¿Cómo meter una barra de 1 km de longitud en un cubo de 1 cm de arista?

Este artículo es una colaboración de Fernando Etayo Gordejuela, profesor del Departamento de Matemáticas, Estadística y Computación de la Universidad de Cantabria y uno de los organizadores de los talleres Matemáticas en Acción, ciclo en el que tuve el placer de participar en enero de 2011. Desde aquí le agradezco mucho su predisposición a la hora de colaborar con Gaussianos con este interesante artículo. Y es posible que no sea la última vez que lo veamos por aquí. por ahora disfrutemos de esta interesante entrada.


Con esta pregunta empecé una clase de inglés para profesores que organiza mi universidad y en la que cada alumno debe exponer un tema cada día. Mis compañeros de clase, un físico, un ingeniero de telecomunicaciones y una ingeniero de minas, me dieron como primera respuesta la de que es imposible. Pero sabedores de que los matemáticos somos los “magos de la ciencia”, pensaron que habría algún truco y me bombardearon con cuestiones como las siguientes:

  • ¿Qué anchura tiene la barra? Ninguna –respondí- es una barra matemática, ideal.
  • ¿Se puede doblar? Tampoco. Es una barra firme, un segmento.

Se centraron en saber qué se entiende por barra. En saber qué definición manejaba yo de barra, pero no pusieron en duda el concepto de cubo. Y ahí es donde está el truco.

Un cubo en dimensión tres es el conjunto de puntos cuyas coordenadas (x,y,z) están todas entre 0 y 1. Dicho con lenguaje cartesiano, un cubo es el producto del segmento unidad en cada uno de los tres ejes. Un cubo en dimensión dos se llama cuadrado. Un cubo en dimensión uno es el segmento unidad. Un cubo en el espacio de dimensión n se define de la misma manera y es lo que a veces se denomina hipercubo, para indicar que estamos en dimensión mayor que tres. (El cubo en dimensión infinita es el cubo de Hilbert, pero eso ya es otra historia).

¿Cuánto mide la diagonal de un cuadrado? Si la arista mide uno la diagonal mide \sqrt{2}, como nos enseñó Pitágoras. ¿Y la del cubo? Basta tomar el triángulo rectángulo determinado por una diagonal de una de sus caras cuadradas y una de las aristas perpendicular a dicha cara, y volver a aplicar el Teorema de Pitágoras: \sqrt{2+1}= \sqrt{3}.

Repitiendo el argumento cada vez que aumentamos la dimensión resulta que el cubo del espacio de dimensión n tiene una diagonal que mide \sqrt{n}. Así que para contestar la pregunta inicial basta que la dimensión en que estemos sea suficientemente grande: en el cubo del espacio de dimensión 10^10, la diagonal del cubo de 1 cm de arista mide 10^5cm =1km.

(Quien quiera leer algo más sobre el conflicto mental que supuso la incomnesurabilidad de lado y diagonal del cuadrado, que lea La raíz de la muerte de Hipaso.)

Este ejemplo de los cubos nos enseña que las dimensiones superiores son difíciles de imaginar. Si tenemos el cubo de arista 1 cm en el espacio \mathbb{R}^n, resultan los siguientes valores:

\begin{array}{| c | c | c | c |} \hline \mbox{Dimension} & \mbox{Volumen} & \mbox{Volumen lateral} & \mbox{Longitud de la diagonal (diametro)} \\  \hline 1 & 1 \, cm & 0 & 1 \, cm \\ \hline 2 & 1 \, cm^2 & 4 \, cm & \sqrt{2} \, cm \\ \hline 3 & 1 \, cm^3 & 6 \, cm^2 & \sqrt{3} \, cm \\ \hline 4 & 1 \, cm^4 & 8 \, cm^3 & \sqrt{4} \, cm \\ \hline n & 1 \, cm^n & 2n \, cm^{n-1} & \sqrt{n} \, cm \\ \hline \end{array}

El diámetro del cubo (esto es, la mayor distancia entre dos puntos del cubo) va creciendo mientras que el volumen del cubo permanece constante. Todo lo contrario que lo que ocurría con las esferas, como se vio en la entrada ¿Cuál es el volumen de la bola unidad de dimensión n?. Para las esferas de cualquier dimensión y radio uno el diámetro es constante (vale dos) mientras que el volumen decrece cuando aumenta la dimensión.

