¿Cuánto vale la suma de un dónut y un balón?

Extraña pregunta para comenzar la semana, ¿verdad? Vamos a intentar responderla a lo largo de este artículo.

Introducción

La Topología (no confundir con Topografía) es una rama de las matemáticas que podríamos decir que se ocupa de las deformaciones continuas de cuerpos. La cuestión es más o menos como sigue:

En Topología, si podemos convertir un cuerpo en otro mediante una deformación que no implique rotura entonces los dos cuerpos son topológicamente iguales.

Por ejemplo, en Topología una circunferencia y una elipse son iguales (se dice que son homeomorfos). Y, como todo el mundo sabe, un dónut y una taza de café también son iguales. Valga esta imagen (que encontré en este post del blog Topología I de un antiguo profesor mío) como ejemplo de ello:

Un dónut es igual a una taza de café

Así que ya sabéis, si alguna vez coincidís desayunando con profesor de Topología y veis que está mordiendo la taza e intentando beber de un dónut no os extrañéis y echadle una mano porque no sabe distinguirlos.

Y hasta un conejito es igual a una esfera (gracias Acho):

Introducido ya el tema de la deformación de cuerpos vamos a plantearnos cómo podemos sumarlos. En principio sabemos sumar números, pero también conocemos cómo se suman matrices del mismo orden (sumando las entradas de cada una de ellas que están en la misma posición), polinomios (sumando los coeficientes de los monomios de mismo grado) o funciones en general. Pero ¿podemos sumar superficies? En Topoplogía .

Suma conexa

Antes de nada quiero aclarar que aunque todo lo que vamos a explicar aquí puede extenderse a dimensiones mayores nosotros nos vamos a centrar en superficies en tres dimensiones (para los puristas, espacios topológicos y espácios topológicos cocientes definidos en \mathbb{R}^3).

Vamos a ver un ejemplo a partir del cual se verá cuál es la forma de sumar superficies:

  • Supongamos que queremos sumar (topológicamente hablando) dos esferas. Trazamos una circunferencia en la superficie de una de ellas y recortamos con unas tijeras el trozo de esfera que queda dentro de la circunferencia. Después hacemos lo mismo en la otra esfera. Tenemos dos esferas a las que les hemos quitado un trozo de su superficie. Lo que hacemos ahora es estirar las esferas lo que haga falta para poder pegarlas por los bordes que han dejado los agujeros. En principio habríamos obtenido una figura extraña, sin una forma aparentemente reconocible. Pero como la Topología nos permite deformar las cosas (sin romperlas), deformamos dicha figura hasta darle una forma redondeada (imaginemos que la figura resultante es un globo y lo que hacemos es inflarlo, como en una de las imágenes anteriores). ¿Cuál es el resultado? Pues, evidentemente, otra esfera.

Puede que este vídeo nos deje la idea aún más clara:

En esto básicamente es en lo que consiste la suma de superficies, denominada suma conexa:

Dadas dos superficies S_1 y S_2, la suma conexa de ellas, que denotaremos por S_1#S_2, es otra superficie que se construye eliminando de cada una de ellas un trozo homeomorfo a un disco de \mathbb{R}^2 y pegando los cuerpos resultantes por los bordes dejados por cada uno de los trozos.

Así definida, esta operación es conmutativa (es evidente que S_1#S_2=S_2#S_1) y asociativa (también es claro que (S_1#S_2)#S_3=S_1#(S_2#S_3)). Pero además también tiene elemento neutro: la esfera \mathbb{S}_2 (la esfera en tres dimensiones de toda la vida). Si realizamos la suma conexa de una superficie cualquiera S y \mathbb{S}^2 obtenemos otra vez la superficie S, ya que al pegar los cuerpos resultantes de eliminar los discos de cada una de ellas podemos deformar la superficie obtenida hasta conseguir la superficie S inicial.

Asociativa, conmutativa, posee elemento neutro…¿A qué suena esto? A grupo, ¿verdad? Pues por desgracia falla la otra propiedad: la suma conexa de superficie no posee elemento opuesto. Esto es, en general dada una superficie cualquiera S de \mathbb{R}^3 no podemos encontrar otra superficie S^\prime tal que S#S^\prime=\mathbb{S}^2 (es decir, que su suma conexa sea el elemento neutro, la esfera). Por ello el conjunto de todas las superficies de \mathbb{R}^3 con la operación suma conexa no es un grupo, sino un semigrupo.

