Comments on: Circunferencia y triángulo http://gaussianos.com/circunferencia-y-triangulo/ Porque todo tiende a infinito... Fri, 10 Feb 2012 21:24:04 +0000 hourly 1 http://wordpress.org/?v=3.0.1 By: Luis BQ http://gaussianos.com/circunferencia-y-triangulo/#comment-12293 Luis BQ Mon, 09 Aug 2010 18:22:42 +0000 http://gaussianos.com/?p=1899#comment-12293 Hola gaussianos! acabo de ver el sitio y este problema en particular. Estudiando Latex pude escribir mi solución que es distinta a las entregadas por eso me atrevo a ponerla un saludo y su sitio rocks!! 1) ABC es un triangulo rectangulo dado que $latex AB$ es diametro y $latex C$ esta en la semicircunsferencia ( angulo inscrito de un angulo recto). 2) el radio de la circunsferencia es $latex AB/2$ 3) de la relacion de areas se tiene $latex frac {pi * AB^2/4} {AC*BC/2} =2 pi$ de esto ultimo se deriva que $latex AB^2 = 4AC*BC$ 4) como es un triangulo rectangulo tenemos de inmediato que $latex sin alpha = BC/AB$ combinandolo con 3 tenemos que $latex sin alpha = frac{sqrt{BC}} {2*sqrt{AC}} = frac {sqrt{ analpha}}{2}$ 5) Manipulando 4 llegamos a la siguiente identidad $latex 4sinalphacosalpha = 1 $ $latex sin2alpha = frac{1}{2}$ $latex alpha = 15$ Hola gaussianos! acabo de ver el sitio y este problema en particular. Estudiando Latex pude escribir mi solución que es distinta a las entregadas por eso me atrevo a ponerla un saludo y su sitio rocks!!

1) ABC es un triangulo rectangulo dado que AB es diametro y C esta en la semicircunsferencia ( angulo inscrito de un angulo recto).
2) el radio de la circunsferencia es AB/2
3) de la relacion de areas se tiene

frac {pi * AB^2/4} {AC*BC/2} =2 pi
de esto ultimo se deriva que
AB^2 = 4AC*BC

4) como es un triangulo rectangulo tenemos de inmediato que

sin alpha = BC/AB combinandolo con 3 tenemos que
sin alpha = frac{sqrt{BC}} {2*sqrt{AC}} = frac {sqrt{ analpha}}{2}

5) Manipulando 4 llegamos a la siguiente identidad

4sinalphacosalpha = 1
sin2alpha = frac{1}{2}

alpha = 15

]]> By: Quiero aprender LaTex http://gaussianos.com/circunferencia-y-triangulo/#comment-12292 Quiero aprender LaTex Fri, 23 Jul 2010 15:55:11 +0000 http://gaussianos.com/?p=1899#comment-12292 Para la último post se puede calcular haciendo un cambio de variable (t=tan(A)) i sabiendo que 90 - B = A: t + 1/t = 4. I nos da 75 i 15. Para la último post se puede calcular haciendo un cambio de variable (t=tan(A)) i sabiendo que 90 – B = A: t + 1/t = 4. I nos da 75 i 15.

]]> By: Gokuh http://gaussianos.com/circunferencia-y-triangulo/#comment-12291 Gokuh Mon, 04 Jan 2010 16:39:50 +0000 http://gaussianos.com/?p=1899#comment-12291 yo hice: pi*R^2=pi*(AB/2)^2=pi*(AB^2)/4 superficie circulo AC*BC/2 superficie triangulo AC^2+CB^2=AB^2 por pitagoras si: 8pi*(AB^2)/4)/(AC*BC/2)=2*pi despejamos y queda: AB^2/(AC*BC)=4 reemplazamos: AC^2+CB^2/(AC*BC)=4 despejando nuevamente llegamos a: AC/CB + CB/AC =4 por lo cual reemplazamos por: Tg(B) + Tg(A)=4 y si calculamos Tg(15)+Tg(75)=4 podemos demostrar (pobremente) que los angulos miden 15º y 75º. yo hice:

