Cómo probar que 22/7 es mayor que π

Arquímedes demostró en su obra Sobre la medida del círculo la siguiente desigualdad relacionada con el número π:

Desigualdad de Arquímedes para π

Podéis comprobar con la calculadora que la desigualdad es totalmente cierta.

El genio griego utilizó para ello polígonos inscritos y circunscritos a una circunferencia.

El número 22/7 se tiene desde entonces como una gran aproximación del número π teniendo en cuenta lo simple que es la fracción y las pocas herramientas de las que se disponía en aquella época. En este post vamos a ver una demostración de que este cociente es mayor que π utilizando integrales:

22/7 > π

Para comenzar tomamos la siguiente función:

Función a integrar

Esta función es no negativa en el intervalo [0,1]. Por tanto su integral en ese intervalo es positiva. Partimos de este dato:

Integral positiva

Desarrollamos el numerador y simplificamos. Nos queda lo siguiente:

Desarrollo y simplificación de la función

Ahora calculamos las sencilla integrales que nos han quedado y evaluamos (recordemos los valores de arctan(1) y arctan(0)):

Resolución de la integral

Tomando el principio y el final del desarrollo anterior obtenemos lo buscado:

Resultado buscado: 22/7 es mayor que π

Interesante manera de demostrar este hecho. ¿No os parece?. A ver quién es capaz de encontrar otra forma curiosa de comprobarlo.

Fuente: Proof that 22 over 7 exceeds π en la Wikipedia (inglés)

Autor: ^DiAmOnD^

Miguel Ángel Morales Medina. Licenciado en Matemáticas y autor de Gaussianos y de El Aleph. Puedes seguirme en Twitter o indicar que te gusta mi página de Facebook.

14 Comentarios

  1. Dos cosas; ¿de donde sacas la funcion inicial? y segundo, no te lo vas a creer pero no entiendo como has siplificado el denominador en el segundo paso

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    • 1. Me imagino que por construcción, aunque eso no afecta la demostración pues parte de una función que podemos pribar es positiva por sus potencias pares en el numerador y su polinomio no factorizable en el denominador.
      2. División Larga.

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  2. Muy curioso, sí, pero un poco complicado para algo tan sencillo…

    Por reducción al absurdo:
    Supongamos que 22/7 < PI, entonces:

    1/7 + 21/7 = 1/7 + 3 < PI

    despejando tenemos que:

    1 < 7(PI – 3) = 7(PI) – 21 > 0

    Como sabemos que PI > 3 + 1/14 = 3.14

    Pero entonces tenemos que:
    7(PI) – 21 > 7(3 + 1/14) – 21 = 7(3.14) – 21 =
    = 22.02 – 21 = 1.02 > 1

    En contradicción con 7(PI) – 21 < 1

    Por tanto, queda demostrado que 22/7 > PI

    🙂

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  3. israel la función inicial parece ser tomada a propósito. No sé decirte de dónde sale exactamente.

    La simplificación: para convencerte de que es correcta toma la parte ya simplificada y opérala. Verás como te queda la fracción anterior.

    mimetist: sí, cierto, es complicado para algo tan sencillo. Lo he puesto por lo curioso de la demostración.

    Por cierto, 1/14 no es igual a 0’14. Para 0’14 deberías poner 7/50.

    Y por otro lado, en tu demostración supones que Pi > 3’14. Si sabes eso no hace falta demostrar nada. En la demostración del post no se supone eso ya que en principio no tendríamos por qué saberlo.

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  4. ups, ya sabía yo que iba a meter la pata, quería poner 14/100, pero con las prisas ya se sabe xD

    Para obtener la aproximación de PI > 3.14, podemos calcular valores aproximados para la serie de Leibniz o para la serie del problema de Basel… tampoco sería necesario saberlo de antemano.

