Cómo dividir un cuadrado en 50 triángulos semejantes

¿Recordáis la entrada sobre el problema 59, o cómo cuadrar un cuadrado? Sí, la entrada en la que se hablaba del problema 59 del Cuaderno Escocés, que trataba sobre dividir un cuadrado en una cierta cantidad de cuadrados todos ellos distintos.

Pues la imagen que os traigo hoy tiene cierta relación. ¿Cómo dividiríais un cuadrado en 50 triángulos semejantes? Sí, aparte de tener algo de relación con el problema 59, la pregunta es algo extraña. Supongo que algo así fue lo que se planteó Lew Baxter (bueno, en realidad supongo que esta duda le surgiría por otra vía, pero no se me ocurre cuál puede ser dicha vía). Y el caso es que ha encontrado la solución que podéis ver en la siguiente imagen

en la que se aprecia una curiosa (y esperable) simetría entre los dos triángulos que quedan al cortar el cuadrado por una de sus diagonales (si giramos uno de ellos 180º obtenemos el otro).

Una curiosa pregunta con una curiosa respuesta en forma de imagen. Y ahora una pregunta: ¿hay alguien que sepa algo más sobre este tema?


Visto en MathPuzzle.

Autor: ^DiAmOnD^

Miguel Ángel Morales Medina. Licenciado en Matemáticas y autor de Gaussianos y de El Aleph. Puedes seguirme en Twitter o indicar que te gusta mi página de Facebook.

14 Comentarios

  1. ¿Y tienen que ser 50 justitos?
    ¿No vale usar 2^n? 🙂

    Podría usar triángulos rectángulos, e ir dividiendo de 2 en 2.
    Como 50 no es potencia de 2, no puedo hacerlos todos iguales. Cuando llegue a 32, ya no divido todos por igual, sino solo algunos de ellos.
    Creo que es fácil.

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  2. ¿Y no era más fácil dividir el cuadrado en 25 cuadraditos y cada uno de ellos por la mitad?

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  3. Ladivisión podría ser simétrica respecto de una diagonal, si girasemos una de las dos mitades respecto a la otra diagonal. Pero tal y com está, es simétrica respecto del centro del cuadrado. Tendría el inconveniente estético de que se formarían muchos cuadriláteros, en particular, muchas “cometas”.

    Pero si no hay más restricciones, hay una descomposición mucho más simple en 50 “escuadras”. Basta dividir el cuadrado por una diagonal en dos escuadras (90º, 45º, 45º), y cada una de ellos en 25 copias, dividiendo sus lados en cinco partes y uniendo las divisiones por segmentos paralelos a los lados.

    Quizás haya una condicón estra, como que los triángulos no sean todos congruentes, o sean acutángulos, …

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  4. ¿Y se puede dividir en 53 triángulos? Por poner un número primo y esas cosas 😉

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  5. Tienes razón Norby. La imagen de la solución me ha desvisado de lo más evidente, 😉

    GOB, si haces como yo digo, puedes conseguir dividir el cuadrado en cualquier número de triángulos semejantes (salvo 1 claro!)

    Diamond, Claro que es original! Sobre todo llama la atención los pequeños trinagulitos que encajan perfectamente!

    Y que tal si dividimos el cuadrado por la diagonal, y uno de estos triángulos por la mitad. Y uno de esos nuevos triángulos por la mitad, y así eternamente?
    Habremos dividido en infinitos triángulos.

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  6. El procedimiento que esboza Cartesiano Caotico vale para dividirlo en cualquier número de escuadras (triángulos esuiláteros isósceles). Basta escribir el número en base 2, o simplemente como suma de potencias de 2, y dividir la mitad del triángulo que nos queda por el número de partes correspondientes, hasta que solo quede una potencia de 2, que se divide lo que quede en el número de partes preciso.

