Confirmado que el 44º primo de Mersenne es en realidad el 44º primo de Mersenne

Menudo título para un post… Parece una obviedad como un castillo, ¿verdad? Pues no lo es, ni mucho menos, y vamos a explicar el porqué. GIMPS, el proyecto colaborativo de búsqueda de primos de Mersenne, ha terminado la verificación de que el cuadragésimo cuarto primo de Mersenne que se encontró es, efectivamente, el primo de Mersenne número 44 si los colocamos en orden numérico de menor a mayor.

La historia es como sigue. Hasta septiembre de 2006 se conocían 43 primos de Mersenne…

Recordemos que un primo de Mersenne es un número entero positivo de la forma 2^n-1 (para algún n también entero positivo) que además es un número primo. Su nombre se debe a Marin Mersenne, que fue quien propuso esa expresión como generadora de números primos, y se suelen denotar como M_n.

…y se sabía que no había ningún otro primo de Mersenne menor que ese cuadragésimo tercero (que es M_{30402457}), por lo que hasta ese momento la lista de primos de Mersenne estaba completa hasta ese número.

Marin MersenneA principios de ese mes de septiembre de 2006 se encuentra un nuevo primo de Mersenne, concretamente el siguiente:

M_{32582657}=2^{32582657}-1

que, por tanto, era el cuadragésimo cuarto primo de Mersenne que se encontraba. Evidentemente, este número era mayor que el cuadragésimo tercero de la lista, M_{30402457}, pero lo que no se sabía era si entre ellos había algún otro primo de Mersenne que todavía no se había encontrado. Bien, pues eso es lo que han confirmado ahora: que no hay ningún otro número de Mersenne que sea primo entre el que se encontró en la posición 43, M_{30402457}, y el que se encontró en la posición 44, M_{32582657}. Esto es lo que puede verse ahora mismo en la web de GIMPS:

Esto significa entonces que ahora la lista de primos de Mersenne está completa hasta el cuadragésimo cuarto. Tened en cuenta que han tardado más de 8 años en verificarlo, o sea que la cosa no era tan obvia…

Se conocen más primos de Mersenne, evidentemente mayores que M_{32582657} (concretamente cuatro más), pero todavía no se sabe si hay alguno más entre éste y los conocidos mayores que él, por lo que la lista colocada en orden numérico creciente podría no estar completa desde el 44 en adelante (aquí podéis ver el listado completo de los primos de Mersenne conocidos hasta la fecha, y más información acerca de ellos). Habrá que esperar algo más de tiempo para confirmar la posición de estos números en la lista o, por qué no, para encontrar otros primos de Mersenne que nos hayamos dejado por el camino. Intentaré manteneros informados de los pormenores de dicha búsqueda.


Vía The Aperiodical.

Autor: ^DiAmOnD^

Miguel Ángel Morales Medina. Licenciado en Matemáticas y autor de Gaussianos y de El Aleph. Puedes seguirme en Twitter o indicar que te gusta mi página de Facebook.

6 Comentarios

  1. Saludos,

    ¿Hay alguna formula que determine cuentas cifras tiene ese numero mersenne?, Osea no que busques en el listado de Wikipedia, o GIMPS, sino una formula que lo de termine, ¿Te la sabes?

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  2. Conociendo el valor del exponente de 2 en un número de Mersenne se puede calcular fácilmente el número de dígitos.
    Este 44º vale 2^32582657-1.
    Su logaritmo decimal será 32582657 x logaritmo decimal de 2 y eso da 9808357,095…, luego tiene 9808358 dígitos.

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  3. Bien, por lo menos podemos decir cuáles no son primos, en los primos de Mersenne.

    Como 2^{4}-1=15 es múltiplo de 5, también sucede con 2^{16}-1=65535.

    Entonces podemos afirmar que con n=4k; 2^{4^.k}-1, no es primo, pues es un múltiplo de 5. En efecto 2^4=(2^2)x(2^2)=4×4=16; (2^4)x(2^4)=16×16 (y como 16×16=….6), se le resta 1, y queda ……5 el último dígito. Sucesivamente obtenemos siempre “6” en el último dígito del número.

    Sin embargo, no estoy calificado para estudiar cuáles son primos en los números de Mersenne.

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  4. Daniel Dávalos, en general todo número de Mersenne con exponente compuesto es en realidad un número compuesto (y por tanto no es un número primo). En este post publiqué una demostración de este hecho.

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  5. hola gaussianos

    agradecerles la entretención y comentar dos cosas desde mi ignorancia que espero a sus oídos no sea ofensiva.
    esto de los números de mersenne me divierte mucho y me recuerda lo inútil de la matemática, que otros encuentren su aplicación.
    sobre el post acerca del punto de feynman , en el que no pude comentar, me gustaría agregar lo siguiente: los físicos son tan inteligentes, los matemáticos en cambio son más bien inspirados. son como los números racionales y los irracionales, conjuntos disjuntos.
    obviamente aquí le doy otro sentido a la palabra racional.
    saludos desde santiago de chile

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  6. Tienes toda la razón ^DiAmOnD^, no solo para múltiplos de cuatro, además para todo n compuesto los números de Mersenne no son primos. No me había percatado de aquel post, ni conocía tal enunciado.

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