Cómo demostrar que π (pi) es trascendente

Introducción

El número $\pi$ , constante asociada a la circunferencia y al círculo, que condiciona la elección de parejas de números primos relativos, que puede aparecer en cualquier momento de nuestra vida, en los lugares más insospechados (hasta al tirar una aguja)…Este número, $\pi$ , es un número irracional (hecho que ya conocemos por partida doble, I y II). Pero también es un número trascendente. Recordemos la definición de número algebraico y número trascendente:

Un número real $\alpha$ es algebraico si existe un polinomio $p(x)$ con coeficientes enteros tal que $p( \alpha)=0$ , es decir, $\alpha$ es raíz de $p(x)$ .

Un número real $\alpha$ es trascendente si no es algebraico, es decir, si no existe ningún polinomio con coeficientes enteros tal que $\alpha$ sea raíz de él.

Es decir, lo que estamos diciendo es que no existe ningún polinomio con coeficientes enteros tal que $\pi$ sea una raíz del mismo. Y eso mismo es lo que vamos a demostrar.

El número $\pi$ es trascendente

Vamos a demostrar el siguiente resultado:

Teorema:

El número $\pi$ es trascendente sobre $\mathbb{Q}$ .

Demostración

En primer lugar tenemos que si $\pi$ fuera raíz de un polinomio con coeficientes en $\mathbb{Q}$ , entonces el número $i \pi$ también sería raíz de un polinomio de este tipo (no necesariamente del mismo). Sea este polinomio $p_1 (x)$ . Suponiéndolo de grado $n$ sus raíces serán $\alpha _1=i \pi, \alpha _2, \ldots , \alpha _n$ .

Por otra parte sabemos que $e^{i \pi}+1=0$ . Entonces:

$(e^{\alpha _1}+1) (e^{\alpha _2}+1 \ldots (e^{\alpha _n}+1)=0$ (1)

Ahora, dado que los $\alpha _i$ son raíces de una ecuación polinómica con coeficientes racionales, $p_1(x)=0$ , las sumas de cada dos raíces también serán raíces de una ecuación polinómica con coeficientes racionales, digamos $p_2 (x)=0$ , las sumas de cada tres raíces igual, digamos $p_3 (x)=0$ , y así sucesivamente. Entonces la ecuación:

$p(x)=p_1(x) p_2(x) \ldots p_n(x)=0$

es una ecuación polinómica cuyas raíces son todas las sumas que pueden hacerse entre los $\alpha _i$ . Eliminando las raíces que sean cero (si las hay) obtenemos que $p(x)=c x^r+ c_1 x^{r-1}+ \ldots + c_r$ , es decir, un polinomio de grado $r$ con coeficientes en $\mathbb{Q}$ que además cumple que $c_r \ne 0$ , ya que hemos eliminado las soluciones igual a cero que pudiera haber. Y además conocemos sus raíces: son todos los exponentes distintos de cero de $e$ que aparecen al desarrollar el producto (1) anterior. Llamando $\beta _1, \ldots , \beta _r$ a estas raíces obtenemos que:

$e^{\beta _1}+ \ldots + e^{\beta _r}+e^0+ \ldots + e^0=0$

Esto es:

$\displaystyle{\sum_{i=1}^r e^{\beta _i} +k=0}$

donde $k$ es un número entero estrictamente mayor que cero (ya que siempre aparece algún $1$ ).

Definimos ahora la siguiente función:

$f(x)=c^s x^{p-1} \cfrac{\lbrack p(x) \rbrack ^p}{(p-1)!}$

donde $s=rp-1$ y $p$ se determinará más adelante.

Tomando ahora la función $F(x)$ así:

$F(x)=f(x)+f^\prime (x)+ \ldots + f^{s+p)} (x)$

tenemos que

$\cfrac{d}{dx} \lbrack e^{-x} F(x) \rbrack =-e^{-x} f(x)$

de la misma forma que se vio en el post del pasado lunes. Por tanto:

$e^{-x} F(x)- F(0)=- \displaystyle{\int_0^x e^{-y} f(y) dy}$

Multiplicamos la igualdad anterior por $e^x$ y tomamos $y=\lambda x$ obtenemos:

$F(x)-e^x F(0)=-x \displaystyle{\int_0^1 e^{(1- \lambda )x} f(\lambda x) d \lambda}$

Consideremos ahora $x$ en el rango de los $\beta _i$ y sumemos en $i$ . Como $\sum e^{\beta _i} +k=0$ llegamos a lo siguiente:

$\displaystyle{\sum_{i=1}^r F(\beta _i)+k F(0)=-\sum_{i=1}^r \beta _i \int_0^1 e^{(1- \lambda) \beta _i} f(\lambda \beta _i) d \lambda}$

Y ahora viene la clave de la demostración: para valores suficientemente grandes de $p$ el lado izquierda de esta última igualdad es un entero distinto de cero. Vamos a intentar explicar el porqué.

Por definición de $f$ se tiene que $\displaystyle{\sum_{i=1}^r f^{t)} (\beta _i)=0}$ para $0 < t < p$ . Cada derivada de orden $p$ o mayor tiene un factor $p$ y un factor $c^s$ y $f^{t)} (\beta _i)$ es un polinomio en $\beta _i$ como mucho de grado $s$ . La suma es simétrica, y dado que cada coeficiente es divisible entre $c^s$ esa suma es un número entero. Entonces, al tener a $p$ como factor se tiene lo siguiente:

$\displaystyle{\sum_{i=1}^r f^{t)} (\beta _i)=p k_t}$ , con $t=p, \ldots , p+s$

Entonces el lado izquierdo de la igualdad es un entero más $k F(0)$ . VEamos ahora qué es $F(0)$ .

