Me encanta esta página hay cosas muy interesantes y creativas que son aplicables a mis estudios …. Muchas gracias… y estemos en contacto… Saludos argentinos…..jaja!

Examenes, saturacióonooon!!

Con el método que he descrito se calcularía la apotema del triángulo, que sería la altura de los triángulos. Con ella calcularíamos el área del triángulo.

Para calcular la medida del lado del PoligonoDoble, usaríamos otra vez el teorema de pitágoras…

(1-x)² + (LSIMIPLE/2)² = LDOBLE²

(cada uno de los sumandos de la expresión anterior son los lados de la mitad del triángulo “pequeñito” que se forma entre el LADOSIMPLE y la circunferencia).

Habría que recalcular la apotema (x) por dos razones, para calcular el área y para calcular el siguiente LDOBLE… ésto no me suena mucho, así que debe de haber alguna forma de eliminar el uso de la apotema para usar la fórmula de la Longitud de la circunferencia:

Lc = 2PIr = 2PI es decir PI = Lc/2

Calcularíamos el perímetro: LDOBLE por número de lados… y no ahorramos operaciones. Creo que Arquímedes no usaba para nada la Apotema, así que ahí está la línea que separa a los Genios del resto de los mortales xD

Pero el método exacto no lo conozco… supongo que usaría una circunferencia ideal de radio 1, para intentar obtener el área del polígono inscrito.
Como el radio es 1, el área sería A = PI, así que los polígonos inscritos van aproximando su área a PI.

Calculando el área del triángulo formado entre un lado y el centro, y multiplicando dicha área por el número de lados…

Además es fácil ver la relación entre el lado de un polígono y el lado de un polígono con el doble de lados… partiendo de un Hexágono (cuyo lado es 1, por ser equiláteros sus triángulos), podemos obtener la medida del lado del dodecágono usando sólo el teorema de Pitágoras…. y aplicando el mismo método se puede calcular el del polígono de 24 lados.

Para el hexágono tendríamos que
1² = 1/4 + x²
x = sqrt(1 – 1/4)

donde 1/4 es el lado del hexágono entre dos, todo ello elevado al cuadrado… es decir:

LDOBLE = sqrt(1 – [(LSIMPLE)/2])

Con esa formula recursiva podemos calcular el lado de polígonos con tantos lados como queramos… y de ahí con el “Base por altura partido de dos” calculamos el área del triángulo, lo multiplicamos por el número de lados y TACHÁN!!! aproximaciones para PI.

Jur jur, al final he encontrado un método fácil!! Aunque de esta forma no podemos encontrar acotaciones superiores…

Sobre los polígonos de Arquímedes…echaré un ojo a las Obras Escogidas de Arquímedes que tengo (adquirido en la RSME) a ver qué puedo sacar.

Para obtener la aproximación de PI > 3.14, podemos calcular valores aproximados para la serie de Leibniz o para la serie del problema de Basel… tampoco sería necesario saberlo de antemano.

Es una demostración curiosa, pero poco transparente… vivienda digna ya!! xD

Sería interesante ver la demostración por el método de los polígonos de Arquímedes… Con un poco de ingenio y sólo con geometría elemental.