Circunferencias tangentes y rectas perpendiculares

El problema de esta semana es una aportación que GNeras me mandó al mail hace mucho tiempo. Vamos con él:

Dos circunferencias son tangentes exteriores entre sí y a dos rectas perpendiculares como muestra la figura:

Circunferencias tangentes

¿Cuál es el cociente de sus diámetros?

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114 comentarios

  1. Luis | 4 de marzo de 2008 | 10:32

    Vótalo Thumb up 1

    Este problema es bastante sencillo ¿no? Incluso yo, que dejé de hacer matemáticas en segundo de BUP, creo poder resolverlo.

    Llamemos A al círculo grande y B al pequeño, sus radios siendo respectivamente a y b. Lo que nos interesa en este caso es la distancia c del centro de A a la intersección de las dos rectas. Dado que éstas forman un ángulo recto, se puede crear un cuadrado cuyo lado sea a. Una vez hecho esto, c es simplemente la hipotenusa de un triángulo rectángulo cuyos catetos tienen longitud a. Es decir.

    c=\sqrt{2a^{2}}

    Una vez que sabemos esto, el diámetro de B (es decir, 2b) es una simple resta.

    2b=\sqrt{2a^{2}}-a

    Y dado que el diámetro de A es simplemente 2a, nos sale que el cociente de los diámetros de A y B se obtiene con la fórmula:

    \cfrac{2a}{\sqrt{2a^{2}}-a}

    ¿Lo he hecho bien o me he perdido algo? ¿Quién me iba a decir que a mi edad me iba a poner a resolver problemas de geometría en vez de irme a la cama?

  2. Oriol González Llobet | 4 de marzo de 2008 | 10:32

    Vótalo Thumb up 1

    Hola. Antes que nada, perdón por cómo voy a escribir lo que creo que es la respuesta, pues no sé escribir en LaTeX.

    Primero, las dos circumferencias se puede escribir como:

    c1 -> (x – r1)^2 + (y – r1)^2 = r1^2 (la pequeña)
    c2 -> (x – r2)^2 + (y – r2)^2 = r2^2 (la pequeña)

    Ahora, estamos buscamos el punto donde se unen. En las dos circumferencias, el punto donde se une tiene la característica que:

    x1 = y1
    x2 = y2

    Por tanto, busquémos primero x1:

    (x1 – r1)^2 + (x1 – r1)^2 = r1^2
    2*(x1^2 – 2*x1*r1 + r1^2) = r1^2
    2*x1^2 – 4*x1*r1 + r1^2 = 0
    x1^2 – 2*x1*r1 + (r1^2)/2 = 0

    Resolvemos la ecuación de segundo grado:

    x1 = (2*r1 +- sqrt(r1^2 – (4*r1^2)/2))/2

    Total, que da:

    x1 = y1 = r1*(1 +- sqrt(0’5))

    Mirando la figura, vemos que en el caso de la circumferencia pequeña nos interesa el resultado con el signo “+”. De modo que:

    x1 = y1 = r1*(1 + sqrt(0’5))

    En cuanto a la segunda circumferencia, si procedemos del mismo modo, llegamos a:

    x2 = y2 = r2*(1 +- sqrt(0’5))

    Pero en este caso, nos interesa el resultado con el signo “-“:

    x2 = y2 = r2*(1 – sqrt(0’5))

    Por último, en el punto donde se cruzan, tenemos que:

    x1 = y1) = x2 = y2

    Por tanto:

    r1*(1 + sqrt(0’5)) = r2*(1 – sqrt(0’5))

    Si aislamos r2, obtenemos:

    r2 = r1 * (1 + sqrt(0’5))/(1 – sqrt(0’5))

    Por tanto, la relación entre los radios (y, por tanto, también entre las circumferencias) es de:

    (1 + sqrt(0’5))/(1 – sqrt(0’5))

    Espero no haber hecho ningún error de cálculo. :-)

    Un saludo,

    Oriol.

  3. Jorge | 4 de marzo de 2008 | 10:53

    Vótalo Thumb up 0

    Sean r y R los radios de los círculos, respectivamente del pequeño y del grande. La distancia entre centros es R+r . La distancia horizontal (y la vertical) entre ambos centros es R-r . Por pitágoras se tiene que (R+r)^2 = 2 (R-r)^2 , de lo que se deduce que \frac{R}{r} = \frac{\sqrt{2}+1}{\sqrt{2}-1} .

  4. Javier | 4 de marzo de 2008 | 10:59

    Vótalo Thumb up 0

    Sea la primera una circunferencia de diametro 1. Suponemos que la 2ª circunferencia tiene relacion de diametros k. Si seguimos construyendo circunferencias, cada una mantendra la relacion k con la anterior. La suma de todos los diametros es la longitud desde el vertice desde el origen hasta el punto (x,x) de la 1ª circunferencia mas alejado del origen. Si la primera circunferencia es de diametro 1, el radio es 0,5. Asi que (x-0,5)^2+(x-0,5)^2=0,25=> 2*(x^2-x+0,25)=0,25 => 2x^2-2x+0,25=0 => x=(2+raiz(2))/4. Por tanto la suma de longitudes de diametros sera la diagonal del cuadrado formado por los puntos (0,0), (0,x), (x,0) y (x,x). En este caso d=raiz((3+2*raiz(2))/4)

    asi que:

    d=1+k+k^2+….

    kd=k+k^2+…

    d(1-k)=1

    dk=d-1

    k=(d-1)/d

    Aproximadamente k=0,171572875

    Saludos.

  5. Belen | 4 de marzo de 2008 | 11:32

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    A ver mi solución.

    La hipotenusa del cuadrado formado por los radios del círculo grande + las rectas es

    a sqrt(2)=a + b + b sqrt(2)

    Luego a/b = 3+2 sqrt(2)=5.82

  6. Pelícano | 4 de marzo de 2008 | 11:50

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    Estoy con Belen. (en sentido figurado claro…) jaja.

  7. Moisés Díaz | 4 de marzo de 2008 | 11:57

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    Llamamos r al radio de la circunferencia mayor.
    Con el triángulo cuyos catetos son r y cuya hipotenusa es r más el diámetro de la circunferencia menor, por el teorema de Pitágoras calculamos la hipotenusa:
    hip=\sqrt{r^2+r^2}=\sqrt{2r^2}

    Ahora calculamos el diámetro de la circunferencia menor (d), sabiendo que lo anteriormente calculado es d+r

    d=\sqrt{2r^2}-r

    Finalmente el cociente de los diámetros queda:

    \frac{2r}{sqrt{2r^2}-r}

    Despidiendo las letras nos queda que el cociente es:

    \frac{2}{sqrt{2}-1}=4.8284

  8. Moisés Díaz | 4 de marzo de 2008 | 11:58

    Vótalo Thumb up 0

    Llamamos r al radio de la circunferencia mayor.
    Con el triángulo cuyos catetos son r y cuya hipotenusa es r más el diámetro de la circunferencia menor, por el teorema de Pitágoras calculamos la hipotenusa:
    hip=\sqrt{r^2+r^2}=\sqrt{2r^2}

    Ahora calculamos el diámetro de la circunferencia menor (d), sabiendo que lo anteriormente calculado es d+r

    d=\sqrt{2r^2}-r

    Finalmente el cociente de los diámetros queda:

    \frac{2r}{\sqrt{2r^2}-r}

    Despidiendo las letras nos queda que el cociente es:

    \frac{2}{\sqrt{2}-1}=4.8284

  9. Omar-P | 4 de marzo de 2008 | 12:13

    Vótalo Thumb up 0

    Cuidado, el cociente no es la razón.

  10. Jorge | 4 de marzo de 2008 | 12:44

    Vótalo Thumb up 0

    \frac{R}{r} = \frac{\sqrt{2}+1}{\sqrt{2}-1} = 3+2\sqrt{2}  \approx 5,828427125

    \frac{r}{R} \approx 0,171572875

  11. Jorge | 4 de marzo de 2008 | 12:56

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    Éste uno de los atractivos de las matemáticas: Llegar a la misma conclusion desde de diferentes puntos de partida.

