Original manera de cortar una tarta circular en cuatro trozos de igual tamaño

Ya sea en cumpleaños, bodas o aniversarios la tarta es uno de los elementos estrella. Las hay de todo tipo de sabores, cada día más, y de una gran variedad de formas, pero creo que coincidiremos en que la tarta redonda es la más habitual, la clásica, la tarta por antonomasia.

En todas estas celebraciones el corte de la tarta es uno de los eventos más importantes, diría que un momento crucial. Y sobre todo en aquellas en las que el tamaño de los trozos en los que vamos a cortarla pueden llegar a ser motivo de disputa, como puede ser un cumpleaños con niños pequeños (o no tan niños).

Situémonos en el caso de querer cortar una de estas tartas circulares en cuatro trozos de igual tamaño. Lo más habitual es que localicemos “a ojo” el centro de la circunferencia que forma la parte superior de la tarta, hagamos un corte de “de lado a lado” pasando por ese centro (vamos, siguiendo un diámetro de dicha circunferencia) y después realicemos otro corte perpendicular a éste que pase también por el centro. Obtenemos así algo parecido a esto:

(Sí, bueno, igual no es perfecto, pero no importa. El dibujo es simplemente orientativo.)

Sí, vale, una división de la tarta en cuatro trozos de igual tamaño (y forma, aunque esto no nos interesa en lo que estamos contando) bastante aceptable tanto para el que corta como para quienes luego van a elegir trozo. Pero no me negaréis que es un poco, digamos, aburrido. Es el corte de toda la vida, el típico, el de siempre. ¿Por qué no innovar en esto de los cortes de tartas? Vamos a ver una manera original de cortar una tarta circular como ésa (que, por cierto, es la tarta con banda de Möbius que me regaló Mamen para mi último cumpleaños) en cuatro trozos de igual tamaño.

Y para ello, igual que con el corte habitual, tendremos que localizar el centro de la circunferencia superior. Cuando lo tengamos buscamos dos puntos diametralmente opuestos, a izquierda y derecha del centro por ejemplo, y hacemos lo siguiente: trazamos una circunferencia que tenga al punto de la izquierda y al centro de la inicial como puntos diametralmente opuestos y otra circunferencia igual justo al lado, que tendrá por tanto al centro de la inicial y al punto de la derecha como diametralmente opuestos. Vamos, algo así:

Y ahora cortamos por la línea roja. Original, ¿verdad? Pues sí, muy original, pero no queda tan claro que los cuatro trozos tengan el mismo tamaño (con tamaño, evidentemente, nos estamos refiriendo a cantidad de tarta). Vamos a ver que sí, que tienen todos el mismo tamaño.

Supongamos que la circunferencia superior de la tarta tiene radio R, por lo que el área de dicha circunferencia es \pi R^2. Si la altura de la tarta es h, el volumen de la misma (es decir, la cantidad total de tarta) es \pi R^2h.

Cada una de las dos circunferencias tienen como diámetro al radio de la mayor, por lo que su radio será R \over 2. Entonces el área de cada una será \pi ({R \over 2})^2=\pi {R^2 \over 4} y los trozos de tarta que salen de ellas tendrán un volumen igual a \pi {R^2 \over 4}h, que es un cuarto del volumen total de la tarta.

Veamos qué ocurre con los otros dos trozos. Para calcular su volumen vamos a calcular qué cantidad de tarta queda si quitamos los trozos relativos a las dos circunferencias restando al volumen total la suma de los volúmenes de esos dos trozos:

V_{restante}=\pi R^2h-(\pi {R^2 \over 4}h+\pi {R^2 \over 4}h)=\pi R^2h-\pi {R^2 \over 2}h=\pi {R^2 \over 2}h

que es (como ya sabíamos) justo la mitad de la tarta. Al ser los dos trozos iguales, este volumen se reparte equitativamente entre los dos trozos, por lo que cada uno de ellos da una cantidad de tarta igual a \pi {R^2 \over 4}h, que es exactamente un cuarto de tarta. Por tanto, los cuatro trozos tienen exactamente la misma cantidad de tarta, un cuarto del total.