    Por ejemplo, 53 = 1 + 4 + 16 + 32. Dividimos el cuadrado por la mitad, y apartamos uno de ellos. El otro lo dividimos en 2, y uno de las partes en 4. El cuarto de cuadrado que nos queda, lo dividimos en dos, y una de las partes en 16, y la otra en 32, y listo. Es decir,

    1 = 1*(1/2) + 4*(1/16) + 16*(1/128) + 32*(1/256)

    Creo que el puzzle debe consistir en efectuar la disección usando triángulos semejantes pero acutángulos (u obtusángulos)

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  7. El mérito de esta división, como explican en mathpuzzle, es que se utilizan sólo triángulos acutángulos semejantes (45-60-75). Sin esa condición la solución, como demostró Norby y recalcó Ignacio, sería trivial.

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  8. Como dice Ignacio, no hay simetria respecto de ninguna diagonal…
    queda un poco mal en un blog de tan alto nivel, seria mejor cambiarlo.
    La simetria de la figura es respecto al centro, o respecto a un giro de 180 grados.
    Estamos de acuerdo que la solucion podia haber elegido la simetria respecto a una
    diagonal.

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  9. En honor a la verdad, es perfectamente factible una solución simétrica respecto a la diagonal. Tan sólo hay que darle la vuelta a uno de los lados y se obtiene una solución con perfecta simetría.

    Pero lo cierto es que queda mucho más bonita con esta simetría a 180º, no?

    Y ahora digo yo…
    qué tal si a cada triángulo le hacemos un triángulo interior con vértices en los centros de cada lado del triángulo? deben salir un triángulos semejantes. Así, convertimos 1 triángulo en 4. Por lo que a partir de la solución inicial de 50 triángulos escalenos, podría conseguir dividir el cuadrado en 50+3n triángulos escalenos semejantes.

    Así que, no se si podemos conseguir cualquier número de triángulos. Pero seguro que podemos conseguir los 53 que proponía GOB. 🙂

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  10. Yo no quería decir que la figura fuera perfectamente simétrica respecto de una de las diagonales, sino que se apreciaba una simetría entre los dos triángulos que quedarían al cortar por dicha diagonal. De todas formas es cierto que mi frase puede llevar a error, la cambio ahora mismo. Gracias por el apunte.

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  11. Buena, Cartesiano Caotico, me refiero a lo de obtener cuatro triángulos de uno.

    Con tu idea, y un poquito más, creo que es fácil demostrar que se puede dividir el cuadrado en n triángulos, todos ellos con la misma proporción que en el artículo (45-60-75, si Lex está en lo cierto), para cualquier valor de n mayor o igual que 98.

    Basta con ver que se puede dividir el cuadrado en 75 triángulos, si uno de los dos triángulos rectángulos en los que dividimos inicialmente el cuadrado, se parte por la mitad, dando lugar a dos triangulos también rectángulos. Después se dividen cada uno de los triángulos rectángulos en 25, como se muestra en la figura, y ya está.

    De forma parecida se puede dividir el cuadrado en 100 triángulos.

    Y dado que:

    50 = 2 (mod 3)
    75 = 0 (mod 3)
    100 = 1 (mod 3)

    Pues cubrimos todos los naturales, a partir de 100-3 = 97 (no incluido).

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  12. Basta con dividir el cuadrado en dos por su diagonal (tenemos dos). Luego uno de los dos se divide en dos más (tendremos tres) por su altura sobre la hipotenusa, obteniendo así dos triángulos semejantes al primero, uno de los cuales dividiremos como el anterior (tendremos cuatro)… Hasta oftener los cincuenta triángulos, todos semejantes.

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  13. perdon que me meta necesito ayuda lo antes posible gracias! es problema es el sigte: los lados de un triangulo abc miden 13, 15, 20 cm. un lado de otro triangulo semejante al abc mide 80cm:
    a- ctos triangulos semejantes al abc hay con un lado de 80 cm porque?
    b- si la razon de semejanza es un nro entero. ¿cto miden los otros lados? ayudenmeee porfa

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