Cómo demostrar que π (pi) es irracional

Hace ya un tiempo vimos cómo demostrar que el número e es irracional. En este post vamos a ver cómo demostrar que \pi es irracional.

Teorema: \pi es irracional

Demostración

Definimos la siguiente función:

f(x)=\cfrac{x^n(1-x)^n}{n!}

Utilizando el binomio de Newton podemos expresar f(x) así:

>f(x)=\cfrac{1}{n!} \cdot x^n \cdot \displaystyle{\sum_{k=0}^n {n \choose k} (-1)^k x^k=\cfrac{1}{n!} \sum_{k=0}^n {n \choose k} (-1)^k x^{n+k}}

Cuando r \prec n se tiene que f^{(r)}(0)=0 (al derivar menos de n veces el término x^n no desaparece del todo) y cuando r > 2n también obtenemos que f^{(r)}(0)=0 (ya que la propia función es la función {0} al derivar más veces que su propio grado). Para calcular el resto de las derivadas en {0} tomamos m=1,2, \ldots ,n-1 y las calculamos para todo x:

f^{(n+m)}(x)=\displaystyle{\cfrac{1}{n!} \sum_{k=0}^n {n \choose k} \cfrac{(n+k)!}{(k-m)!} (-1)^k x^{k-m}}

Teniendo en cuenta esta expresión vemos fácilmente que f^{(n+m)}(0) es un número entero para m=1,2, \ldots ,n-1.

Por tanto tenemos que f^{(s)}(0) es un número entero \forall s \in \mathbb{N}. Como f(1-x)=f(x) también tenemos que f^{(s)}(1) es un número entero \forall s \in \mathbb{N}.

Después de estos preliminares vamos con la demostración. En realidad vamos a demostrar que \pi^2 es irracional, hecho del que se deduce muy fácilmente que \pi es irracional (¿Por qué?). La demostración comienza suponiendo que \pi^2 es racional, es decir, \pi^2= \textstyle{\frac{a}{b}}, con a,b\in\mathbb{Z^+}, es decir, enteros positivos. Definimos para cualquier entero positivo n la siguiente función:

F_n (x)=b^n [\pi^{2n} f(x)-\pi^{2n-2} f^{\prime\prime}(x)+\pi^{2n-4} f^{(4)} (x) - \ldots + (-1^n) f^{(2n)}(x)]

Al ser f(0)=f(1)=0 y f^{(s)}(0) un número entero \forall s\in\mathbb{N} se tiene que F_n (0) y F_n (1) son enteros (los denominadores que aparecerían al sustituir \pi^2 por su supuesta expresión como fracción se cancelarían con el término b^n del principio).

Realizamos ahora el siguiente cálculo basado en la función F_n:

\cfrac{d}{dx} [F^\prime _n (x) sen(\pi x)-\pi F_n (x) cos(\pi x)]=[F^{\prime\prime}_n (x)+ \pi^2 F_n (x)] sen(\pi x)=b^n \pi^{2n+2} f(x) sen(\pi x)

Sustituyendo \pi^2 por \textstyle{\frac{a}{b}} tenemos:

\cfrac{d}{dx} [F^\prime _n (x) sen(\pi x)-\pi F_n (x) cos(\pi x)]=\pi^2 a^n f(x) sen(\pi x)

Integrando obtenemos lo siguiente (pasamos \pi dividiendo a la derecha):

\displaystyle{\int_0^1 \pi a^n f(x) sen(\pi x) dx=\left [ \cfrac{F^\prime_n (x) sen(\pi x)}{\pi}-F_n (x) cos(\pi x) \right ]_0^1=F_n(1)+F_n(0)}

que, como hemos visto antes, es un número entero.

Por otro lado, es sencillo demostrar que para 0 \prec x \prec 1 se tiene que \prec f(x) \prec \textstyle{\frac{1}{n!}}. Multiplicando a ambos lados por \pi a^n obtenemos:

0 \prec \pi a^n f(x) \prec \cfrac{\pi a^n}{n!}

Multiplicamos por sen(\pi x) y acotamos la parte de la derecha (ya que sen(x) \prec 1, \forall x\in\mathbb{R}):

0 \prec \pi a^n f(x) sen(\pi x) \prec \cfrac{\pi a^n sen(\pi x)}{n!} \prec \cfrac{\pi a^n}{n!}

Integrando entre {0} y 1 obtenemos:

\displaystyle{0 \prec \int_0^1 \pi a^n f(x) sen(\pi x) dx \prec \cfrac{\pi a^n}{n!}}

Pero la última fracción es menor que 1 para n suficientemente grande. Por tanto tenemos lo siguiente:

\displaystyle{0 \prec \int_0^1 \pi a^n f(x) sen(\pi x) dx \prec 1}

Pero habíamos visto antes que \displaystyle{\int_0^1 \pi a^n f(x) sen(\pi x) dx} era un número entero. Es decir, hemos llegado a un número entero entre {0} y 1. Esa es la contradicción.