Y hasta se puede hacer este corte en un único trazo (aunque hay que reconocer que en la práctica sería algo complicado). Para ello partimos de uno de los puntos diametralmente opuestos del principio (el negro que aparece a la izquierda en la siguiente imagen), recorremos la semicircunferencia superior de la primera circunferencia, luego la inferior de la segunda (siguiendo las flechas moradas de la imagen) y después la superior de la segunda seguida de la inferior de la primera (flechas amarillas de la imagen), llegando al punto en el que comenzamos:

Aquí tenéis un ejercicio sencillo y didáctico para plantear en casa en, por ejemplo, algún cumpleaños, aunque seguro que generará disputas (por no tener todos la misma forma). ¿Cuál pensáis que sería la forma que preferiría quien pensara que son de distinto tamaño y quisiera comer más tarta?


Visto en applied mathemagics.


Extra: Como comenta Alberto en su (bueno, y nuestra) comunidad de Matemáticas en Google+, si superponemos nos dos tipos de corte tenemos dividida la tarta en ocho trozos con el mismo volumen. Esto resuelve lo que nos dice Juan en este comentario.

Autor: ^DiAmOnD^

Miguel Ángel Morales Medina. Licenciado en Matemáticas y autor de Gaussianos y de El Aleph. Puedes seguirme en Twitter o indicar que te gusta mi página de Facebook.

24 Comentarios

  1. Muy bueno, pero para cortar así necesitas una fresadora de control numérico.

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  2. Recuerdo un problema relacionado ya clásico, no sé si de Perelman o Gardner: “¿cómo cortar una tarta en 8 trozos, cada uno con la misma cantidad de tarta, y solo con tres cortes?”

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  3. “¿Cuál pensáis que sería la forma que preferiría quien pensara que son de distinto tamaño y quisiera comer más tarta?”
    En realidad depende en mayor medida de si al comensal le gusta más el borde o la parte interna de la tarta, amigos. En el primer caso despreciará las porciones cilíndricas, en el segundo lo opuesto.
    Salud!

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  4. Me llamaban Juan ito el pastelero, para ya no como tartas, así que no es miproblema

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  5. Yo creo que el tema está claro en la distribución, pero de acuerdo con Jose M. solo me queda decir felicidades DIAMOND por tu cumpleaños

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  6. Mi hermano mayor sólo toma cortes del centro, y a mí en un pastel Sara (de almendras) mi favorito, me gusta el exterior. Todos contentos.
    Creo que los redondos parecen más grandes.
    Propongo otro problema: como cortar en n trozos iguales que no sean sectores?
    En http://foro.univision.com/t5/Club-de-Reposteras/GUIAS-DE-CORTE-PARA-PASTEL/td-p/291517898
    hay formas profesionales de repartir pasteles.
    ¿Alguien sabe como partir un pastel redondo en n partes iguales según esas soluciones?

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  7. No vale para una tarta porque no es un reparto “equitativo” en relación a los ingredientes, pero para cortar un queso en 8 partes con tres cortes:
    lo divides por la mitad en altura (tipo abro el pan para bocadillo) y luego, con dos cortes como la foto 1 de la tarta… Más fácil sí que es.

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  8. En realidad, no hace falta hacer cálculos. Cada circunferencia interior es semejante a la grande, y su factor de semejanza es 1/2, por lo que su área es necesariamente 1/4 de la de la tarta (1/2)*(1/2). El espacio externo está claramente dividido en dos fragmentos iguales, por lo tanto cada uno de los trozos tiene la cuarta parte. El sistema podría ser parecido para cualquier figura simétrica, siempre y cuando los trozos que tienen la misma forma pero la mitad de las dimensiones lineales dividan la figura en dos fragmentos simétricos.
    Me ha gustado mucho la idea.

