¿Cómo que 1+2+4+8+…=-1?

Este artículo es una colaboración de Antonio Rojas. Aunque por Gaussianos ya lo conocemos (propuso el noveno desafío GyG), no está mal que se presente:

Soy (no necesariamente por este orden) sevillano, matemático, profesor, y amante de la ciencia en general. Mi hábitat natural es el Departamento de Álgebra de la Universidad de Sevilla.

Es un honor para mí contribuir con este post al blog matemático en español por excelencia. Resulta todo un reto para los que nos dedicamos a la investigación matemática bajar de vez en cuando los pies a la tierra e intentar explicar de manera simple las herramientas y los resultados con los que trabajamos diariamente. No garantizo haberlo conseguido, pero aquí va mi mejor intento.


Una de las cosas raras provocadas por el infinito que contó Gaussianos en su charla de Naukas Bilbao 2013 (que podéis ver aquí si no lo habéis hecho ya y que está un poco más detallada aquí) es la leyenda del ajedrez. En la versión infinita de esta leyenda, el rey ofrece a Sissa una suma infinita de granos de trigo

S=1+2+4+8+16+\cdots+2^{63}+2^{64}+2^{65}+ \cdots

Este “número” cumple que S=1+2(1+2+4+8+\cdots)=1+2S, por lo que despejando se obtiene S=-1, es decir, ¡Sissa le debe un grano de trigo al rey!

Para comprender esta paradoja, debemos saber qué se entiende por una suma de infinitos términos. Una tal suma se llama serie, y decimos que la serie converge a un cierto valor S si la sucesión formada por las sumas parciales de los primeros n términos de la serie se acerca tanto como queramos a S a partir de un cierto n. En ese caso, podemos decir que el valor de la suma infinita es igual a S. En notación matemática,

s_1+s_2+s_3+s_4+\cdots=S

quiere decir que

\displaystyle{\lim_{n\to\infty}(s_1+s_2+\cdots+s_n)=S}.

Por ejemplo, la serie

\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\frac{1}{16}+\cdots+\frac{1}{2^n}+\cdots

tiene suma 1, puesto que \frac{1}{2}+\cdots+\frac{1}{2^n}=1-\frac{1}{2^n}, que se acerca tanto como queramos a 1 a partir de un cierto término.

\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\cdots=1. Fuente: CItizendium.

¿Cuál es el problema con la serie de la leyenda de Sissa y el rey? Pues que sus términos se van haciendo más y más grandes, por lo que es imposible que las sumas parciales converjan a ningún número. Para que una serie converja, es necesario que sus términos se vayan haciendo cada vez más pequeños, porque de lo contrario las sumas parciales nunca podrían mantenerse cerca de un valor fijo.

Así que la suma 1+2+4+8+16+\cdots+2^n+\cdots no es un “número”, y no podemos operar con ella como si lo fuera, de ahí que obtengamos igualdades absurdas si lo intentamos. Porque decir que 1+2+4+8+16+ \ldots =-1 es absurdo, ¿no?

¿Seguro?

Pues… depende. ¿Y de qué depende? De lo que entendamos por “grande” y “pequeño”. En el conjunto de los números reales, el “tamaño” de un número viene dado por el valor absoluto habitual: un número es más pequeño cuanto más cerca del origen esté en la recta real. De hecho, este es el concepto de “tamaño” que se usa habitualmente para construir el conjunto \mathbb R de los números reales a partir del conjunto \mathbb Q de los números racionales: un número real viene determinado por una sucesión de números racionales (o sea, fracciones) tal que sus elementos están tan cercanos entre sí como queramos a partir de un cierto término (estas sucesiones se llaman de Cauchy). Por ejemplo, la sucesión

1+1,\left(1+\frac{1}{2}\right)^2,\left(1+\frac{1}{3}\right)^3, \ldots ,\left(1+\frac{1}{n}\right)^n,\ldots

determina el número real e. Por supuesto, un número real puede venir dado por más de una sucesión de racionales: dos sucesiones determinan el mismo número real si los términos correspondientes de una y de la otra están tan cerca como queramos a partir de un cierto término.

