Cómo generar conjuntos CuCu

Introducción

A los matemáticos nos encanta poner nombre a las cosas, y cuanto más descriptivo sea el nombre mucho mejor. Así, los puntos frontera de un conjunto son los que gráficamente situaríamos como frontera geográfica de dicho conjunto o una sucesión monótona es una sucesión en la que nunca pasa nada distinto, es decir, una sucesión en la que la tendencia no cambia, es siempre creciente o siempre decreciente, pero no hay cambios.

Los conjuntos que os voy a presentar hoy no tienen nombre (al menos yo no conozco ningún nombre para ellos). Por eso los he bautizado a partir de la propiedad que tienen. Son los conjuntos CuCu.

¿Qué es un conjunto CuCu?

Lo primero que voy a hacer es explicar qué es para mí un conjunto CuCu.

Un conjunto CuCu es un conjunto de números enteros positivos tales que la suma de sus Cubos es igual al Cuadrado de su suma. Es decir:

Un conjunto CuCu es un conjunto de números enteros positivos $\{ a_1, \ldots a_k \}$ que cumplen que:

$a_1^3+ \ldots + a_k^3=(a_1+ \ldots + a_k)^2$

Un ejemplo muy interesante de conjunto CuCu es el conjunto $\{1, 2, \ldots , n \}$ , para cualquier $n \in \mathbb{N}$ . Que este conjunto de números sea un conjunto CuCu significa lo siguiente:

$1^3+2^3+ \ldots + n^3=(1+2+ \ldots +n)^2$

Vamos a demostrar este resultado por inducción:

Demostración:

El resultado es evidente para $n=1$ :

$1^3=1^2$

Supongamos ahora que es cierto para $n$ , es decir, que

$(1+2+ \ldots +n)^2=1^3+2^3+ \ldots + n^3$

y demostremos que la igualdad es cierta para $n+1$ . Para ello partiremos de la parte de la igualdad relativa al cuadrado y utilizaremos el caso $n$ (esto es, la hipótesis de inducción) para llegar al objetivo buscado.

Partimos entonces de esta expresión:

$(1+2+ \ldots +n+(n+1))^2=$

Tomamos como primer término $1+2+\ldots +n$ y como segundo término $n+1$ y desarrollamos el cuadrado de la suma:

$=(1+2+ \ldots +n)^2+(n+1)^2+2(1+2+ \ldots+n)(n+1)=$

Ahora utilizamos la hipótesis de inducción en la primera suma y que $1+2+\ldots+n=\cfrac{n(n+1)}{2}$ en la segunda:

$=1^3+2^3+ \ldots +n^3+(n+1)^2+2 \cdot \cfrac{n(n+1)}{2} \cdot (n+1)=$

Operando ahora el último sumando obtenemos $n(n+1)^2$ y agrupándolo con el segundo sumando obtenemos $(n+1)^3$ , llegando entonces a la igualdad buscada. $\Box$

¿Cómo generar conjuntos CuCu?

Pero el conjunto de los primeros enteros positivos no es el único que cumple esta propiedad. De hecho existe un procedimiento para generar conjuntos de números que cumplen que la suma de sus cubos es igual al cuadrado de su suma, es decir, conjuntos CuCu.

Joseph Liouville

Dicho procedimiento se lo debemos a Joseph Liouville y consiste en lo siguiente:

Tomamos un número entero positivo cualquiera y calculamos los divisores de dicho número (el 1 y el propio número también cuentan).
De cada divisor calculado antes contamos cuántos divisores tiene.
Los números que designan las cantidades de divisores de cada divisor del número inicial son un conjunto CuCu.

Vamos a ver un ejemplo sobre la aplicación de este procedimiento:

Número $20$

Los divisores de $20$ son $1,2,4,5,10$ y $20$ .
Ahora:
- El 1 tiene $1$ divisor (el 1 solamente).
- El 2 tiene $2$ divisores (el 1 y el 2).
- El 4 tiene $3$ divisores (el 1, el 2 y el 4).
- El 5 tiene $2$ divisores (el 1 y el 5).
- El 10 tiene $4$ divisores (el 1, el 2, el 5 y el 10).
- El 20 tiene $6$ divisores (el 1, el 2, el 4, el 5, el 10 y el 20).
Entonces el conjunto $\{1,2,3,2,4,6 \}$ es un conjunto CuCu:
$1^3+2^3+3^3+2^3+4^3+6^3=(1+2+3+2+4+6)^2$
Efectivamente, ambos miembros de la igualdad dan como resultado $324$ .

