Coincidencias matemáticas

Generalmente las matemáticas son muy curiosas en muchos sentidos, y puede que uno de los más claros (y posiblemente más accesibles para todo el mundo) sean los números. Me refiero exactamente a las curiosidades numéricas, números que en principio no tienen nada que ver y que en realidad son tan parecidos que parecen iguales. De hecho para muchas cosas se pueden considerar iguales, ya que la diferencia que hay entre ellos es tan pequeña que en la vida real no seríamos capaces de apreciarla. Hoy os traigo una lista de coincidencias en ese sentido:

  • e^\pi\simeq\pi^e

    Estas dos potencias que relacionan estas constantes tan conocidas tienen valores muy cercanos:

    e^\pi\simeq 23,1407
    \pi^e\simeq 22,4592

  • \pi^2\simeq 10

    Concretamente \pi^2\simeq 9,8696. De hecho esto se utiliza en la práctica utilizando $latex\sqrt{10}$ como aproximación de \pi.

  • \pi\simeq \frac{22}{7}

    Este hecho ya lo conocíamos en Gaussianos. De hecho se conoce una aproximación mejor: \pi\simeq \textstyle{\frac{355}{113}}.

  • \log_2{x} \simeq \ln{x}+\log_{10}{x}

    La diferencia es más o menos del 5%.

  • 2^{10} \simeq 10^3

    Se tiene que 2^{10}=1024 y 10^3=1000.

  • e^\pi\simeq \pi+20

    Mucho más aproximado que el primer dato de esta lista.

  • e^{\pi \cdot \sqrt{n}} \simeq k\in\mathbb{Z}

    Es decir, e^{\pi \cdot \sqrt{n}} se acerca mucho a un número entero para ciertos valores de n. Quizás el más conocido sea el resultado para n=163.

  • Una milla \simeq \phi kilómetros

    Ya que una milla son 1609 metros y \phi kilómetros serían 1618 metros. Evidentemente, \phi es el número aúreo.

  • 2^{\frac{7}{12}}\simeq \frac{3}{2}

    Ya que 2^{\frac{7}{12}}=1,49831 y \frac{3}{2}=1,5. Este hecho tiene ciertas aplicaciones en música.

  • \pi\simeq\frac{63}{25}\left ( \frac{17+15\sqrt{5}}{7+15\sqrt{5}}\right )

    No conozco ninguna utilidad de esto, pero la aproximación es buenísima. No me extraña que, según parece, se deba al grandísimo Ramanujan.

Espero que os haya parecido interesante la lista. Si conocéis más hechos de este tipo no dudéis en comunicárnoslo a través de un comentario.

Fuente:

Autor: ^DiAmOnD^

Miguel Ángel Morales Medina. Licenciado en Matemáticas y autor de Gaussianos y de El Aleph. Puedes seguirme en Twitter o indicar que te gusta mi página de Facebook.

25 Comentarios

  1. Por cierto, a tenor de la primera coincidencia… en algún sitio leí (no recuerdo dónde, lo siento) que o uno de los dos valores e^\pi ó \pi^e es irracional mientras que del otro no se sabe nada (aún).

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  2. Lo de que 2^{10} \simeq 10^3 da lugar a innumerables confusiones en el mundo de la informática y las comunicaciones. Por ejemplo, cuando se habla de bytes, siempre se usan las potencias de dos ( 1 kilobyte = 1024 bytes; 1 megabyte = 1024 kilobytes; etc). Sin embargo, cuando se habla en bits (muy habitual dar las velocidades en bits por segundo), siempre se usan las potencias de 10 (1 kilobit/s = 1000 bit/s; 1 megabit/s = 1000 kilobit/s; etc).

    Respecto a las aplicaciones musicales de la pseudoigualdad  2^{7 \over 12} \simeq {3 \over 2} , mi amigo David publicó el otro día un par de posts muy interesantes sobre el tema: 1 y 2.

