Cómo demostrar que π (pi) es irracional (II)

Hoy, día de $\pi$ , vamos a ver una segunda demostración de la irracionalidad de esta constante, razón entre la longitud y el diámetro de una circunferencia (la primera demostración podéis verla en esta entrada).

Teorema: $\pi$ es irracional

Demostración:

Sea $\displaystyle{I_n(\alpha)=\int_{-1}^{1} (1-x^2)^n cos(\alpha x) dx}$ . Integrando por partes obtenemos lo siguiente:

$\alpha ^2 I_n=2n (2n-1) I_{n-1}-4n(n-1) I_{n-2}$

Siguiendo con la integración por partes llegamos a la siguiente expresión:

$\alpha ^{2n+1} I_n=n!(P_n sen(\alpha)+Q_n cos(\alpha))$ (1)

siendo $P_n$ , de grado $n$ , y $Q_n$ , de grado $n-1$ , polinomios de coeficientes enteros.

Tomamos $\textstyle{\alpha=\frac{\pi}{2}}$ y suponemos que $\pi$ es racional, digamos $\textstyle{\pi=\frac{a}{b}}$ , con $a,b \in \mathbb{Z}$ . Con ello, de (1) deducimos que

$J_n=\cfrac{a^{2n+1} I_n}{n!}$

es un número entero. Por otra parte, $J_n \rightarrow 0$ cuando $n \rightarrow \infty$ , ya que $a$ es fijo y la integral $I_n$ está acotada por $\textstyle{\displaystyle{\int_{-1}^{1} cos(\frac{\pi x}{2})}}$ , que es finita.

Por tanto $J_n$ es entero, $\forall n\in\mathbb{N}$ , y además $J_n \rightarrow 0$ cuando $n \rightarrow \infty$ . Por tanto $J_n=0$ para algún $n$ . Pero el integrando de $I_n$ es continuo y es positivo en todo el intervalo $(-1,1)$ . Por tanto $J_n \ne 0$ .

Esta es la contradicción a la que se llega asumiendo que $\pi$ es racional. Por tanto queda demostrado que $\pi$ es irracional.

Autor: ^DiAmOnD^ | Publicado el 14 de Marzo de 2008
Categorías: Aprenda como, Pi

5 comentarios

Domingo H.A. | 14 de Marzo de 2008 | 21:10

Diamond, no conocía esta prueba y te agradezco que nos las hayas dado a conocer. La he estado reproduciendo paso a paso y me parece más laboriosa que la primera. No sé como la verán los demás, pero en mi opinión la esencia global de la prueba es la misma que la que aparece en la primera prueba http://gaussianos.com/como-demostrar-que-%cf%80-pi-es-irracional/

Hay unas cuantas erratas (de escritura) que tal vez vendría bien corregir…
Omar-P | 14 de Marzo de 2008 | 23:04

Hace 129 años, el 14 de marzo de 1879, nacía Albert Einstein.
^DiAmOnD^ | 14 de Marzo de 2008 | 23:57

Domingo he releído y he encontrado una, una $b$ que debería ser una $a$ , pero no veo más. Dímelas si puede ser.
Domingo H.A. | 15 de Marzo de 2008 | 0:35

OK

1) Al comienzo, la integral $I_n$ no depende de x, sino de $\alpha$ . Por cierto

2) En la fórmula (1) (no tiene nada que ver con el mundo automovilístico ), el seno y el coseno deben estar evaluados en $\alpha$ , y no en $\alpha x$ .

La verdad es que hay que hacer unos cuantos cálculos de laboratorio antes de llegar a (1).

Ya lo que sigue son pejiguerías mías: tal vez quedaría mucho más claro decir que $P_n$ y $Q_n$ son expresiones polinómicas de grado n, “en la variable n” (en una primera lectura rápida no entendí bien lo que querías decir). Otra cosa, “es positivo en la mayor parte del intervalo” suena bastante raro, no?. Por qué no decir “es positivo en todo el intervalo abierto” y evitar discusiones.

¿Podrías suprimir este comentario en cuanto lo hayas analizado? Gracias.
^DiAmOnD^ | 15 de Marzo de 2008 | 7:07

Rectificados los errores.

Prefiero dejar el comentario para que se vea que ha habido errores y que tú los has corregido. A mí también me ayuda dejarlo ahí porque dentro de un tiempo cuando lo vuelva a ver lo tendré en cuenta.

Y sí, hay que hacer un cuantos cálculos para llegar a (1) :D.

Gracias de nuevo. Saludos