4 comentarios

1. 

   JJGJJG | 11 de septiembre de 2012 | 11:40

   Vótalo 0

   Para maximizar la suma elegimos como positivo el mayor valor posible y como negativo el menor valor posible: a(1) = 2, a(2) = a(3) = … = a(n) = 2/(n-1).
   Para n = 2 la suma es obviamente 0 ya que a(2) = -a(1).
   Para n>2 la suma es 2^3 – 2^3/(n-1)^2 = 8(1 – 1/(n-1)^2) = 2n(4(n-2)/(n-1)^2).
   La expresión 4(n-2)/(n-1)^2 toma para n=3 el valor 1 y para n>3 es decreciente y siempre menor que 1. Luego la suma será, como máximo, igual a 2n para n=2 y, 3.
   Lo mismo ocurriría si tomamos a(1) = -2 y a(2) 0 a(3) = … = a(n) = 2/(n-1).
   Si en lugar de asignar un valor 2 o -2 a un elemento, lo hacemos con k elementos, tendríamos sumas de igual valor que las obtenidas con el razonamiento anbterior que estarían multiplicadas y divididas por k, es decir, los mismos valores máximos que antes.

2. 

   pcrdeg | 11 de septiembre de 2012 | 23:06

   Vótalo 0

   Usaremos la fórmula cos(3x)=4cos^3x-3•cosx que se puede deducir fácilmente de las fórmulas trigonométricas del coseno de la adición de ángulos.
   Despejando, obtenemos que cos^3x=(cos3x+3cosx)/4
   Dado un a(i) perteneciente al intervalo [-2,2] existe un ángulo x(i) tal que a(i)=2•cosx(i)
   Además, se cumple que cosx(1)+..+cosx(n)=0
   Tenemos entonces que
   |a(1)^3+a(n)^3|=8•|cos^x(1)+..+cos^3x(n)|=
   =8•|(cos3x(1)+3cosx(1))/4+..(cos3x(n)+3cosx(n))/4|=
   =2•|[cos(3x(1)+…+cos3x(n)]+[cosx(1)+…+cosx(n)]|=
   = 2•|[cos(3x(1)+..+cos3x(n)]+0|<=
   <=2|cos3(x(1)|+….+2|cos3x(n)|<=2•1+…+2•1=2n

3. 

   Matemáticas07 | 12 de septiembre de 2012 | 20:16

   Vótalo 0

   Creo que la demostración más sencilla de este echo es por inducción sobre :
   Para es trivial, ya que .
   Supongamos que se verifica la proposición para sumandos, tenemos entonces que
   
   por tanto,
   

4. 

   M | 12 de septiembre de 2012 | 23:04

   Vótalo 0

   Excelente una vez más, pcrdeg!