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  3. 2º3 + 16º3 = 9º3 + 15º3 = 4104 con º= elevado al exponente ….

    \frac{1}{\pi} = \frac{2\sqrt{2}}{9801} \sum^\infty_{k=0} \frac{(4k)!(1103+26390k)}{(k!)^4 396^{4k}}

    1+\frac{1}{1\cdot 3} + \frac{1}{1\cdot 3\cdot 5} + \frac{1}{1\cdot 3\cdot 5\cdot 7} + \frac{1}{1\cdot 3\cdot 5\cdot 7\cdot 9} + \cdots + {{1\over 1 + {1\over 1 + {2\over 1 + {3\over 1 + {4\over 1 + {5\over 1 + \cdots }}}}}}} = \sqrt{\frac{e\cdot\pi}{2}}

    aun no me adapto a escribir bien en latex. estas son de srinvivasa.

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  4. OsQar en bits al igual que en bites cuando se habla de kilos, megas, gigas, teras, petas, etc, siempre se hace en función de potencias de 2. La manera más práctica de comprobarlo es cuando compras un ADSL de 3 Gigabits tu velocidad máxima de bajada es de 384 KB (Kilobytes). Si haces cuentas vas a ver que esos 3 megabits son exactamente 3145728 bits, ya que si divides esta cantidad por 8 (1 byte) te da 393216 bytes que a su vez divido 1024 (1 KB) te da los dichosos 384 KB de bajada.

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  5. Lo correcto es que cuando hablas de bits en memoria hablas en potencias de 2, y cuando hablas de velocidades, en potencias de 10

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  6. La “casi-igualdad musical” es, efectivamente, la base del sistema temperado. Otra forma de ilustrarlo es con la posición de los trastes (divisiones) de la guitarra, que determinan la longitud de la cuerda vibrante.
    El sistema temperado implica que cada traste acorta la cuerda en una proporción constante. Entonces, la longitud resultante Llamando L a la longitud de la cuerda “al aire” (traste 0), la longitud recortada al primer traste será L(1) = L  \;\alpha , y L(2) = L(1)  \;\alpha = L \;  \alpha^2 o sea L(n) = L \; \alpha^n; para obtener \alpha, consideramos que la escala cromática tiene 12 notas por octava, entonces el traste 12 debe dividir la cuerda por la mitad. De ahí sale que \alpha = (1/2)^{1/12} \approx 0.94387.
    Ahora bien, el segundo armónico, (que correspnde al intervalo de quinta) se encuentra dividiendo la cuerda por 3, con longitud 2/3=0.666… . Para que todo “cerrara”, esto debería caer en el séptimo traste. Pero L(7) = L (1/2)^{7/12} = L \approx 0.66742.
    Casi, casi…

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  7. Pues navegando por ahi encontre este fabuloso blog de amantes de las matematicas, y espero visitarlo con frecuencia, buscaba yo un correo donde pudiera enviar un comentario pero como no encontre escribo por aqui, queria decirle al editor si entre los juegos pudiera menciones el fascinante jueo del go, el cual es aun mas profundo que el ajedrez miren:

    Es mejor graficarlo de esta manera: las probabilidades para la primera jugada son 361. Para la segunda jugada debemos multiplicar 361 posibilidades de la primera jugada por 360 intersecciones vacías: 129.960 en total. Si mantenemos el esquema, para la quinta jugada tenemos casi seis billones de posibilidades. (Si. Lo escribí bien: seis billones). El resultado final de probabilidades para una partida ideal de Go –en donde se utilicen todas las piedras- supera en tres veces la cantidad de átomos en nuestra galaxia. Sorprendente, ¿no?

    Saludos a todos 😀

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  8. Ahí va una: pi ~ (3*7*11*17)/(2*5*5*5*5)

    Sale 3,1416. Pero “he hecho trampa”, he cogido e y pi y he buscado un par de decimales que sean divisibles por cuatro. Tras varios intentos, he usado 3,1416, porel 16 final. Tenemos que 3,1416 = 31416/10000 y como 31416=3927*8, podemos “quitar” 3 dieces, que “cantan mucho” y dejarlo con cincos que se nota menos: 3927/(10*5*5*5).

