Cómo demostrar que el número e es irracional

El número e es bien conocido en el mundo de las Matemáticas. Es la base de los logaritmos neperianos, y su valor redondeando a 5 decimales es e = 2′71828. Se sabe que es un número irracional1 y trascendente2. El post va a estar dedicado a demostrar que e es irracional. Demostraremos este hecho mediante reducción al absurdo (en este post vimos en qué consistía este método de demostración). Vamos con ella:

Comenzamos mostrando una propiedad bien conocida del número e:

(1)

Supongamos ahora que podemos obtener e como cociente de dos enteros positivos (por la expresión anterior claramente e debe ser positivo), es decir:

(2)

siendo p y q enteros positivos. Multiplicamos la expresión (1) por q! a ambos lados, obteniendo:

(3)

Por (2) tenemos que q!e es un número entero, y claramente la parte de la suma que aparece explícitamente en (3) también es un número entero. Por tanto la diferencia entre ellos, digamos R, también será un número entero (y positivo). Veamos qué forma tiene R:

Simplificamos los factoriales:

Como q + 2 > q + 1, q + 3 > q + 1, etc, se cumple la siguiente desigualdad:

Sacando factor común y usando la fórmula de la suma de una progresión geométrica:

Pero q era un entero positivo, por tanto q > 1. En consecuencia su inverso será menor que 1. Tenemos entonces que R es un número entero positivo que cumple la siguiente cadena de desigualdades:

Pero como no existe ningún número entero entre 0 y 1 tenemos que la esta situación no puede darse. Es decir, hemos llegado a una contradicción que partió del hecho de suponer que e era racional. Por tanto, utilizando reducción al absurdo, obtenemos que el número e es un número irracional.

Fuente: Math Forum

1: Un número real se dice irracional si no puede expresarse mediante como cociente de números enteros. Se caracterizan por tener una expresión decimal con infinitos decimales que no siguen ningún período.

2: Un número real se dice trascendente si no es solución de ninguna ecuación polinómica con coeficientes enteros. Es lo contrario de número algebraico

Autor: ^DiAmOnD^

Miguel Ángel Morales Medina. Licenciado en Matemáticas y autor del blog Gaussianos. Puedes seguirme en Twitter o indicar que te gusta mi página de Facebook.

36 Comentarios

  1. No veo ninguna imagen con ningún explorador (Firefox 1.5, Firefox 2.0 Beta 2, Opera, iExplore). Creo que el servidor dónde las tienes actualmente alojadas está caído.
    😉
    Saludos!

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  2. Pues yo con Firefox las veo perfectamente, pero me he dado cuenta de que con Internet Explorer no me aparecen.

    Las tengo subidas en Zooomr. Si veo que la cosa sigue así las cambio.

    Si a alguien más le pasa por favor que nos lo avise.

    Saludos :)

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  3. Las ves en firefox pq están en la caché del navegador.

    Auqneu siguiendo el link se ve al demostración “en modo texto” xD

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  4. Cierto, las veía por la caché.

    He cambiado las imágenes a Flickr. Creo que ahora va todo bien. Si alguien detecta en algún post una imagen que no se ve que me lo comente y lo arreglo.

    Gracias a todos. Saludos :)

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  5. quiero confirmar.
    cual es la diferencia entre demostraciones por reduccion al absurdo y por contradiccion.

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  6. La de Pi es más complicada. Aquí puedes ver una.

    Sobre las demostraciones:

    1.- Contradicción: para demostrar que p implica q demostramos que la negación que q implica la negación de p.

    2.- Reducción al absurdo: para demostrar que p implica q suponemos cierta la negación de q y llegamos a una conclusión contradictoria. Eso implica que q es cierta.

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  7. ^Diamond^

    i. Contradicción: [p ->q] si y sólo si [no q -> no p], por eso demuestro “no q”.

    ii. Reducción al absurdo: [p->q] supongo “no q” y hallo una contradicción. Por tanto “q” es cierta. Pero que “q” sea cierta, no me dice nada acerca de “p”. Otra cosa sería si [pq].

    ¿Me estoy equivocando en algo?

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  8. Perdón, en medio de [pq] tendría que haber una flecha biyectiva. Cosa que no sé pq no apareció.

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  9. kaizen te lo explico:

    1.- Contradicción: Para demostrar p implica q demuestro no q implica no p, ya que son equivalentes. Y para ello parto de no q para demostrar no p.

    2.- Reducción al absurdo: Para demostrar p implica q supongo cierta no q y con ello llego a una contradicción. Eso me asegura que q es cierta.

    ¿Mejor?. Si hay dudas coméntalo :)

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  10. Sigo sin comprender el punto 2.

    No entiendo de que te vale saber q, para demostrar que p implica q.

    Oh!, iluminación repentina: en la Reducción al absurdo partes de que “p implica no q”. Y llegas a un absurdo. Por lo tanto “p implica q”.

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  11. Perdonad que me entrometa : ) en la reducción al absurdo se supone cierto lo contrario de lo que quieres demostrar. Es decir. Si quieres probar una implicación “p implica q” Debes partir de la hipotesis opuesta. La pregunta es: ¿Qué es lo contrario de “p implica q”?

