Cómo encontrar el número e en el triángulo de Pascal

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En el famosísimo triángulo de Pascal se puede encontrar de todo. Los números que aparecen en el triángulo corresponden a los números combinatorios, las sumas de las filas son las potencias de 2, podemos encontrar los términos de la sucesión de Fibonacci, los números triangulares… Como decía, de todo…

…bueno, de casi todo, tampoco vamos a exagerar. Por ejemplo, no conozco ninguna forma de encontrar el número \pi en el triángulo. Ahora, ¿y el número e? ¿Se os ocurre alguna forma de relacionar el triángulo de Pascal con el número e? Pues la hay, y además es bastante sencilla.

Todas estas cosas que, como hemos comentado, se pueden encontrar fácilmente en el triángulo de Pascal tienen que ver con sumas. Bueno, que los elementos del triángulo son los números combinatorios no

(Imagen tomada de aquí)

pero las demás sí. Si sumamos los elementos de cada fila nos aparecen las potencias de 2:

(Imagen tomada de aquí)

Sumando de la forma que aparece en la siguiente imagen obtenemos los términos de la sucesión de Fibonacci (ya hablamos sobre ello en esta entrada de hace tiempo):

(Imagen tomada de aquí)

Y si miramos las primeras diagonales nos aparecen unos, los números naturales, los números triangulares y los números tetraédricos, respectivamente:

(Imagen tomada de aquí)

Pero parece ser que a nadie se le había ocurrido considerar productos de elementos del triángulo de Pascal. Vamos a multiplicar los elementos de cada una de las filas:

Si ahora dividimos cada resultado obtenido al multiplicar entre el obtenido en la fila anterior obtenemos los siguientes valores:

\{1,2,4.5,10.666 \ldots,26.0417,64.8 \}

Y ahora volvamos a dividir cada uno de los resultados de esa lista entre el anterior. Llegamos a los siguientes datos:

\{2,2.25,2.370370 \ldots,2.44140625,2.48832 \}

Oye, pues parece que después de comenzar en 2 los números van subiendo poco a poco. Si avanzamos un poco, por ejemplo por la zona del n=1000, el dato de la lista sería ya 2.71692, que ya está más cerca del número e=2.71818281 \ldots, ¿verdad? Vamos a ver enseguida que en realidad sí, que todo cuadra a la perfección.

Si llamamos s_n al producto de los elementos de la fila n, con n=0,1, \ldots, si recordamos que los elementos del triángulo de Pascal son los números combinatorios tenemos que:

s_n=\displaystyle{\prod_{k=0}^n {n \choose k}}

Lo que vamos a demostrar, y además de forma bastante sencilla, es que:

\displaystyle{\lim_{n \to \infty} \cfrac{s_{n+1}/s_n}{s_n/s_{n-1}}=e}

Bien, comencemos estudiando cuál es la expresión exacta de s_n. Como hemos dicho, es el producto de todos los números combinatorios {n \choose k}, con k,0,1, \ldots, n. Es decir:

s_n= \displaystyle{{n \choose 0} \cdot {n \choose 1} \cdots {n \choose 2} \cdots \ldots \cdot {n \choose n}}

Recordando que {p \choose q}=\frac{p!}{q! \cdot (p-q)!}, la expresión anterior se convierte en la siguiente:

s_n=\cfrac{n!}{0! \cdot n!} \cdot \cfrac{n!}{1! \cdot (n-1)!} \cdot \cfrac{n!}{2! \cdot (n-2)!} \cdot \ldots \cdot \cfrac{n!}{n! \cdot 0!}

Todos los numeradores son n!, por lo que el denominador conjunto es (n!)^{n+1}. Y en el denominador aparece dos veces cada factorial desde 0! hasta n!, por lo que al multiplicar cada uno de ellos estará elevando al cuadrado. Por tanto, la expresión de s_n es la siguiente:

s_n=\cfrac{(n!)^{n+1}}{\displaystyle{\prod_{k=0}^n (k!)^2}}

Ahora ya podemos calcular de forma sencilla los dos cocientes que aparecen en el límite que hemos mostrado antes. Expresando s_n como (n!)^{n+1} \cdot \displaystyle{\prod_{k=0}^n (k!)^{-2}} (para simplificar la notación siguiente) tenemos que:

