Celebrando infinitamente el día de Pi

Unos cuantos decimales de Pi

Como muchos de vosotros sabréis hoy, dia 14 de marzo, es el día de Pi. por si alguien no sabe por qué, la razón es que en el mundo anglosajón las fechas se escribe de la forma Mes/Día/Año. De esta forma el día de hoy sería el 3/14.

Todos los años escribo algo relacionado con Pi este día. Y este año no va a ser menos. Vamos a celebrar el día de Pi de forma infinita.

¿De forma infinita?

Vamos a celebrar este día de Pi de forma infinita mostrando diversas sumas y productos infinitos donde aparece este maravilloso número. Vamos con ellas:

Según parece, fue François Viète quien dio la primera expresión numérica exacta en la que aparece Pi. Concretamente fue este producto infinito:
$\cfrac{2}{\pi}=\sqrt{\cfrac{1}{2}} \cdot \sqrt{\cfrac{1}{2}+\cfrac{1}{2} \sqrt{\cfrac{1}{2}}} \cdot \sqrt{\cfrac{1}{2}+\cfrac{1}{2}\sqrt{\cfrac{1}{2}+\cfrac{1}{2} \sqrt{\cfrac{1}{2}}} \dots$

Esta expresión, también como producto infinito, fue descubierta por John Wallis:
$\cfrac{2}{\pi}=\cfrac{1 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 7 \dots}{2 \cdot 2 \cdot 4 \cdot 4 \cdot 6 \cdot 6 \dots}$
La famosa suma del problema de Basilea (y II) descubierta por Leonhard Euler:
$\cfrac{\pi ^2}{6}=\cfrac{1}{1^2}+\cfrac{1}{2^2}+\cfrac{1}{3^2}+\cfrac{1}{4^2}+\cfrac{1}{5^2}+ \dots$
Pero ni mucho menos fue esta suma la única expresión relacionada con Pi descubierta por Euler. El gran Leonhard encontró también expresiones del tipo anterior al menos ¡¡hasta exponente 26!!. Para exponente 4 tenemos esta expresión:
$\cfrac{\pi ^4}{90}=\cfrac{1}{1^4}+\cfrac{1}{2^4}+\cfrac{1}{3^4}+\cfrac{1}{4^4}+\cfrac{1}{5^4}+ \dots$

Y para exponente 6 ésta:

$\cfrac{\pi ^6}{945}=\cfrac{1}{1^6}+\cfrac{1}{2^6}+\cfrac{1}{3^6}+\cfrac{1}{4^6}+\cfrac{1}{5^6}+ \dots$
Pero Euler descubrió muchas más expresiones infinitas, tanto sumas como productos, relacionadas con Pi. Algunas de ellas son las siguientes:
$\cfrac{\pi}{3 \sqrt{3}}=\cfrac{2}{2+1} \cdot \cfrac{5}{5+1} \cdot \cfrac{7}{7-1} \cdot \cfrac{11}{11+1} \dots$

En ella los numeradores de las fracciones son los números primos excepto el 3 y los denominadores llevan una suma cuando el número primo es de la forma $6n-1$ y una resta cuando es de la forma $6n+1$ .

$\cfrac{\pi}{4}=\cfrac{1}{1}-\cfrac{1}{3}+\cfrac{1}{5}-\cfrac{1}{7}+\cfrac{1}{9}- \dots$

Aquí aparecen como denominadores los números impares y se alternan los signos + y – entre las fracciones.

$\cfrac{\pi ^2}{9}=\cfrac{1}{1^2}+\cfrac{1}{5^2}+\cfrac{1}{7^2}+\cfrac{1}{11^2}+\cfrac{1}{13^2} \cdots$

Y en esta expresión aparecen en los denominadores de los cuadrados de todos los números impares que no son múltiplos de 3.
Newton descubrió la siguiente expresión relacionada con Pi:
$\pi=\cfrac{3 \sqrt{3}}{4}+24 \left (\cfrac{1}{12}-\cfrac{1}{5 \cdot 2^5}-\cfrac{1}{28 \cdot 2^7}-\cfrac{1}{72 \cdot 2^9}- \dots \right )$
A partir de ciertos resultados descubiertos por Euler podemos llegar a la siguiente relación:
$\cfrac{\pi}{2}=1+\cfrac{1}{3}+\cfrac{1 \cdot 2}{3 \cdot 5}+\cfrac{1 \cdot 2 \cdot 3}{3 \cdot 5 \cdot 7}+ \dots$
Más adelante en el tiempo, concretamente en 1997, Bailey encontró la siguiente suma sobre Pi:
$\pi=\displaystyle{\sum_{n=0}^{\infty} \left ( \cfrac{4}{8n+1}-\cfrac{2}{8n+4}-\cfrac{1}{8n+5}-\cfrac{1}{8n+6} \right ) \left (\cfrac{1}{16} \right )^n}$
Capítulo aparte merecen las expresiones relacionadas con Pi descubiertas por Ramanujan. Por ejemplo:
$\cfrac{1}{\pi}=\displaystyle{\sum_{n=0}^{\infty} {2n \choose n}^3 \cfrac{42n+5}{2^{12n+4}}}$

