Confirmado el descubrimiento del primo de Mersenne número 48

Cuatro años, cuatro, ha estado GIMPS sin dar señales de vida en forma de nuevos primos de Mersenne…hasta ahora. En su página web han confirmado el descubrimiento de un nuevo primo de Mersenne, que hace el número 48 de la lista actual de este tipo de números primos. El “afortunado” descubridor es Curtis Cooper, de la University of Central Missouri.

En concreto se trata del número

2^{57885161}-1

que tiene la enorme cantidad de 17425170 cifras (sobrepasando así en casi 5 millones el número de cifras del primo de Mersenne número 47 de la lista). La cantidad que representa este número es, pienso, inimaginable para el ser humano. Baste lo siguiente para reflexionar sobre la monstruosidad de dicho número:

Si pensamos en un millón de cosas, lo normal es que nos parezca que son muchas. Bien, pues el número 1000000 tiene 7 cifras.

y este nuevo número primo tiene más de 17 millones de cifras…

Como hemos dicho, este número es uno de los denominados números de Mersenne, que son números de la forma 2^p-1 y cuyo nombre se debe a Marin Mersenne. Se sabe que 48 de ellos son primos, habiendo sido descubiertos los más grandes por el grupo GIMPS. De estos números de Mersenne se sabe que para que sean primos necesariamente el exponente p debe ser también un número primo, aunque no siempre que tomemos como exponente un número primo obtendremos un primo de Mersenne (por ejemplo, 2^{11}-1=2047=23 \cdot 89).

También se sabe que cada primo de Mersenne tiene asociado un número perfecto, es decir, un número que es igual a la suma de sus divisores (exceptuando al propio número):

Si 2^n-1 es un primo de Mersenne, entonces el número 2^{n-1} \cdot (2^n-1) es un número perfecto.

Por ejemplo, para n=3 tenemos que como 2^3-1=7 es primo el número 2^{3-1} \cdot (2^3-1)=28 es un número perfecto. Y efectivamente lo es:

1+2+4+7+14=28

Por tanto, en este caso tenemos que el número

2^{57885160} \cdot (2^{57885161}-1)

es un número perfecto. Si alguien se atreve, que calcule sus divisores y los sume (si contarlo a él), y que después compruebe que el resultado es el propio número, que, por cierto, tiene unos 34 millones de cifras…

Autor: ^DiAmOnD^

Miguel Ángel Morales Medina. Licenciado en Matemáticas y autor de Gaussianos y de El Aleph. Puedes seguirme en Twitter o indicar que te gusta mi página de Facebook.

15 Comentarios

  1. Yo lo haría, pero no iba a caber en el cuadro de comentarios. Así que para qué. 😉

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  2. Yo me atrevo.

    Los divisores de 2^{57885160} \cdot (2^{57885161}-1) son, por un lado, 1, 2, 4, 8, 16, 32 … 2^{57885160}, y por otro los que resultan de de multiplicar estos divisores por 2^{57885161}-1 (pero ojo, en este grupo estaría el propio número).

    La suma de los del primer grupo es obviamente 2^{57885161} -1, así que la suma de los del segundo, sacando factor común, será: (2^{57885161} -1) \cdot (2^{57885161}-1), en total:

    S = (2^{57885161} -1)^2 + 2^{57885161} - 1

    = (2^{2 \cdot 57885161} - 2^{57885162} + 1) + 2^{57885161} - 1

    = 2^{2 \cdot 57885161} - 2^{57885161}

    = 2^{57885161} \cdot (2^{57885161} - 1)

    Que es el doble del número perfecto, lo cual es correcto, ya que he incluido el propio número en la suma.

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  3. Lo del Nº perfecto asociado se puede demostrar como suma de series geométricas que generan una nueva serie geométrica. Conocido por lo menos a pririncipios del siglo XX. No hace falta intentarlo

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  4. Podemos querer leer este número primo -yo diría que hermano; un primo tiene mala prensa- que a razón de 5 dígitos leídos por segundo, se tardaría en leerlo 40 días y 8 horas a razón de 24 horas al día y de 7 días a la semana. Sabina escribiría probablemente con esto una canción. ¿Acaso un número no se puede leer?

