Cifra final de un número perfecto

Ya sabemos desde este post que un número perfecto es un número natural que cumple que es igual a la suma de sus divisores propios (todos sus divisores excepto el propio número). Por ejemplo, los divisores propios de 6 son 1,2,3 y se cumple que 1+2+3=6. Los primeros ocho números perfectos son:

6,28,496,8128,33550336,8589869056,137438691328,2305843008139952128

Lo primero en lo que uno puede fijarse es que todos ellos son pares. Podríamos preguntarnos si hay algún número impar que sea perfecto, pero por desgracia todavía no sabemos la respuesta. Se conjetura que no pero todavía no se sabe si esa conjetura es cierta o falsa.

Otra de las curiosidades que podemos advertir es que todos los citados acaban en 6 o en 8. Y de eso va nuestro problema de la semana. Lo formulo de la siguiente forma:

Probar que todo número perfecto par tendrá como última cifra un 6 o un 8

Autor: ^DiAmOnD^

Miguel Ángel Morales Medina. Licenciado en Matemáticas y autor de Gaussianos y de El Aleph. Puedes seguirme en Twitter o indicar que te gusta mi página de Facebook.

21 Comentarios

  1. Si se pudiera probar, tendríamos la demostración de que los números perfectos tienen que ser pares…

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  2. duhu, se pide demostrar que acaba en 6 u 8 sólo si es par.

    Yo creo haber visto la demostración de ésto en algún libro de Teoría de Números, pero ya no la recuerdo, y tal y como has presentado el problema suena a los típicos acertijos de: “un tren que va a 100 km/h desde Madrid a Valencia se cruza con un paso a nivel que hay sobre un puente… ¿cómo se llama el maquinista?” xD

    Se puede demostrar, pero así, sin pistas, es sólo para los que estudiamos matemáticas 😀

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  3. mimetist, la respuesta es fácil, los puentes no tienen maquinistas!!! (no he podido evitarlo xD)

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  4. Recuerdo que Euclides propuso el siguiente método para calcular números perfectos:

    “Si tantos números como se quiera a partir de una unidad se disponen en proporción duplicada hasta que su total resulte primo, y el total multiplicado por el último produce algún número, el producto será perfecto”

    Ejemplo:

    (1+2)·2 = 6
    (1+2+4)·4 = 28
    Para 1+2+4+8 = 15 no da un número primo, por lo tanto no vale
    (1+2+4+8+16)·16 = 496

    Todos los números perfectos que se obtienen por este método son pares, se ve inmediatamente que no habrá ningún número pefrecto impar, ya que todos se obtienen de un producto en el que uno de los factores es siempre par (2^n)

    LLegando un poco más lejos la suma de la progresión geométrica S(n) = 1 + 2 + 2^2 + 2^3 +…+ 2^n se sabe que S(n) = [r·a(n) – a(1)]/[r – 1], en este caso S(n) = 2·2^n – 1 = 2^(n+1) – 1, si esta suma resulta ser un número primo el producto de la misma por el último término 2^n de la sucesión será un número perfecto. Ya sabemos que los números perfectos de Euclides son de la forma [2^(n+1) – 1]·2^n o como más comunmente suele aparecer [2^n – 1]·2^(n-1)

    Es verdad que si 2^n – 1 es un número primo, entonces (2^n – 1)·2^(n–1) es un número perfecto, pero el recíproco no es necesariamente cierto. Tambien decir que a los números primos generados por la fórmula 2^n – 1 se los conoce como números primos de Mersenne.

    ”Probar que todo número perfecto de la forma (2^n – 1)·2^(n–1), donde (2^n – 1) es un número primo, tendrá como última cifra un 6 o un 8

    Espero no haber metido mucho la pata 😉

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  5. Partimos del hecho de que si N es perfecto y par debe ser de la forma N=2^{p-1}\cdot q, siendo q=2^p-1 y p ambos números primos. Entonces pueden darse tres situaciones respecto a p:

    1) Si p=2, entonces N=6 y es obvio el enunciado.

    2) Si p=4k+1, con k\geq 1, entonces

    N=2^{4k}(2^{4k+1}-1)=2\cdot 16^{2k}-16^k\equiv 2\cdot 6-6\equiv 6(10),

    ya que todas las potencias de 16 acaban en 6 (inducción). Así si p es un múltiplo de 4 más 1 entonces N acaba en 6.

    3) Si p=4k+3, con k\geq 0, entonces

    N=2^{4k+2}(2^{4k+3}-1)=2\cdot 16^{k+1}-4\cdot 16^k\equiv 2\cdot 6-4\cdot 6\equiv -12\equiv 8(10),

    ya que todas las potencias de 16 acaban en 6 (inducción). Por tanto si p es un múltiplo de 4 más 3 entonces N acaba en 8.

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  6. Domingo sí señor, demostrado queda.

    Un detalle:

    Es bastante evidente que si N=(2^p-1) \cdot 2^{p-1} es un número perfecto entonces es par. Lo que no es tan evidente es que si N es un número perfecto par entonces es de esa forma. Este hecho fue demostrado por el gran Leonhard Euler. Por tanto el comienzo de la demostración de Domingo es totalmente correcto.

    Por cierto Domingo, tienes un mail.

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  7. Efectivamente, probar que los números perfectos pares son de esa forma no es directo, aunque es verdad jejeje. A ver si alguien se anima a demostrarlo…

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  8. Con respecto a los números perfectos impares, y hasta donde yo sé, en caso de existir alguno debe tener al menos 8 factores primos distintos y ser superior a 10^{300}. No conozco la demostración de esto, pero tiene pinta de ser muy complejo.