\begin{matrix} \cfrac{s_n}{s_{n-1}}=\cfrac{(n!)^{n+1} \cdot \displaystyle{\prod_{k=0}^n (k!)^{-2}}}{((n-1)!)^n \cdot \displaystyle{\prod_{k=0}^{n-1} (k!)^{-2}}}=\cfrac{(n!)^{n+1} \cdot (0!)^{-2} \cdot (1!)^{-2} \cdot \ldots \cdot ((n-1)!)^{-2} \cdot (n!)^{-2}}{((n-1)!)^n \cdot (0!)^{-2} \cdot (1!)^{-2} \cdot \ldots \cdot ((n-1)!)^{-2}}= \\ =\cfrac{(n!)^{n+1} \cdot (n!)^{-2}}{((n-1)!)^n}=\cfrac{(n!)^n \cdot n!}{((n-1)!)^n \cdot (n!)^2}=\left ( \cfrac{n!}{(n-1)!} \right )^n \cdot \cfrac{1}{n!}=\cfrac{n^n}{n!} \end{matrix}

De manera análoga tenemos que

\cfrac{s_{n+1}}{s_n}=\cfrac{(n+1)^{n+1}}{(n+1)!}

Calculemos ahora el límite anterior:

\begin{matrix} \displaystyle{\lim_{n \to \infty} \cfrac{s_{n+1}/s_n}{s_n/s_{n-1}}}=\displaystyle{\lim_{n \to \infty} \cfrac{(n+1)^{n+1}/(n+1)!}{n^n/n!}}=\displaystyle{\lim_{n \to \infty} \cfrac{(n+1)^{n+1} \cdot n!}{(n+1)! \cdot n^n}}= \\ \\ =\displaystyle{\lim_{n \to \infty} \cfrac{(n+1)^n \cdot (n+1) \cdot n!}{n! \cdot (n+1) \cdot n^n}}=\displaystyle{\lim_{n \to \infty} \cfrac{(n+1)^n}{n^n}}=\displaystyle{\lim_{n \to \infty} \left (\cfrac{n+1}{n} \right )^n}= \\ \\ =\displaystyle{\lim_{n \to \infty} \left (1+\cfrac{1}{n} \right )^n} \end{matrix}

y sabemos que el valor de este último límite es, efectivamente, e. Por tanto, tenemos que:

\displaystyle{\lim_{n \to \infty} \cfrac{s_{n+1}/s_n}{s_n/s_{n-1}}}=e

¿A quién debemos todo esto?

Y el artífice de esto, el descubridor de esta relación, es Harlan J. Brothers (en la imagen de la derecha), inventor, músico, matemático y profesor estadounidense, que publicó su hallazgo el pasado año 2012 en The Mathematical Gazette

  • H. J. Brothers, “Pascal’s triangle: The hidden stor-e.” The Mathematical Gazette, Vol. 96, No. 535, 2012; páginas 145-148

y en Mathematics Magazine

  • H. J. Brothers, “Finding e in Pascal’s triangle.” Mathematics Magazine, Vol. 85, No. 1, 2012; página 51

Además de todo esto, es un tipo muy majo (le pedí que me enviara esos dos trabajos y en menos de media hora ya estaban en mi correo) y se lleva bastante bien con el idioma de Cervantes. Harlan, muchas gracias por tu ayuda y por ser tan amable.


Por cierto, antes de verlo en los papers de Brothers lo vi en Cut-the-knot. La foto de Harlan J. Brothers la he tomado de su página en la Wikipedia en inglés.

Actualización: Me comenta David Orden que este tema apareció hace unos días en este post de Simplemente Números dentro de la edición de mayo del Carnaval de Matemáticas. Creo que, aunque como comenta el autor el post es una traducción del artículo de Cut the knot, es de justicia mencionarla aquí.

Autor: ^DiAmOnD^

Miguel Ángel Morales Medina. Licenciado en Matemáticas y autor de Gaussianos y de El Aleph. Puedes seguirme en Twitter o indicar que te gusta mi página de Facebook.