Pero, ¿es el valor absoluto habitual la única forma razonable de medir el tamaño de un número? Para responder a esa pregunta, debemos primero establecer qué propiedades queremos que cumpla un concepto razonable de “tamaño”. Un valor absoluto es una función que asocia a cada número racional a un número real |a| (su tamaño) tal que:

  • El cero tiene tamaño 0, y todo número distinto de cero tiene tamaño positivo.
  • El tamaño de la suma de dos números es menor o igual que la suma de sus tamaños (desigualdad triangular).
  • Al multiplicar un número a por b, su tamaño queda multiplicado por el tamaño de b, es decir, |a \cdot b|=|a| \cdot |b|.

Una vez fijado un valor absoluto, podemos medir lo cerca o lejos que están dos números: tanto más cerca como menor sea el valor absoluto de su diferencia. Claramente, el valor absoluto habitual cumple estas condiciones. ¿Hay alguna otra función que lo haga? Veamos que sí:

Fijemos un número primo p. Sabemos que todo número racional se descompone de manera única como producto de factores primos con exponentes enteros (salvo signo y orden de los factores). Definamos el valor absoluto p-ádico de a \in {\mathbb Q} como |a|_p=p^{-m}, donde m es el exponente de p en la descomposición de a como producto de factores primos. Dicho de otra forma: tomamos el inverso de a y eliminamos todos sus factores primos excepto p.

Por ejemplo, para p=3,

 |7|_3=1,\; |12|_3=1/3,\; |5/6|_3=3,\; |-9/5|_3=1/9.

Pues bien, es fácil comprobar que la función así definida cumple las propiedades anteriores, y por tanto define una noción admisible de tamaño. Un número es más pequeño cuanto más “divisible por p” sea.

Podemos ahora calcar la construcción anterior de los números reales a partir de sucesiones de racionales, pero usando esta nueva definición de valor absoluto. En vez de los números reales, obtenemos un nuevo conjunto conocido como el conjunto de números p-ádicos, que se denota por {\mathbb Q}_p. Este conjunto es un cuerpo (es decir, podemos sumar, restar, multiplicar y dividir por cualquier elemento distinto de cero) que tiene algunas propiedades parecidas al de los números reales (aunque también muchas diferencias).

Visualización de los enteros 3-ádicos mediante colores. Fuente: Wikimedia Commons.

Al igual que todo número real tiene un desarrollo decimal (finito o infinito), también todo número p-ádico tiene un desarrollo p-ádico, en el que sus cifras están entre 0 y p-1 (además, al contrario de lo que pasa con algunos números reales, que tienen dos desarrollos decimales distintos, en este caso es siempre único). Por ejemplo, para p=5,

(\ldots 243104,23)_5=3\cdot 5^{-2}+2\cdot 5^{-1}+4\cdot 5^0+1\cdot 5^2+3\cdot 5^3+4\cdot 5^4+2\cdot 5^5+\ldots

La “parte entera” es lo que está a la izquierda de la coma, y la “parte fraccionaria” lo que está a la derecha. Al contrario de lo que ocurre con los números reales, la parte fraccionaria siempre tiene longitud finita, mientras que la parte entera puede tener longitud infinita. Otra diferencia importante es que una cifra tiene más valor cuanto más a la derecha esté, no cuanto más a la izquierda. Un número racional tiene parte fraccionaria p-ádica si y sólo si su denominador es múltiplo de p. Las sumas se hacen de la forma habitual, de derecha a izquierda: cada vez que la suma de las cifras correspondientes sobrepasa p, nos “llevamos” una hacia la izquierda:

(\ldots 243104,23)_5+(\ldots 114322,41)_5=(\ldots 412432,14)_5

Mover la coma hacia la izquierda equivale a dividir por p, y moverla hacia la derecha a multiplicar por p (lo cual disminuye el tamaño del número, no lo aumenta: recordemos que p tiene tamaño 1/p). Al igual que pasa en los números reales, los números racionales se distinguen entre todos los números p-ádicos en que su desarrollo es periódico (hacia la izquierda en este caso). Por ejemplo,

1/3=(\ldots 13131313132)_5.