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  9. el problema es que es un chapuzada por que con boca esta adaptada a comer circulos XD
    La forma perfecta es en triangulo de toda la vida ,en el primer ejemplo faltan triangulos cortados otra vez ,la ciencia da soluciones praticas no al reves XD

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  10. Saludos desde la Argentina. Este post me recuerda al artículo de Adrián Paenza en el libro de la colección “Matemática, ¿estás ahí?” Episodio 100. En la página 40 se desarrolla el problema de cortar una pizza para dos personas, en las que ambas reciban la misma cantidad de pizza y porciones, sin haberla cortado de la manera habitual (pasando por el centro geométrico y tirando perpendiculares. Pueden ver el artículo publicado en la contratapa de este diario:
    http://www.pagina12.com.ar/diario/contratapa/13-144541-2010-04-25.html

    Y también me recuerda al desafío de Gaussiano y Guijarros, Nro.3: “La tarta de la discordia”

    Saludos!

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  11. El numero de virutas de chocolate es aleatorio, ergo ninguno de los trozos sera igual por mucho Moebius que le metamos.

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  12. Pues como creo que la circunferencia es la superficie que tiene un menor perímetro (a igual superficie) el que quiera comer MÁS elegirá la forma irregular porque a simple vista parece ser más grande

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  13. Si aceptamos la generalización de llamar “corte” a trazar una curva continua dentro de la tarta se pueden conseguir verdaderas sorpresas geométricas.
    Por poner un ejemplo: si inscribimos en un círculo de radio r un cuadrifolio de ecuación (ro) = r*sen(2*(omega)), cuya área total es (pi)*r^2/2 nos encontramos que, con un solo corte, hemos dividido la tarta en ocho raciones de igual área.
    Lamento mi incapacidad para escribir letras griegas o incluir gráficos en el comentario. ¿Alguien podría publicar la bonita ilustración resultante de mi burda descripción?

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  14. espero que no se haga con una pizza porque si sera la misma proporcion pero te comes todo el borde y lo jugoso para los del circulo xD

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  15. @Juan y a la actualización del post, en realidad estás haciendo 4 cortes ya que cuando llegas al punto opuesto diametralmente al negro de la imagen, “sales” de la tarta, es decir, no puedes dejar ningún punto fuera del corte porque si no se unirían la parte superior e inferior, por tanto llegas hasta el final de la tarta y vuelves a entrar con un corte nuevo. De la misma manera el caso que dice JJGJJG, realmente haces 4 cortes.

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  16. Echémosle imaginación. Tómemos unos tres kilitos de agua destilada. Introduzcámoslos en un molde de tarta limpio y métámoslo en el congelador. Al cabo de cierto tiempo tendremos una bonita, aunque algo sosa, tarta de hielo.
    Saquémosla a una terraza bien soleada y esperemos lo suficiente.
    Con la reducida cantidad de CERO CORTES la tendremos dividida en unos CIEN CUATRILLONES de trozos idénticos de masa equivalente a una molécula de vapor de agua.
    ¿Quién da más?

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  17. Señores, hay que ser cocinero y no matemático para dividir una tarta en ocho porciones con sólo tres cortes.
    Primero, la dividimos a la mitad; obtendremos dos medios. (Corte uno).
    Segundo, ponemos una mitad sobre la otra, y cortamos nuevamente por la mitad; obtendremos cuatro cuartos. (Corte dos).
    Tercero, ponemos los cuartos encimados, y hacemos el último corte. Obtendremos ocho porciones perfectamente simétricas, con sólo tres cortes.

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  18. Perdón, soy de Argentina y aqui las tartas no tienen merengue, tienen una tapa de masa y son perfectamente “encimables”. Aquí esto sería entonces una torta, y la solución sería aplicable a las que no tienen cobertura pegajosa.

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