Con suma cero

Vamos con el problema de esta semana. Ahí va el enunciado:

Sean a_1,a_2, \ldots ,a_n números reales pertenecientes al intervalo [-2,2] cuya suma es cero. Demostrar que

|a_1^3+a_2^3+\ldots+a_n^3| \leq 2n

Que se os dé bien.

Autor: ^DiAmOnD^

Miguel Ángel Morales Medina. Licenciado en Matemáticas y autor de Gaussianos y de El Aleph. Puedes seguirme en Twitter o indicar que te gusta mi página de Facebook.

4 Comentarios

  1. Para maximizar la suma elegimos como positivo el mayor valor posible y como negativo el menor valor posible: a(1) = 2, a(2) = a(3) = … = a(n) = 2/(n-1).
    Para n = 2 la suma es obviamente 0 ya que a(2) = -a(1).
    Para n>2 la suma es 2^3 – 2^3/(n-1)^2 = 8(1 – 1/(n-1)^2) = 2n(4(n-2)/(n-1)^2).
    La expresión 4(n-2)/(n-1)^2 toma para n=3 el valor 1 y para n>3 es decreciente y siempre menor que 1. Luego la suma será, como máximo, igual a 2n para n=2 y, 3.
    Lo mismo ocurriría si tomamos a(1) = -2 y a(2) 0 a(3) = … = a(n) = 2/(n-1).
    Si en lugar de asignar un valor 2 o -2 a un elemento, lo hacemos con k elementos, tendríamos sumas de igual valor que las obtenidas con el razonamiento anbterior que estarían multiplicadas y divididas por k, es decir, los mismos valores máximos que antes.

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  2. Usaremos la fórmula cos(3x)=4cos^3x-3•cosx que se puede deducir fácilmente de las fórmulas trigonométricas del coseno de la adición de ángulos.
    Despejando, obtenemos que cos^3x=(cos3x+3cosx)/4
    Dado un a(i) perteneciente al intervalo [-2,2] existe un ángulo x(i) tal que a(i)=2•cosx(i)
    Además, se cumple que cosx(1)+..+cosx(n)=0
    Tenemos entonces que
    |a(1)^3+a(n)^3|=8•|cos^x(1)+..+cos^3x(n)|=
    =8•|(cos3x(1)+3cosx(1))/4+..(cos3x(n)+3cosx(n))/4|=
    =2•|[cos(3x(1)+…+cos3x(n)]+[cosx(1)+…+cosx(n)]|=
    = 2•|[cos(3x(1)+..+cos3x(n)]+0|<=
    <=2|cos3(x(1)|+….+2|cos3x(n)|<=2•1+…+2•1=2n

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  3. Creo que la demostración más sencilla de este echo es por inducción sobre n:
    Para n=1 es trivial, ya que a_1=0<=2.
    Supongamos que se verifica la proposición para n-1 sumandos, tenemos entonces que
    |a_1^3+text{…}+a_{n-1}^3|<= 2(n-1)
    por tanto,
    |a_1^3+text{…}+a_n^3|<= |a_1^3+cdots +a_{n-1}^3|+|a_n|leq 2(n-1)+2=2n

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