Hemos comentado antes que lo que se hace es trazar una circunferencia en cada una de las superficies, para después eliminar el trozo interior a ella. Pero ni siquiera hace falta que sea una circunferencia. De hecho puede ser cualquier curva cerrada que no se corte a si misma (este tipo de curvas se denominan simples), ya que después podemos deformar la superficie para pegar los dos bordes. Además también da igual cómo las peguemos. Esto es:

La suma conexa de dos superficies no depende ni de la curva elegida ni de la forma de pegarlas.

Algunos otros ejemplos son los siguiente:

  • Respondiendo a la pregunta que titula este artículo, la suma conexa de un dónut y un balón es un dónut.
  • La suma conexa de dos toros (dónuts) lo que obtenemos es un toro con dos agujeros. Por ello, si hacemos la suma conexa de un toro con dos agujeros y otro con uno el resultado es un toro con tres agujeros:

    Suma conexa de un toro y un 2-toro

    Imagen tomada de la Wikipedia en español
  • La suma conexa de dos planos proyectivos \mathbb{R} \mathbb{P}^2 es una botella de Klein.
  • La suma conexa de un toro y un plano proyectivo es igual a la suma conexa de tres planos proyectivos.

Y para terminar este artículo os dejo un teorema muy importante en Topología relacionado con este tema:

Teorema: (de clasificación de superficies compactas)

Toda superficie compacta es homeomorfa a una esfera, a una suma conexa de toros o a una suma conexa de planos proyectivos.

Es decir, toda superficie compacta de \mathbb{R}^3 que se nos ocurra puede deformarse (sin romperla) hasta convertirla en una esfera, en una superficie tipo toro con un cierto número de agujeros o en una superficie obtenida de realizar la suma conexa de un cierto número de planos proyectivos.

Este tipo de resultados es muy importante ya que nos dice la forma exacta de los elementos que podemos encontrarnos. En este caso, topológicamente hablando, se podría decir que sólo existen esos tres tipos de superficies compactas. Para estudios con superficies el conocimiento de este hecho es esencial.

Fuentes:


En este artículo se ha hablado entre otras cosas de ciertas superficies que puede ser que no sean muy conocidas para algunos de vosotros. Paciencia, con el tiempo las presentaremos en Gaussianos.

Autor: ^DiAmOnD^

Miguel Ángel Morales Medina. Licenciado en Matemáticas y autor de Gaussianos y de El Aleph. Puedes seguirme en Twitter o indicar que te gusta mi página de Facebook.

12 Comentarios

  1. Esto tiene que ver muchísimo con Teorema Pincaré-Perelman y fue explicado anteriormente en esta web. Muy buen artículo.

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  2. Muy buen artículo, la topología fue una de mis preferidas. No veo claro lo de la botella de Klein. ¿Podria alguien explicarlo un poco mejor? gracias de antemano

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  3. Lo del conejito me recuerda al chiste del ingeniero que aproximaba la vaca a una esfera jajaja.

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  4. ¡Bonito artículo!

    Un matiz: no podemos coger cualquier curva que queramos para hacer la suma conexa, es necesario que dicha curva sea retractil para que podamos hablar de su interior y su exterior. Por ejemplo, en un toro no podemos coger uno de los meridianos.

    Y una pequeña disgresión: como existe un elemento neutro el conjunto de clases de equivalencia de superficies compactas tiene estructura de monoide. Para los que les guste el álgebra es un ejercicio interesante describir completamente este monoide. Si nos limitamos a las superficies orientables, entonces está claro que dicho monoide es isomorfo a los números naturales (al sumar toros se suma su género), lo mismo pasa si tomamos la subfamilia de las no orientables junto con la esfera; así, vemos que nuestro monoide M está generado por dos elementos t (por los toros) y p (por los proyectivos). Pero dichos elementos satisfacen una relación entre ellos, como la suma de un toro y un plano proyectivo es igual a la suma de tres proyectivos, tenemos t+p=3p , y esta es la única relación existente en nuestro monoide.
    Aquí es importante observar que no se puede simplificar la igualdad de arriba como haríamos si fuese una suma de números. En otras palabras, tenemos un monoide que no verifica la propiedad cancelativa. Esto es un poco más técnico, pero la consecuencia fundamental de no tener esa propiedad es que no es posible embeber M dentro de ningún grupo (ya sea conmutativo o no). Este tipo de situaciones son ejemplos de por qué la teoría de monoides es mucho más complicada que la teoría de grupos. Por ejemplo, creo recordar que no existe una clasificacion de los monoides abelianos finitamente generados.