Se tiene lo siguiente:

$\begin{matrix} f^{t)} (0)=0, \; t=0, \ldots , p-2 \\ f^{p-1)} (0)=c^s c_r^p \; (c_r \ne 0) \\ f^{t)} (0)= p (entero), \; t=p, p+1, \ldots \end{matrix}$

Por tanto el lado izquierdo de la igualdad es un entero múltiplo de $p+c^s c_r^p k$ . Este término no es divisible por $p$ tomando este primo $p >k,c,c_r$ . Por tanto, para valores suficientemente grandes de $p$ se tiene que esa parte izquierda de la igualdad es un entero distinto de cero. Pero por otra parte, cuando $p$ tiende a infinito se tiene que la parte derecha de la igualdad tiende a cero. Esto es una contradicción que partió de considerar que $\pi$ era un número algebraico. Por tanto ya tenemos el resultado buscado:

El número $\pi$ es trascendente

Aplicación

Una de las aplicaciones más conocidas de la trascendencia de $\pi$ es la imposibilidad de cuadrar un círculo.

Fuente:

The trascendence of $\pi$ artículo en el que Steve Mayer, de Mathematics Weblog, reproduce la demostración dada por Ian Stewart en un curpo sobre Anillos y Cuerpos en 1970. La demostración sobre la trascendencia del número $e$ publicada en Gaussianos el pasado lunes también aparece en dicho documento.

Sin comentarios

Trackback | 26 Nov, 2009

Twitter Trackbacks for Cómo demostrar que π (pi) es trascendente | Gaussianos [gaussianos.com] on Topsy.com
elmigo | 26 de November de 2009 | 21:13

Ok
Enrique | 26 de November de 2009 | 21:16

Hay algo que no acabo de entender.
Se define la trascendencia de un número real ‘alpha’ haciendo referencia a la existencia de un polinomio de coeficientes enteros.
Por otra parte, se empieza la demostración diciendo que se va a trabajar en la trascendencia ‘pi’ sobre Q (números racionales).
Se me mezclan los conjuntos de números, y no acabo de ver qué subconjuntos estamos dejando al margen en cada caso, y por qué.
Dani | 26 de November de 2009 | 22:28

Si $\alpha$ es algebraico sobre $\mathbb{Z}$ , entonces existe un polinomio con coeficientes enteros que lo tiene como raiz. Como esos coeficientes enteros son desde luego racionales, $\alpha$ es algebraico sobre $\mathbb{Q}$ .
Por otra parte, si $\alpha$ es algebraico sobre $\mathbb{Q}$ , existe un polinomio con coeficientes racionales que lo tiene como raiz. Si multiplicas el polinomio por el producto de todos los denominadores de todos los cocientes (o el mínimo común múltiplo si prefieres) obtienes un polinomio con coeficientes enteros que también tiene a $\alpha$ como raiz. Luego $\alpha$ también es algebraico sobre los enteros. Concluimos:
$\alpha$ algebraico sobre $\mathbb{Z} \quad \Leftrightarrow \quad \alpha \quad$ algebraico sobre $\mathbb{Q}$
Y evidentemente es equivalente a
$\alpha$ trascendente sobre $\mathbb{Z} \quad \Leftrightarrow \quad \alpha \quad$ trascendente sobre $\mathbb{Q}$
Américo Tavares | 26 de November de 2009 | 23:28

Para os interessados aqui deixo o link para o artigo original (em alemão) de F. Lindemann que demonstrou em 1882 a transcendência de $\pi$ nos Math. Annalen:

Über die Zalh π, Math. Annalen 20 (1882), 213–225.

http://www.digizeitschriften.de/main/dms/img/#navi

Parabéns por este vosso artigo.
Trackback | 27 Nov, 2009

Cómo demostrar que el número "pi" es trascendente
Toro Sentado | 27 de November de 2009 | 20:10

Lástima. Los tres posts (éste, el del número e, y el del postulado de Bertrand) más interesantes de Gaussianos me cogen en una época en la que no puedo dedicar ni cinco minutos para pensarlos.

Me encantaría poder mirarlos con detenimiento y comentar, para ver si entre todos resolvíamos las dudas que surgieran.

Otra vez será. Gracias y saludos
gaussianos | 27 de November de 2009 | 22:52

Toro Sentado, los artículos van a seguir por aquí, o sea que dentro de un tiempo puedes retomarlos .
Edwin | 1 de December de 2009 | 14:55

Luego de la línea “Estos es:” se ha escrito

$\sum_{i = 1}^{r}\beta_i + k = 0$

en lugar de

$\sum_{i = 1}^{r}e^{\beta_i} + k = 0$

Debería editarse esto. Saludos.
gaussianos | 2 de December de 2009 | 04:48

Gracias edwin, lo cambio ahora mismo.
Américo Tavares | 2 de January de 2010 | 20:40

Como provar que um dos números

s = pi + e

e

d = pi – e

é transcendente?
Dani | 4 de January de 2010 | 03:22

la suma de dos algebraicos es algebracio, resultado que se puede deducir con el resultante de los dos polinomios que tienen como raices, respectivamente $\pi + e$ y $\pi - e$ , que tienen que existir si fueran los dos algebraicos. Luego $2 \pi$ es algebraico que es absurdo por el post anterior.
DudasyConsultas | 3 de February de 2010 | 23:08

Hola, no entendí la parte marcada en negrita, que justamente es la importante… Alguien podría explicarme mejor eso de que cada coeficiente es un número entero?? Es lo que me falta entender, pero es lo más importante, sin entender eso no entiendo la demostración…

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