Circunferencias concéntricas y polígonos regulares inscritos

El problema de esta semana es otro aporte de Domingo (muchísimas gracias otra vez) a esta sección. Y la verdad es que es muy original. Paso si más dilación a explicarlo y dejo además una imagen descriptiva del asunto que también me ha enviado Domingo:

Consideramos la sucesión de circunferencias concéntricas definida de forma recurrente del siguiente modo:

  1. Partimos de una circunferencia de radio 1 a la que llamamos C_3. Inscribimos en esta circunferencia un triángulo equilátero.
  2. En el triángulo equilátero anterior se construye su circunferencia inscrita, que llamaremos C_4; y en esta circunferencia inscribimos un cuadrado.
  3. En el cuadrado inscribimos otra circunferencia, que llamamos C_5, y después inscribimos en ésta un pentágono regular.
  4. En el pentágono regular se inscribe otra circunferencia, llamada C_6, y ahora se le inscribe a esta circunferencia un hexágono regular.
  5. Continuamos este proceso hasta el infinito.
  6. Las circunferencias así obtenidas son concéntricas (tienen el mismo centro) y sus radios son cada vez más pequeños. Es decir, tomando los radios de las mismas obtenemos una sucesión decreciente de números reales estrictamente positivos.La pregunta es la siguiente:

    ¿Cuál es la circunferencia límite a la que tiende el proceso? Es decir, ¿Cuál es el límite del radio de las circunferencias cuando el proceso se hace hasta el infinito? ¿Vale cero dicho radio (es decir, la circunferencia límite es un punto) o tiende a algún número positivo (esto es, la circunferencia límite es una circunferencia con radio positivo)?

    Adjuntamos imagen:

    Circunferencias concéntricas y polígonos inscritos

Según Domingoeste problema es más sencillo que el del producto de senos“. Vamos con esas aportaciones.

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Autor: ^DiAmOnD^

Miguel Ángel Morales Medina. Licenciado en Matemáticas y autor del blog Gaussianos. Puedes seguirme en Twitter o indicar que te gusta mi página de Facebook.

55 Comentarios

  1. Pido aclaración: evidentemente se trata de estudiar el límite n\rightarrow \infty de:

    r_n=r_3\cos\left(\frac{\pi}{n-1}\right)\cos\left(\frac{\pi}{n-2}\right)\dots\cos\left(\frac{\pi}{3}\right)

    Yo hasta ahora he sido capaz de probar que existe pero, ¿hay que dar una expresión para \frac{r_{\infty}}{r_3}? de eso, por lo de pronto, ni idea.

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  2. Según el Mathematica, eso da:

    0.114942+ 0.i

    Eso sí, no sé muy bien qué pinta el «cero coma i».

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  3. Quizá es que no es una coma, sino un signo de multiplicación: cero por i (parte compleja nula)

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  4. Muy bien pasotaman y acid. Efectivamente, el radio de la circunferencia límite es r_\infty=\displaystyle{\prod_{k=3}^\infty{cos\left(\frac{\pi}{k}\right)} }. Estáis hechos unos bestias 🙂 🙂

    Está claro que este producto converge, pero yo desconozco la naturaleza de este número. Ni siquiera sé si es irracional (aunque es de prever que sí lo es).

    Con el Mathematica, efectivamente se puede obtener un valor aproximado

    r_\infty\doteq 0.11494261207066802104643321737928388182

    haciendo el producto hasta k=10^6

    El producto converge demasiado lento y es ligeramente mejor evaluarlo convirtiéndolo en una suma (tomando logaritmos).

    ¿Alguien conoce algo acerca de este número?

    P.S.: Me parece curioso que si hacemos el proceso inscribiendo un mismo polígono regular entonces el radio en el infinito sí que se anula; mientras que si hacemos el proceso incrementando el número de lados entonces el radio se estabiliza en un valor no nulo.

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  5. se me pasó decir que parece que de la aproximación anterior r_\infty\doteq 0.11494261207…, al menos las 5 primeras cifras parecen ser significativas (converge bastante lento).

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  6. Intuitivamente yo interpreto que no tienda a cero cuando se aumenta el número de lados porque el propio polígono se aproxima entonces cada vez más a la circunferencia, de modo que “en el límite” el proceso termina inscribiendo una circunferencia dentro de sí misma, es decir, no haciendo nada.

    Una reflexión que no valdrá de nada a nadie, pero bueno ahí queda xD.

    Por cierto, a mí el del producto de senos me gustó.