  12. Omar-P | 4 de marzo de 2008 | 13:12

    Vótalo Thumb up 0

    El cociente es 5.

  13. Guille | 4 de marzo de 2008 | 13:13

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    A mi me ha dado lo mismo que Jorge por consideraciones geometricas y aplicando un par de veces Pitágoras.

    \frac{D}{d}=\frac{\sqrt{2}+1}{\sqrt{2}-1}

    Que curioso que haya tantas respuestas distintas. ¿Puede aclararnos el jefazo cuál es la correcta?

  14. Jorge | 4 de marzo de 2008 | 13:41

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    Espero que el siguiente croquis (por tiempo limitado) aclare las cosas: http://es.geocities.com/soidsenatas/croquis.png

  15. Oriol González Llobet | 4 de marzo de 2008 | 14:36

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    El resultado al que he llegado antes también coincide con Belén y Jorge:

    (1 + sqrt(0′5))/(1 – sqrt(0′5)) = 5’828

    Saludos, :-)

    Oriol.

  16. jose | 4 de marzo de 2008 | 16:09

    Vótalo Thumb up 0

    Hola,

    el resultado 4.82 es incorrecto y el problema es asumir que, para el cuadrado de base R y altura R, la diagonal es R+2r. En realidad la diagonal es un poquito más larga,R+r+2^{1/2}r, ya que el radio de la circunferencia pequeña no llega al punto (0,0):

    2R^2\neq (R+2r)^2

    sino

    2R^2 = (R+r+(2r^2)^{1/2})^2

  17. jorge | 4 de marzo de 2008 | 17:59

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    a mi me da suponiendo que el radio de la circunferencia superior es 4( ya se que el resultado es el mismo dando el valor que sea al radio):
    8/1,6568=4,8236

  18. Belen | 4 de marzo de 2008 | 19:10

    Vótalo Thumb up 1

    Si el radio es igual a 8:
    R=8
    la hipotenusa del cuadrado grande es: (considerando el centro de la circunferencia grande + ejes)
    H=8*sqrt(2) (Pitágoras)
    la hipotenusa del cuadrado pequeño es: (considerando el centro de la circunferencia pequeña + ejes)
    h=r*sqrt(2)
    Entonces
    H=r+R+h
    8*sqrt(2)=r*sqrt(2)+r+8
    De donde r=1.37
    y R/r = 5.82
    La mejor forma sería con un croquis, pero no sé como insertarlo.

  19. Omar-P | 4 de marzo de 2008 | 19:22

    Vótalo Thumb up 0

    La razón de diámetros es igual al cuadrado de ( 1 + raíz de 2).
    Es decir R/r = (1 + sqrt(2))^2 = 5.82842712474619…

  20. Jorge | 4 de marzo de 2008 | 19:38

    Vótalo Thumb up 0

    Actualizo el croquis:

    http://es.geocities.com/soidsenatas/croquis2.png

    La hipotenusa del triángulo es el segmento unión de los centros de los círculos. La ecuación indicada no es más que aplicar Pitágoras. Al simplificarla, se obtiene el valor \frac{R}{r}.

  21. Eze M | 4 de marzo de 2008 | 20:14

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    Hice todas las cuentas mentalmente por falta de ganas de buscar papel y lapiz, pero llego como varios a
    \frac{D}{d}=\frac{\sqrt{2}+1}{\sqrt{2}-1}=3+2\sqrt{2}
    Espero haber cometido un numero par de errores :D

  22. Gus | 4 de marzo de 2008 | 20:59

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    1+cos(45º)

  23. Gus | 4 de marzo de 2008 | 21:00

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    ~=1.707

  24. Sebastián Ortega | 4 de marzo de 2008 | 21:21

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    Estoy con los que han dicho que el resultado es
    \frac{\sqrt{2} +1}{\sqrt{2}-1} que simplificando:
    \frac{\sqrt{2} +1}{\sqrt{2}-1} = \frac{(\sqrt{2} +1)(\sqrt{2} +1)} {(\sqrt{2}-1)(\sqrt{2} +1)} = \frac{2+2\sqrt{2}+1}{2-1} = 3 + 2\sqrt{2}

  25. Omar-P | 4 de marzo de 2008 | 21:59

    Vótalo Thumb up 1

    3 + (2*sqrt(2)) = (1 + sqrt(2))^2

  26. Odin | 4 de marzo de 2008 | 23:31

    Vótalo Thumb up 1

    Tomando un cuadrado que pase por los centros de los dos círculos, tendríamos que:
    Hipotenusa=r+R
    Lado=R-r

    Cos(45)=sqr(2)/2=(R-r)/(R+r)

    Despejando:

    R/r=[sqr(2)/2+1]/[1-sqr(2)/2]=5,828
    r/R=0,172

  27. Omar-P | 5 de marzo de 2008 | 01:23

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    Un modelo geométrico de la razón de diámetros:
    Se considera que el diámetro del círculo menor vale 1. Se traza un recta a 45 grados que atraviese los 2 círculos. Luego se traza una recta tangente a los 2 círculos y perpendicular a la anterior. El punto más cercano al origen que pertenece a la recta de diámetros y al círculo menor se llama A. El punto común a los 2 círculos se llama B. Sobre el diámetro mayor se traza un punto C tal que AB = BC. A partir del punto C se traza un segmento paralelo a la base del dibujo hasta interceptar la recta tangente que pasa por B, hallando así el punto E. Luego haciendo centro en E y partiendo de C se traza un arco hacia la izquierda del dibujo hasta encontrar la recta que pasa por B hallando el punto F. Luego se ubica un punto G sobre el diámetro mayor de tal forma que, haciendo centro en él, se pueda trazar un arco que contenga los puntos A, F y D. Luego se ve que si AB = BD = BE entonces CE = sqrt(2) y BF = 1 + sqrt(2).
    Se observa también que la semi-circunferencia AFD muestra que el diámetro BD es igual al cuadrado del segmento BF.
    Entonces la razón de diámetros es:
    BD/AB = (1 + sqrt(2))^2 = 3 + 2*sqrt(2) = 5,82842712474619…

  28. Omar-P | 5 de marzo de 2008 | 11:18

    Vótalo Thumb up 1

    Los puntos C y E se hallan trazando un arco desde A centrado en B.

  29. Omar-P | 5 de marzo de 2008 | 12:35

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    DiAmOnD:
    La construcción geométrica que acabo de describir sirve como base para resolver otro problema que comienza unicamente con la figura de una círculo y termina teniendo las mismas figuras que aparecen en el encabezamiento de este post:
    “Dado un círculo de diámetro AB hallar otro círculo tangente al primero de díametro BD de tal forma que 2 rectas tangentes a los 2 círculos sean perpendiculares entre sí. ¿Cuál es la razón de sus diámetros?”.

  30. Moisés Díaz | 5 de marzo de 2008 | 22:17

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    Estoy de acuerdo con Jose

    jose – 4 de March de 2008 16:09

  31. cua | 9 de marzo de 2008 | 20:55

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    ¿ cabría una tercera circunferencia entre las dos originales del problema y el eje X ? (de forma que esa tercera circunferencia fuese tangente a las otras dos y al eje X) Si cabe ¿ cuales son su centro y radio ? si no cabe ¿ como podria demostrarse ?

  32. Elpajarraco | 9 de marzo de 2008 | 21:03

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    ¿parece un problema facilillo no?
    tomemos al radio mayor de valor 1.
    llamemos a la distancia que falta desde la cca. hasta la interseccion de las 2 rectas y r al radio pequeño.

    entonces tenemos que 2 veces el radio pequeño mas x es igual a a la raiz de 2 menos 1.

    por otro lado por el teorema de tales tenemos que 1 partido por la raiz de 2 menos 1 es igual a r/r + x.
    es un sencillo sistema de dos ecuaciones con 2 incognitas que podemos resolver por reduccion y me sale finalmente que la razon entre el diametro mayor y el menos es 3.4142135…
    esta bien??