    Propongo con permiso del administrador la siguiente cuestión:

    Demostrar que si un número N es perfecto e impar entonces debe tener al menos tres factores primos.

    Pista: Razonar, por reducción al absurdo, porqué no puede ser que N tenga sólo uno o dos factores primos.

    Creo que está al alcance de nuestras posibilidades demostrarlo. Ánimo!

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  9. Aqui les dejo el codigo de un programa escrito en C que he echo. Tal vez les pueda interesar
    Permite calcular numero perfectos hasta el deseado ( pueden jugar con la variable para llegar mas lejos).

    Saludos

    #include
    #include
    void divi(int);
    void main(void)
    {
    long unsigned int dato=1;
    clrscr();
    divi(dato);
    getch();
    }

    void divi(int dato)
    {
    int cont=1, suma=0, a;
    printf(“hasta que numero desea analizar:\t”);
    scanf(“%d”,&a);
    while(datocont)
    {
    if(!(dato%cont))
    suma=suma+cont;
    cont++;
    }
    if(suma==dato)
    printf(“%d es perfecto\n”,dato);
    dato++;
    cont=1;
    suma=0;
    }
    }

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  10. nadie se anima a demostrar que los números perfectos impares deben ser divisibles al menos por 3 primos diferentes?? vamos que no es muy difícl

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  11. Domingo cuando pusiste el reto estuve pensándolo un rato y tengo parte. Déjame al menos el finde y lo sigo pensando.

    Un saludo

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  12. Ya que insistes… se me ha ocurrido que:

    – Si tiene un solo factor primo, es que es un número primo y como divisor solamente tendría al 1. Por lo tanto descartado.

    – Si tiene 2 factores (N = a·b) entonces la única posibilidad es que N = a + b + 1. Para ser impar ni a ni b pueden valer 2, es decir son mayores, y en este caso es evidente que N = a·b > a + b + 1, con lo cual quedaría demostrado que dos factores no son suficientes.

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  13. Asier, no es correcto lo que argumentas:

    que tenga un único factor primo no quiere decir que el número sea primo. Dicho de otro modo, si tiene un único factor primo p es que el número es de la forma N=p^{\alpha} con \alpha\geq 1. Por ejemplo, 27 o 625 tienen un único factor primo (el 3 y el 5, resp.).

    Si tiene dos factores primos es que es de la forma p^\alpha\cdot q^\beta

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  14. Perdona Domingo, no lo había interpretado correctamente. Así parece más complicado, mañana le doy alguna vuelta más. Un saludo.

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  15. El caso en el que solo hay un factor seria N=p^n
    para n \ge 1
    Entonces, los factores serian 1,p, p^2,,p^n
    Y su suma, la suma de una progresion geometrica
    1+p+p^2+…+p^n= \frac{p^n*p-1}{p-1}
    Igualando esta suma a N=p^n, se tiene
    $latex \frac{p^{n+1}-1}{p-1}=p^n \Leftrightarrow
    p^{n+1}-1=p{n+1}-p \Leftrightarrow
    p=1 \Leftrightarrow N=1$
    Y el 1 es un numero que para estas cosas nunca nos gusta, asi que lo descartamos como perfecto,y por tanto un numero perfecto no tendra un solo factor primo

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  16. El caso en el que solo hay un factor seria N=p^n
    para n \ge 1
    Entonces, los factores serian 1,p, p^2,,p^n
    Y su suma, la suma de una progresion geometrica
    1+p+p^2+…+p^n= \frac{p^n*p-1}{p-1}
    Igualando esta suma a N=p^n, se tiene
    $latex \frac{p^{n+1}-1}{p-1}=p^n \Leftrightarrow
    p^{n+1}-1=p^{n+1}-p \Leftrightarrow
    p=1 \Leftrightarrow N=1$
    Y el 1 es un numero que para estas cosas nunca nos gusta, asi que lo descartamos como perfecto,y por tanto un numero perfecto no tendra un solo factor primo

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  17. Bueno, de todas formas, he cometido un error pues la formula de la progresion geometrica se puede aplicar solo si p es distinto de 1. Aun asi, si p=1, N=1….

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  18. Edmond, el razonamiento es prácticamente correcto. Efectivamente, p\neq 1 porque debe ser un primo impar.

    Sólo hay que corregir un pequeño detalle. La suma de todos los divisores la debes igualar a 2N, y no a N (la igualarías a N en que caso de que sumes los divisores propios). Cuidado que has cometido un error, en una equivalencia. Debe ser
    \displaystyle{\frac{p^{n+1}-1}{p-1}}=2p^n \Leftrightarrow 2p^n-p^{n+1}=1, siendo n\geq 1.

    De aquí se concluye que p|1 (sacando p como factor común). Absurdo.

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  19. Ahora queda ver por qué un número perfecto impar tampoco puede tener sólo dos factores primos. Ánimo, que la prueba es corta y preciosa!!

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  20. HOLA, COMO ESTÁN
    ALGUIEN ME PODRIA AYUDAR CON LA PRUEBA DE:
    Para todo n Entero, 2^n no divide a n!

    Gracias.

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  1. meneame.net - Cifra final de un número perfecto... Un número perfecto es un número natural que cumple que es igual a…
  2. Gaussianos » Un número perfecto impar debe tener al menos tres factores primos - [...] Hace un tiempo propuse este problema sobre números perfectos. Nuestro amigo Domingo lo resolvió y nos propuso otro problema…

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[latex]código-latex-que-quieras-insertar[/latex]
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$latex código-latex-que-quieras-insertar$.

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