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  5. “vengoroso” no puedes tomar un meridiano (darle un bocado a la rosquilla) ni tampoco un paralelo (partir transversalmente la rosquilla para obtener “casi” dos), puesto que esos cortes no son homeomorfos a un disco (y por tanto no cumplen la definición de “suma conexa”).

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  6. “vengoroso”, me encanta la explicación del análisis desde un punto de vista del álgebra. Reconozco que se me da mal el álgebra abstracta (demasiadas cosas por memorizar) pero es preciosa la forma en la que se pueden estudiar un montón de cosas desde ahí. Muy buen punto. 😉

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  7. A quedado claro que “sólo existen esos tres tipos de superficies compactas” y se ha mostrado el ejemplo con una taza y un conejo cubriendo dos de las posibilidades.

    ¿Alguien podría aportar un ejemplo (sencillo a ser posible) de la suma de A + B resulte un plano proyectivo? (a ser posible no tomar dos botellas de klein, claro)

    Dicho de otra forma, ¿se podría encontrar un “simil” que represente (para humanos) el tercer caso?

    No se, igual se puede hacer con la proyección en R3 de la botella de klein, o usando una banda de Möbius y visualizándola en R3, etc…

    ¡Gracias!

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  8. josejuan precisamente por eso digo que no vale cualquier curva, es necesario tomar una que se pueda contraer a un punto (poniendonos pedantes, para hacer la suma conexa es necesario tomar una curva que defina la clase trivial en el grupo fundamental). Si no se tiene esta propiedad, ni siquiera esta bien definido que es el “interior” de la curva.

    Con respecto a tu pregunta en el tercer comentario, no es posible obtener el plano proyectivo (o un toro) como suma conexa no trivial de otras cosas. Hay varias formas de ver esto, la topologica es observar que el genero de la suma conexa de dos superficies es siempre mayor o igual a la suma de los generos de las superficies. Como el plano proyectivo tiene genero 1, la unica manera de obtenerlo seria sumando algo con genero 1 con algo de genero 0, que necesariamente sera la esfera, por lo que la suma conexa es trivial.

    Otra manera es observar que en el monoide M definido arriba el elemento p es indescomponible y no puede aparecer como suma de elementos no triviales de M.

    El plano proyectivo es poco intuitivo si no estas acostumbrado a el, pero realmente es el ejemplo mas sencillo que existe de superficie (compacta) no orientable. La banda de Moebius no es una compacta, asi que no entra dentro de esta clasificacion. Quizas le deberias pedir a ^DiAmOnD^ que escriba otro articulo sobre el plano proyectivo ;-P

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  9. ¡Cáspita! perdón, leí mal “…en un toro NO podemos coger uno de los meridianos…”.

    Lo de la banda de Möbius era por si podía hacerse alguna analogía… 🙁

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  10. La superficie “plano proyectivo” se puede imaginar como la superficie de una semiesfera donde los puntos opuestos del borde están identificados. ( = son el mismo punto )

    De forma que si se sale de la semiesfera por un punto se entra en ese momento por el punto opuesto.

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  11. ¡Grande gaussianos por este post! Sigo esta página hace mucho tiempo, pero es la primera vez que me animo a escribir. De vez en cuando tomo alguna de la info que publican y la uso en mis clases. Respecto a la suma conexa, en un principio me dio por pensar que S1#S2 tendria como area de superficie (en R3) la suma de áreas de S1 + S2, pero reflexionando un poco ya no estoy tan seguro. ¿Alguien puede iluminar esta duda?

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  12. “se podría decir que sólo existen esos tres tipos de superficies compactas”

    Así de claro y así de sencillo. Gracias por este artículo.

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