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  7. interesante pasotaman. No obstante, si el proceso se hace duplicando el número de lados del polígono (y empezando por un cuadrado) entonces el radio también se estabiliza en un valor no nulo, pero que es casi 6 mayor que en este caso que se proponía:

    \displaystyle{\prod_{k=2}^\infty{cos\left(\frac{\pi}{2^k}\right)} \doteq 0.63661977}

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  8. Esta última expresión, sin embargo, sí que tiene un valor conocido:

    \displaystyle \prod_{k=2}^\infty \cos\left( \frac{\pi}{2^k}\right) = \frac{2}{\pi}

    Os propongo demostrarlo, así alargamos algo más este post.

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  9. Crees bien, fede. Fenomenal ésa que propones.

    Estos dos últimos casos (Asier y fede), son consecuencia de la igualdad:

    \cfrac{sen\;x}{x}=\displaystyle{\prod_{k=1}^\infty cos \left(\cfrac{x}{2^k}\right)}

    ¿Alguien la demuestra?

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  10. No caigo ahora en la demostración pero es bonito que ese complicado producto de infinitos cosenos resulte en algo tan simple como la función sinc(x) !!!

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  11. para polígonos circunscritos es evidente que el radio final es inverso del radio obtenido con polígonos inscritos.

    En los enlaces de fede, me parecen llamativos (y algo extraños), los errores en la estimación del radio en el infinito que han cometido algunos investigadores.

    Curiosa la relación que aparece en uno de los enlaces del radio límite con polígonos inscritos y la función zeta de Riemann evaluada en los valores pares.

    log \; r_{\infty}=-\displaystyle{\sum_{k=1}^{\infty} \cfrac{(4^k-1) \zeta(2k)[4(\zeta(2k)-1)-1]}{k\cdot4^k}}

    ¿Podríamos demostrarla?

    Tenemos pendiente probar la relación de la función sinc(x) con el producto infinito de cosenos (venga que no es nada difícil).

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  12. Tuve una errata al escribir la expresión de log \;r_\infty en términos de la función \zeta de Riemann. Debe decir:

    log \;r_\infty=-\displaystyle{\sum_{k=1}^\infty} \cfrac{(4^k-1)\zeta(2k)[4^k(\zeta(2k)-1)-1]}{k\cdot 4^k}

    Visto lo visto, estoy seguro de que tenemos capacidad para demostrar esa fórmula. Ánimo que sale más fácil de lo que parece.

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  13. Para la demostración de la fórmula del sinc, partimos de la fórmula del seno del ángulo doble (\sin\left(x\right)=2\sin\left(\frac{x}{2}\right)\cos\left(\frac{x}{2}\right) y la aplicamos sucesivamente al seno que nos sale cada vez, de modo que queda, el la k-ésima iteración:

    \sin\left(2x\right)=2^k\sin\left(\frac{x}{2^k}\right)\prod\limits_{l=1}^k\cos\left(\frac{x}{2^l}\right)

    Ahí vemos el k-ésimo producto parcial que nos interesa (que denotaremos por P_k). Dividiendo ambos lados entre x:

    \frac{\sin x}{x}=P_k\frac{\sin\left(\frac{x}{2^k}\right)}{\frac{x}{2^k}}

    Tomando el límite k \rightarrow \infty y sabiendo que el sinc vale 1 en el 0 ya lo tenemos.

    Me ha sorprendido ver lo fácil que es a pesar de la forma intimidatoria que tiene (al principio lo estaba intentando usando las series de Taylor y menudo rollo…).

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  14. Efectivamente pasotaman. Muy buena.

    (hay una errata menor, debe decir sen x y no sen (2x))

    Aunque la fórmula original (la que dice Asier del 2/\pi) parece ser de Viète, fue Euler quien dio por primera vez esa prueba más general sobre la función sinc dividiendo los ángulos a la mitad.

    Bueno, vamos ahora con la demostración de la relación entre el radio en el infinito y los valores de la función zeta de Riemann en argumentos pares, que seguro que también nos sale.

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  15. ¿Y que valor se obtiene si sólo se toman en cuenta los polígonos regulares con un número de lados iguales a números primos?. Triángulo, pentágono, heptágono, etc.

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  16. Bueno, siguiendo la pista que se da en el link que ponía fede http://mathworld.wolfram.com/PolygonCircumscribing.html , vamos a demostrar la expresión

    log \;r_\infty=-\displaystyle{\sum_{k=1}^\infty} \cfrac{(4^k-1)\zeta(2k)[4^k(\zeta(2k)-1)-1]}{k\cdot 4^k}

    (log denota logaritmo neperiano)

    para el radio en el infinito de la circunferencia límite del proceso de inscribir polígonos regulares aumentando el número de lados en una unidad en cada paso.

