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Cómo demostrar que π (pi) es irracional

Hace ya un tiempo vimos cómo demostrar que el número $e$ es irracional. En este post vamos a ver cómo demostrar que $\pi$ es irracional.

Teorema: $\pi$ es irracional

Demostración

Definimos la siguiente función:

$f(x)=\cfrac{x^n(1-x)^n}{n!}$

Utilizando el binomio de Newton podemos expresar $f(x)$ así:

$f(x)=\cfrac{1}{n!} \cdot x^n \cdot \displaystyle{\sum_{k=0}^n {n \choose k} (-1)^k x^k=\cfrac{1}{n!} \sum_{k=0}^n {n \choose k} (-1)^k x^{n+k}}$

Cuando $r < n$ se tiene que $f^{(r)}(0)=0$ (al derivar menos de $n$ veces el término $x^n$ no desaparece del todo) y cuando $r > 2n$ también obtenemos que $f^{(r)}(0)=0$ (ya que la propia función es la función ${0}$ al derivar más veces que su propio grado). Para calcular el resto de las derivadas en ${0}$ tomamos $m=1,2, \ldots ,n-1$ y las calculamos para todo $x$ :

$f^{(n+m)}(x)=\displaystyle{\cfrac{1}{n!} \sum_{k=0}^n {n \choose k} \cfrac{(n+k)!}{(k-m)!} (-1)^k x^{k-m}}$

Teniendo en cuenta esta expresión vemos fácilmente que $f^{(n+m)}(0)$ es un número entero para $m=1,2, \ldots ,n-1$ .

Por tanto tenemos que $f^{(s)}(0)$ es un número entero $\forall s \in \mathbb{N}$ . Como $f(1-x)=f(x)$ también tenemos que $f^{(s)}(1)$ es un número entero $\forall s \in \mathbb{N}$ .

Después de estos preliminares vamos con la demostración. En realidad vamos a demostrar que $\pi^2$ es irracional, hecho del que se deduce muy fácilmente que $\pi$ es irracional (¿Por qué?). La demostración comienza suponiendo que $\pi^2$ es racional, es decir, $\pi^2= \textstyle{\frac{a}{b}}$ , con $a,b\in\mathbb{Z^+}$ , es decir, enteros positivos. Definimos para cualquier entero positivo $n$ la siguiente función:

$F_n (x)=b^n [\pi^{2n} f(x)-\pi^{2n-2} f^{\prime\prime}(x)+\pi^{2n-4} f^{(4)} (x) - \ldots + (-1^n) f^{(2n)}(x)]$

Al ser $f(0)=f(1)=0$ y $f^{(s)}(0)$ un número entero $\forall s\in\mathbb{N}$ se tiene que $F_n (0)$ y $F_n (1)$ son enteros (los denominadores que aparecerían al sustituir $\pi^2$ por su supuesta expresión como fracción se cancelarían con el término $b^n$ del principio).

Realizamos ahora el siguiente cálculo basado en la función $F_n$ :

$\cfrac{d}{dx} [F^\prime _n (x) sen(\pi x)-\pi F_n (x) cos(\pi x)]=[F^{\prime\prime}_n (x)+ \pi^2 F_n (x)] sen(\pi x)=b^n \pi^{2n+2} f(x) sen(\pi x)$

Sustituyendo $\pi^2$ por $\textstyle{\frac{a}{b}}$ tenemos:

$\cfrac{d}{dx} [F^\prime _n (x) sen(\pi x)-\pi F_n (x) cos(\pi x)]=\pi^2 a^n f(x) sen(\pi x)$

Integrando obtenemos lo siguiente (pasamos $\pi$ dividiendo a la derecha):

$\displaystyle{\int_0^1 \pi a^n f(x) sen(\pi x) dx=\left [ \cfrac{F^\prime_n (x) sen(\pi x)}{\pi}-F_n (x) cos(\pi x) \right ]_0^1=F_n(1)+F_n(0)}$

que como hemos visto antes es un número entero.

Por otro lado, es sencillo de demostrar que para $0 < x < 1$ se tiene que $0 < f(x) < \textstyle{\frac{1}{n!}}$ . Multiplicando a ambos lados por $\pi a^n$ obtenemos:

$0 < \pi a^n f(x) < \cfrac{\pi a^n}{n!}$

Multiplicamos por $sen(\pi x)$ y acotamos la parte de la derecha (ya que $sen(x) < 1, \forall x\in\mathbb{R}$ ):

$0 < \pi a^n f(x) sen(\pi x) < \cfrac{\pi a^n sen(\pi x)}{n!} < \cfrac{\pi a^n}{n!}$

Integrando entre ${0}$ y $1$ obtenemos:

$\displaystyle{0 < \int_0^1 \pi a^n f(x) sen(\pi x) dx < \cfrac{\pi a^n}{n!}}$

Pero la última fracción es menor que $1$ para $n$ suficientemente grande. Por tanto tenemos lo siguiente:

$\displaystyle{0 < \int_0^1 \pi a^n f(x) sen(\pi x) dx < 1}$

Pero habíamos visto antes que $\displaystyle{\int_0^1 \pi a^n f(x) sen(\pi x) dx}$ era un número entero. Es decir, hemos llegado a un número entero entre ${0}$ y $1$ . Esa es la contradicción.

