Cómo contruir triángulos pitagóricos

Ya vimos en este post sobre el último teorema de Fermat que para n mayor que 2 la ecuación x^n+y^n=z^n no tiene soluciones enteras positivas. Pero sabemos que para el caso n = 2 sí que las hay, de hecho hay infinitas. La proposición del libro Arithmetica de Diofanto que inspiró esta afirmación de Fermat fue precisamente esta, considerada como uno de los problemas más antiguos de las matemáticas

Escribir un cuadrado como suma de dos cuadrados

Es decir, el problema que consiste en encontrar tres números enteros positivos x, y, z que cumplan que x^2+y^2=z^2. A cada terna de números enteros positivos que cumplan esta ecuación la llamaremos terna pitagórica. Por ejemplo, (3, 4, 5) es una terna pitagórica. Y todo triángulo que cumpla esta relación con sus tres lados números enteros positivos se denomina triángulo pitagórico.

Mediante el teorema de Pitágoras a partir de dos números enteros positivos x, y podemos encontrar un tercer número z que cumpla esa ecuación simplemente despejando de ella. Pero nada ni nadie nos asegura que ese z sea también entero positivo. Podría ser racional o incluso irracional. En este post vamos a ver un método para encontrar todas las ternas pitagóricas, denominado método analítico, y la demostración del mismo.

Preliminares

El método analítico comienza partiendo de una terna pitagórica (x, y, z). Si estos tres enteros positivos tuvieran algún factor común, digamos d, entonces la terna (x/d, y/d, z/d) también sería una terna pitagórica. Y si dos de ellos tuvieran un factor común entonces ese factor debería serlo también del tercero. Por tanto es suficiente con buscar las ternas pitagóricas que cumplan que sus elementos son primos relativos dos a dos, ya que las demás se formarán multiplicando todos sus elementos por cualquier número entero positivo.

Por tanto no pueden ser los tres pares, ni siquiera dos de ellos. Y tampoco los tres impares, ya que tendríamos impar + impar = impar, lo cual es imposible. Por tanto debe haber dos impares y uno par. Es sencillo ver que z no puede ser el par, ya que con sencillos cálculos (ejercicio propuesto 1) llegaríamos a impar = par, que sabemos que es imposible. Entonces z debe ser impar, y entre los otros dos debe haber uno impar y otro par. Tomemos x par e y impar.

Desarrollo del método analítico

Rescribimos la ecuación así: x^2=z^2-y^2. De aquí, usando el famoso producto notable diferencia de cuadrados igual a suma por diferencia llegamos a: x^2=(z+y)(z-y). Como los números x, z + y, z – y son todos pares se tiene que existen enteros positivos u, v, w tal que x = 2u, z + y = 2v, z – y = 2w. Entonces (2u)^2=(2v)(2w). Simplificando obtenemos u^2=v \cdot w. Además el máximo común divisor de v y w es 1, es decir, son primos relativos, ya que un divisor común de v y w también lo sería de y y z (ejercicio propuesto 2), lo cual es imposible porque éstos eran primos relativos.

Tenemos entonces u^2=v \cdot w. Y aquí viene el paso clave de la demostración:

Si el producto de dos enteros positivos primos relativos v y w es igual a un cuadrado entonces tanto v como w son cuadrados (ejercicio propuesto 3)

Por tanto existen enteros positivos p, q tal que v=p^2 y w=q^2. Además p y q son primos relativos al serlo v y w. Entonces:

z=v+w=p^2+q^2
y=v-w=p^2-q^2

Esto nos dice que p > q, y que p y q son de paridad distinta (es decir, que uno es par y el otro impar), ya que y y z son impares. Usando ahora la primera expresión podemos expresar x fácilmente en términos de p y q:

x^2=z^2-y^2=p^4+2p^2q^2+q^4-p^4+2p^2q^2-q^4=4p^2q^2=(2pq)^2

Es decir, x = 2pq.

Lo que hemos obtenido es lo siguiente: dada una terna pitagórica primitiva (x, y, z), existen enteros positivos primos relativos p y q tal que p > q, p y q son de paridad distinta y la terna (2pq,p^2-q^2,p^2+q^2) es una terna pitagórica.

Esto completa el análisis porque es sencillo mostrar que dado un par de enteros positivos p y q tal que p y q son primos relativos, p > q y p y q de distinta paridad, entonces la terna (2pq,p^2-q^2,p^2+q^2) forma una terna pitagórica primitiva (ejercicio propuesto 4).

Conclusión

El método descrito y los resultados obtenidos resuelven completamente el problema de la construcción de ternas pitagóricas primitivas. Recapitulando:

Cada terna pitagórica primitiva puede construirse a partir de dos números enteros positivos p y q primos relativos, de distinta paridad y con p > q de la siguiente forma:

(2pq,p^2-q^2,p^2+q^2)

El resto de ternas pitagóricas se obtienen a partir de alguna de las primitivas multiplicando todos los elementos de la misma por un número.