  33. Omar-P | 9 de marzo de 2008 | 21:07

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    Siempre cabe, cua, pues tres puntos determinan una circunferencia.

  34. Elpajarraco | 10 de marzo de 2008 | 01:22

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    hace tiempo que intento resover este problema, pero siempre me lio entre cosenos y senos:

    determinar las dimensiones de un triangulo cuyas medidas de los lados son numeros enteros consecutivos y el angulo mayor es el doble del menor.

  35. Francisco | 10 de marzo de 2008 | 05:22

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    Bueno yo lo hice asi.

    R : radio mayor
    r : radio menor

    k = r/R

    Podemos hacer una tercera circunferencia de radio r’ tangente a las dos rectas y a la circunferencia de radio r, la cual tendrá radio
    r’ = kr = (k^2)R. Asi podemos seguir haciendo circunferencias, las cuales tendran los radios:

    r” = kr’ = (k^2)r = (k^3)R
    r”’ = (k^4)R

    En el limite la suma del radio R con los diametros de las otras circunferencias es igual a la diagonal del cuadrado de lado R.

    R*raiz(2) = R + 2r + 2r’ + 2r” …
    R*raiz(2) = R + 2kR + 2(k^2)R + 2(k^3)R …
    raiz(2) + 1 = 2 + 2k + 2(k^2) + 2(k^3) …
    raiz(2) + 1 = 2 + k(2 + 2k + 2(k^2) … )
    raiz(2) + 1 = 2 + k(raiz(2) + 1)
    raiz(2) – 1 = k(raiz(2) + 1)

    k = (raiz(2) – 1) / (raiz(2) + 1)

  36. cua | 10 de marzo de 2008 | 10:35

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    Omar-P : efectivamente cualquier terna de puntos está incluida en una única circunferencia, pero además en mi post anterior se plantea un problema en el que se pide que es anueva circunferencia sea tangente, y no todas las ternas de puntos llevan a una esfera tangente (a las otras dos y al eje).

    De todas formas, hay una demostración muy sencilla de que existe una solución y es única. Además, creo que esa demostración se puede extender, y en todos los huecos que quedan se pueden poner más esferas con el mismo procedimiento, y en los nuevos huecos, etc…. así hasta el infinito, y entonces se plantean estas cuestiones ¿ cual es el área total ? ¿ es un área máximal ? (la primera cuestion no es complicada, la segunda se me escapa, aunque a mi me da que la respuesta es positiva).

  37. cua | 10 de marzo de 2008 | 11:16

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    ahora que lo pienso, se pueden cubrir completamente los dos huecos que quedan, usando infinitas esferas.

  38. Omar-P | 10 de marzo de 2008 | 12:06

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    Cua, dije que hay 3 puntos que determinan una circunferencia en respuesta a tu pregunta sobre si cabría o no cabría una tercera circunferencia (Ver comentario 09/03/2008 20:55).

  39. cua | 10 de marzo de 2008 | 12:51

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    Omar-P: efectivamente, eso fue lo que entendi. En mi respuesta a las 10:35 del 10 de marzo, lo que digo es que no solo se pide que la nueva circunferencia simplemente quepa en el hueco , sino que además sea tangente a las otras dos y al eje, y eso implica (si no me equivoco, que puede ser) que la respuesta no sea, en mi opinion, “trivial”, en el sentido de que no es suficiente para resolver el problema decir simplemente que tres puntos definen una circunferencia. Hay que encontrar esos tres puntos y demostrar que la circunferencia que pasa por ellos es tangente en el sentido dicho antes.

    De todas formas, repito, no es dificil encontrar la solución.

  40. Omar-P | 10 de marzo de 2008 | 20:43

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    Pensar que la tercera circunferencia pudiese no ser tangente a las otras dos y al eje x es un despropósito pues eso quedo claramente expresado en el planteo del problema. Los 3 puntos que mencioné son los únicos puntos de contacto entre la tercera circunferencia con las otras dos y con el eje x.

  41. cua | 11 de marzo de 2008 | 01:37

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    de acuerdo Omar-P, creo que te habia entendido mal, perdona.

  42. Omar-P | 11 de marzo de 2008 | 16:48

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    Aclarado el punto, cua, te digo que los problemas que has planteado me resultan muy interesantes…

  43. cua | 11 de marzo de 2008 | 19:59

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    Omarp: conjeturo que lo huecos se pueden rellenar completamente con infinitas esferas, pues dado cualquier punto en un hueco, siempre podemos añadir más y más esferas (cada vez más pequeñas) hasta llegar a cubrir ese punto, luego en el límite se cubren todos los puntos. Desde luego, esto no es nada formal, y es posible que se me escape algo. Para empezar, no he hecho ninguna revision de bibliografía relacionada.

  44. Omar-P | 11 de marzo de 2008 | 20:24

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    Creo entender, cua, que en el comentario del 10/03/08 10:35, cuando dices esferas quieres decir circunferencias y que en el comentario del 11/03/2008 19:59, cuando dices esferas quieres decir círculos.

  45. cua | 11 de marzo de 2008 | 20:43

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    Omar-P: efectivamente. Por cierto, hay mucha bibliografía sobre ‘packing’ de un numero finito de círculos (discos) de igual tamaño, pero no veo tanto de distinto tamaño.

  46. Omar-P | 11 de marzo de 2008 | 21:21

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    Pienso que nunca se podrá tapar todos los huecos con círculos, pues por cada círculo que se agrega aparecen 2 nuevos huecos.

  47. cua | 12 de marzo de 2008 | 10:34

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    Omar: Efectivamente, cada circulo cubre parte de un hueco y crea tres huecos (hay dos huecos más). Los 3 huecos se cubren (parcialmente) con 3 discos, que producen 9 huecos que se cubren con 9 discos mas pequeños, que producen 27 huecos huecos…. y así indefinidamente. A cada paso se añaden el triple de circulos que en el anterior, y el área que queda por cubrir se reduce en un porcentaje que (creo) es fijo. Por tanto, el área por cubrir va disminuyendo y tiende a cero, y el área de los circulos va creciendo y tiende a ser el área completa del hueco o huecos originales.
    Al final, mi conjetura es que se cubren todos los puntos.

  48. Omar-P | 12 de marzo de 2008 | 11:08

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    La conjetura de la posibilidad de cubrir todos los huecos con círculos es falsa porque cada círculo que se agrega solo cubre el hueco parcialmente.

  49. Asier | 12 de marzo de 2008 | 11:45

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    Yo estoy con cua, ¿puedes darnos, si no, Omar-P, un punto del área inicial que alguna circunferencia no vaya a cubrir?
    Recordemos que disponemos de infitos círculos…

  50. Omar-P | 12 de marzo de 2008 | 12:10

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    Interesante polémica se ha abierto en Gaussianos.

  51. Domingo H.A. | 12 de marzo de 2008 | 12:21

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    Omar-P, permíteme que discrepe con tu razonamiento (“Pienso que nunca se podrá tapar todos los huecos con círculos, pues por cada círculo que se agrega aparecen 2 nuevos huecos”). Esto me recuerda al conjunto de Cantor, que tiene “longitud” cero, a pesar de ir eliminando la tercera parte de la sucesión de intervalos que definen al conjunto de Cantor.

  52. Omar-P | 12 de marzo de 2008 | 18:15

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    Domingo H.A., Asier, cua:
    Para formalizar el problema, imaginemos un cuadrado que hay que rellenar con círculos tangentes, sin solaparse unos con otros. (Un problema similar al caso que nos ocupa).
    El primer círculo que se agregue será tangente a los cuatro lados del cuadrado y dejará 4 huecos. A partir de allí, por cada círculo que se agregue, el número neto de huecos se incrementará en 2 unidades. Entonces pienso que no se puede rellenar completamente el cuadrado utilizando círculos pues en cualquiera de los pasos el número de huecos es 2 unidades mayor que el doble del número de círculos:

    H = 2 + 2C.