pi*R^2=pi*(AB/2)^2=pi*(AB^2)/4 superficie circulo
AC*BC/2 superficie triangulo

AC^2+CB^2=AB^2 por pitagoras

si: 8pi*(AB^2)/4)/(AC*BC/2)=2*pi

despejamos y queda: AB^2/(AC*BC)=4

reemplazamos: AC^2+CB^2/(AC*BC)=4

despejando nuevamente llegamos a: AC/CB + CB/AC =4
por lo cual reemplazamos por: Tg(B) + Tg(A)=4

y si calculamos Tg(15)+Tg(75)=4

podemos demostrar (pobremente) que los angulos miden 15º y 75º.

]]> By: Javier http://gaussianos.com/circunferencia-y-triangulo/#comment-12290 Javier Sun, 29 Nov 2009 18:12:20 +0000 http://gaussianos.com/?p=1899#comment-12290 Hola Galler ¿cual es la regla de las cuerdas? no la encuentro en internet. Intentando entender tu desarrollo, para aplicar semejanza de triángulos, el ángulo C debe ser recto. Hola Galler
¿cual es la regla de las cuerdas? no la encuentro en internet.
Intentando entender tu desarrollo, para aplicar semejanza de triángulos, el ángulo C debe ser recto.

]]> By: GALLER http://gaussianos.com/circunferencia-y-triangulo/#comment-12289 GALLER Sat, 28 Nov 2009 03:46:59 +0000 http://gaussianos.com/?p=1899#comment-12289 yo lo he resuelto distinto, primero del punto C bajo una perpendicular al lado AB que será mi altura H, luego de los datos dados obtengo que H=R/2, ahora prolongando esa altura H a la parte inferior del circulo, osea al lado opuesto de C horizontalmente obtengo una cruz por decirlo, ahora aplicando la regla de las cuerdas( triangulos semejantes) donde tengo que H*H=X*(2R-X), obtengo que X=(2R-(raiz de 3)*R)/2, y para el otro lado (2R+(raiz de 3)*R)/2, luego usando el teorema de pitagoras obtenemos para un angulo inferior 15 grados y para el otro 75 grados, y en ningun momento necesité que el triangulo ABC fuera rectangular. estubo muy bonito este problema, si alguien no me entendió como lo expliqué, le mandaré en un archivo como lo resolví mandando un correo a mi correo yo lo he resuelto distinto, primero del punto C bajo una perpendicular al lado AB que será mi altura H, luego de los datos dados obtengo que H=R/2, ahora prolongando esa altura H a la parte inferior del circulo, osea al lado opuesto de C horizontalmente obtengo una cruz por decirlo, ahora aplicando la regla de las cuerdas( triangulos semejantes) donde tengo que H*H=X*(2R-X), obtengo que X=(2R-(raiz de 3)*R)/2, y para el otro lado (2R+(raiz de 3)*R)/2, luego usando el teorema de pitagoras obtenemos para un angulo inferior 15 grados y para el otro 75 grados, y en ningun momento necesité que el triangulo ABC fuera rectangular. estubo muy bonito este problema, si alguien no me entendió como lo expliqué, le mandaré en un archivo como lo resolví mandando un correo a mi correo

