Circunradio e inradio

El problema semanal esta semana aparece el lunes. Vamos con él:

Sean R y r, respectivamente, el circunradio e inradio de un triángulo ABC. Demostrar que:

\cfrac{cos(A)}{sen^2(A)}+\cfrac{cos(B)}{sen^2(B)}+\cfrac{cos(C)}{sen^2(C)}\geq \cfrac{R}{r}.

Suerte.

Autor: ^DiAmOnD^

Miguel Ángel Morales Medina. Licenciado en Matemáticas y autor de Gaussianos y de El Aleph. Puedes seguirme en Twitter o indicar que te gusta mi página de Facebook.

9 Comentarios

  1. La solución que he encontrado a este problema pasa por una curiosa acotación
    Demostrar que si a,b y c son los lados de un triángulo, entonces se tiene que

    X(a,b,c) / X(a^2^,b^2,c^2) <= 1/3( 1/a + 1/b + 1/c)

    donde X(a,b,c) denota la media aritmética simple de los valores a,b,c.
    Con esto y los teoremas del seno y del coseno sale fácil.
    Un saludo.

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  2. Por una parte he sustituido los cosenos a partir del “Teorema de coseno” y los senos por su relación con el área y los lados. Por otra parte “R” y “r” por su equivalencia con el área y el semiperimetro. Despues de operar llego a la conclusión que el cuadrado de la suma de los lados es superior a la suma de sus cuadrados. Perdonad pero me resulta muy dificultoso pasar la demostración con LaTex

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  3. Bueno Sebas, esa conclusión es válida en general: (a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2(ab+bc+ac)>a^2+b^2+c^2, si a,b,c son números reales positivos.

    No obstante, con lo que has comentado ya tienes la demostración a tiro 🙂

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  4. Si S = \dfrac{1}{2}bc\cdot sen(A) es el área del triángulo, usando los teoremas del seno y del coseno tenemos

    \dfrac{cos(A)}{sen^2(A)}= \dfrac{R}{2S} \cdot \dfrac{b^2+c^2-a^2}{a} y por otro lado \dfrac{R}{r} = R \cdot\dfrac{a+b+c}{2S}.

    Por tanto la desigualdad a demostrar se convierte en

    \dfrac{b^2}{a} +\dfrac{c^2}{a} +\dfrac{a^2}{b} +\dfrac{c^2}{b} +\dfrac{a^2}{c} +\dfrac{b^2}{c} \ge 2(a + b + c)

    Si  a^2 \ge b^2 \ge c^2, entonces \dfrac{1}{a} \le \dfrac{1}{b} \le \dfrac{1}{c}, y de todos los productos a^2x+b^2y+c^2z, donde (x,y,z) es una permutación de (\dfrac{1}{a}, \dfrac{1}{b}, \dfrac{1}{c}), el que tiene el valor mínimo es aquel en que x \le y \le z, es decir cuando (x,y,z) = (\dfrac{1}{a}, \dfrac{1}{b}, \dfrac{1}{c}).

    Entonces \dfrac{a^2}{b} + \dfrac{b^2}{c} +\dfrac{c^2}{a} \ge a+b+c  \qquad  \dfrac{a^2}{c} + \dfrac{b^2}{a} +\dfrac{c^2}{b} \ge a+b+c

    y sumando miembro a miembro tenemos la desigualdad anterior.

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  5. Aunque no me ha servido para el problema, se cumple la siguiente identidad:

     cos(A) + cos(B) + cos(C) = 1 + \dfrac{r}{R}

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  6. Excelente, fede.

    También sale la desigualdad que indicas teniendo en cuenta que \frac{a^2}{b}+\frac{b^2}{a}\geq a+b, como consecuencia de desarrollar (a^2-b^2)(1/a-1/b)\leq 0 (desigualdad que se da directamente para a y b positivos).

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