Por tanto $\pi^2$ es irracional y en consecuencia $\pi$ también lo es.

Fuentes:

Pi is irrational
Calculus, libro de Michael Spivak

Escrito por ^DiAmOnD^, 5 de Febrero de 2008 en Demostraciones, Pi

13 comentarios

Trackback para este post

Carmen Poroso - 5 de Febrero de 2008 12:15

$\big\uparrow \Big\uparrow \bigg\uparrow \Bigg\uparrow mola \Bigg\Downarrow \bigg\Downarrow \Big\Downarrow \big\Downarrow$
Domingo H.A. - 5 de Febrero de 2008 13:36

Muy bonita la demostración por medio de los polinomios de Niven.

Indicar que la primera prueba de irracionalidad de $\pi$ data de 1761, por J.H. Lambert. Ya comentamos en el problema sobre la fracción continua infinita que esta prueba (aunque no del todo rigurosa en el sentido actual) se basaba en el desarrollo de la tangente en fracción continua infinita. Lambert había seguido el camino trazado por Roger Cotes en 1714 y L. Euler en 1737, que obtuvieron respectivamente los desarrollos en fracción continua de $e-1$ y $(e+1)/(e-1)$ , para deducir la irracionalidad de $e$ .

Pues muy bien, ahora queda hablar de la trascendencia de $e$ y $\pi$ . Por si es de interés, las demostraciones de Hermite (1873) y Lindemann (1882) simplificadas por Hilbert (también Hurwitz y Gordan) en 1893 en los Mathematische Annalen (tomo 43), se pueden encontrar en el libro de Klein “Matemática elemental desde un punto de vista superior. Aritmética, álgebra, análisis” (Nivola, 2006, p. 329-345). A pesar de estar simplificadas tal vez sean algo enrevesadas para el gran público. No obstante, en “La saga de los números” de Antonio Córdoba (Crítica, 2006, p. 280-283) se pueden ver de modo mucho más asequible. Estas mismas pruebas se pueden ver también en el excelente libro de Alan Baker (medalla Fields, 1970) “Transcendental Number Theory” (Cambridge University Press, 1975, p. 4-6).
Domingo H.A. - 5 de Febrero de 2008 14:25

Se me pasó comentar que Lambert publicó la prueba de la irracionalidad de $pi$ en las Memorias de la Academia de Berlín, y que Legendre en unas notas de sus “Elementos de Geometría” (1794) aprovecha el método de fracciones continuas infinitas de Lambert para probar que $\pi^2$ es irracional. Además conjeturó la trascendencia de $\pi$ .

Diamond: echando un vistazo rápido a la prueba que indicas, veo que hay un pequeño gazapo (aunque no afecta para nada a la conclusión). Donde dice $\displaystyle{\int_0^1 \pi^2 a^n f(x) sen(\pi x) dx}$ debe decir $\displaystyle{\int_0^1 \pi a^n f(x) sen(\pi x) dx}$ (en el primer caso, el valor de la integral no es entero sino múltiplo entero de $\pi$ ). Después el “copiar y pegar” propoagó el error Un saludo y perdón por semejantes zarandajas.
rol - 5 de Febrero de 2008 15:04

Siempre me pareció que la demostración de que pi es irracional, y otras parecidas era muy artificiosa, aunque haya muuucho detrás .
Existe alguna demostración que nos diga más cosas sobre pi que esta?
^DiAmOnD^ - 5 de Febrero de 2008 16:33

Domingo gracias por el aviso. Lo cambio ahora mismo. Sobre la trascendencia pronto veremos cosas :).

rol hay muchos resultados que nos dicen cosas sobre $\pi$ . En la categoría dedicada a $\pi$ puedes encontrar más curiosidades sobre este número.
Gaussianos » Cómo demostrar que π (pi) es irracional (II) - 14 de Marzo de 2008 19:30

[...] Hoy, día de , vamos a ver una segunda demostración de la irracionalidad de esta constante, razón entre la longitud y el diámetro de una circunferencia (la primera demostración podéis verla en esta entrada). [...]
pedro - 14 de Marzo de 2008 21:51

muy chido
pepe - 14 de Marzo de 2008 23:12

te amo martha
varunia - 4 de Mayo de 2008 18:48

esto me sirvio, sin embargo es dificil de entender.

muchas gracias
varu
julios yep - 11 de Junio de 2008 2:23

Mucho más interesante es la demostración de que pi es trascendente y que no es un número de Liouville.
^DiAmOnD^ - 11 de Junio de 2008 4:05

julios yep todo se andará :).
julios yep - 13 de Junio de 2008 2:14

O también la solución de alguno de los problemas de Hilbert.
Douglas - 6 de Julio de 2008 4:11

Me gustaría ver completa esta demostración de Lambert. He visto mucho la de Spivak. ¿Alguien sabe dónde se puede leer?

En esta página aparece un esquema de la demsotración: http://mimosa.pntic.mec.es/jgomez53/matema/conocer/numpi_lambert.htm,
pero algunos símbolos no aparecen con claridad.

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