]]> By: cdrman http://gaussianos.com/circunferencia-y-triangulo/#comment-12288 cdrman Sun, 08 Nov 2009 04:00:15 +0000 http://gaussianos.com/?p=1899#comment-12288 Hola, buenas noches. He intentado hacer el ejercicio sin mirar las soluciones que se han escrito ya. A ver si lo he hecho bien. Como verán no domino nada de LaTex. Nombramos lo ángulos de izquierda a derecha, alfa y beta. Como vemos el lado AB es equivalente al diámetro de la circunferencia, o lo que es lo mismo AB = 2R. A través de la igualdad que se nos da AreaTriangulo/AreaCircumferencia = 2PI. De eso sacamos que que la altura del triángulo es de R/2 (siendo R el radio de la circunferencia). Luego a través de la fórmula de pitágoras sabemos que: AB^2 = AC^2 + CB^2. Como sabemos AB=2R. Por pitágoras sacamos que AB^2 = AC^2+CB^2. Nos queda que 4R^2 = AC^2 + CB^2. A través de trigonometría sacamos que: 1.) AC = sin(x)*AB => 2R*sin(b). 2.) BC = sin(x)*AB => 2R*sin(x). Sustituimos en la igualdad de arriba y no queda: 4R^2 = 4R^2*sin^2(x) + 4R^2*sin^2(b)... simplificamos... 1 = sin^2(x) + sin^2(b). Con esto solo queda coger por ejemplo 15º y hacer la prueba. Como vemos si sustituimos nos da que el segundo ángulo es exactamente 75º. Creéis que el razonamiento es correcto? Muchas gracias. Hola, buenas noches. He intentado hacer el ejercicio sin mirar las soluciones que se han escrito ya. A ver si lo he hecho bien. Como verán no domino nada de LaTex.

Nombramos lo ángulos de izquierda a derecha, alfa y beta.

Como vemos el lado AB es equivalente al diámetro de la circunferencia, o lo que es lo mismo AB = 2R.

A través de la igualdad que se nos da AreaTriangulo/AreaCircumferencia = 2PI.

De eso sacamos que que la altura del triángulo es de R/2 (siendo R el radio de la circunferencia).

Luego a través de la fórmula de pitágoras sabemos que:
AB^2 = AC^2 + CB^2.

Como sabemos AB=2R.

Por pitágoras sacamos que AB^2 = AC^2+CB^2.
Nos queda que 4R^2 = AC^2 + CB^2.

A través de trigonometría sacamos que:

1.) AC = sin(x)*AB => 2R*sin(b).
2.) BC = sin(x)*AB => 2R*sin(x).

Sustituimos en la igualdad de arriba y no queda:

4R^2 = 4R^2*sin^2(x) + 4R^2*sin^2(b)… simplificamos…

1 = sin^2(x) + sin^2(b).

Con esto solo queda coger por ejemplo 15º y hacer la prueba.
Como vemos si sustituimos nos da que el segundo ángulo es exactamente 75º.

Creéis que el razonamiento es correcto?

Muchas gracias.