Evidentemente este procedimiento tiene su demostración, pero en vez de reproducirla aquí prefiero que visitéis este enlace en el que el gran Ignacio Larrosa nos la cuenta.

Posts aleatorios

Autor: ^DiAmOnD^ | Publicado el 23 de April de 2010
Categorías: Demostraciones, Números enteros, Números primos | Imprime este post

17 comentarios

ZetaSelberg | 23 de April de 2010 | 17:39

Interesante post ^DiAmOnD^!, a pesar de que no me gusto mucho el nombre .
Trackback | 23 Apr, 2010

Bitacoras.com
Vicent | 23 de April de 2010 | 18:41

Otra opción (también bastante frecuente en Matemáticas) sería llamar a este tipo de conjuntos usando el nombre de la persona que ha contribuido a identificarlos: “conjuntos de Liouville”. Que además, suena muy bien, muy… fino.
ZetaSelberg | 23 de April de 2010 | 19:02

… ha contribuido a identificarlos: “conjuntos de Liouville”. Que además, suena muy bien, muy… fino.

Este me gusta mucho más! Anotate un punto Vicent!
José Luis | 23 de April de 2010 | 21:01

Desconocía esta propiedad. Muchas gracias.
josejuan | 23 de April de 2010 | 21:36

¡Hombre Ignacio Larrosa! oriundo de matemáticas.net. Siempre perfectas sus intervenciones.
Omar-P | 23 de April de 2010 | 23:19

Pienso que sería mejor cambiar el título del post por el nombre propuesto por Zeta Selberg.
Omar-P | 23 de April de 2010 | 23:29

Perdón, digo propuesto por Vicent.
Ñbrevu | 23 de April de 2010 | 23:38

¡Ah! Entonces, el conjunto $\{1,2,\ldots n\}$ es un caso particular, cuando tomamos como entero inicial cualquier número $p^{n-1}$ , donde $p$ es un número primo.
Qué propiedad tan sorprendente.
Francisco | 24 de April de 2010 | 07:36

Con independencia de cómo los llamemos, me resulta sorprendente que un conjunto creado de una manera tan aparentemente rebuscada tenga una propiedad tan curiosa. Esto es lo bonito de que le gusten a uno las matemáticas.
Muy buen post, como siempre.
Prof. Paulo Sérgio | 25 de April de 2010 | 17:46

Bem interessante a descoberta de Liouville.
Trackback | 26 Apr, 2010

Cubos=Cuadrados « Apuntes Matemáticos
Charles | 27 de April de 2010 | 04:26

Perdón, digo propuesto por Vicent.
Icosaedro | 28 de April de 2010 | 09:57

A mí tampoco me gusta el nombre, pero no por lo de cucú, sino por lo de conjuntos; lo digo por lo de los elementos repetidos.
Icosaedro | 28 de April de 2010 | 15:15

Entiendo que hay series de enteros positivos que son qq pero que no se obtienen con el método, como 1,2,2,3,5
Icosaedro | 29 de April de 2010 | 23:27

Si es verdad que 1,2,2,3,5 no se obtiene con el método de Liouville, el nombre correcto es series cucu, y las de Luiville serían un subconjunto de las cucu.
Es más, a partir de 1,2,2,3,5 podemos obtener infinitas series cucu que, creo, no serían Liouville; se obtienen a partir del método de Liouville.

Éste, en definitiva consiste en tomar una serie de Liouville y repetirla n veces multiplicando los miembros de la subserie i-ésima por i;
p. ej:
Partimos de 1 que es serie Liouville
1; 2 es serie Liouville
1;2;3 es serie Liouville
etc.
Partimos de 1,2
1,2;2,4 también es serie Liouville (ver divisores de 6)
1,2;2,4;3,6 también es serie Liouville (ver divisores de 12)
etc…

Ahora hagamos series cucu no Lioville con 1,2,2,3,5 y el método Liouville
Si partimos de 1,2,2,3,5, cucu no Liouville
1,2,2,3,5;2,4,4,6,10 cucu no Liouville
etc…
Por último, podríamos usar series cucu no de Liouville para hacer nuevas no de Liouville

Partimos de 1,2,2,3,5, y aplicándose a sí misma 1,2,2,3,5;2,4,4,6,10;2,4,4,6,10;3,6,6,9,15;5,10,10,15,25 que es cucu ¿no? Liouville Un saludo.
samu | 5 de May de 2010 | 17:52

Usar conjunto aquí es abusar del lenguaje… pero se entiende. Buen post y buen blog.

Un saludo.