Las ternas pitagóricas primitivas que podemos obtener con p menor o igual que 6 son las siguientes:

p q x y z
2 1 4 3 5
3 2 12 5 13
4 1 8 15 17
4 3 24 7 25
5 2 20 21 29
5 4 40 9 41
6 1 12 35 37
6 5 60 11 61

Nota: Las partes que he dejado propuestas las podéis intentar. Iré actualizando el post conforme vayáis obteniendo las soluciones de las mismas.

Autor: ^DiAmOnD^

Miguel Ángel Morales Medina. Licenciado en Matemáticas y autor de Gaussianos y de El Aleph. Puedes seguirme en Twitter o indicar que te gusta mi página de Facebook.

13 Comentarios

  1. Los enunciados 2,3 y 4 son fáciles:

    Ejercicio 2:
    Supongamos que v y w tienes un divisor común, l, tal que v=l*n y w=l*m, entonces:
    z = v + w = ln+lm=l(n+m) y y = v – w=ln-lm=l(m-n) con lo que z e y tendrían tambien a l lo cual no es posible.

    Ejercicio 3:
    Si u es primo, entonces llegariamos a que u=v=w. Supongamos que u=pq con p,q primos (si no fuera producto de primos podríamos usar varias veces el mismo argumento). Entonces tendríamos que vw=(pq)^2 entonces p^2 divide a v o divide a w. Como son primos relativos, no tienen factores comunes, por tanto no puede dividir a ambos. Supongamos que u divida a w, entonces w=p^2*s sustituyendo v*s*p^2=p^2*q^2 que simplificando queda v*s=q^2.
    Pero q es primo, entonces q divide a v o a s. Si divide a s, s=q^2*t y sustituyendo y simplificando llegamos a que v=1.
    Si divide a v, v=q^2*r y simplificando llegamos a s*r=1 de donde se deduce que s y r son 1 y por tanto llegamos a que si u=p*q, entonces v=p y w=q

    Además, es logico el enunciado (la cosa es que te de por pensar en él)

    Ejercicio 4:
    Sustituyamos y veamos que sale:
    (2pq)^2+(p2 – q2)^2= 4p^2q^2+p^4+q^4-2p^2q^2=p^4+2p^2q^2+q^4=(p2+q2)^2

    Pero de el primero no logro pillarlo. Espero que para mi primer post, haya quedado bastante claro. Si no, ya aprenderé.

    Publica una respuesta
  2. Muy bien Ferni; para tu primer comentario no está nada mal la cosa :). Los 3 están bien.

    Para el primer: si z es el par los otros dos deben ser los impares. Impongamos esas condiciones y veamos qué sale.

    Saludos 🙂

    Publica una respuesta
  3. Kisiera saber la demostración de q la suma de todos los triángulos internos de un triángulo suman 180°. mandamelo a mi mail, x fa.

    Publica una respuesta
  4. podrian ayudarme con la demostracion de esta formula:
    (2n+/-1)/\2+((((2n+/-1)/\2)-1)/2)/\2=((((2n+/-1)/\2)+1)/2)/\2
    para toda n>1
    generadora de terna en base de numeros impares
    porfavor he tratado de todas las formas que conosco ayudenme

    Publica una respuesta
  5. No veo lo de que si z es par tendriamos impar = par…
    impar^2 + impar^2 = impar siempre ?¿

    Publica una respuesta
  6. No se..

    Si x es impar x^2 = x·x = impar , lo mismo ocurre con y si es impar, y la suma de dos números impares es un numero par. Tendrías par = par

    ¿?¿?¿?¿?¿¿¿??¿??¿¿’ ¿?¿???¿

    Publica una respuesta
  7. Kevin supongo que sí entiendes el razonamiento hasta la frase “debe haber dos impares y uno par”.
    Vamos a ver por qué no puede ser z el par:
    Hacemos x=2p+1, y=2q+1, z=2r. sustituyendo en x^2+y^2=z^2 tendríamos:
    (2p+1)^2+(2q+1)^2=(2r)^2. Si desarrollamos verás que queda así:
    (4p^2+4p+1)+(4q^2+4q+1)=4r^2 que es lo mismo que 4(p^2+p+q^2+q)+2=4r^2
    y si dividimos la última expresión por 2 obtendríamos 2(p^2+p+q^2+q)+1=2r^2, es decir, impar = par.

    Publica una respuesta
  8. {bf Ejercicio propuesto 3.} Si u^2=vw con mcd$(v,w)=1$ entonces $v=A^2$ y
    $w=B^2$.

    Primeramente si $u=1$ entonces sucede $v=1^2$ y $w=1^2$.

    Para completar sea $uge2$. Por el teorema fundamental de la aritm\’etica se
    puede escribir $u=p_1^{n_1}p_2^{n_2}cdots p_m^{n_m}$ donde los $p_i$ son
    primos diferentes y los exponentes son $ge1$.