    Partimos de r_\infty=\displaystyle{\prod_{n=3}^\infty{cos\left(\frac{\pi}{n}\right)} }=\displaystyle{\prod_{n=3}^\infty{sec^{-1}\left(\frac{\pi}{n}\right)} }

    Entonces, log\; r_\infty=-\displaystyle{\sum_{n=3}^\infty} log\; sec \left(\cfrac{\pi}{n}\right)=-\displaystyle{\sum_{n=3}^\infty} \displaystyle{\int_0^{\frac{\pi}{n}}} tg\;x\;dx (ya que log\;sec\; x es primitiva de tg\;x!!)

    Ahora, el desarrollo en serie de la tangente http://en.wikipedia.org/wiki/Taylor_series viene dado por

    tg\;x=\displaystyle{\sum_{k=1}^\infty} \cfrac{(-4)^k\cdot B_{2k}\cdot(1-4^k)}{(2k)!}\cdot x^{2k-1},

    donde B_{2k} denotan los números de Bernoulli (!!) http://mathworld.wolfram.com/BernoulliNumber.html, y es válido en |x|\prec\cfrac{\pi}{2} (con convergencia uniforme en compactos).

    Intercambiando entonces serie e integral obtenemos que

    log\; r_\infty=-\displaystyle{\sum_{n=3}^\infty} \left( \displaystyle{\sum_{k=1}^\infty} \cfrac{(-4)^k\cdot B_{2k}\cdot(1-4^k)}{(2k)!}\cdot \cfrac{\pi^{2k}}{2k}\cdot\cfrac{1}{n^{2k}}\right)=

    $latex =
    -\displaystyle{\sum_{k=1}^\infty} \cfrac{(-1)^{k-1}\cdot(2\pi)^{2k}\cdot B_{2k}}{2\cdot(2k)!}\cdot\cfrac{(4^k-1)}{k}\left(\displaystyle{\sum_{n=3}^\infty} \cfrac{1}{n^{2k}}\right)$

    Conociendo que la función zeta de Riemann en los enteros pares se relaciona con los números de Bernoulli (!!) (ver enlace anterior o este otro http://mathworld.wolfram.com/RiemannZetaFunction.html )

    \zeta(2k)=\displaystyle{\sum_{l=1}^\infty}\cfrac{1}{l^{2k}}=\cfrac{(-1)^{k-1}\cdot(2\pi)^{2k}\cdot B_{2k}}{2\cdot(2k)!}

    entonces ya obtenemos que

    log\; r_\infty=-\displaystyle{\sum_{k=1}^\infty} \zeta(2k)\cdot\cfrac{(4^k-1)}{k}\left(\zeta(2k)-1-\cfrac{1}{2^{2k}}\right)

    que no es otra cosa que la expresión anunciada al principio.

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  17. Omar-P, no tengo conocimiento acerca del valor exacto de

    \displaystyle{\prod_{n=2}^\infty{cos\left(\frac{\pi}{p_n}\right)} }

    siendo p_n el enésimo número primo. No obstante, con el Mathematica y multiplicando hasta 5\cdot 10^5, se obtiene

    0.312832942

    con unas 5 o 6 cifras válidas.

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  18. Dominog H.A:
    Gracias por responder, siempre tan amable.
    Te cuento que el número 0,11494204485329620070104… se llama (O algunos lo llaman) constante de Kepler-Bouwkamp. En cuanto a la pregunta que hice en el comentario anterior, tú hallaste la respuesta correcta. Una expresión análoga para primos de la fórmula anteriormente vista. No por nada al número 0.3128329295… lo llaman “El análogo para primos de la constante de Kepler-Bouwkamp”. Saludos.

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  19. Gracias Omar-P, muy interesante la referencia. Al señor Bowkamp lo citan en los enlaces que había puesto fede:

    Bouwkamp, C. “An Infinite Product.” Indag. Math. 27, 40-46, 1965.

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  20. Muy interesante el link Omar-P. El desarrollo que hace para la constante de Kepler-Bowkamp en primos es muy similar al que puse arriba para la constante de Kepler-Bowkamp.

    ¿¿No les parece que asombroso que en ambos casos aparezca la función zeta en relación con el desarrollo en serie de la tangente??