21 Comentarios

  1. Me parece muy bonito pero sin valor intrínseco. Creo que muchas revistas de matemáticas habrían rechazado este descubrimiento el cual sin duda se ha hecho partiendo de la definición usual de e y manipulando sin dificultad en sentido contrario al de la demostración aquí dada para llegar a la expresión del caso. Lo espectacular, pero lamentablemente imposible, habría consistido en asociar el número trascendente e a los números del triángulo de Pascal de manera algebraica, es decir, prescindiendo del límite. (De modo análogo podrían expresarse otros irracionales y otras potencias del entero n para n mayor que 2).
    A mencionarse dos cosas: (1) Harlan no sólo es majo por su personalidad como afirma Gaussianos sino también por su físico, seguro que ha despertado más de una vocación por las matemáticas en el sexo bello. (2) Sería de masoquistas querer aproximarse numéricamente al número e por la fórmula de Harlan.

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  2. Luis GSA, es posible, pero no deja de ser una bonita curiosidad. Ah, y respondo:

    1.- Cierto lo del físico de Harlan.

    2.- Y también cierto que sería una locura usar este método para calcular una aproximación numérica interesante del número e.

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  3. Muy interesante la entrada. Yo conocía el hecho de que si
     a_{n} = \frac{n^{n}}{n!}
    entonces
    \lim \frac{a_{n+1}}{a_{n}} = e
    ya que es una forma de probar que el crecimiento asintótico de n^{n} supera al factorial.

    Pero desde luego la relación con el triangulo combinatorio no lo conocía y me resulta bastante sorprendente, muy curioso.

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  4. Interesante entrada, simplemente genial y saben que es lo que mas me gusta de esto, es que nos dice que aun hay muchas cosas bonitas que esperan por ser descubiertas…

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  5. Buenas noches.

    No se si es el lugar adecuado para preguntarlo, ni siquiera si el mensaje será leído… Pero me gustaría estudiar la carrera de estadística (fuera de Europa claro) a ser posible online/ a distancia, pues no puedo asistir a la facultad…¿Existe la posibilidad?¿Alguna universidad que oferte el grado o equivalente (undergraduate/bachelor science)?¿Dentro de España se puede estudiar de manera no presencial?

    Gracias.

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  6. Hola Statstdnt, en Chile hay un bastante prestigioso centro que gradúa especialistas en Estadística desde hace ya largo tiempo, el CIENES, en Valparaiso y podrías consultar en
    Teléfono (56)(32)2274051 y Fax (56)(32)2274040
    Web: http://www.estadistica.cl

    Buena suerte.

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  7. Muchas Gracias, Luis GSA.

    La verdad, llevo un tiempo (aunque como el contenido es inabarcable) siendo autodidacta, por eso me gustaría ver qué opciones tengo (sabiendo que no puedo acudir a la universidad por temas de trabajo, ya terminé mi primera carrera, y ahora me gustaría la estadística como segunda opción) de poner sacar la carrera de forma online/a distancia/no presencial, fuera de Europa claro.
    ¿Porqué fuera de Europa? Porque el EEES no me gusta nada. Y tras haber pasado por tres facultades diferentes de dos universidades, he decidido que no me sacaré ningún título más en España.

    Por eso estoy tanteando dónde puedo realizar la carrera fuera de Europa. Había mirado en Asia, pero no hay apenas centros donde se pueda estudiar esta carrera específica de forma online (y si los hay, son carísimos)
    Me he encontrado con mathematics+statistics+computer science,
    math with major in statistics…etc y todas las combinaciones posibles pero a mí lo que más me interesaría es una combinación de estadística y computer science (no tiene porqué ser un doble grado, pero si una carrera que tenga un plan de estudios con un porcentaje importante de asignaturas de computación, dentro de la propia carrera de estadística), pero no hay manera de encontrarlo a distancia como estoy buscando.
    También estaba pensando en hacer la carrera de matemáticas y luego especializarme en estadística, pero he acabado rechazando esa opción, no me interesa.

    Gracias de nuevo.

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  8. Me parece saber que el CIENES fue creado en conjunción con la OEA en Chile y de allí han egresado muchos especialistas para varios países. Quizás puedas hacer ahí, Statstdnt, el curso on line que deseas. Pero si no quieres hacer mucha matemática te sugiero que elijas la parte práctica del asunto (la aritmética del bienestar humano, llamó el inglés Lancelot Hogben, a esta estadística que te sugiero hacer) porque la rama llamada Estadística Matemática es muy difícil (en particular supone un buen conocimiento de Teoría de la Medida que no es otra cosa que un muy hondo refinamiento de la integración que tú conoces). Buena suerte.