¿Cómo podemos ver el cubo de dimensión cuatro?

Pensemos en una dimensión menos. ¿Cómo vemos el cubo ordinario en el plano? De dos maneras esencialmente: desarrollándolo y dibujándolo en perspectiva. Desarrollarlo es dibujar en el plano los seis cuadrados, que luego se unen entre sí, gracias a que existe la tercera dimensión. En el dibujo de la derecha vemos una perspectiva del cubo como se ve al mirarlo a través de una de sus caras.

Las seis caras del cubo de la derecha son el cuadrado de dentro, el de fuera, y los cuatro cuadrados (que se ven en perspectiva como trapecios), que tienen una arista en común con el cuadrado de dentro y otra con el de fuera. Una y otra imagen del cubo están relacionadas: si partimos de la vista en perspectiva y queremos hacer el desarrollo, basta considerar que el cuadrado de dentro tiene pegado un cuadrado en cada uno de sus lados, y que el de fuera lo podemos poner como pegado a uno de ellos. Así tenemos el desarrollo plano de la figura izquierda.

Del mismo modo se puede realizar con el hipercubo. En el “Christus hypercubus” de Dalí

la cruz está formada por ocho cubos, que forman el desarrollo en el espacio tridimensional del hipercubo. Pegándolos entre sí, gracias a la cuarta dimensión, se forma el hipercubo, como en la imagen inferior tomada de aquí

La vista en perspectiva similar a la que antes hemos dado del cubo:

El Monumento a la Constitución de Madrid o la “Grande Arche de la Défense” de París, que aparece en la siguiente imagen

son ejemplos de hipercubos vistos en esta perspectiva. Las ocho caras tridimensionales del hipercubo son el cubo de dentro, el de fuera y los seis cubos (que se ven en perspectiva como pirámides truncadas) que comparten con el cubo de dentro una cara bidimensional y otra con el de fuera. Es lo análogo a lo que ocurre en la representación plana de un cubo tridimensional, donde los trapecios que aparecen son triángulos truncados de vértice en el centro de la figura.

Se pasa de la imagen en perspectiva del hipercubo a su desarrollo como la cruz de Dalí del mismo modo como hicimos en el caso del cubo tridimensional: partiendo de la perspectiva del hipercubo, tomamos el cubo central, que tiene seis cubos adosados, uno en cada una de sus caras, y el cubo de fuera lo pegamos a uno de ellos.

Pero fíjate, lector, que aún hemos dado un salto más: el arco de París está construido en tres dimensiones, pero la foto que hemos puesto es una imagen plana. Así que de golpe hemos bajado dos dimensiones, del hipercubo de cuatro a su imagen plana de dos.

Moraleja: si las esferas y los cubos de \mathbb{R}^n son tan sorprendentes creo que los profesores deberíamos señalarlo y no dejar que los estudiantes se confíen en que lo que pasa en dimensión dos o tres se generaliza sin dificultad a cualquier dimensión. Más aún, creo que los profesores deberíamos conocer esto, cosa de la que no estoy muy seguro que ocurra. Y sería bueno que estudiantes y profesores hubieran leído la novela de Edwin Abbot “Planilandia”, escrita en 1884, que enseña a pensar en otras dimensiones. La historia se desarrolla en un mundo plano, y todo lo que tenga que ver con la “tercera dimensión” es para ellos extraño y misterioso.


Referencia: Fernando Etayo: “La Geometría de las Esferas” Un paseo por la geometría. Pub. Dept. Matemáticas, UPV-EHU, 65-80, (2004). Accesible en internet en este enlace.


Este artículo es la primera aportación de Gaussianos a la Edición 4.123105625 del Carnaval de Matemáticas, que en esta ocasión organizan en Que no te aburran las M@tes.

Autor: ^DiAmOnD^

Miguel Ángel Morales Medina. Licenciado en Matemáticas y autor de Gaussianos y de El Aleph. Puedes seguirme en Twitter o indicar que te gusta mi página de Facebook.

27 Comentarios

  1. uqe pasaria si la dimension fuera NEGATIVA ?? , por ejemplo para la esfera la dimension depende de la funcion Gamma luego una esfera de dimension negativa tendria volumen negativo e incluso podria ser igual a infinito el volumen que pasaria si la dimension fuera negativa para el cubo

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  2. Se puede meter en tres dimensiones también. Una barra real de un km de largo con una sección de, a lo sumo, un cuadrado de 1 cm de lado.