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  21. Domingo H.A:
    Creo que también sería bueno mencionar aquí a Johannes Kepler y a su obra de 1596 titulada “Mysterium Cosmographicum”. Y entonces podemos hacernos una nueva pregunta:
    ¿Qué ocurre cuando extendemos el problema que has planteado en este post, sobre círculos y polígonos, a la tercera dimensión? Es decir, tomando en cuenta esferas y poliedros regulares. En principio vemos que aquí no se tiene una extensión infinita, pues sólo hay 5 poliedros platónicos. Sin embargo podemos preguntarnos ¿Cual es número que encontraríamos en este problema? ¿Será conocido este número?. ¿Será conocido este problema? Te dejo la inquietud… Saludos.

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  22. Omar-P, al tratarse únicamente de un número finito de poliedros regulares, los radios de las esferas que se inscriban tenderán a cero (es como si estuviésemos combinando progresiones geométricas de razones menores que la unidad). Esto mismo sucede en el plano si sólo consideramos sólo un número finito de polígonos a inscribir.

    Para que el proceso se estabilice es una esfera (o circunferencia en el caso plano) es condición necesaria considerar una cantidad infinita de objetos a inscribir.

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  23. Si no te gusta la geometría pasá al comentario siguiente.

    Domingo H.A:
    Tal vez me expresé mal. Yo me refería a un problema más sencillo: El caso en donde se tiene un conjunto de cuerpos formado sólamente por 5 poliedros y 6 esferas. El orden de los poliedros, desde afuera hacia adentro es: Tetraedro, hexaedro, octaedro, dodecaedro e icosaedro. Cada uno de ellos inscritos en una de las esferas concéntricas. ¿Cuál es el radio de la esfera inscrita en el más pequeño de los poliedros, es decir, en el icosaedro? ¿Es conocido ese número? ¿Es conocido este problema?

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  24. Omar-P, creo que ahora he entendido lo que proponías. En caso de inscribir los 5 poliedros regulares da igual el orden en que se haga pues al final el radio de la esfera resultante va a ser el mismo (en este proceso finito hay conmutatividad).

    Para responder a tu cuestión es útil conocer el radio de la esfera circunscrita R_C y el radio de la esfera inscrita R_I al poliedro correspondiente, en función de la arista A del poliedro. Entonces resumo aquí lo siguiente:

    1) Tetraedro: R_C=\cfrac{\sqrt{6}}{4}\cdot A,\quad R_I=\cfrac{\sqrt{6}}{12}\cdot A

    Vemos que \cfrac{R_I}{R_C}=\cfrac{1}{3}\doteq 0.333333 es la razón de la homotecia que nos permite pasar de la esfera original a la esfera que se obtiene tras inscribir un tetraedro.

    2) Cubo: R_C=\cfrac{\sqrt{3}}{2}\cdot A,\quad R_I=\cfrac{1}{2}\cdot A

    En este caso la razón es \cfrac{R_I}{R_C}=\cfrac{1}{\sqrt{3}}\doteq 0.57735

    3) Octaedro: R_C=\cfrac{\sqrt{2}}{2}\cdot A,\quad R_I=\cfrac{\sqrt{6}}{6}\cdot A

    En este caso la razón es \cfrac{R_I}{R_C}=\cfrac{1}{\sqrt{3}}\doteq 0.57735,

    y por tanto al inscribir un cubo o un octaedro se obtienen las mismas esferas!!!

    4) Dodecaedro: R_C=\cfrac{\sqrt{6}}{4}\cdot\sqrt{3+\sqrt{5}}\cdot A,\quad R_I=\cfrac{1}{4}\cdot\sqrt{\cfrac{50+22\sqrt{5}}{5}}\cdot A

    En este caso la razón es \cfrac{R_I}{R_C}=\sqrt{\cfrac{25+11\sqrt{5}}{15(3+\sqrt{5})}}\doteq 0.794654

    5) Icosaedro: R_C=\cfrac{1}{4}\cdot\sqrt{10+2\sqrt{5}}\cdot A,\quad R_I=\cfrac{\sqrt{3}}{12}\cdot(3+\sqrt{5}) A

    En este caso la razón es \cfrac{R_I}{R_C}=\cfrac{3+\sqrt{5}}{\sqrt{6(5+\sqrt{5})}}\doteq 0.794654,

    que sorprendentemente coincide (exactamente) con la razón obtenida para el dodecaedro!!! Es decir que si inscribe un dodecaedro o un icosaedro a una esfera dada, y a continuación se inscribe una esfera a este poliedro, entonces las esferas que se obtienen son iguales!! (No conocía este resultado!!)

    Bueno, finalmente multiplicamos las cinco razones para obtener el radio de la sexta y última esfera que surge en el proceso. Se obtiene como razón:

    \cfrac{7+3\sqrt{5}}{27(5+\sqrt{5})}\doteq 0.070164

    Espero que esto responda a tu cuestión. Ha salido todo muy bonito!