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  9. Statstdnt,

    No entendí bien.
    Primero dices:

    “¿Dentro de España se puede estudiar de manera no presencial?”

    Y luego dices:

    “Y tras haber pasado por tres facultades diferentes de dos universidades, he decidido que no me sacaré ningún título más en España.”

    Bueno, quizá te referías a que no te sacarás ningún título presencial en España… Si es eso te comento que en España existe la UNED y la UOC… aunque no se muy bien los requisitos que se exigen para cursar estudios. Ni tampoco se si exigen hacer los exámenes presencialmente. Aunque, por lo que he visto no tienen ninguna carrera que se llame Estadística… Lo más parecido a lo que dices creo que es Ingeniero Técnico en Informática de Gestión (ya que combina Computer Science, es decir, Informática, con algo de Estadística)

    Por otro lado, dices que el EEES no te gusta nada, pero EEES significa Espacio Europeo de Estudios Superiores así que creo que se refiere a Masters y Doctorados (que son estudios superiores) pero no a carreras normales.

    En cuanto a otras opciones… actualmente tienes muchas opciones de estudios online, especialmente en inglés… aunque la oferta que conozco es más bien de cursos sueltos (de nivel universitario), los llamados MOOC, no de carreras universitarias completas. Pero si no entendí mal ya hiciste una carrera así que en ese caso quizá no necesites otro título. Yo te recomendaría Udacity.com … donde hice 3 cursos y me parecieron de lo mejor en educación Online:

    * CS271: (aiclass) “Introducción a la Inteligencia Artificial” con profes de Stanford,
    * CS373: “Inteligencia Artificial para Robótica: el coche robótico” (Python) y
    * CS101: “Introduction to Computer Science: construir un buscador” (Python)

    Y ahí en Udacity también tienes dos cursos diferentes de Estadística.

    Otro sitio que está muy bien es Edx.org donde hice un curso llamado “Quantum Computing and Quantum Computation”, de la universidad de Berkeley. En Edx quizá te interese “MITx: 6.00x Introduction to Computer Science and Programming” (aunque es un curso de introducción a la programación con Python tiene bastantes asuntos de estadística)

    Y otra opción es Coursera.org donde tienes gran variedad de cursos y de Universidades… Yo hice el de “Machine Learning” (con Matlab / Octave), de Stanford. A ti te pueden interesar “Probabilistic Graphical Models” y “Model Thinking”.

    Estos cursos se relacionan bastante con estadísticas:

    * Inteligencia Artificial (Estadística, Redes Bayesianas, Procesos de Markov, Modelos Ocultos de Markov, Robots, Lenguaje Natural… cosas como el traductor de Google o el filtro antispam de Gmail se basan en modelos estadísticos),

    * Coche robótico (Localización: dónde se encuentra el coche con mayor probabilidad basado en los datos que toma, Seguimiento: dadas varias estimaciones sucesivas de localización dónde se espera que irá el coche con mayor probabilidad en un instante posterior, etc),

    * Mecánica Cuántica y Computación cuántica (aquí prácticamente todo el curso son matrices y probabilidades)

    * Model Thinking (modelado matemático de situaciones complejas del mundo real… como os podéis imaginar, las matemáticas que se usan no son integrales ni nada de eso sino que muchos de ellos son más bien modelos estadísticos: gaussianas, distribuciones de Poisson, regresión lineal, procesos de markov, etc)

    * Introducción a la programación (al menos el curso de Edx.org “MITx: 6.00x Introduction to Computer Science and Programming” tiene varias cosas relacionadas con estadísticas y probabilidades)

    Aparte de otros cursos con relación más directa, como cursos de Estadística en general o este otro:

    * Probabilistic Graphical Models: pues eso, un curso entero de modelos gráficos probabilísticos… no sólo las redes bayesianas, sino también los modelos de Markov y otros.