    Veamos el detalle:
    —————————-
    Círculos Huecos
    —————————-
    1 ………….. 4
    2 ………….. 6
    3 ………….. 8
    4 …………. 10
    5 …………. 12
    6 …………. 14
    7 …………. 16
    … …
    Los círculos a utilizar pueden ser infinitos, pero los huecos también lo serán.

    Veámoslo de otro modo: Si se pudiera tapar todos los huecos con círculos entonces habría un paso que sería el último (En este paso se taparía el último hueco). Dado que todos los huecos tienen 3 vértices, es imposible rellenar completamente un hueco, de esas características, utilizando un círculo.

  53. cua | 12 de marzo de 2008 | 18:35

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    Omar-P: no se si me he explicado bien, pero en mi planteamiento está usar infinitos circulos, es decir, digo que se cubre el área completa de los huecos en un proceso infinito de añadir circulos. Por tanto, no cabe hablar de un “ultimo paso”. En un número finito de pasos, efectivamente, no se cubre el área. Visto de otra forma: dado un área total inita A de los huecos pendientes de cubrir, siempre podemos encontrar un numero finito de pasos que dejan huecos de área total menor que estricto que A.

  54. Omar-P | 12 de marzo de 2008 | 18:42

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    Cua, por cada círculo que se agrega el número de huecos a tapar se incrementa en 2 unidades.
    Por más que se agreguen infinitos círculos siempre quedarán infinitos huecos que tapar.

  55. Domingo H.A. | 12 de marzo de 2008 | 18:44

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    Omar-P, estaba pensando en ese ejemplo con el cuadrado. Aunque no he tenido tiempo de escribir las cosas como se debe, sigo pensando que el proceso que indicas nos va a conducir a un conjunto de medida nula (tipo Cantor), lo cual no entra para nada en conflicto con que el número de huecos se haga infinito pues las áreas se hacen cada vez más pequeñas.

    Por cierto, cada círculo tangente añade tres huecos, no?

  56. Omar-P | 12 de marzo de 2008 | 18:48

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    Domingo H.A: Cada nuevo círculo añade 3 huecos pero también quita 1. El incremento neto es igual a 2.

  57. Domingo H.A. | 12 de marzo de 2008 | 18:48

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    “The points which are never inside a circle form a set of measure 0 having fractal dimension approximately 1.3058″

    http://mathworld.wolfram.com/ApollonianGasket.html

    http://www.cut-the-knot.org/Curriculum/Geometry/ApollonianGasket.shtml#M

    http://en.wikipedia.org/wiki/Apollonian_gasket

  58. cua | 12 de marzo de 2008 | 18:52

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    por fin he encontrado algo sobre este tema, parece que esto se llama “Apollonian Packings”, hay información y figuras aquí

  59. Omar-P | 12 de marzo de 2008 | 19:03

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    Creo, Domingo H.A., que no estamos en un contexto de física en donde el tamaño de los círculos y de los huecos es importante. Pienso que aquí las medidas son irrelevantes y sólo importa la forma de los círculos y de sus huecos lindantes.

  60. Domingo H.A. | 12 de marzo de 2008 | 19:08

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    es llamativo que estos empaquetamientos con círculos y esferas aparezcan en trabajos recientes en revistas de alto impacto en física aplicada y multidisciplinar (Phys. Rev Lett., Phys. Rev. E, Physica A, J Comput Phys,…).

  61. Omar-P | 12 de marzo de 2008 | 19:11

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    Es natural que así ocurra pues recordemos que en las últimas décadas a nacido una nueva ciencia: La nanotecnología.

  62. Domingo H.A. | 12 de marzo de 2008 | 19:17

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    Ya que estamos con este tema, propongo un ejercicio sencillo, relacionado con el original:

    Dadas dos circunferecias tangentes entre sí, y tangentes ambas a una recta dada (como en problema original), hallar el radio de la circunferencia tangente común a las dos circunferencias y a la recta. Dar una relación entre los tres radios de las tres circunferencias.

  63. cua | 12 de marzo de 2008 | 19:59

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    Esta claro que, según la literatura, existen puntos que no se cubren nunca, aunque el conjunto de puntos que no se cubren tiene medida de área nula, como se ve en los articulos referenciados por Domingo. (al menos para los huecos entre tres discos), Me pregunto como se podrán caracterizar esos puntos, pues no me “imagino” donde están.

  64. Omar-P | 12 de marzo de 2008 | 20:05

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    Están en los huecos lindantes a los círculos más pequeños que uno pueda imaginar…

  65. Omar-P | 12 de marzo de 2008 | 20:55

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    Creo, Domingo H.A., que la solución al problema que has planteado hoy, a las 19:17 es:
    R(1) = R(2) = 4*R(3) si las 2 circunferencias iniciales son iguales. Si no son iguales entonces es similar al problema planteado por cua, el 09/03/08, 20:55, en lo referente a los radios de las circunferencias.

  66. cua | 12 de marzo de 2008 | 21:11

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    Omar-P: creo que no existen “los circulos más pequeños que uno pueda imaginar”, ya que el proceso es infinito.

  67. Domingo H.A. | 12 de marzo de 2008 | 21:12

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    Llevas razón, Omar-P. Si los radios R_1 y R_2 son iguales (a R) , la circunferencia “encajada” tiene radio \cfrac{R}{4}. Pero, no se ha comentado nada sobre el caso con radios distintos en general. Ánimo que sale una relación muy curiosa.

  68. Omar-P | 12 de marzo de 2008 | 21:19

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    Si el proceso es infinito, cua, entonces siempre habrá círculos que agregar y huecos por tapar.

  69. Omar-P | 12 de marzo de 2008 | 23:15

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    Si no me equivoco, la solución al problema planteado por cua y al problema planteado por Domingo H.A. es:

    R(3) = 1/((1/sqrt(R(2)))+(1/sqrt(R(1))))^2

    Siendo R(3) el radio de la cincunferencia más pequeña.
    Se trata de un Sangaku, más precisamente el tercer teorema japonés de Mikami y Kobayashi:

    El valor recíproco de la raíz cuadrada del radio la circunferencia más pequeña es igual a la suma de los valores recíprocos de las raíces cuadradas de los radios de las otras 2 circunferencias.

    Una expresión más elegante es:

    (1/(sqrt(R(3)))) = (1/(sqrt(R(2)))) + (1/(sqrt(R(1))))

    PD: Tal vez Domingo H.A., usando LaTeX, pueda presentar la solución en mejor forma.

  70. Domingo H.A. | 12 de marzo de 2008 | 23:22

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    Omar-P, sí señor, ahí quería llegar: \cfrac{1}{\sqrt{R_3}}=\cfrac{1}{\sqrt{R_1}}+\cfrac{1}{\sqrt{R_2}}

    lo cual nos da una fórmula recursiva para ir calculando los radios de los círculos tangentes. Nos faltaría deducir ahora la expresión del radio de una circunferencia tangente a otras tres dadas, pero esta ya se sabe que viene dada por la fórmula de Descartes

  71. Omar-P | 12 de marzo de 2008 | 23:51

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    Ahora que nombras a Descartes, Domingo H.A., recuerdo que en un comentario del post de enero de 2008 titulado “Entre sucesiones anda el juego” hice notar que el dibujo inicial del post me hacía recordar a los Sangaku. Luego hice un link a una página de Sangakus
    en donde aparece la bonita fórmula de Descartes (Ver comentario del 17/02/08 15:00 y el anterior). En la parte del texto siguiente a la fórmula de Descartes, veo ahora que aparece también el problema de las 3 circunferencias que estuvimos tratando de resolver. Ja, ja, ja…

  72. cua | 13 de marzo de 2008 | 10:45

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    Omar-P: hay numerosos ejemplos de fractales que cubren todo un area con elementos cada vez más pequeños y más numerosos, por ejemplo la curva de Hilbert, u otros que ha nombrado Domingo antes. Es cierto que el numero de huecos crece indefinidamente, pero el área total de todos esos huecos decrece y tiende a cero según los artículos referenciados por Domingo. Es algo parecido a los racionales dentro de los reales: hay infinitos pero forman un conjunto de longitud cero. No hay ninguna contradiccion en esto. Esto es lo que yo he dicho antes, que el área tiende a cero, y en ese sentido se puede decir que “casi” se cubre todo el área, pero no absolutamente toda pues siempre quedan huecos que forman un fractal auto-similar de área nula. Yo intuia que se cubre todo, y me choca que no sea así, en ese sentido estaba equivocado, aunque es cierto que el área de los huecos es nula en el limite. Lo que digo es que siento curiosidad por la caracterizacin de los huecos, pero desgraciadamente me falta tiempo para ponerme a ello.