Por tanto \pi^2 es irracional y en consecuencia \pi también lo es.


Fuentes:

Autor: ^DiAmOnD^

Miguel Ángel Morales Medina. Licenciado en Matemáticas y autor de Gaussianos y de El Aleph. Puedes seguirme en Twitter o indicar que te gusta mi página de Facebook.

13 Comentarios

  1. Muy bonita la demostración por medio de los polinomios de Niven.

    Indicar que la primera prueba de irracionalidad de \pi data de 1761, por J.H. Lambert. Ya comentamos en el problema sobre la fracción continua infinita que esta prueba (aunque no del todo rigurosa en el sentido actual) se basaba en el desarrollo de la tangente en fracción continua infinita. Lambert había seguido el camino trazado por Roger Cotes en 1714 y L. Euler en 1737, que obtuvieron respectivamente los desarrollos en fracción continua de e-1 y (e+1)/(e-1), para deducir la irracionalidad de e.

    Pues muy bien, ahora queda hablar de la trascendencia de e y \pi. Por si es de interés, las demostraciones de Hermite (1873) y Lindemann (1882) simplificadas por Hilbert (también Hurwitz y Gordan) en 1893 en los Mathematische Annalen (tomo 43), se pueden encontrar en el libro de Klein “Matemática elemental desde un punto de vista superior. Aritmética, álgebra, análisis” (Nivola, 2006, p. 329-345). A pesar de estar simplificadas tal vez sean algo enrevesadas para el gran público. No obstante, en “La saga de los números” de Antonio Córdoba (Crítica, 2006, p. 280-283) se pueden ver de modo mucho más asequible. Estas mismas pruebas se pueden ver también en el excelente libro de Alan Baker (medalla Fields, 1970) “Transcendental Number Theory” (Cambridge University Press, 1975, p. 4-6).

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  2. Se me pasó comentar que Lambert publicó la prueba de la irracionalidad de pi en las Memorias de la Academia de Berlín, y que Legendre en unas notas de sus “Elementos de Geometría” (1794) aprovecha el método de fracciones continuas infinitas de Lambert para probar que \pi^2 es irracional. Además conjeturó la trascendencia de \pi.

    Diamond: echando un vistazo rápido a la prueba que indicas, veo que hay un pequeño gazapo (aunque no afecta para nada a la conclusión). Donde dice \displaystyle{\int_0^1 \pi^2 a^n f(x) sen(\pi x) dx} debe decir \displaystyle{\int_0^1 \pi a^n f(x) sen(\pi x) dx} (en el primer caso, el valor de la integral no es entero sino múltiplo entero de \pi). Después el “copiar y pegar” propoagó el error 🙂 Un saludo y perdón por semejantes zarandajas.

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  3. Siempre me pareció que la demostración de que pi es irracional, y otras parecidas era muy artificiosa, aunque haya muuucho detrás .
    Existe alguna demostración que nos diga más cosas sobre pi que esta?

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  4. esto me sirvio, sin embargo es dificil de entender.

    muchas gracias
    varu 🙂

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  5. Mucho más interesante es la demostración de que pi es trascendente y que no es un número de Liouville.

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  6. O también la solución de alguno de los problemas de Hilbert.

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  7. Fantastico, la he reproducido para estar seguro de que comprendo todos los pasos y he quedado asombrado…..

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  8. Creo que la forma más simple de demostrar que Pi es irracional es ir a una fiesta con la madre de Pi pero sin Pi. Llevar el GPS del móvil encendido y llamar a Pi y decirle que estamos en tal parte con su madre. Hacer check en todas las redes sociales posibles y subir selfies. Si aún así Pi no cree lo que le decimos, entonces queda demostrado que Pi es irracional.

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    • Querido José Carlos: siento contradecir tu imaginativo razonamiento, por lo demás impecable, pero has obviado un detalle fundamental que contraviene tu corolario:
      Y es que, como cualquier que haya visto que haya visionado la película “La vida de Pi” (), la madre del desafortunado Piscine Patel, apodado “Pi”, fallece tristemente tras un naufragio que transportaba a su familia junto con la tripulación del buque y los animales de su zoológico. Por lo tanto, es imposible ir a una fiesta con la madre de Pi, y mucho menos hacerse selfies con ella, de donde se deduce que tu demostración de la irracionalidad de Pi es impracticable.
      Buen intento 🙂

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