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  25. Otra curiosa propiedad (contraintuitiva?) del dodecaedro y el icosaedro:

    “El mismo círculo circunscribe el pentágono del dodecaedro y el triángulo del icosaedro inscritos en la misma esfera”.
    (Hypsicles de Alejandría, proposición 2 del ‘libro XIV de los Elementos’.)

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  26. Bién Domingo H.A.!
    El número 0.07016397003703392142828405435157… es una constante y creo que no es conocida. Esto es bastante interesante y raro pues, como habrás notado, el problema planteado parece tener un aspecto bastante clásico…

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  27. Domingo H.A:
    Creo que podemos expresar el enunciado del problema de las esferas concéntricas sin nombrar a ningún número. Veamos:
    “Los poliedros regulares convexos se hallan inscritos en esferas concéntricas. ¿Cuál es la razón de radios entre la esfera inscrita en el menor de los poliedros y la esfera mayor?”

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  28. Y el valor recíproco del último número visto es…….:
    14.25232921501135639390462188851…

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  29. Domingo H.A.
    Van 4 comentarios seguidos, perdón por ello.
    En cuanto a la fórmula final para resolver el problema de las esferas concéntricas, observé que existe una expresión más sencilla:
    (5 + sqrt(20))/135 = 0.0701639700370359214…

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  30. sí sí…es cuestión de ponerse a racionalizar y hacer unos cuantos malabarismos. También se puede relacionar con el número áureo si apetece: r=\cfrac{7\Phi+4}{135\Phi}

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  31. Cierto.
    En cuanto al cubo y a su esfera inscrita ¿Sabias que…
    la razón de superficies y la razón de volúmenes son iguales a 6/Pi?

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  32. Hola: ya que estan con los poliedros regulares sabian que se puede inscribir los poliedros en funcion decreciente a sus aristas? ,tetraedro en el exaedro este en el octaedro(ovio), este en el icosaedro y finalmente este en el icosaedro.

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  33. Volviendo al cubo y a su esfera inscrita ¿Sabías que el cubo del radio límite y la suma de los lados de los polígonos inscritos tiende a “e”?

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  34. Y la relacion de volumenes terminado el proceso son unos numeros bien feos ajajajja, saludos

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  35. Moñas y discipulodegauss:
    Serían ustedes tan amables de mostrarnos unos ejemplos numéricos de sus afirmaciones.

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  36. Hola Omar-P para empezar la relacion de volumenes son valores fijos pero ahora no los recuerdo eso lo construi hace varios años el que mas costo fue la inscripcion del octaedro en el dodecaedro ,para el fin de semana espero darme tiempo y buscare esos numeros ,saludos.

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  37. discipulodegauss:
    Espero que puedas encontrarlos. (Por cierto, fíjate que en tu comentario has nombrado al tetraedro, al hexaedro, al octaedro y 2 veces al icosaedro).

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  38. aclarar que con la imagen del octaedro inscrito en el dodecaedro solo resta operar para hallar la relacion de volumenes y que las graficas las hice a mano(por eso la mala calidad) por que en ese entonces no conocia otro modo,saludos

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  39. Con respecto al problema de las esferas concéntricas podemos ver que la expresión más sencilla de la razón de radios entre las 2 esferas que atrapan al dodecaedro (o al icosaedro) es………..: sqrt((5+sqrt(20))/15).

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  40. Hola a todos! 🙂 esta es la primera vez escribo, pero hace unas semanas que encontré esta página y la sigo a diario ya que me gusta mucho. Y este fue uno de los primeros problemas que intenté resolver…
    Como muchos de ustedes llegué a tener que resolver esto: \displaystyle{r_{\infty}=\lim_{n \to \infty}{\prod_{k=3}^{n}{cos(\frac{\pi}{k})}}}
    Hasta ahora no logré resolverlo, pero buscando por internet ejercicios sobre analisis complejo ( porque tengo que rendir el final en febrero ) encontré ejercicios donde pedían determinar productos infinitos similares a este, aunque en mi curso no vimos nada del tema. Alguien tiene alguna idea al respecto?

    Un saludo, que sigan asi con la página que está muy buena…

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  41. Este original problema, y su inverso, es decir tomar un triángulo equilátero, circunferencia circunscrita, cuadrado circunscrito, circunferencia circunscrita, pentágono regular circunscrito y así sucesivamente, está publicado en “Matemáticas e Imaginacion” de Kasner/Newman, junto con la solucion.

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