Cómo demostrar que π (pi) es irracional (II)

Hoy, día de \pi, vamos a ver una segunda demostración de la irracionalidad de esta constante, razón entre la longitud y el diámetro de una circunferencia (la primera demostración podéis verla en esta entrada).

Teorema: \pi es irracional

Demostración:

Sea \displaystyle{I_n(\alpha)=\int_{-1}^{1} (1-x^2)^n cos(\alpha x) dx}. Integrando por partes obtenemos lo siguiente:

\alpha ^2 I_n=2n (2n-1) I_{n-1}-4n(n-1) I_{n-2}

Siguiendo con la integración por partes llegamos a la siguiente expresión:

\alpha ^{2n+1} I_n=n!(P_n sen(\alpha)+Q_n cos(\alpha)) (1)

siendo P_n, de grado n, y Q_n, de grado n-1, polinomios de coeficientes enteros.

Tomamos \textstyle{\alpha=\frac{\pi}{2}} y suponemos que \pi es racional, digamos \textstyle{\pi=\frac{a}{b}}, con a,b \in \mathbb{Z}. Con ello, de (1) deducimos que

J_n=\cfrac{a^{2n+1} I_n}{n!}

es un número entero. Por otra parte, J_n \rightarrow 0 cuando n \rightarrow \infty, ya que a es fijo y la integral I_n está acotada por \textstyle{\displaystyle{\int_{-1}^{1} cos(\frac{\pi x}{2})}}, que es finita.

Por tanto J_n es entero, \forall n\in\mathbb{N}, y además J_n \rightarrow 0 cuando n \rightarrow \infty. Por tanto J_n=0 para algún n. Pero el integrando de I_n es continuo y es positivo en todo el intervalo (-1,1). Por tanto J_n \ne 0.

Esta es la contradicción a la que se llega asumiendo que \pi es racional. Por tanto queda demostrado que \pi es irracional.

Autor: ^DiAmOnD^

Miguel Ángel Morales Medina. Licenciado en Matemáticas y autor de Gaussianos y de El Aleph. Puedes seguirme en Twitter o indicar que te gusta mi página de Facebook.

5 Comentarios

  1. Diamond, no conocía esta prueba y te agradezco que nos las hayas dado a conocer. La he estado reproduciendo paso a paso y me parece más laboriosa que la primera. No sé como la verán los demás, pero en mi opinión la esencia global de la prueba es la misma que la que aparece en la primera prueba http://gaussianos.com/como-demostrar-que-%cf%80-pi-es-irracional/

    Hay unas cuantas erratas (de escritura) que tal vez vendría bien corregir…

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  2. Domingo he releído y he encontrado una, una b que debería ser una a, pero no veo más. Dímelas si puede ser.

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  3. OK

    1) Al comienzo, la integral I_n no depende de x, sino de \alpha. Por cierto

    2) En la fórmula (1) (no tiene nada que ver con el mundo automovilístico 🙂 ), el seno y el coseno deben estar evaluados en \alpha, y no en \alpha x.

    La verdad es que hay que hacer unos cuantos cálculos de laboratorio antes de llegar a (1).

    Ya lo que sigue son pejiguerías mías: tal vez quedaría mucho más claro decir que P_n y Q_n son expresiones polinómicas de grado n, “en la variable n” (en una primera lectura rápida no entendí bien lo que querías decir). Otra cosa, “es positivo en la mayor parte del intervalo” suena bastante raro, no?. Por qué no decir “es positivo en todo el intervalo abierto” y evitar discusiones.

    ¿Podrías suprimir este comentario en cuanto lo hayas analizado? Gracias.

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  4. Rectificados los errores.

    Prefiero dejar el comentario para que se vea que ha habido errores y que tú los has corregido. A mí también me ayuda dejarlo ahí porque dentro de un tiempo cuando lo vuelva a ver lo tendré en cuenta.

    Y sí, hay que hacer un cuantos cálculos para llegar a (1) :D.

    Gracias de nuevo. Saludos

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  1. Cosas raras provocadas por el infinito - Gaussianos | Gaussianos - […] Y éste es nuestro caso, porque es irracional al serlo el propio número (aquí tenéis dos demostraciones…

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[latex]código-latex-que-quieras-insertar[/latex]
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