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  5. Me temo, Robin García, que te has quedado un poco corto.
    Creo que necesitarías cerca de 4 minutos más. Perdona por la broma.
    Predigo que el primo de Mersenne nº 64 tendrá alrededor de 10^10 dígitos, pero,salvo un gigantesco avance en la capacidad de las máquinas no creo que se consiga encontrarlo en este siglo.

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  6. Se que para muchos la pregunta que haré me pondrá en lo más bajo del escalafón de la inteligencia humana, pero no puedo dejar de hacerla
    ¿qué impide que se calculen los primos de Mersenne con una fórmula? ¿Es el mismo impedimento que para hallar una fórmula para calcular cualquier primo?

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  7. La única “pauta” conocida de la aparición de primos de Mersenne es que, la relación entre dos exponentes sucesivos de 2 en los mismos se parece bastante a 1,5. Esto quiere decir que, en principio, para encontrar el siguiente al máximo conocido (M(49)) habría que comprobar la primalidad de alrededor de millón y medio de primos desde 57885161 en adelante para encontrarlo. Hoy por hoy tenemos que aceptar que dicha aparición es puramente aleatoria.

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  8. ¿Que si existe un número que no se puede leer? Si me consigues leer el número de Graham de invito a unas cañas cuando hayas terminado 😉

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  9. Como están…

    Leyendo los comentarios de este hilo, no concuerdo con el criterio de JJGJJG y en parte Romeo tiene la visión clara, no hay nada complicado en determinar los primos de Mersenne.
    Así como todos los primos, no hay una relación directa entre uno y el siguiente a darse, caso contrario dejarían de ser números primos.

    El proyecto que desarrollé, se basa en una nueva Organización para números primos, donde la génesis está dado por los que denomino como “Primos Origen”.

    ORGANIZACION de NÚMEROS de MERSENNE.
    Algunos primos origen son generadores directos de números de Mersenne, diciendo que M_n = 2^n -1 es un número de Mersene de la forma 2^-1 y que “pg” es un primo origen generador de estos números.
    Para esto se amplifica el valor de una constante “tg” denominado como “tronco generador” que va creciendo exponencialmente y en cada iteración, los “pg” generan un Mn para conformar una nueva organización.
    En realidad no es preciso generar y manejar estos números cada vez son mas gigantezcos, tan solo manipular su forma sucinta, que se generan como una sucesión, al existir una constante “k” de generación.

    De esta manera, logramos tener una organización reducida donde el exponente en base 2 es primo o pseudoprimo, donde para llegar al ultimo primo de Mersenne, empleamos un array dimensionado para 7851354 campos.

    DEPURACIÓN de MULTIPLOS NO PRIMOS.
    Como decía JJGJJG, evaluar la primalidad del millon y medio de Mn en adelante resulta difícil computacionalmente hablando y lógico que no debemos tomar ese camino.

    Teniendo los Mn generados, solo debemos depurar los que no son primos, es decir, los que resultan ser múltiplos de primos anteriores.
    El proceso es mas simple de lo que cree, ya que los multiplos de un primo, en la organización de disponen a una distancias constante, de modo que solo necesitamos saber la ubicación del primer múltiplo y desde este, depuramos los demas de forma directa.

    →De los 7851354, un primo origen, depurará 2617019 multiplos, quedando por depurar 5234335.
    →Si lo han analizado, no tiene sentido depurar múltiplos con todos los primos conocidos, ya que una gran mayoría no tiene multiplos en esta organización, por lo que desde los primos origen, generamos primos divisores siguiendo una secuencia exponencial, similar a la del tronco, donde solo es ubicar su primer multiplo y depurar los demas desde este.

    ○ Un procso tan simple como este, solo requieres de minutos ó hasta algunas horas, para determinar el ultimo primo de Mersenne y los siguientes a darse.