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  12. Yo diria simplemente que la reduccion al absurdo consiste en suponer que p es falso. Si bajo esa hipoteisis llegas a una contradicción entonces p es cierto. Sin implicaciones ni q ni nada, ¿no?

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  13. Voy a intentar explicar un poco mejor lo de reducción al absurdo:

    Supongamos que queremos demostrar p implica q. Generalmente en estos casos sabemos que p es cierta, y con ello (por demostarción directa) podemos intentar demostrar la validez de q. Es decir, suponiendo que p es cierta demostramos q.

    Por reducción al absurdo lo que haríamos sería suponer que p y no q son ciertas y a partir de ahí intentar llegar a una conclusión absurda, a una contradicción. Como sabemos de antemano que p es cierta (es la hipótesis de nuestro problema) concluímos que no q es falsa, y por tanto que q es cierta.

    Espero haberme explicado un poco mejor ahora :)

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  14. Yo por reduccion al absurdo y contradiccion entiendo lo mismo. Ademas llamar contradiccion a lo que yo llamo (¬ q -> ¬ p) o bien “contrareciproco” puede llevar a confusion… o a contradiccion…:P
    ..
    ….
    .
    .
    .
    Es que la reduccion al absurdo es llegar a una contradiccion!! no? Yo digo.. venga… no q…. supongo que no q es cierto…ala… y termino formando un pollo terrible… y “q” me mira con cara de pocos amigos como diciendo: “tu ves.. eso te pasa por no confiar en mi…:(”

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  15. Ok ^Diamond^, la última fue la vencida.

    No Guti, no es lo mismo:

    i. En contradicción, partes de “no q”, y trabajas con ello en toda la demostración hasta llegar a “no p”.

    ii. En reducción al absurdo, trabajas con “no q”, pero APOYÁNDOTE en la hipótesis de que “p” es cierta. Y llegas a un absurdo.

    Jajaja, seguimos montando el pollo.

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  16. Guti tienes razón, reducción al absurdo y contradicción es lo mismo. Donde decía aquí contradicción quería decir contrarrecíproco.

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  17. Ay!, que ya me habéis hecho el hijo!!!

    reducción al absudrdo y contradicción es lo mismo??

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  18. uyyy, lo que me ha disho…

    No sé, cuando tuve ese par de asignaturas, no me dió esa impresión. Es decir, ambas cosas valen para demostrar lo mismo “p implica q”. Pero cada una tenía sus cálculos.

    ¿No son caminos distintos? …si son la misma cosa…maestro, dime algo para iluminarme.

    …Yo a matarme a diferenciarlos, y catapum! :_(

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  19. Sí, son cosas distintas. Una cosa es reducción al absurdo o contradicción y otra es contrarrecíproco.

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  20. aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaah!!! Ok, ok.

    El “ii. reducción al absurdo o contradicción” y el “i. contrarrecíproco”.

    A ver empezao por ahí!!. Si es que…

    Muchas gracias :)

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  21. jejeje me ausente sin querer pero recuperare el tiempo,gracias por las aclaraciones pero entonces porque llamarlos diferente.
    DiAmOn:no puedo ver la demostracion de pi,tal vez haya otro enlace,gracias de todos modos.

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  22. NUEVA FORMULA PARA EL NUMERO PI

    El metodo es circunscribir un poligono en una circunferencia
    y calcular el perimetro de dicho poligono.El perimetro de un
    poligono de infinitos lados su resultado es el numero pi.
    El metodo es el de arquimedes para poligonos que estan fuera
    de la circunferencia dicho con otras palabras.Asi pues la
    formula no aporta una gran novedad simplemente dice con
    otras palabras o sigue un camino paralelo al de la formula
    de arquimedes para poligonos que estan fuera de la circunferencia.

    La formula es el siguiente algoritmo iterativo.

    2 * A[n] * B[n]
    A[n+1] = ————————–
    1 + B[n]

    1 + B[n]
    B[n+1] = RAIZ ( —————— )
    2

    los valores iniciales son A[0] = 4 y B[0] = RAIZ ( 1 / 2 )

    El valor 4 de A[0] es igual a 4 * tangente [ pi/4 ]
    considerando una circunferencia de radio 1 o lo que
    es lo mismo un cuadrado que envuelve a una circunferencia
    como valor inicial de partida.
    El valor RAIZ ( 1 / 2 ) de B[0] es igual al coseno [ pi/4 ]