    Se trata de acelerar la barra en la dirección de la arista más larga (1 km) hasta una velocidad cercana a la de la luz (muuuy cercana) y entonces ponerle delante el cubo. Entrará por completo, aunque estará dentro muy poco tiempo (unas milmillonésimas de segundo, así a ojo).

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  3. ¿Y porque tenemos que hacer caso a un matemático? Pues a mi no me da la gana!!!!! Veamos el problema desde el punto de vista físico.

    Yo lo que haría es acelerar la barra hasta una velocidad 0.99999999985 veces la velocidad de la luz, y entonces teniendo en cuenta la ley de la relatividad y la contracción de lorentz:

    es.wikipedia.org/wiki/Contracci%C3%B3n_de_la_longitud

    La longitud de la barra se reduce a sqrt(3) cm en ejes inerciales y la puedo meter en el cubo durante un instante. Y sin tener que recurrir a miles de dimensiones adicionales. Chupate esa matemático!

    Y que conste que soy ingeniero.

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  4. Corregidme si me equivoco pero creo que hay otra posibilidad en un universo de 3 dimensiones y que tendría que ver con la aplicación de relatividad especial de Einstein.

    Si la barra se dirige hacia el cubo a una velocidad próxima a la de la luz, su longitud se acortaría. El cálculo sería , a qué velocidad tiene que viajar la barra para llegar a acortarse hasta 1cm (“raíz de 2” cm para ser precisos)

    Todo esto lo digo basándome en lo poco que me acuerdo de relatividad y tal vez esté completamente equivocado…
    En cualquier caso, un saludo!
    Raúl.

    EDITO: Me refería a este efecto llamado “Contracción de Lorentz”. No sé si aplicaría en este caso, pero sería interesante ver si es posible.
    http://es.wikipedia.org/wiki/Contracci%C3%B3n_de_Lorentz

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  5. Dado el cubo de 1cm tridimensional.Viajo a la cuarta dimension con un amigo de bilbao y entre ambos retorcemos el cubo pegando dos de sus lados opuestos. Despues meto la barra ligeramente inclinada. Jajaja.

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  6. La pregunta tiene trampa.

    No me extraña que la pregunta parezca imposible en un principio, ya que “cubo” se refiere a dimensión 3. Cuando elevas al cubo estás elevando a la 3. Igualmente un cuadrado se refiere a dimensión 2, cuando elevas al cuadrado elevas a la 2.
    El hecho de que llamemos “hipercubo” a figuras de dimensiones superiores, lo cual es un nombre que no me gusta, no significa que hipercubo y cubo sean lo mismo o que cuando te hablen de cubo puedas sacarte de la manga un hipercubo.

    Es como si te dicen: ¿cómo hacer que 10 elevado a 3 sea igual a un millón? Y va uno y responde “pues elevar a 3 es elevar al cubo, así que me cojo un ‘cubo de dimensión 6’ y lo elevo a ese ‘hipercubo’ que es elevar a la 6 ” … Menudo tramposo xD. Quizá este caso es más tramposo, pero en el otro es jugar con la ambigüedad del lenguaje.

    Respecto al caso de la Teoría de la Relatividad, el kilómetro es lo que mediría la barra en el sistema de referencia que se mueve a velocidad cercana a la de la luz respecto al sistema de referencia del cubo. Aquí la trampa es que el kilómetro de la barra y el centímetro del cubo no están en el mismo sistema de referencia.

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  7. Eso es cierto, de hecho, en el sistema de referencia en el que el cubo está en reposo la barra mide menos de 1 cm.

    Pero puestos a que vale hacer trampa…

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  8. Javier, lo que dices es falso debido a que ya no sería un cubo, sería un paralelepípedo de longitud 1 Km.

    Otra cosa es que según lo que tengo entendido un cubo sólo existe para 3 dimensiones, si alguien inventó cubos para otras dimensiones entonces no quiso ser consecuente con la definición “normal”.

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  9. Coincido con Acido, es un truco del lenguaje y no de la matematica

    Respecto de los diferentes sistemas de referencia, justamente de eso se trata la relatividad. Si el cubo de 1cm se encuentra estatico y “ve pasar” la barra de “1km”, la veria como una barra de 1cm. ahora… la vision “desde la barra” seria otra cosa totalmente distinta.