  73. cua | 13 de marzo de 2008 | 10:46

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    (queria decir que siento curiosidad por la caracterización de los puntos que nunca se cubren ni siquiera en el limite).

  74. Omar-P | 13 de marzo de 2008 | 14:30

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    Bueno, cua, ahora estamos de acuerdo en que no se puede cubrir todos los huecos con círculos ni tapar todos los puntos de los huecos.
    En cuanto a la caracterización de estos puntos que no se pueden tapar, como una primera aproximación, creo que se puede tener una idea intuitiva de su localización al pensar que son los puntos más cercanos a los vértices de los huecos. Por ejemplo, en el caso del cuadrado a rellenear con círculos, en el paso cero ya sabemos que los 4 puntos más cercanos a los vértices nunca podrán ser tapados. Creo que debemos concentrarnos en el punto más cercano a cada vértice. Vemos que los vértices del cuadrado tienen 1 punto más cercano y los demás vértices tienen un punto más cercano de cada lado.

    Si llamamos:

    C = Círculos.
    H = Huecos.
    V = Vértices de los huecos.
    P = Puntos más cercanos a los vértices.

    Tenemos que:

    H = 2 + 2C
    V = 3 + C + H
    P = 3H

    La cantidad de puntos más cercanos a los vértices es 3 veces la cantidad de huecos.
    Los puntos que no se pueden tapar también son infinitos.

  75. Omar-P | 13 de marzo de 2008 | 15:12

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    Creo, Asier, que en tu comentario del 12/03/08 11:45, donde dices circunferencia, quieres decir círculo. Si es así, creo que en mi comentario anterior se responde a tu pregunta sobre la existencia de algún punto del área inicial que algún círculo no pueda llegar a cubrir.

  76. Asier | 13 de marzo de 2008 | 17:02

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    Reconozco que esos puntos existen y son infinitos, Omar-P, pero como ya se ha comentado forman un conjunto de medida nula, es decir, el área efectiva que representan es cero, por ser puntos aislados. Es algo así como los racionales respecto a los reales, la longitud del segmento [0,1] es 1 aunque quitemos todos los racionales.

  77. cua | 13 de marzo de 2008 | 17:59

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    Los vértices de los huecos son puntos donde dos discos son tangentes y están cubiertos por tanto. No veo que otros puntos son “los más cercanos” a ellos, es decir: cualquier punto de un hueco guarda una distancia finita no nula con el punto más cercano en el borde un disco tras un numero finito de pasos….

  78. cua | 13 de marzo de 2008 | 18:00

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    Por otro lado, los puntos que no se pueden tapar son infinitos, pues de otra forma no formarian un fractal

  79. Omar-P | 13 de marzo de 2008 | 18:24

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    Si, cua, los puntos que no se pueden tapar son infinitos, ya lo dije antes. No se puede tapar un hueco de 3 vértices con un círculo.

  80. cua | 14 de marzo de 2008 | 10:48

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    Omar: anoche se me ocurrio pensar que, si los discos son abiertos (de hecho según la wikipedia, el termino “unit disk” se refiere al disco abierto), entonces los puntos de la frontera de cada disco añadido claramente no son nunca cubiertos nunca por ningún discos. Todos esas circunferencias forman un fractal, que probablemente tiene dimension superior a 1 (es “algo más” que una curva o seria de curvas) e inferior a 2 (es “algo menos” que un área extensa). No se si los articulos referenciados antes hacen esta suposicion, habría que verlo. Sin embargo, si asumimos (de hecho es lo que yo asumía cuando dije que creia que se cubrían todos los puntos) que los discos son cerrados (contienen a su frontera) entonces los huecos que quedan evidentemente son abiertos (no contienen su frontera). Esto significa que, tras cualquier número finito de pasos, los huecos son regiones abiertas, y cualquier punto P que consideremos en esas regiones está a una distancia no nula de algún disco, y por tanto hay otros puntos aún más cercanos que P al punto más cercano en la circunferencia que es la frontera de algún disco. En este caso (discos cerrados) sigo sin ver donde están los puntos nunca alcanzados. Aunque puedo estar equivocado (y seguramente soy algo cabezón), el argumento de que en el límite hay infinitos huecos no me acaba de convencer como demostración de que existen puntos no alcanzados. Me gustaría ver una demostración que diga: los puntos que cumnplen tal o cual condicion nunca son alcanzados. He intentado encontrar esa condición, pero “no me viene” ;).

    Para poner un ejemplo de lo que digo, imagina un triángulo equilátero que se divide en cuatro. Ahora “rellenamos” el sub-triangulo central (incluyendo su frontera), lo que nos deja tres huecos (regiones abiertas) que son triángulos equiláteros. Ahora repetimos este proceso recursivamente con cada uno de esos tres triángulos equiláteros. Al igual que en el caso de los discos, tenemos un número de huecos (abiertos) que divergen, pero de nuevo podemos preguntarnos si tras infinitos pasos cubriríamos completamente el triángulo original, o bien podemos dar una caracterización de puntos que nunca se cubren.

    Otro ejemplo donde si se pueden caracterizar puntos que nunca se alcanza es en un cuadrado (supongamos que es de lado unidad y la esquina inferior izquierda es el origen) que se divide en cuatro iguales y se “rellenan” los sub-rectángulos superior izquierdo e inferior derecho. Aquí se cubre el punto centro del cuadrado, que está en la diagonal principal. Si el proceso de repite infinitas veces de forma recursiva en los dos huecos cuadrados que quedan, al final hay puntos en la diagonal principal que nunca se cubren, en concreto solo se cubren (de la diagonal principal) puntos de coordenadas (x,x) (con x entre cero y uno) tales que existen dos naturales m y n tales que x=m/2^n. Fuera de la diagonal principal (si no me equivoco) se cubren todos los puntos. Aquí sí hemos caracterizado los puntos cubiertos.

  81. Asier | 14 de marzo de 2008 | 14:39

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    La verdad es que el tema es muy interesante. Particularmente significativo y adecuado me parece el último ejemplo que has puesto, cua, donde vamos rellenando un cuadrado. En este caso vemos claramente que acabamos cubriendo todo el área del cuadrado original salvo ciertos puntos de la línea diagonal. Los puntos que cubrimos, como bien has señalado, son racionales, con lo cual los que no cubrimos son al menos todos los irracionales. Por lo tanto en este caso tenemos una longitud efectiva que ha quedado sin rellenar, pero como una línea no abarca ningún área, ocurre que lo que hemos cubierto es todo el área. No sé si en este caso tiene sentido hablar de dimensión fractal (que algún entendido me corrija si meto la pata) pero diría que es 1, porque los puntos no cubiertos abarcan una longitud determinada.

    En el caso de los círculos, creo que ocurre lo mismo pero tenemos infinitas (pero numerables) longitudes que quedan sin cubrir. Aún así la suma de estas longitudes no es suficiente para abarcar un área efectiva, por ser un infinito numerable (podemos ir ‘contando’ los círculos que dibujamos) y por eso la dimensión fractal es mayor que 1 pero menor que 2, como ya lo había citado Domingo H.A. en un comentario.