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  10. Gracias a los dos, Ácido y GSA por responder.
    Por partes:
    No me gusta el EES, efectivamente, no me planteo hacer máster o doctorado, y eso que hay muchos, porque no me terminan de convencer los programas de estudios de todos los que he mirado (tampoco es que tenga que ser todo como yo digo, pero no me vería dispuesto a afrontar una titulación, después de haber obtenido ya varias, si no me gusta su contenido)

    Miré en Asia, no se me había ocurrido Latinoamérica, pues porque tengo muy buenos referentes sobre gente, más bien nacionales de dichos países, en cuanto al perfil profesional, la trayectoria, la reputación y el currículo que te da obtener dicho grado (o B.Sc.) en tal o cual universidad… Sobre todo en Taiwán, Corea del Sur, Singapur, Malasia, Hong Kong, China continental…etc…
    Aunque sea una segunda carrera, no me lo quiero tomar como una obligación. La decisión no es firme, ni lo sería en el corto plazo, antes de unos años, pero si me lo tomo lo suficientemente en serio como para decir que de lo que he ido viendo de matemáticas por mi cuenta, la estadística, es lo que más me gusta, sobre todo combinado con Python (y Rpy), el propio lenguaje R, etc…
    Digo que no es una decisión firme, pues como están las cosas ahora, es un proyecto que tengo a muchos años vista, por eso quiero poder seguir trabajando, mientras hago la carrera online, aunque tuviese que trasladarme de forma puntual, por ejemplo, una semana al año a dicho país en cuestión a hacer los exámenes… Luego está el coste de la propia carrera en sí, el coste de los traslados y las estancias… Es algo que me estoy planteando de forma seria pero no dejo de reconocer que se tienen que dar muchos factores al mismo tiempo que me permitiesen cursarla. Más que nada, he preguntado en la página por si alguien conocía, para ir tanteando.
    Con respecto a la Uned, hace un tiempo creí leer por internet que había una licenciatura (si estoy equivocado, corríjanme) en Estadística o algo así. Me hubiese gustado ver cómo era…
    En cuanto a los MOOC, ya los conocía, estuve matriculado en Coursera en el Curso de Dan Ariely, pero la propia metodología de la página no me gustó nada.
    1º Los cursos no son computables (lógico) para el currículo
    2º Nadie garantiza que aprendas pues podías hacer el examen cuantas veces quisieras. En algunos cursos como ese, había límite de intentos para superar el baremo y que al final te reconociesen o certificasen tu aprovechamiento del curso, y eso no me gustó, con apuntar las preguntas en las que te equivocabas, y volverlo a intentar unas cuantas veces, ya podías superar la prueba. Sí, ya se lo que podrán decirme, eso no es culpa de la metodología, sino del alumno que lo hace de esa manera. Pero que existiese la posibilidad ya me echó para atrás.
    Udacity y Udx, les eché un vistazo en su momento, y sí, tiene muy buenos cursos, pero mi experiencia con Coursera me hizo desistir de crearme una cuenta.
    No es que las matemáticas en sí no me gusten, pero preferiría hacer la carrera específica de estadística (por eso dije antes, que no me planteo hacer la carrera de matemáticas, habría quizá, por lo que he podido tantear, demasiado contenido que no es atrayente para mí, y ahora mismo no estoy dispuesto a afrontarlo. Con la primera carrera que he obtenido sí, porque quieras o no, cuando te sacas la primera, te tienes que tragar temario, asignaturas, contenido, créditos… que solo sirven de relleno, a todos nos ha pasado…
    Pero ya que puedo elegir prefiero encontrar una que se adapte lo máximo posible a lo que estoy buscando.
    El problema está, por ejemplo, que al provenir de una carrera de ciencias sociales,(aunque hice el bachillerato científico-técnico y empecé en ingeniería industrial, me pasé al lado oscuro) donde no he tenido absolutamente ningún crédito en las mismas (asignaturas) con carga matemática, no podría entrar a realizar algún máster en estadística (o al menos eso creo), tampoco me lo planteo. Más bien me gustaría ver dónde puedo realizar la carrera de forma no presencial, ver cual es el contenido de las asignaturas, los requisitos, competencias y habilidades que se piden, y los que uno obtiene al terminar, para ver si me compensa afrontar esa decisión, de hacer la carrera de estadística, más que nada para no dar palos de ciego, para matricularme simplemente porque sí y perder dinero y tiempo…pues como que no.
    Es más bien para ir tanteando, porque me gusta mucho la estadística, hasta el punto de haber llegado hasta aquí, a planteármelo como una segunda vía…
    Aparte, como he ido siendo, muy despacio, autodidacta, mi nivel de conocimientos, no me permitiría cursar directamente un máster, cuando se requieren de mí competencias y habilidades que yo no tengo, de momento.
    Como bien dice Luis GSA, soy muy consciente de que la estadística matemática es:
    1º Un campo muy complejo, con conocimientos muy profundos
    2º Un mundo, donde cada vez más, existe una enorme competitividad para puestos de trabajo que cada día son de más difícil acceso
    3º Un mundo, donde aunque cualquiera que tenga suficiente capacidad y constancia puede conseguir terminar, es muy difícil la etapa post-universitaria (admisión en másters, en programas de doctorado, conseguir para quien se lo plantee un puesto en un equipo de investigación en el extranjero…)
    Y aparte de lo que dije más arriba sobre el EEES, si me llegase a plantear hacer esta otra carrera, no la haría en España. Mi visión de lo que es (en lo que se ha convertido por culpa de los políticos) el sistema educativo hace que haya perdido el interés en seguir cursando estudios superiores aquí, todavía mucho menos lo que ahora son grados, que requieren de una asistencia a clase que yo no me puedo permitir. Es por eso que también pregunté si alguien conocía cómo hacerlo fuera.
    Los cursos de Quantum Computation ya los conocía, me estuve mirando hace poco unos libros por encima, para ver de qué iba el tema, está bastante interesante… el problema es que no me interesan tocar todos los palos porque es imposible saberlo todo de todo.
    Como he estudiado ciencias sociales y además he ido siendo autodidacta en ciencias exactas (digo autodidacta, pues aunque hice bachiller y empecé una carrera de ciencias, hace tantos años que no tocaba matemáticas que prácticamente lo había olvidado todo) pues he empezado a relacionar conceptos, y se que hay muchas aplicaciones que estarían muy demandadas en ciencias sociales que se podrían diseñar con conocimientos de estadística y computación…Y no sé, siempre me ha atraído.
    En fin, siendo haber desviado el tema principal del post con estos mensajes. Gracias a los dos por responder, y termino ya con mi intervención.