    En fin, creo que el problema se resuelve entendiendo que tanto Ingenieros, Matematicos y Fisicos resolvemos diferentes cuestiones usando basicamente las MISMAS herramientas, por lo tanto cada uno de nosotros usara esa MISMA herramienta de manera diferente.
    Hablando de la Ingeniria en particular (ya que yo soy Ing Civil) resolvemos y tenemos la vision de lo “practico” nosotros resolvemos problemas “reales” del hombre, por lo tanto no tenemos (ni necesitamos) la vision, uso y abstraccion de dimensiones mayores a 3.

    Creo que es un error sorprenderse de que fisicos e ingenieros no hayan dado con la respuesta. Acaso se le ocurrira preguntarle de veterinaria equina a un jinete de caballos?. NO. Posiblemente el jinete conozca “de oido” algo de las patologias de los caballos, pero dificilmente pueda poner en practica una solucion.

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  10. Lo que son las paradojas de la relatividad.:
    Supongamos tres observadores, cada uno con su sistema de referencia:

    Uno se mantiene en el c.d.g. de la barra, otro en el c.d.g. del cubo y el tercero en el punto medio de ambos c.d.g.

    Como ambos objetos se cruzan habrá un instante de tiempo en el que los tres sistemas ocuparán el mismo punto del espacio.
    El primer observador ve su barra de 1 km cruzándose con un cubo de 0,1 micras.
    El segundo observador ve su cubo de 1 cm cruzándose con una barra de 1 cm.
    El tercer observador ve cómo se cruzan una barra de 866 m con un cubo de 8,66 mm, ya que ve acercarse a él cada objeto aproximadamente a la mitad de la velocidad de la luz.

    Me resulta admirable la capacidad de los físicos para mantener la cordura. Por mi parte, confieso que aún no tengo clara la idea de la relatividad y la de la contracción de Lorentz-Fitzgerald. Intuyo que la explicación tiene que ver con la curvatura del espacio que, a esas velocidades, provoca que las trayectorias de los observadores no sean rectas euclídeas.

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  11. Y ahora, para relajarme un poco, y ,aunque no tenga que ver con el asunto físico que comentamos, os cuento una curiosidad.

    Hoy es 19 de diciembre de 2013 y, casualmente 19122013 es un número primo.
    El próximo domingo, día del sorteo de la lotería es 22122013, también es primo.
    También lo es el día de los inocentes 28122013.

    Aparentemente ocurre con frecuencia pero, en la realidad desde el 29122013 hasta el 01012017 tenemos 1101 fechas consecutivas que son números compuestos.

    ¿Alguien puede decirme entre qué fechas habrá más días consecutivos compuestos en todo el siglo XXI?

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  12. JJGJJG,

    “Por mi parte, confieso que aún no tengo clara la idea de la relatividad y la de la contracción de Lorentz-Fitzgerald. Intuyo que la explicación tiene que ver con la curvatura del espacio que, a esas velocidades, provoca que las trayectorias de los observadores no sean rectas euclídeas.”

    No. La curvatura del espacio-tiempo es de la Relatividad General y tiene que ver con la presencia de masas que deforman el espacio-tiempo a su alrededor. Se suele poner el símil de una sábana en la que colocas una bola pesada. Sin la bola pesada, la sábana tiene una forma de plano euclídeo y las trayectorias son rectas euclídeas, pero con la bola pesada se produce una deformación del “tejido del espacio-tiempo” (se curva la sábana) y se curvan las trayectorias, de forma que si lanzas una canica o un rayo de luz tenderá a acercarse a la bola pesada. Y eso que la luz (“el fotón”) no tiene masa… Es decir, la “gravedad” es producida por la masa pero no afecta sólo a cosas con masa sino a cualquier cosa que se mueve en ese “espacio-tiempo”.

    Es más, incluso en un espacio-tiempo curvado (deformado por una masa) las trayectorias pueden seguir siendo rectas… sí, sí, perfectas rectas euclídeas. Eso ocurre cuando lo que se mueve va en dirección hacia la masa que deforma el espacio-tiempo.