    Espero no haber dicho ninguna barbaridad…

  82. Omar-P | 15 de marzo de 2008 | 14:09

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    Cua, Asier, Domingo H.A., con respecto al problema de los círculos y huecos con 3 vértices creo que podemos afirmar, al menos en en cada paso, que las posiciones de los puntos que nunca serán cubiertos son las más próximas a cada vértice y la demostración (Me parece) es que si el punto más cercano a cada vértice pudiera ser cubierto entonces todos los demás puntos también podrían serlo, lo cual entra en contradicción con la afirmación de que existen infinitos puntos que nunca pueden ser cubiertos.

  83. cua | 17 de marzo de 2008 | 11:36

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    Omar: yo no puedo afirmar eso que tu dices, por dos motivos: (1) esta clarísimo que no existen los puntos “más cercanos” al borde o a los vértices de una región (un hueco) que no contiene su frontera, y (2), el hecho de que haya infinitos huecos no implica que haya puntos sin cubrir (hay contraejemplos, como el del triángulo equilátero que puse arriba u otras variantes más simples del mismo que puedo explicar si quieres).

  84. Omar-P | 17 de marzo de 2008 | 14:32

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    ¿Y donde está la cabra? digo ¿Y dónde están los puntos?

  85. cua | 17 de marzo de 2008 | 19:06

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    Omar: la idea de que no se cubren todos los puntos está implicita en el hecho de que el “conjunto residual” (los puntos nunca cubiertos) tiene dimension fractal aprox. de 1.305… y por tanto dicho conjunto no puede ser vacio. Domingo, en un post, enlaza una página de mathworld sobre estos empaquetamientos, donde se cita este hecho, y donde se incluyen referencias a trabajos de Boyd y Mandelbrot que tratan de dicho “conjunto residual” (residual set). He estado buscando en la literatura algo sobre que cosa se considera exactamente dicho “residual set”, y he encontrado algo en un artículo sobre el tema, es este:

    Apollonian circle packings: number theory.
    Ronald L. Graham, Jeffrey C. Lagarias, Colin
    L. Mallows, Allan R. Wilks and Catherine H. Yan
    Journal of Number Theory 100 (2003) 1–45

    (disponible aquí

    Al comienzo de la sección 5 (pág 26) se dice explícitamente:

    The residual set of a disk packing P (not necessarily an Apollonian packing) is the set remaining after all the (open) disks in the packing are removed, including any disks with ‘‘center at infinity.’’ For a general disk packing P we denote the Hausdorff dimension of the residual set by \alpha(P) and call it the residual set dimension of the packing….

    Así que, como yo sospechaba, se habla del conjunto residual considerando que vamos rellenando con discos abiertos, no cerrados. Por tanto, y aunque no tengo la prueba, en el caso de usar discos cerrados creo que se cubre todo el área de los huecos originales.

    Por tanto, mi respuesta a tu pregunta anterior es: no hay cabra ;)

    Respecto a la prueba, quizás se podria hacer considerando un punto arbitrario de un hueco y encontrando una secuencia de discos cada vez más pequeños que se van añadiendo hasta que se cubre dicho punto en un número finito de pasos.

  86. Omar-P | 17 de marzo de 2008 | 20:17

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    Yo creo, cua, que al disminuir paso a paso el tamaño de los huecos, desde el punto de vista de la física éstos llegan a ser tan pequeños que puede considerárselos como nulos. Sin embargo, desde el punto de vista geométrico, la forma de los huecos y de los círculos no cambia, por más que el proceso sea infinito. Es por eso que sigo sin ver como un círculo puede cubrir un hueco de 3 vértices. Tal vez alguien pueda explicar lo contrario. Sería bueno que intente hacerlo con palabras sencillas y sin recurrir a tecnicismos.

  87. Asier | 17 de marzo de 2008 | 22:46

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    Se me ha ocurrido este ejemplo para intentar simplificar al máximo el problema: consideremos una circunferencia de radio unidad centrado en el origen de coordenadas. Ahora dibujamos otra circunferencia de radio 1/2 centrado también en el origen y rellenamos el área que hay entre las dos circunferencias. Continuamos el proceso indefinidamente tomando cada vez una circunferencia con la mitad del radio anterior.

    ¿Se cubre el punto (0,0)? En el límite sí, pero creo que se trataría de uno de esos puntos que consideramos que nunca se cubren.

    Sé que no es exactamente el problema original de los círculos pero tal vez valga para aclarar ideas. El de los cuadrados planteado por cua también me parece de lo más adecuado.

  88. Omar-P | 18 de marzo de 2008 | 00:39

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    Con respecto al modelo original uno puede creer que:
    1) Hay huecos y puntos que nunca se cubren.
    2) Todos los huecos se cubren. Hay puntos que nunca se cubren.
    3) Hay huecos que nunca se cubren. Todos los puntos se cubren.
    4) Se cubren todos los huecos y puntos.
    ¿Cuál elije usted?

  89. Eze M | 18 de marzo de 2008 | 02:56

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    Hola! La verdad es que nunca tuve idea sobre el tema, si bien hasta recién pensaba que todos los puntos se cubrían, ahora creo que si existen puntos que nunca se cubren. Por lo que en mi humilde opinión elijo:

    2)Todos los huecos se cubren. Hay puntos que nunca se cubren :D

  90. Domingo H.A. | 18 de marzo de 2008 | 18:34

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    He estado pensando un poco sobre el tema de los discos abiertos o cerrados. Por simplificar, he comenzando con el caso unidimensional con una construcción al estilo del conjunto de Cantor.

    He visto que cuando se construye el conjunto de Cantor se hace o bien suprimiendo intervalos abiertos o bien semiabiertos (no se obtienen exactamente los mismos conjuntos, pero la esencia es la misma). Por ejemplo, dado el conjunto (0,1) se va dividiendo en tres partes en cada etapa y se suprimen los intervalos semiabiertos centrales en cada etapa: [\frac{1}{3},\frac{2}{3}), [\frac{1}{9},\frac{2}{9}), [\frac{7}{9},\frac{8}{9}), y así sucesivamente. En cada paso se reduce la medida 2/3 de la anterior, y en el límite queda un conjunto, de medida cero, cuyos elementos son precisamente aquellos números en (0,1) cuya expresión decimal en base 3 no contiene al 1. Estos números son precisamente los extremos inferiores de los intervalos que van sobreviviendo en cada paso.

    Ahora la pregunta es, ¿cómo quedaría el conjunto de Cantor si, partiendo de (0,1), vamos suprimiendo los intervalos cerrados centrales que surgen al dividir en tres partes? Pues según lo anterior (seguiría siendo un conjunto de medida nula), este conjunto debe ser vacío, pues está contenido en el conjunto que surge eliminando intervalos semiabiertos, pero resulta que vamos quitando los extremos de los intervalos (que eran los puntos que forman el conjunto de Cantor original).

    De aquí vamos a dar el salto a las contrucciones bidimensionales que se han comentado arriba. Lo que voy a comentar no demuestra nada, sino que es sólo una intuición que habría que formalizar bien.

    Voy a considerar el caso del cuadrado en el que se suprime un disco abierto tangente a los lados, y luego en las esquinas se van suprimiendo discos abiertos tangentes en cada paso (permanecen las circunferecnias). Puesto que estamos suprimiendo discos abiertos, el proceso en el límite equivale a una intersección numerable de conjuntos cerrados, que es cerrado. Además este conjunto debe ser medible (intersección numerable de conjuntos medibles) y debe tener medida nula, pues en otro caso tendría medida positiva y contendría al menos un disco, pero esto contradice el proceso seguido, ya que vamos suprimiendo una alto porcentaje de área en cada iteración. Esto no es nada riguroso pero parece que es cierto si calculamos los radios con paciencia, y evaluamos el área que vamos suprimiendo en cada etapa. La idea es que si contuviera un disco (con una cierta área), podríamos iterar el proceso lo suficiente como para asegurar que el área que queda es menor que el área del supuesto disco (y así llegar a un absurdo).

    Así obtenemos un conjunto de medida cero (que además tendrá dimensión fraccionaria, de modo similar al “apollonian gasket”), que consiste en el borde del cuadrado y todas las circunferencias que surgen en el proceso.