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  11. Statstdnt,

    Dices que probaste un curso de Coursera y no te gustó. Si te fijas he citado Coursera en tercer lugar y no ha sido por casualidad sino porque es el sitio que menos me gusta. Pero lo he citado porque es un sitio que tiene muchos cursos y esa gran variedad puede servirle a alguien para encontrar cursos que le interesen más… incluso al parecer tienen cursos en castellano. Varios cursos de Coursera que comencé acabé abandonándolos… creo que en parte por actitud en la que fueron realizados (la sosería o falta de chispa, que hacía que no fuesen tan emocionantes, que no me enganchasen tanto), por algunos defectos (errores en la corrección de ejercicios semanales, que les son avisados y pasan olímpicamente de arreglarlos) y creo que, sobre todo, por el mal diseño de los foros o falta de asistentes de los profesores. Yo creo que el poder comentar cosas del curso en los foros es lo que más me acaba enganchando… y si no se gestionan bien esos foros creo que se pierde bastante de la gracia.

    Así que te animaría a probar las otras webs: Udacity y Edx.

    Por ejemplo, el último que hice fue el de “Quantum Mechanics and Quantum Computing” y a pesar de no haber muchos alumnos en el curso era una gozada conversar con ellos y con los asistentes en los foros de discusión… acabé muy enganchado y obteniendo un 100% en la nota (todo sea dicho, me pareció más fácil que otros cursos, y el aprobado era sacar un 80%… como prueba de la facilidad los ejercicios semanales permitían infinitos intentos hasta que dabas con la solución correcta, dejando prácticamente asegurado un 40% de la nota). Quizá lo más fascinante del curso era descubrir desde las primeras 2 semanas que conceptos que parecían muy complicados resultaban de una sencillez y claridad pasmosa (cosas como Entrelazamiento o el Teletransporte Cuántico). Y una ventaja del sistema de foros/discusión era que se puede comentar o ver comentarios de una parte concreta, de un vídeo del curso (aparte de otros más generales) facilitando mucho el consultar dudas o ver qué preguntan otros para aprender más y mejor (además, con LATEX / MathML). Y otra cosa que está muy bien en Edx es la forma de presentar los subtítulos… aunque no tengo mucho problema con el inglés pero se hacía cómodo de ver (aunque había algunos errores, pero dichos errores no eran un gran problema y había un Wiki para comentar todos los errores encontrados).