    Lo que se ha descrito aquí referente al cubo y la barra entraría dentro de la Relatividad Especial. Y las trayectorias son rectas euclídeas perfectas ya que hemos considerado masas que deformen el espacio-tiempo.
    ¿cómo se explica entonces? Porque esta teoría se basa en que la velocidad de la luz es constante en todos los sistemas de referencia.
    (y voy a pensar un poco ver si encuentro una forma fácil de explicar cómo esa premisa hace que se contraiga el tiempo y las distancias)

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  13. Gracias por tus aclaraciones, Acido. Lo que me inquieta es lo que, al parecer, interpretan mis tres observadores sobre un único acontecimiento en un único momento.

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  14. JJGJJG,

    Olvídate de “único momento”, el tiempo es relativo. No hay tiempo absoluto.
    Esa es quizá la parte más contraintuitiva y, por qué no, también lo más fascinante.

    También creo que nos podemos olvidar de “un único acontecimiento”… si por “acontecimiento” entiendes algo que ocurra en un instante absoluto.
    Cada observador tiene un punto de vista diferente y unas condiciones / circunstancias que hacen cambiar lo que cada uno observa.

    Imagina que estás en un coche a 50 km/h y lanzas una pelota hacia delante a 1 km/h. Para ti la pelota se mueve a 1 km/h (respecto a ti y el coche) pero para alguien que esté parado en la carretera verá que la pelota se mueve a 51 km/h … Cada uno según sus circunstancias observa cosas diferentes.
    Lo que pasa es que los cambios de velocidad es algo que nos parecen “naturales” o “intuitivos” porque los experimentamos muy habitualmente mientras que los cambios de medidas (compresión o dilatación en el espacio) o cambios de referencias temporales o cambios de masa son cosas que no se detectan porque son muy pequeños para las velocidades habituales.

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  15. No olvidemos nunca que nuestros modelos de interpretación científicos no dejan de ser modelos. La interpretación real y rigurosa la seguimos desconociendo (quizá por suerte o quizá por desgracia). Por tanto todo en lo que trabajamos/comentamos no dejan de ser elementos mejorables con nuevos modelos que se ajustan mas a nuestras observaiones.
    En resumen el método científico

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  16. El señor “mago de la ciencia” no deja de plantear un problema de definiciones y conceptos. En el lenguaje del comum de los mortales un cuadrado es un cuadrado, un hipercubo es un hipercubo, un punto es un punto y un cubo tiene 3 dimensiones. Todo lo demas es una adivinanza, pero no se trata de adivinar la solución, si no de adivinar como han amañado el enunciado.

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  17. Por cierto “Se suele poner el símil de una sábana en la que colocas una bola pesada.” para explicar la atracción gravitatoria en el concretísimo caso de los cuerpos del sistema solar. Y salvo para la luz rasante o la precesión del perihelio de Mercurio, es un símil por completo equivocado. Y aún en esto casos, muy, muy parcialmente explicativo (sólo explica o la mitad o la tercera parte de lo que pasa).

    La curvatura del espacio no sirve para nada, es extraordinariamente pequeña para cuerpos de la masa de los del sistema solar e irrelevante cuando las velocidades son tan bajas. Es tan pequeña que se pone a cero en los cálculos, en absolutamente todos los relevantes dentro del sistema solar.

    Técnicamente, lo que es despreciable es la curvatura de la parte espacial del tensor métrico y sólo se considera la parte temporal en primer orden de aproximación. Por decirlo así, lo que hace moverse a los cuerpos en las conocidas órbitas es la curvatura del tiempo, no la del espacio. No tengo ni la menor idea de qué puede ponerse como símil para explicar esa, por llamarla así, curvatura del tiempo (un buen libro de divulgación habla en su título de “tiempo curvo”), pero desde luego sé qué símil no sólo no sirve sino que es algo tramposo.

    La imagen de la sábana abombada sirve como metáfora EN PARTE de lo que puede pasar en un cuerpo muy, muy masivo (un agujero negro, por ejemplo), pero no para un “ligero” planeta.

    Esto me recuerda bastante al temilla de la física divulgativo tan popuar ese de explicar el sentido de giro del agua en un desagüe mediante las fuerzas de Coriolis. Era muy llamativo, pero la afuerza esa no explica nada de nada de lo que pasa en un lavabo por varios órdenes de magnitud. Con la sábana y su curvatura hay más órdenes de magnitud de “error” aún.