]]> By: Luis http://gaussianos.com/circunferencia-y-triangulo/#comment-12287 Luis Wed, 04 Nov 2009 21:52:36 +0000 http://gaussianos.com/?p=1899#comment-12287 Creo que ya lo demostraron antes pero aqui va mi demostracion (disculpen que no sepa usar LaTeX): 1) Siendo ABC un triangulo inscrito en el circulo, y teniendo los vertices A y B sobre un diametro entonces el angulo ACB es igual a 90 grados dado que el angulo central de ACB es una linea recta (diametro). 2) siendo A(circulo)=pi*R^2 y A(triangulo)=AB*h/2=2R*h/2=R*h siendo h la proyeccion de C sobre AB, entonces tenemos A(circulo)/A(triangulo) = (pi*R^2)/(R*h) = pi*R/h y a su ves igual a 2*pi entonces se deduce que R/h = 2 o bien R = 2h. 3) Sea O el centro del ciruclo, trazamos OC que es un radio que toca en C, entonces el angulo AOC es el angulo central correspondiente a ABC que es uno de los angulos que buscamos siendo ABC = 2AOC. 4) Sea P el punto donde toca la proyeccion de C sobre AB, asi CP = h, cosidere el triangulo rectangulo POC, de este triangulo deducimos que POC = AOC y sin(POC) = PC/OC = (R/2)/(R) = 1/2, por lo tanto POC = 30 grados y siendo POC = AOC = 2*ABC => ABC = 15 grados 5) Para encontrar CAB usamos CAB + ABC + BCA = 180 grados, y como ABC = 15 grados y BCA = 90 grados => CAB = 75 grados, lo que queriamos demostrar. Creo que ya lo demostraron antes pero aqui va mi demostracion (disculpen que no sepa usar LaTeX):
1) Siendo ABC un triangulo inscrito en el circulo, y teniendo los vertices A y B sobre un diametro entonces el angulo ACB es igual a 90 grados dado que el angulo central de ACB es una linea recta (diametro).
2) siendo A(circulo)=pi*R^2 y A(triangulo)=AB*h/2=2R*h/2=R*h siendo h la proyeccion de C sobre AB, entonces tenemos A(circulo)/A(triangulo) = (pi*R^2)/(R*h) = pi*R/h y a su ves igual a 2*pi entonces se deduce que R/h = 2 o bien R = 2h.
3) Sea O el centro del ciruclo, trazamos OC que es un radio que toca en C, entonces el angulo AOC es el angulo central correspondiente a ABC que es uno de los angulos que buscamos siendo ABC = 2AOC.
4) Sea P el punto donde toca la proyeccion de C sobre AB, asi CP = h, cosidere el triangulo rectangulo POC, de este triangulo deducimos que POC = AOC y sin(POC) = PC/OC = (R/2)/(R) = 1/2, por lo tanto POC = 30 grados y siendo POC = AOC = 2*ABC => ABC = 15 grados
5) Para encontrar CAB usamos CAB + ABC + BCA = 180 grados, y como ABC = 15 grados y BCA = 90 grados => CAB = 75 grados, lo que queriamos demostrar.

]]> By: hernan http://gaussianos.com/circunferencia-y-triangulo/#comment-12286 hernan Wed, 04 Nov 2009 20:19:28 +0000 http://gaussianos.com/?p=1899#comment-12286 @Jose: Ese cociente entre area del triangulo y del círculo es simplemente un dato del problema. SI se cumple esa relación, ENTONCES los ángulos del triángulo miden 15 y 75 grados. @Jose: Ese cociente entre area del triangulo y del círculo es simplemente un dato del problema. SI se cumple esa relación, ENTONCES los ángulos del triángulo miden 15 y 75 grados.

]]> By: Sophie Kovalevsky http://gaussianos.com/circunferencia-y-triangulo/#comment-12285 Sophie Kovalevsky Wed, 04 Nov 2009 17:03:44 +0000 http://gaussianos.com/?p=1899#comment-12285 Yo tengo otra manera de solucionarlo por potencia de un punto y arco capaz. Aunque realmente, la respuesta más ingeniosa es la de Javier aplicando la regla del angulo inscrito. Alguien sabe dónde me puede bajar algún tutorial de LatEX para comenzar a hacer mis aportaciones. Yo tengo otra manera de solucionarlo por potencia de un punto y arco capaz. Aunque realmente, la respuesta más ingeniosa es la de Javier aplicando la regla del angulo inscrito.

Alguien sabe dónde me puede bajar algún tutorial de LatEX para comenzar a hacer mis aportaciones.

]]> By: Jose http://gaussianos.com/circunferencia-y-triangulo/#comment-12284 Jose Wed, 04 Nov 2009 15:22:01 +0000 http://gaussianos.com/?p=1899#comment-12284 Una pregunta. En el enunciado dice que la relación entre las dos áreas es de $latex 2\pi$. ¿De dónde sale este dato? Quiero decir, esta relación se cumple siempre pero, ¿Por qué? Porque aquí todos los cálculos se han hecho suponiendo este hecho. Una pregunta. En el enunciado dice que la relación entre las dos áreas es de 2\pi. ¿De dónde sale este dato? Quiero decir, esta relación se cumple siempre pero, ¿Por qué? Porque aquí todos los cálculos se han hecho suponiendo este hecho.

]]>