    Sustituyendo el último 10 por 2*5 y con la suerte de que 3927 es compuesto (3*7*11*17, eso sí que es suerte), parece que he hecho algo.

    Pero es como poner: e ~ 2718282/1000000.

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  9. Edito (lo siento): Yo encontré esta en un rato de aburrimiento:
    \pi-\sqrt{2} \cong e-1.
    No se si es que esa relación realmente existirá pero el error es de 0.5%.

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  10. Para Abeto:

    Ciertamente el go es un juego interesante. Decir que es más profundo que el ajedrez en función solo del número de combinaciones posibles, es aceptable pero también, en mi opinión dudoso debido a que es extremadamente fácil elaborar un juego de la complejidad que se quiera.

    El ajedrez tiene la virtud de estar en el límite de lo que la mente humana puede abarcar.

    Puesto que las máquinas rozan la perfección jugando al ajedrez, podemos decir cuán perfecto es el movimiento de un ser humano en el tablero. Y ocurre que el juego de los mejores grandes maestros (unos pocos en todo el mundo) rozan la perfección.

    Ahora bien, el go, encuentra más resistencia para ser implementado en una computadora. Pienso que no tanto por el número de combinaciones, como por la dificultad a la hora de evaluar una determinada posición. Por esta misma razón no sabemos si el movimiento de los mejores jugadores del mundo de go roza también la perfección o por el contrario dista de ser perfecto. Cuando la computadora pueda jugar al go al mismo nivel que lo hace al ajedrez, lo veremos.

    Si se demuestra que el juego de los grandes jugadores de go dista mucho de ser perfecto estaríamos quizás ante una situación algo frustrante.

    Si por el contrario los grandes jugadores de go, rozan la perfección estaríamos posiblemente frente a un juego que al igual que el ajedrez está en el límite de lo que el intelecto humano puede hacer… por el momento.

    En todo caso estamos ante dos juegos tan distintos como recomendables.

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  11. Tal vez exista una función o relación entre los errores sucesivos de los resultados

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  12. Observen esta curiosa regla mnemotécnica para obtener Pi
    Ponemos los tres primeros números impares consecutivos repetidos dos veces 113355, partimos por la mitad la serie 113-355 y dividimos las dos cantidades obtenidas (la mayor entre la menor) 355/113=3.1415929203 ¡Sale Pi con seis cifras exactas!

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  13. Soy nuevo y espero colaborar en la pagina lo mas posible.

    Algunas aproximaciones mias:

    pi~ 22:7= 3,142857
    e~19:7= 2,71428
    y~4/7= 0,571428

    e^2 + aureo^2 ~ 10
    e^3 ~ 20
    pi^3 ~ 31

    pi + e + aureo + y ~ 8

    raiz de 3 : 3 ~ y = 0,5773502

    Y la mejor:

    e ~ (3020 + 1/90) : 1111 = 2,718281828

    Que viene de la fraccion generatriz del periodico mixto:

    0,27(1828)- periodico

    es decir: 271801/99990

    En cuanto a la aproximacion de Jonas no me coincide. Me acaba dando 1.15 y poco mas.

    Saludos

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  14. Ahi van mas:

    87:32~ e

    e^(raiz cubica de 3 medios) ~ pi

    pi~ raiz quinta de 306

    Saludos

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  15. yo me se esta:

    e=(1+1/n) elevado n (si n es infinito, el error es 0%)

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[latex]código-latex-que-quieras-insertar[/latex]
o
$latex código-latex-que-quieras-insertar$.

Si tienes alguna duda sobre cómo escribir algún símbolo puede ayudarte la Wikipedia.

Y si los símbolos < y > te dan problemas al escribir en LaTeX te recomiendo que uses los códigos html & lt; y & gt; (sin los espacios) respectivamente.

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