    Viendo lo que ocurría con el caso del conjunto de Cantor al considerar intervalos semiabiertos o cerrados, ahora si elimimamos discos cerrados partiendo del cuadrado, el proceso nos debe conducir de nuevo a un conjunto de medida nula que estará contenido en el conjunto anterior (el que se obtiene eliminando discos abiertos). Pero ahora resulta que vamos eliminando los discos incluyendo sus circunferencias. Así pues el proceso nos conducirá finalmente y únicamente a los puntos del borde del cuadrado original que no son puntos de tangencia con ninguna de las circunferencias del proceso. Y ahora la pregunta es: ¿existen puntos en el borde de cuadrado que no son puntos de tangencia con ninguna circunferencia? La respuesta es que sí deben existir ya que la cantidad de circunferecias que surgen en el proceso es numerable y el conjunto de puntos del borde del cuadrado no lo es.

    En fin, espero haberme explicado, aunque no se si lo que he escrito convence. Creo que el razonamiento es correcto a falta de darle formalidad, lo cual parece un poco engorroso por el hecho de que los radios dependen del tipo de tangencia de las circunferencias.

  91. Omar-P | 18 de marzo de 2008 | 18:57

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    Entonces, Domingo H.A., con respecto al comentario del 18/03/08 0:39, cuál opción te parece correcta.

  92. Domingo H.A. | 18 de marzo de 2008 | 19:22

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    “huecos” no hay (es decir, el proceso no tiende a un conjunto de medida positiva), y la existencia de puntos depende de si se suprimen discos abiertos o cerrados. Si hubiera “huecos”, podrías incluir un disco pequeño en el conjunto resultante, pero puedes iterar el proceso lo suficiente como para ver que las áreas “que van sobrando” pueden hacerse menores que cualquier cantidad positiva que prefijemos.

  93. Omar-P | 18 de marzo de 2008 | 19:44

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    ¿Vendría a ser la opción 2?

  94. Asier | 18 de marzo de 2008 | 20:46

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    Tal y como yo lo he entendido su opción sería la 4: “…el proceso nos conducirá finalmente y únicamente a los puntos del borde del cuadrado original que no son puntos de tangencia con ninguna de las circunferencias del proceso”.

    Domingo H.A., te agradezco la explicación pero creo que no has abordado lo que al menos para mí es el quid de la cuestión: si eliminando los círculos cerrados quedan puntos no cubiertos (en el interior del cuadrado). Has dado por hecho que sí. Tal vez sea así, y esa fue mi impresión inicial. Luego me convencí de lo contrario con el argumento de que cada círculo siempre deja áreas sin cubrir (y que en el límite serían puntos), y ahora vuelvo a dudar.

    ¿Podemos demostrar claramente que con círculos cerrados no quedan puntos sin cubrir?

  95. Domingo H.A. | 18 de marzo de 2008 | 21:25

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    Lo que quise decir es que, intuitivamente, si al quitar discos dejamos sus circunferencias entonces parece que al final nos quedaremos con el cuadrado unido a todas las circunferencias de los discos que surgen en el proceso (y éste es, en esencia, el fractal que surge en caso de los círculos de Apolonio). Pero si por el contrario se quitan los discos cerrados entonces, como el conjunto resultante debe estar contenido en el anterior, y ahora hemos suprimido las circunferencias, sólo nos quedan al final ciertos puntos del borde del cuadrado (aquellos que, perteneciendo al borde del cuadrado, no pertencezcan a ninguna circunferencia tangente con el borde…que los hay y en cantidad no numerable).

  96. Omar-P | 19 de marzo de 2008 | 10:31

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    Pienso que introducir nuevos modelos, con la opción de círculos abiertos o cerrados y con distintas figuras, tiene la ventaja de poder hacer comparaciones entre ellos, pero también es cierto que dispersa un poco la atención sobre el problema original planteado por cua en el comentario 11/03/08 19:59 (Recordemos que donce dice esferas debe decir círculos). Creo que el problema original se presenta en forma más clara si le añadimos colores. Por ejemplo: Imaginemos una superficie de color azul sobre la que apoyamos 3 círculos de color verde tangentes entre sí. Las circunferencias pertenecen a los círculos. Quedará delimitada una superficie azul, entre los 3 círculos verdes, a la que llamaremos hueco. El hueco tiene 3 vértices (Véase la figura de los discos de Apolonio). Si ahora comenzamos a incorporar sucesivos círculos verdes tangentes entre los tres discos originales para intentar tapar el hueco azul inicial y los que se irán formando, entonces las preguntas son:
    1) ¿Se puede tapar todos los huecos azules?
    2) ¿Se puede tapar todos los puntos azules?

  97. Omar-P | 19 de marzo de 2008 | 10:39

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    Yo pienso que no en los 2 casos, porque la forma de los huecos y círculos no cambia en los sucesivos pasos y porque no se puede tapar un hueco azul de 3 vértices con un círculo verde.

  98. cua | 20 de marzo de 2008 | 18:54

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    Estuve pensando en el conjunto de Cantor, y después vi la página de la Wikipedia al respecto (aquí). En concreto en este caso el “conjunto residual” es el propio conjunto de Cantor, el conjunto que queda después de quitar infinitos intervalos abiertos de longitud cada vez más pequeña.

    En la wikipedia se demuestra que los puntos del conjunto de Cantor son incontables (no numerables), mientras que claramente los extremos de los intervalos centrales son contables (numerables). Por tanto, se deduce que, incluso aunque se usen intervalos cerrados, el conjunto residual es no vacio, aunque en cualquier caso su medida (longitud) sigue siendo nula.

    En una primera aproximación, yo hubiese dicho (un poco a lo bruto) que, en la construcción de Cantor, si se usan intervalos cerrados, se cubren todos los puntos (el conjunto residual es vacío), pero al pensar un poco más me di cuenta de que estaba equivocado, y esto lo confirma la demostración de la wikipedia.

    Por tanto, en el caso de los discos creo que debo cambiar de opinión, y ahora me inclino más por pensar que realmente quedan puntos por cubrir, aunque por descontado su área es nula (creo que esto es lo que quieres decir con que “no quedan huecos”, que aunque queden puntos, su área es nula),

    Asi que, Omar-P, mi opción es la 2.

    Falta todavía la demostración, por supuesto, pero ni mi nivel de matemáticas ni mi poco tiempo libre creo que me permitirán encontrarla alguna vez…. ;)

  99. Domingo H.A. | 20 de marzo de 2008 | 20:10

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    vaya, vaya, cua, gracias por la corrección…reconozco mi error garrafal al decir que llegamos al conjunto vacío si suprimimos intervalos cerrados en la construcción del conjunto de Cantor. En fin, así pues, en todo caso, nos quedamos con conjuntos (no vacíos) de medida nula .

  100. HJim | 24 de marzo de 2008 | 04:01

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    Hola a todos, andaba navegando por ahi buscando pruebas alternativas sobre la trascendencia de \pi y me encontré con este blog… Efectivamente, si vamos quitando discos abiertos, nos queda un conjunto conexo (lineas) que tiene medida cero en el plano (esta parece ser una confusión que ha generado diversas ideas). El conjunto tiene dimensión mayor o igual a 1, pero su medida es cero en el plano!
    Por otro lado, si se quitan los discos cerrados, el conjunto residual es un conjunto discreto (puntos aislados). Esto se puede ver de manera equivalente a tomar la intersección infinita de los intervalos abiertos anidados \cap_{n=1}^{\infty} ]-\frac{1}{n},\frac{1}{n}[, el conjunto residual es \{0\}.

    Debemos notar que los intervalos cerrados son los “discos” cerrados de dimensión 1.