(Este número no tiene parte fraccionaria, ya que 3 no es múltiplo de 5.)

En algunos aspectos, trabajar con los números p-ádicos es más simple que con los números reales: por ejemplo, una serie de números p-ádicos converge si y sólo si su término general tiende a cero. Sin embargo, en \mathbb R muchas series (como la serie armónica 1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\cdots) cuyo término general tiende a cero son divergentes, y por eso existen multitud de tests de convergencia para series (que no siempre funcionan).

Podemos intentar visualizar el conjunto de los enteros p-ádicos sumergiéndolo en el conjunto de los números reales de manera que se conserve la cercanía. Por ejemplo, para p=2, podemos asociar el entero 2-ádico \ldots a_3a_2a_1a_0 (donde a_i=0 ó 1) con el número real cuya expansión en base 3 es 0,(2a_0)(2a_1)(2a_2)(2a_3) \ldots. De esta forma, dos enteros 2-ádicos están más cerca cuanto más cerca estén sus imágenes en \mathbb R (con respecto al concepto habitual de distancia). ¿Y cuáles son los puntos de la recta real que obtenemos de esta forma? Pues los números entre 0 y 1 cuyo desarrollo decimal en base 3 contiene únicamente ceros y doses. Esto no es ni más ni menos que el famoso conjunto de Cantor.

Los enteros 2-ádicos son equivalentes (topológicamente) al conjunto de Cantor. Fuente: Wikimedia Commons.

Los números p-ádicos tienen aplicaciones en muchas áreas de las matemáticas e incluso de la física, y son una herramienta fundamental en la Teoría de Números actual, ya que sirven de puente entre el mundo de la Geometría y Topología y el de la Aritmética (son uno de los ingredientes principales, por ejemplo, en la demostración del Último Teorema de Fermat). Y, por si fuera poco, quedan bonitos.

Inmersión de los enteros 5-ádicos en el plano (realizado con Sage).

Dicho todo esto, vamos a demostrar que, en efecto, 1+2+4+8+16+\cdots+2^n+\cdots=-1en el conjunto de los números 2-ádicos. Para ello, calculamos las sumas parciales usando la fórmula para la suma de los términos de una progresión geométrica:

S_n=1+2+4+8+16+\cdots+2^n=2^{n+1}-1

y S_n-(-1)=2^{n+1}, que tiene valor absoluto (2-ádico) 2^{-(n+1)}. Como este valor absoluto es arbitrariamente pequeño, la sucesión de sumas parciales tiende a -1, es decir, la serie

1+2+4+8+16+\cdots+2^{n}+\cdots

converge a -1. En un mundo 2-ádico, Sissa verdaderamente le debe un grano de trigo al rey.


Este artículo es la cuarta aportación de Gaussianos a la Edición 4.12310562 del Carnaval de Matemáticas, que en esta ocasión tiene a Marta Macho como anfitriona a través del blog ZTFNews.

Autor: ^DiAmOnD^

Miguel Ángel Morales Medina. Licenciado en Matemáticas y autor de Gaussianos y de El Aleph. Puedes seguirme en Twitter o indicar que te gusta mi página de Facebook.

21 Comentarios

  1. Muy interesante, tenia ganas de saber un poco que eran los numeros p-adicos y por falta de tiempo seguia sin satisfacer esa curiosidad.
    Ahora, aunque sea un aperitivo le di a aquella parte de mi curiosidad :p.

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  2. Javier, el puente viene de que la topología de {\mathbb Q}_p está definida por condiciones aritméticas (divisibilidad por p), por lo que todas las propiedades que se definan a partir de la topología (por ejemplo, continuidad de funciones p-ádicas) tienen una interpretación en términos de aritmética.