    El valor de A[n] calculado cuando n tiende a infinito
    es igual a PI

    DEMOSTRACION

    la demostracion que relaciona A[n] con A[n + 1] es la siguiente

    seno [ pi/n ]
    A[n] = tangente [ pi/n ] = ————————–
    coseno [ pi/n ]

    si lo dividimos por el inverso del coseno [ pi/n ]

    seno [ pi/n ]
    ———————
    coseno [ pi/n ]
    —————————-
    1
    ———————–
    coseno [ pi/n ]

    el coseno se anula.El seno [ pi/n ] que queda es igual a

    2 * seno [ pi/(2*n) ] * coseno [ pi/(2*n) ]

    si esta afirmacion la dividimos entre

    2 * seno [ pi/(2*n) ] * coseno [ pi/(2*n) ]
    —————————————————————–

    coseno [ pi/(2*n) ] * coseno [ pi/(2*n) ]

    el coseno se anula y lo que queda es

    2 * seno [ pi/(2*n) ]
    ———————————–
    coseno [ pi/(2*n) ]

    asi pues A[n] = tangente [ pi/n ]

    y A[n + 1] = 2 * tangente [ pi/(2*n) ]

    asi pues la formula final sera

    seno [ pi/n ]
    ————————–
    coseno [ pi/n ]
    ————————————————————-
    1
    ———————– * coseno [ pi/(2*n) ] * coseno [ pi/(2*n) ]

    coseno [ pi/n ]

    que es igual a

    seno [ pi/n ]
    —————————
    coseno [ pi/n ]
    ————————————————————-
    1 1 + coseno [ pi/n ]
    ———————— * ——————————-
    coseno [ pi/n ] 2

    que nos lleva finalmente a la identidad que hemos descrito al
    principio

    2 * A[n] * B[n]
    A[n+1] = ——————————
    1 + B[n]

    por lo tanto el calculo de A[n] cuando n tiende a infinito
    sera igual a PI

    el calculo de B[n] es igual a calcular los sucesivos cosenos
    mitad en numero de grados que en el paso anterior

    para cualquier duda o consulta contactar con la direccion
    de msn messenger oteropera@hotmail.com

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  23. R:

    Hay una parte que no entiendo….

    Pero q era un entero positivo, por tanto q > 1. En consecuencia su inverso será menor que 1.

    … 1 es un entero positivo y no es mayor que 1.

    O sea la demostración no esquiva el caso que e sea un entero, o no estoy viendo algo?

    Salu2.

    PD: Están interesantes los comentarios sobre la relación entre contrarecíproco y reducción al absurdo (podría crearse un tópico a parte).

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  24. perico tienes razón, ahí debería poner q mayor o igual que 1, y por tanto su inverso sería menor o igual que 1. De todas formas R seguiría siendo menor estrictamente que 1 y llegaríamos a la misma conclusión.

    Buen comentario.

    Saludos 🙂

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  25. Ja, no leí con suficiente calma, aunque debería decir “q mayor o igual que 1” como q + 2 > q + 1, q + 3 > q + 1 son desigualdades estrictas. El razonamiento para acotar R se mantiene más que firme.

    Salu2 y gracias.

    PD: No podemos quienes posteamos registrarnos?, pregunto porque (al menos en este tópico) solo veo

    Publica una respuesta
  26. Ja, no leí con suficiente calma, aunque debería decir “q mayor o igual que 1” como q + 2 > q + 1, q + 3 > q + 1 son desigualdades estrictas; el razonamiento para acotar R se mantiene más que firme.

    Salu2 y gracias.

    PD: (Al menos en este tópico) solo veo que tú ^DiAmOnD^ tienes hipervínculo en tu nick. No hay forma de identificarse al postear?

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  27. Si en el campo de Web pones tu web tienes hipervínculo, sino nada. (Creo que está muy claro)

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  28. Autentificarse…¿quieres decir que cuando entres te reconozca tus datos: nick, mail y web? Creo que eso depende del navegador que uses, pero no me hagas mucho caso.

    Si no es eso especifica más, que no nos enteramos 🙂

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  29. Sip a eso me refiería, conozco la página desde hace un par de días y no sé si un funciona como un foro en donde la gente se loguea ( algo así como la página http://www.subdivx.com ) o puede postear tb. como invitado.

    Una última duda,¿Quiénes postean pueden hacerlo escribiendo con caracteres como en plataforma moodle y/o linkear algún documento como en el post de ^DiAmOnD^ (10 de Octubre de 2006 22:21)? ¿Si se puede, cómo hay que hacerlo?. Dejé mi e-mail esta vez. Me surgió la duda al leer leer el post de otero del 6 de Diciembre de 2006.

    Salu2 nuevamente y felicitaciones por la página.

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  30. perico no, esto no funciona como un foro. Por ahora los artículos los escribimos Fran y yo. Vosotros podéis comentarlos.

    Para escribir enlaces, negritas, cursivas, etc, hazlo con código html.

    Saludos 🙂

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  31. El problema de esta demostración llega en el final, cuando supones que q, un número entero no es igual a 1, en este caso, lo que haría para afinar un poco es como q es uno, e=p/q–>e=p, entonces p es un número entero, ahora solo hay que demostrar que el número e está comprendido entre 23 con lo que lógicamente acabarías demostrando por completo dado que no existe un número entero entre 2 y 3.
    Para esa demostración se puede hacer visualmente con una función F(x)=1/x (integrando o derivando según lo que busques), o mediante la fórmula (1+1/n)^n desarrollándola por el binomio de newton.

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  32. En la discusion sobre la refuccion al absurdo y la contradiccion usais constantemente y erroneamente la expresion “p implica q”. Lo correcto es leerlo “si p entonces q”. De lo contrario, se cae en las paradojas de la implicacion material.

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