    →No es una simple hipótesis, un programa desarrollado, ya determina los primeros primos de Mersenne, faltando tan solo completar los ultimos puntos de la investigación, para no realizar grandes operaciones, sino, poroceder a depurar directamente todos los multiplos por sus posiciones, quedando al final, primos de Mersenne totalmente válidos.

    Saludos…

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  10. Vivan las matemáticas q a diferencia de la física necesita de experimentos para la verificación mas no para su demostracion.

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  11. • Como mencionaba en esa oportunidad, los números de Mersenne compuestos, son determinados de forma directa en base a su exponente primo, como podrán observar en la siguiente evaluación.

    EVALUANDO Rango:(4,57885180)

    2^{5}-1 Mp[3] Primo de Mersenne
    2^{7}-1 Mp[4] Primo de Mersenne
    2^{13}-1 Mp[5] Primo de Mersenne
    2^{17}-1 Mp[6] Primo de Mersenne
    2^{19}-1 Mp[7] Primo de Mersenne
    2^{31}-1 Mp[8] Primo de Mersenne
    2^{61}-1 Mp[9] Primo de Mersenne
    2^{89}-1 Mp[10] Primo de Mersenne
    2^{107}-1 Mp[11] Primo de Mersenne
    2^{127}-1 Mp[12] Primo de Mersenne
    2^{521}-1 Mp[13] Primo de Mersenne
    2^{607}-1 Mp[14] Primo de Mersenne
    2^{1279}-1 Mp[15] Primo de Mersenne
    2^{2203}-1 Mp[16] Primo de Mersenne
    2^{2281}-1 Mp[17] Primo de Mersenne
    2^{3217}-1 Mp[18] Primo de Mersenne
    2^{4253}-1 Mp[19] Primo de Mersenne
    2^{4423}-1 Mp[20] Primo de Mersenne
    2^{9689}-1 Mp[21] Primo de Mersenne
    2^{9941}-1 Mp[22] Primo de Mersenne
    2^{11213}-1 Mp[23] Primo de Mersenne
    2^{19937}-1 Mp[24] Primo de Mersenne
    2^{21701}-1 Mp[25] Primo de Mersenne
    2^{23209}-1 Mp[26] Primo de Mersenne
    2^{44497}-1 Mp[27] Primo de Mersenne
    2^{86243}-1 Mp[28] Primo de Mersenne
    2^{110503}-1 Mp[29] Primo de Mersenne
    2^{132049}-1 Mp[30] Primo de Mersenne
    2^{216091}-1 Mp[31] Primo de Mersenne
    2^{756839}-1 Mp[32] Primo de Mersenne
    2^{859433}-1 Mp[33] Primo de Mersenne
    2^{1257787}-1 Mp[34] Primo de Mersenne
    2^{1398269}-1 Mp[35] Primo de Mersenne
    2^{2976221}-1 Mp[36] Primo de Mersenne
    2^{3021377}-1 Mp[37] Primo de Mersenne
    2^{6972593}-1 Mp[38] Primo de Mersenne
    2^{13466917}-1 Mp[39] Primo de Mersenne
    2^{20996011}-1 Mp[40] Primo de Mersenne
    2^{24036583}-1 Mp[41] Primo de Mersenne
    2^{25964951}-1 Mp[42] Primo de Mersenne
    2^{30402457}-1 Mp[43] Primo de Mersenne
    2^{32582657}-1 Mp[44] Primo de Mersenne
    2^{37156667}-1 Mp[45] Primo de Mersenne
    2^{42643801}-1 Mp[46] Primo de Mersenne
    2^{43112609}-1 Mp[47] Primo de Mersenne
    2^{57885161}-1 Mp[48] Primo de Mersenne

    Mp Primos:48
    Mn Compuestos:3443913

    Tiempo Evaluacion: Tmpo:21:58
    *** EVALUACIONES COMPLETADAS ***

    Saludos…

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