    Reemplazando $u$: $left({p_1^{n_1}}right)^2left({p_2^{n_2}}right)^2cdots
    left({p_m^{n_m}}right)^2=vw$.\
    Por ser mcd$(v,w)=1$ un primo $p_i$ no puede ser divisor de $v$ y $w$ al mismo
    tiempo, entonces $left({p_i^{n_i}}right)^2$ es factor solamente de $v$ o de
    $w$. Si es necesario reordenar podemos suponer que
    $v=left({p_1^{n_1}}right)^2left({p_2^{n_2}}right)^2cdots
    left({p_k^{n_k}}right)^2$ y
    $w=left({p_{k+1}^{n_{k+1}}}right)^2left({p_{k+2}^{n_{k+2}}}right)^2cdots
    left({p_m^{n_m}}right)^2$\
    De donde se observa que tienen la forma: $v=A^2$ y $w=B^2$ !`como se quer\’ia!

    Publica una respuesta
  9. Ejercicio propuesto 3. Si u^2=vw con mcd(v,w)=1 entonces v=A^2 y w=B^2.

    Primeramente si u=1 entonces sucede v=1^2 y w=1^2.

    Para completar sea u\ge2. Por el teorema fundamental de la aritmética se puede escribir u=p_1^{n_1}p_2^{n_2}\cdots p_m^{n_m} donde los p_i son primos diferentes y los exponentes son \ge1

    Reemplazando u: \left({p_1^{n_1}}\right)^2\left({p_2^{n_2}}\right)^2\cdots \left({p_m^{n_m}}\right)^2=vw.

    Por ser mcd(v,w)=1 un primo p_i no puede ser divisor de v y w al mismo tiempo, entonces \left({p_i^{n_i}}\right)^2 es factor solamente de v o de w. Si es necesario reordenar podemos suponer que $latex v=\left({p_1^{n_1}}\right)^2\left({p_2^{n_2}}\right)^2\cdots
    \left({p_k^{n_k}}\right)^2$ y w=\left({p_{k+1}^{n_{k+1}}}\right)^2 \left({p_{k+2}^{n_{k+2}}}\right)^2\cdots \left({p_m^{n_m}}\right)^2

    De donde se observa que tienen la forma: v=A^2 y w=B^2 !como se quería!

    Publica una respuesta
  10. He demostrado que un cuadrado se puede descomponer como la suma de dos cuadrados sí y sólo sí la base de éste es un primo pitagórico o, en su defecto, un múltiplo de éste

    Publica una respuesta
  11. Haciendo una lectura diagonal de los elementos del Triangulo de Pascal he podido hallar una fórmula matemática para dicho triangulo. De ahí que cualquier elemento de dicho triangulo se puede obtener en función de la posición y de la diagonal de dicho elemento.

    En este sentido he hallado, por ejemplo, que la suma de los p-ésimos elementos de una diagonal del Triángulo de Pascal es igual al p-ésimo elemento que se halla en la diagonal precedente.

    Publica una respuesta
  12. Con respecto al último teorema de Fermat, recientemente demostrado por Wiles, tengo que decir que los esfuerzos de los matemáticos se enfocado , una y otra vez en determinar la veracidad de la preposición, y por consiguiente en hallar los valores de las ternas; pero no nos ha importado saber nada en torno al por qué de esos valores y de esa demostración, lamentablemente le hemos dado más importancia a los árboles y nos hemos olvidado por completo del bosque.

    Estoy casi seguro que el Último Teorema de Fermat está relacionado con los números primos pitagóricos y que la ecuación admite soluciones enteras positivas para ” n = 2 ” por la sencilla razón que el cuadrado de un número primo pitagórico se puede descomponer como la suma de dos cuadrados ( cuestión ésta que he demostado ) y que para ” n mayor a 2 ” la ecuación no admite soluciones enteras positivas por la sencilla razón que la n-ésima potencia de un primo pitagórico no se puede descomponer como la suma de dos e-ésimas potencias ( cuestión ésta que aún no he podido demostrar )

    Publica una respuesta
  13. Desde el punto de vista geométrico un Triángulo es Pitagórico sí y sólo sí la longitud de su hipotenusa es un primo pitagórico; de lo contrario dicho triángulo no será pitagórico.

    Publica una respuesta

Trackbacks/Pingbacks

  1. Beal y la conjetura de los 100000 dólares (Actualizado el 7-6-2013) - Gaussianos | Gaussianos - [...] soluciones? Evidentemente sí, de hecho habría infinitas. Por ejemplo, cualquier terna pitagórica, por ejemplo (3,4,5) para n=2. Pero bueno,…

Puedes utilizar código LaTeX para insertar fórmulas en los comentarios. Sólo tienes que escribir
[latex]código-latex-que-quieras-insertar[/latex]
o
$latex código-latex-que-quieras-insertar$.

Si tienes alguna duda sobre cómo escribir algún símbolo puede ayudarte la Wikipedia.

Y si los símbolos < y > te dan problemas al escribir en LaTeX te recomiendo que uses los códigos html & lt; y & gt; (sin los espacios) respectivamente.

Envía un comentario

Tu dirección de correo electrónico no será publicada. Los campos obligatorios están marcados con *