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  18. Y tanto que es trampa, ¿la definición de cubo no implica la tridimensionalidad?

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  19. La RAE no recoge acepciones multidimensionales para el cubo.
    En ese sentido podríamos decir que es trampa.
    Pero se entiende el razonamiento que se pretende exponer en el post:
    Si te cuestionan como meter algo que no cabe, es obvio que hasy algún truco.
    Por tanto lo difícil es encontrar el truco.
    Decir que no es posible, no es mas que admitir que te rindes, o que te niegas a intentarlo por la razón que sea. Ya puedes razonar cuanto quieras, que la pregunta implica que es posible mediante alguna “argucia”.
    Es de suponer que ningún experto en literatura inglesa sabrá resolverlo por falta de medios. Pero ingenieros, físicos o matemáticos podrían al menos considerar la posibilidad, y alguno hasta lo resuelve aunque sea mediante la teoría de la relatividad.

    ?y si no que sentido tiene preguntar por la forma de hacer algo sin solución?

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  20. Ya lo dije en su momento, y lo repito aquí: decir que “el volumen del cubo permanece constante” cuando aumenta la dimensión… no tiene el menor sentido. No se pueden comparar -de ninguna manera[*]- “volumenes” de distintas dimensiones. Por ejemplo, si el mismo cubo de 1cm de arista lo hubíeramos expresado en metros (0.01 m) habríamos notado que al aumentar la dimension sus respectivos “volúmenes” (0.01 m, 0.0001 m^2, 0.0000001 m^3) … “disminuyen”; y es el mismo cubo!
    Lo mismo vale para las esferas, y esa supuestas diferencias “sorprendentes” en los comportamientos de esferas y cubos en R^n. No tiene sentido decir que un metro cuadrado es mayor (o menor o igual) que un metro cúbico y fracamente me parece desatinado que los profesores/divulgadores matemáticos pretendan dejar a sus alumnos con la boca abierta mediante estos efectismos sofísticos; a mi ver, estas curiosidades pueriles no contribuyen en nada para fomentar el aprendizaje de las matemáticas (de hecho, una noción que sí vale la pena enseñar a los alumnos es la de hay que tener cuidado con las unidades físicas a la hora de operar y comparar; algo que estos sofismas no contribuyen a enseñar)

    [*] A lo sumo pueden compararse la cardinalidad de los puntos, pero, esto no tiene nada que ver con estas consideraciones métricas.

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  21. Tienes razón hernan!

    Sin embargo todo depende de a quien dirijas el problema, y también de a quién dirijas tu comentario.

    Un profesor podría “mofarse de” o ” maravillar a” sus alumnos con problemas como este.
    Puede que en un contexto determinado, o a un determinado nivel matemático o físico sean discutibles varias posturas, mientras que a otros niveles puede que incluso el alumno le de la vuelta al problema y ridiculice al profesor que ni siquiera llegue a comprender lo que el alumno le explica, cual podría ser el caso de que el alumno domine la teoría de la relatividad especial y el profesor no (por poner un ejemplo).

    Y ya puestos, esto me recuerda al problema de “qué pesa más un kilo de plomo o un kilo de paja?”
    El que formula la pregunta con animo de reirse de un chaval corre el peligro de salir esquilado.
    El “profesor o quien sea” podría pensar que va a engañar a sus “alumnos” ya que ambos pesan lo mismo aunque el plomo es más “denso”.
    Pero cuando un chaval le replica al profesor que según el principio de Arquímedes, el kilogramo-masa de paja experimentará en una balanza una fuerza vertical inferior que el kilogramo-masa de plomo, el prodesor podría abrir más la boca que sus alumnos. Si el profesor es un catedrático de fisica le dará una palmadita en la espalda al chaval. Pero si el profesor es de primaria, seguramente ni siquiera entenderá la diferencia entre kilogramo-masa y kilogramo-fuerza.

    Sigo pensando que el objeto de este tipo de problemas o acertijos es “hacer pensar”, mientras que la resolución no tiene gran importancia en sí, y de hecho varias personas pueden pretender haberlo resuelto en diferentes contextos o con diferentes interpretaciones.
    Al final lo que importa es que el alumno desarrolle cierto “pensamiento lateral” y que no interprete todo como obvio o con una única solución. Aunque por supuesto, esa misma felixbilidad que se le exige al alumno deberá tenerla el profesor 🙂

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