)(2n)}{(2n-1)(2n+1)} = \frac{\pi}{2}$ descubierta por jhon wallis.

o en forma de(se me olvido quien).

$\sum_{n=0}^{\infty }\cfrac{2^n n!^2}{(2n + 1)!}=1 + \frac{1}{3} + \frac{1 \cdot 2}{3 \cdot 5} + \frac{1 \cdot 2 \cdot 3}{3 \cdot 5 \cdot 7} + \cdots = \frac{\pi}{2}$ .

y creo que fue AYER el nacimiento de einstein hace años.
Jose Angel F. | 17 de March de 2009 | 23:08

Al hilo del día de pi, una pregunta chorra: ¿qué ocurriría si un deportista solicitase llevar en su dorsal o camiseta el número pi? ¿Podría prohibírsele? Apostaría algo a que en ninguna reglamentación se recoge que los números que aparecen en los dorsales tengan que ser naturales, con lo que la situación podría ser cuando menos curiosa…
otro | 18 de March de 2009 | 10:11

Bonita aunque dolorosa $\pi$ cadura.