Comportamiento de una sucesión con un coseno o con un seno

Os dejo hoy el problema de esta semana, que en esta ocasión tiene dos apartados. El enunciado es el siguiente:

a) Una sucesión de números reales $x_1, x_2, \ldots$ cumple que

$x_{n+1}=x_n \; \cos{(x_n)}$ , para todo $n \ge 1$

¿Es esta sucesión convergente para cualquier valor inicial $x_1$ ?

b) Una sucesión de números reales $y_1, y_2, \ldots$ cumple que

$y_{n+1}=y_n \; \sin{(y_n)}$ , para todo $n \ge 1$

¿Es esta sucesión convergente para cualquier valor inicial $y_1$ ?

A ver qué tal se os da.

13 comentarios

Trackback | 21 Sep, 2011

Bitacoras.com
161803398874 | 21 de September de 2011 | 13:28

Casi lo tengo… Pero creo que me falta la parte difícil.
Apartado a)
Para el valor inicial (2K+1)*Pi con K entero no es convergente.
x1=(2K+1)*Pi
x2=(2K+1)*Pi*Cos[(2K+1)*Pi] = -(2K+1)*Pi
x3=-(2K+1)*Pi*Cos[-(2K+1)*Pi] = (2K+1)*Pi = x1
etc. Por ejemplo, para K=0 la sucesión será alternativamente Pi y -Pi en los términos impares y pares respectavente.

Apartado b)
Casi lo tengo, pero en este caso sí que siempre es convergente para cualquier valor inicial… O eso creo… Me baso en que la sucesión de valores absolutos es decreciente, minorada por 0 y mayorada por el valor absoluto del término inicial.
Así que es imposible que diverja.
No se puede dar un caso como el contraejemplo del apartado a), porque si para algún n, se cumple que Sen(x_n) = -1, entonces x_n=-Pi/2+2KPi y x_(n+1)=(Pi/2-2KPi); x_(n+2)=Pi/2-2KPi, etc… Se mantendría constante, luego convergente.

Me falta ver que no se pueda cumplir, que haya algún caso en el que el valor absoluto decrezca convergiendo a algún valor distinto de cero y que los signos se vayan alternando.

Lo sé, tengo que aprender LATEX.
jordix | 21 de September de 2011 | 14:02

Ninguna es convergente. La sucesión con coseno, para $x_1 = \pi$ produce términos que oscilan $x_n = (-1)^n \pi$ . Para la sucesión con seno, si $y_1 = \frac{3 \pi}{2}$ , entonces $y_n = (-1)^n \frac{3\pi}{2}$ .
JJGJJG | 21 de September de 2011 | 14:06

Los valores absolutos de ambas son decrecientes, como ha visto 161803398874.

Para valores suficientemente grandes de n dos términos consecutivos deben ser prácticamente iguales entre sí e iguales al límite (si existe).

Esto solo ocurre cuando el seno o el coseno valen “casi” 1 o -1.

Probando, pues los cuatro primeros múltiplos de PI/2 vemos que la sucesión x puede ser oscilante para algunos valores iniciales pero la y converge siempre.
161803398874 | 21 de September de 2011 | 15:45

Pero cómo pruebas lo de y??
Sive | 21 de September de 2011 | 16:00

Es fácil de demostrar 161803398874. Si consideras sólo los valores absolutos de la serie, entonces la serie converge necesariamente porque es decreciente.

Sea cual sea el valor al que converja la serie considerando solamente los valores absolutos, la única posibilidad de que la serie con signo no converja, es que tienda a tomar dos valores a y -a, pero eso implica que la razón trigonométrica tiene que tender hacia -1.

Por tanto, sólo hay que probar el caso de $\pi$ para la primera serie, y $\frac{3\pi}{4}$ para la segunda.
161803398874 | 22 de September de 2011 | 01:32

Sigo sin verlo, ¿Por qué solo con el caso -1 y no cualquier valor negativo?
gaussianos | 22 de September de 2011 | 02:38

jordix, revisa tu razonamiento para la segunda parte del problema. Creo que te has equivocado con los signos.
JJGJJG | 22 de September de 2011 | 19:21

161803398874: Supongamos que a es el posible límite y es “cualquier valor negativo”.
para valores muy grandes de n tendríamos a = a * sin(a) y al ser a negativo solo puede ser verdad si sen (a) = 1, es decir sen(-a) = -1, es decir a=-3*PI/2.

Sive: Creo que has querido escribir …. y 3*PI/2 para la segunda.
161803398874 | 22 de September de 2011 | 23:02

JJGJJG, perdona si me equivoco y gracias por intentar responderme, pero me parece que en el razonamiento que haces, cuando dices “para valores muy grandes de n tendríamos a = a*sin(a)” estás dando por hecho que existe el límite y no puedes probar que existe el límite dándolo ya por hecho, ¿no?
Precisamente lo que quiero comprobar es que no existe ningún contraejemplo… Si yo, por intuición, ya en mi primer mensaje dije que para y_n siempre iba a haber convergencia…
javiol | 23 de September de 2011 | 19:45

Sive y Jordix: No comprendo, si y1=3pi/2 => y2=-3pi/2 => y3=(-3pi/2)*sin(-3pi/2)=-3pi/2 y asi para todo n siguiente, ques es lo que JJGJJG comprueba, que para ese valor converge a -3Pi/2. No se si es convergente o no, pero con y1=3pi/2 converge y también con y1= -3pi/2.
Sive | 24 de September de 2011 | 04:59

JJGJJG sí, me equivoqué, quise poner $\frac{3\pi}{2}$

javiol yo no dije que la segunda serie convergiera con $y_1 = \frac{3\pi}{2}$ , dije que bastaba con probar los valores para los cuales la razón es -1.

Obviamente después de probar con estos valores iniciales, se ve que la primera serie no converge, y la segunda sí.
javiol | 24 de September de 2011 | 18:54

Sive: De acuerdo, es que creí que decías que la serie yn era divergente (oscilante) y que apoyabas lo que decía jordix. Entonces en resumen, xn no es convergente para todo x1 inicial e yn si. Gracias por la respuesta.