    Finalmente, mi respuesta al problema:
    Solo hay que ver cual es la relación entre las dos circunferencias (independientemente de ser la diagonal, el radio, etc.) Si trazamos una recta que cruce los centros de las dos circunferencias desde la intersección de las rectas hasta tocar la circunferencia mayor en la parte “exterior” tenemos que esa distancia es R\sqrt{2}+R y el punto equivalente en la circunferencia menor es R\sqrt{2}-R, por lo tanto, cancelando la R tenemos {\sqrt{2}+1}:{\sqrt{2}-1}. Esta razon es independiente de que sean los radios, los diametros, los perimetros, segmentos de arco o cualquier otro elemento de dimensión 1, dentro de las circunferencias. Finalmente el cociente (equiv a Guille, Jorge y otros más) es \frac{R}{r}=\frac{\sqrt{2}+1}{\sqrt{2}-1}

  101. Domingo H.A. | 4 de abril de 2008 | 21:17

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    Ya que se ha hablado del conjunto de Cantor en este post, les dejo esta curiosa y sencilla cuestión por si resulta de interés y alguien la quiere estudiar:

    \cfrac{1}{2}\;\mathcal{C}+\cfrac{1}{2}\;\mathcal{C}=[0,1], donde \mathcal{C} es el conjunto (ternario) de Cantor.

    Aclarar que, en los números reales, entendemos por suma de conjuntos: A+B=\{a+b/a\in A,b\in B\}

  102. ManuelB | 14 de abril de 2008 | 10:42

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    Si llamamos R al radio de la circunferencia mayor y r al de la menor tendremos:
    (R+r)^2=2(R-r)^2
    Desarrollando nos queda : 6=R/r+r/R
    Si hacemos R=1 nos queda:
    r = 3±2sqr(2) , con lo cual:
    r/R = 3-2sqr(2)~= 0.171572
    R/r = 3+2sqr(2)~= 0.828427

  103. fernando | 5 de agosto de 2008 | 18:15

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    Lo concluido por luis es correcto pero quedaria mas bonito si saca “a” como factor comun en numerador y denominador y simplifica …. lo que nos daria una bella constante…
    saludos

  104. fernando | 5 de agosto de 2008 | 18:42

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    perdon luis …. te quito mi apoyo (jajaja) luego de hacer mis propias ecuaciones me di cuenta que que el resultado es R/r= 5.8284 …

  105. Luis | 5 de agosto de 2008 | 21:09

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    No te preocupes, Fernando. Hace tiempo que me di cuenta de que mi solucion era mala.

  106. Andres | 16 de octubre de 2008 | 12:11

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    Si tengo un triangulo de 1000 por 500 metros y quiero cubrirlo con circulos de 20 metros de diametro ¿como tendría que colocar los circulos para que el rectangulo estuviera completamente tapado con los circulos?.

  107. andrea | 1 de marzo de 2009 | 18:12

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    q son las rectas parpendiculares?

  108. andres | 1 de marzo de 2009 | 18:13

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    q son las rectas parpendiculares?

  109. andres | 17 de mayo de 2009 | 22:45

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    dado los puntos A(4,-1) Y B(-1,-2) y una recta x+y=25 que pasa por el centro de la circunferencia. Hallar la ecuacion de la circunferencia

  110. andres | 17 de mayo de 2009 | 22:47

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    por fa ayudenme con el ejercicio no entiendo

  111. Antonio | 9 de octubre de 2009 | 22:48

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    Creo haber dado con la solución. Se resuelve por proporcionalidad. Pero la trampa está en que no se deben tomar las diagonales completas que forman ambos círculos con los cuadrados en que quedan inscritos, ya que la circunferencia menor está en contacto con la mayor, debiéndose restar por ello el trozo de diagonal simétrico al que queda entre la intersección de dicha circunferencia menor con la diagonal y el extremo inferior izquierdo del cuadrado en que se inscribe. Sería muy claro con un dibujo.

    Demos el valor de 1 al radio mayor (por tanto su diámetro valdrá 2) y llamemos “d” al diámetro menor, cuyo valor desconocemos. Llamemos “m” a la medida de la pseudo-diagonal menor, que va desde el punto de tangencia entre ambas circunsferencias hasta el mencionado vértice inferior izquierdo; y “M” a la pseudo-diagonal mayor, que va, de manera semejante, desde dicho vértice hasta el punto de intersección entre la diagonal y el extremo más alejado de la circunferencia mayor (arriba a la derecha de toda la representación geométrica).
    Diremos entonces que:
    “2” (diámetro mayor) es a “d” (diámetrom menor) como “M” (pseudo-diagonal mayor) es a “m” (pseudodiagonal menor).
    Si trazan un dibujo, observarán que, por Pitágoras,
    M = 2+(raíz de 2)-1 = (raíz de 2)+1
    (Es demasiado largo de explicar sin dibujo, pero tengan en cuenta que 1 es el valor del radio mayor y a la vez la mitad del lado del cuadrado en que se inscribe la circ. mayor).
    Asimismo,
    m = (raíz de 2)-1.

    Despejamos:
    d= 2(raíz de 2)-2 / (raíz de 2)+1 =

    = (raíz de 8)-2 / (raíz de 2)+1 =
    = 0,343145…

    Este es, pues, el valor del diámetro menor en función del mayor, al que dimos el valor de “2”. Como el problema nos pide el cociente entre ambos,
    2:0,343145 = 5,8284398….

    Esta es la solución final. O sea, que el diámetro de la circunferencia mayor es casi 6 veces el de la menor. Lo he trazado con un buen programa de dibujo y me lo corrobora.
    Gracias por su atención.

  112. espabilao | 31 de octubre de 2009 | 12:51

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    (Tras 5000 comentarios) Menos mal que era sencillo.

  113. Ces Howard | 4 de diciembre de 2009 | 00:24

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    A!!!! Caray esta facilismo y no lo pudieron acer afff namas lo vi y lo ize era logico we eso si tenia un trampa xD

  114. Ces Howard | 4 de diciembre de 2009 | 00:25

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    pero noc Creo haber dado con la solución. Se resuelve por proporcionalidad. Pero la trampa está en que no se deben tomar las diagonales completas que forman ambos círculos con los cuadrados en que quedan inscritos, ya que la circunferencia menor está en contacto con la mayor, debiéndose restar por ello el trozo de diagonal simétrico al que queda entre la intersección de dicha circunferencia menor con la diagonal y el extremo inferior izquierdo del cuadrado en que se inscribe. Sería muy claro con un dibujo.

    Demos el valor de 1 al radio mayor (por tanto su diámetro valdrá 2) y llamemos “d” al diámetro menor, cuyo valor desconocemos. Llamemos “m” a la medida de la pseudo-diagonal menor, que va desde el punto de tangencia entre ambas circunsferencias hasta el mencionado vértice inferior izquierdo; y “M” a la pseudo-diagonal mayor, que va, de manera semejante, desde dicho vértice hasta el punto de intersección entre la diagonal y el extremo más alejado de la circunferencia mayor (arriba a la derecha de toda la representación geométrica).
    Diremos entonces que:
    “2″ (diámetro mayor) es a “d” (diámetrom menor) como “M” (pseudo-diagonal mayor) es a “m” (pseudodiagonal menor).
    Si trazan un dibujo, observarán que, por Pitágoras,
    M = 2+(raíz de 2)-1 = (raíz de 2)+1
    (Es demasiado largo de explicar sin dibujo, pero tengan en cuenta que 1 es el valor del radio mayor y a la vez la mitad del lado del cuadrado en que se inscribe la circ. mayor).
    Asimismo,
    m = (raíz de 2)-1.

    Despejamos:
    d= 2(raíz de 2)-2 / (raíz de 2)+1 =

    = (raíz de 8)-2 / (raíz de 2)+1 =
    = 0,343145…

    Este es, pues, el valor del diámetro menor en función del mayor, al que dimos el valor de “2″. Como el problema nos pide el cociente entre ambos,
    2:0,343145 = 5,8284398….

    Esta es la solución final. O sea, que el diámetro de la circunferencia mayor es casi 6 veces el de la menor. Lo he trazado con un buen programa de dibujo y me lo corrobora.
    Gracias por su atención.

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