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  3. ¿A alguien se le ocurre cómo relacionar el artículo con la función z-Riemann?

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  4. Justo cuando uno se interesa por los cuerpos p-ádicos… va Gaussianos y mi paisano Antonio… y me lo ponen en bandeja!!!!

    Magnífico artículo.

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  5. Muy buen artículo, sí señor. Esto puede ser una lectura muy interesante para estudiantes de matemáticas (como yo) de segundo curso en adelante, además está muy bien redactado. Felicidades.

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  6. Este el problema del ajedrez fue una de las paradojas que surgieron con el reordenamiento de los términos de una serie infinita, pues antes de Cantor, Cauchy, Abel y otros, la forma en que se manipulaban las series infinitas, dio lugar a paradojas como esta, recuerdo una prueba dada por Euler para la formula de Wallis, en la cual se refleja esto, (no se advertía los problemas que podían surgir al reordenar sin precaucion los términos de una serie infinita) bueno también hay que resaltar que en ese tiempo se manipulaban casi sin distinción alguna las series divergentes y convergentes, pues no se contaba con los muchos criterios que actualmente tenemos. Pero ahora vemos además, que la leyenda del ajedrez, no resulta ser paradójica si consideramos otra norma, otra topologia distinta a la usual en los racionales. Muy buen artículo.

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  7. tambien funciona por continuacion analitica es decir de la serie

    $ latex 1+x+x^{2}+……= (1-x)^{-1} $ fuera del radio de convergencia de la serie de Taylor 😀

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  8. @jose no exactamente, el principio de continuación analítica no se aplica en el conjunto de los números p-ádicos (ya que es un espacio totalmente disconexo). Lo que es cierto en el ejemplo es que el 2 está en el disco de convergencia de la serie (ya que |2|=1/2<1), y por tanto la fórmula para la suma de la serie geométrica se aplica y da el resultado correcto.

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  9. Una pregunta??, cuando seria con esa norma el tamaño del numero 1

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  10. @Miguel el tamaño de 1 es siempre 1 con cualquier valor absoluto, porque |1|=|1\cdot 1|=|1|\cdot |1|

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  11. Antonio, ¿Cómo se calcularía la norma p-ádica de un número p-ádico no racional?
    Se me ocurre utilizar que si una sucesión x_n converge a x, entonces la sucesión de los valores absolutos ha de converger a |x|. Dado que este resultado se cumple para cualquier cuerpo con valor absoluto, ha de cumplirse en los p-ádicos y usando la densidad de los racionales en los p-ádicos obtendríamos la norma, pero no sé si es de interés conocer la norma de un p-ádico.

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  12. @Daniel-san efectivamente, se puede hacer como dices. Además en este caso, como las posibles normas forman un conjunto discreto (las potencias enteras de p), la sucesión de los valores absolutos de los x_n no sólo converge a |x|, sino que es constante a partir de cierto término. En términos de la expansión p-ádica, el valor absoluto de un número sería p^{-m}, donde m denota la posición de la última cifra no nula (suponiendo que la posición 0 es la primera a la izquierda de la coma, y van aumentando hacia la izquierda)

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  13. ¡Magnífico y clarísimo trabajo! Felicidades, Antonio.

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  14. on se puede hacr un razonamiento p-adico similar con la serie

    1+2+3+4+5+6+7+..=-1/12 ??

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  15. @jose no, no hay ningún valor absoluto que haga que la serie 1+2+3+4+… converja.

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  16. he leído que el resultado de la suma de los números naturales es utilizado en física, qe otro tipo de resultados contraintuitivos de este estilo existen?
    también sería interesante si publican algo sobre lo de probabilidades negativas

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  17. Hay una cosa que no entiendo, es como se representa los números p-ádicos en un plano como en las 2 figuras (3-adicos y 5-adicos)

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