Os recomiendo el enlace a MathWorld que aparece al final del artículo para ver otras expresiones de este estilo cuyo descubridor fue Ramanujan.
Y para finalizar os dejo un monstruo de expresión numérica descubierta por los hermanos Chudnosky. Es una de las expresiones más poderosas a la hora de calcular decimales de Pi (calcula 14 decimales exacto en cada paso).
Es la siguiente:

$\cfrac{1}{\pi}=12 \displaystyle{\sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n \cfrac{(6n)!}{(3n)! (n!)^3} \cfrac{13591409+545140134n}{(640320)^{3n+3/2}}$

Me he dejado muchísimas expresiones cuyo protagonista es Pi. Si conocéis alguna que no aparezca en este artículo y creéis que es importante o interesante no dudéis en escribirla en los comentarios.

Otros días de Pi en Gaussianos:

El día de Pi y El día de Pi (II) en 2007.
Cómo demostrar que Pi es irracional (II) en 2008.
Celebrando el día de Pi con una aguja y una medusa en 2009.

Fuentes:

Historia de la matemática, de Carl B. Boyer.
Introductio in Analysin Infinitorum, de Leonhard Euler.
Pi formulas en MathWorld.
La imagen que ilustra este artículo está sacada de este set de Flickr.

Posts aleatorios

Autor: ^DiAmOnD^ | Publicado el 14 de Marzo de 2010
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16 comentarios

Trackback | 14 Mar, 2010

Bitacoras.com
José Luis | 14 de Marzo de 2010 | 11:09

Gracias por el post y que pases un buen día de Pi, DiAmOnD.
Trackback | 14 Mar, 2010

Día de Pi. Enlaces. « Matemáticas en el instituto
Maq | 14 de Marzo de 2010 | 15:37

Entonces… ¿lo he entendido bien? ¿Es cierto que la serie de potencias n-simas de los inversos de los naturales da “siempre” como resultado la potencia n-sima de pi dividida por un número? Llamativo, ¿no?
Omar-P | 14 de Marzo de 2010 | 16:00

Google festeja el día de Pi.
Trackback | 14 Mar, 2010

¡Feliz día de Pí! « Aula Geek
Truco | 14 de Marzo de 2010 | 17:01

jeje hay un error en la imagen. El penúltimo 5 en realidad es un 4.
fede | 14 de Marzo de 2010 | 17:22

Maq, lo que dices es cierto solo para los n pares.

Truco, muy buena.

La serie para pi/4 creo que es de Leibniz (y Madhava)
Omar-P | 14 de Marzo de 2010 | 17:23

Recuerdos para Albert.
Trackback | 15 Mar, 2010

Francisco Marco-Serrano [CV] » 2010-03-14 tweets
Actualidades | 15 de Marzo de 2010 | 0:33

Te invito a participar en una escritura creativa para celebrar el Día de Pi. Voy a recopilar todas las mejores escrituras que se dejan en los comentarios y publicar en un post especial destacándolas dentro de una semana. ¡Gracias! Aquí está el enlace si te interesa escribir algo: Día de Pi
cooperback | 16 de Marzo de 2010 | 0:21

he oido hablar de una formula que da el n-esimo digito de pi en base 16 (de manera no recursiva). ¿A alguien le suena?
josejuan | 16 de Marzo de 2010 | 20:11

“cooperback”, tú estás buscando:

http://en.wikipedia.org/wiki/Bailey-Borwein-Plouffe_formula
Jonas Castillo Toloza | 18 de Marzo de 2010 | 0:13

Este es mi aporte.

PI Y LOS NUMEROS TRIANGULARES

pi – 2 = 1/1 + 1/3 – 1/6 – 1/10 + 1/15 + …

signo( + ) para los inversos de los números triangulares impares.
signo ( – ) para los inversos de los números triangulares pares.

Ver demostración en http://www.xtec.cat/~bfiguera/formulpi.htm
txano | 25 de Abril de 2010 | 16:38

y PI como la integral de e^x^2 de -inf a inf?
Trackback | 19 Jun, 2010

¡Feliz día de Pí! — Neofosis