    Es una demostración curiosa, pero poco transparente… vivienda digna ya!! xD

    Sería interesante ver la demostración por el método de los polígonos de Arquímedes… Con un poco de ingenio y sólo con geometría elemental. 🙂

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  5. mimetist vale, me valen esas aproximaciones :P. Aunque podías haber enlazado nuestro artículo sobre problema de Basilea :D.

    Sobre los polígonos de Arquímedes…echaré un ojo a las Obras Escogidas de Arquímedes que tengo (adquirido en la RSME) a ver qué puedo sacar.

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  6. Yo creo que vi un par de artículos relacionados en mis escarceos por la biblioteca de investigación de la facultad…

    Pero el método exacto no lo conozco… supongo que usaría una circunferencia ideal de radio 1, para intentar obtener el área del polígono inscrito.
    Como el radio es 1, el área sería A = PI, así que los polígonos inscritos van aproximando su área a PI.

    Calculando el área del triángulo formado entre un lado y el centro, y multiplicando dicha área por el número de lados…

    Además es fácil ver la relación entre el lado de un polígono y el lado de un polígono con el doble de lados… partiendo de un Hexágono (cuyo lado es 1, por ser equiláteros sus triángulos), podemos obtener la medida del lado del dodecágono usando sólo el teorema de Pitágoras…. y aplicando el mismo método se puede calcular el del polígono de 24 lados.

    Para el hexágono tendríamos que
    1² = 1/4 + x²
    x = sqrt(1 – 1/4)

    donde 1/4 es el lado del hexágono entre dos, todo ello elevado al cuadrado… es decir:

    LDOBLE = sqrt(1 – [(LSIMPLE)/2])

    Con esa formula recursiva podemos calcular el lado de polígonos con tantos lados como queramos… y de ahí con el “Base por altura partido de dos” calculamos el área del triángulo, lo multiplicamos por el número de lados y TACHÁN!!! aproximaciones para PI.

    Jur jur, al final he encontrado un método fácil!! Aunque de esta forma no podemos encontrar acotaciones superiores…

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  7. Ups, perdón, he metido la pata saltándome un paso… no estoy muy fino con los comentarios hoy eh? xD

    Con el método que he descrito se calcularía la apotema del triángulo, que sería la altura de los triángulos. Con ella calcularíamos el área del triángulo.

    Para calcular la medida del lado del PoligonoDoble, usaríamos otra vez el teorema de pitágoras…

    (1-x)² + (LSIMIPLE/2)² = LDOBLE²

    (cada uno de los sumandos de la expresión anterior son los lados de la mitad del triángulo “pequeñito” que se forma entre el LADOSIMPLE y la circunferencia).

    Habría que recalcular la apotema (x) por dos razones, para calcular el área y para calcular el siguiente LDOBLE… ésto no me suena mucho, así que debe de haber alguna forma de eliminar el uso de la apotema para usar la fórmula de la Longitud de la circunferencia:

    Lc = 2PIr = 2PI es decir PI = Lc/2

    Calcularíamos el perímetro: LDOBLE por número de lados… y no ahorramos operaciones. Creo que Arquímedes no usaba para nada la Apotema, así que ahí está la línea que separa a los Genios del resto de los mortales xD

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  8. Hola gente! les cuento, soy María de los Milagros, y soy de argentina… Estudio Prof. de Matemática en la Universidad Nacional del Litoral.

    Me encanta esta página hay cosas muy interesantes y creativas que son aplicables a mis estudios …. Muchas gracias… y estemos en contacto… Saludos argentinos…..jaja!

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  9. es una muy buena pagina
    me ha servido demasiado para las practicas de profesor de algebra,geometria y trigonometria

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  10. Esa demostración no es válida para la época antigua, Arquímedes no lo demostró así. En nuestro contexto si podemos usar integrales. Feliz día de aproximación

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  1. Enric.es - Blog personal de l’Enric Sánchez Cusell — Dia de l’aproximació de pi - [...] Llàstima que com que π és irracional i la fracció 22/7 és racional, no poden ser el mateix nombre.…

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