    En el caso de Udacity hice cursos en los que había que ir escribiendo código en Python interactivamente en el navegador… Me pareció un sistema fantástico, tanto para aprender Python como para plantear ejercicios semanales y exámenes. Aparte de ser cursos que me parecieron geniales, tanto por la temática como la actitud en la que se mostraban las ideas. Y los foros estaban muy bien también.

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  12. pero .. esto del descubrimiento de Harlan para que vale ?? tiene hasta una pagina en Wikipedia y no ha hecho nada interesante 🙁 ¿como es eso=

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  13. jose, toda nueva aportación en matemáticas, o sirve inmediatamente, o se le encuentra utilidad posteriormente, bien práctica o como ayuda para ulteriores descubrimientos.
    Es sorprendente el hallazgo de Harlan por ser una propiedad del Triángulo que ha permanecido oculta durante más de trescientos años a pesar de haber sido analizado y utilizado por una ingente cantidad de matemáticos durante ese período.
    Aunque fuera su única aportación merece figurar en la lista de matemáticos “conocidos”.

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  14. Te felicito Harlan, de todo corazón, de verdad que si.
    Todo nuevo hallazgo en cuestión de conocimiento es digno de admirar. Sobre todo si es en matemáticas, en donde todo parece ya muy difícil de encontrar.
    El conocimiento matemático es algo que me apasiona, tenga o “no tenga” utilidad, (para mi todo descubrimiento en matemáticas sirve de un modo u otro para algo así como precisa, JJGJJG)
    Aun soy estudiante de pre grado, pero incursiono en pequeñas generalidad como son la racionalización de un radical.
    Te felicito nuevamente la verdad me Fascino.

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  15. Hola:
    Harlan J. Brothers no ha descubierto esta relación. Cito un trabajo más antiguo, del príncipe Matila Costiesco Ghyka, poeta, novelista, ingeniero eléctrico, matemático, historiador, militar, abogado, diplomático, y Ministro Plenipotenciario rumano en el Reino Unido durante fines de los años 1930 y hasta 1940:

    “Tenemos, pues, una correlación íntima entre [el texto incluye una letra phi mayúscula, como símbolo del número áureo] y el diagrama numérico más rico en propiedades algebraicas y geométricas. [Se refiere al triángulo de Pascal] Como los elementos del triángulo de Pascal representan, entre otros, los coeficientes de los desarrollos sucesivos del binomio de Newton (a + b)^n, podemos señalar el parentesco entre el número [Phi] y el número trascendente e = lim (1 + 1/n)^n” (Copiado de una traducción española (Buenos Aires, 1953) del segundo capítulo del libro «Esthétique des Proportions dans la Nature et dans les Arts»/ Estética de las proporciones en la naturaleza y en las artes (1927))

    Costiescu Ghyka, Matila (1977). Estética de las Proporciones en la Naturaleza y en las artes. Barcelona: Poseidón. ISBN 84-85083-06-7.

    Esta cita es, apenas, un fragmento de un tema mucho más desarrollado, en el que se deja clara la relación entre el triángulo de Pascal y el número e, además de la relación entre e y el número áureo 1,618033988…

    Esto que he escrito es con el único propósito de dejar claro que hay trabajos anteriores y que tampoco parece ser Ghyka el descubridor del asunto. No tiene la intención de hacer una acusación hacia el señor Brothers; es muy común que se obtenga un “redescubrimiento” desde un desarrollo independiente e ignorante de trabajos anteriores. A mí me ha ocurrido con la criba de Sundaram. La redescubrí de manera independiente y más tarde me enteré que ya Sundaram había publicado lo mismo en 1932.

    Cordiales saludos.

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