Confirmado: Tenemos dos nuevos primos de Mersenne

La semana pasada, durante mis vacaciones, se confirmó lo que veníamos apuntando: tenemos dos nuevos primos de Mersenne. En la web del proyecto GIMPS han hecho públicos los números. Son los siguientes:

  1. Cuadragésimo quinto primo de Mersenne conocido: 2^{43112609}-1
    Número de cifras: 12.978.189
    Descubridor: Edson Smith
    Descárgalo aquí (7’13 MB)
  2. Cuadragésimo sexto primo de Mersenne conocido: 2^{37156667}-1
    Número de cifras: 11.185.272
    Descubridor: Hans-Michael Elvenich
    Descárgalo aquí (6’14 MB)

Como se podía prever se han superado (con creces) los diez millones de cifras, por lo que ya hay ganador de los 100000$ que ofrecía la EFF.

Aquí podéis ver una nota de prensa enviada por GIMPS informando de los descubrimientos.

Autor: ^DiAmOnD^

Miguel Ángel Morales Medina. Licenciado en Matemáticas y autor de Gaussianos y de El Aleph. Puedes seguirme en Twitter o indicar que te gusta mi página de Facebook.

22 Comentarios

  1. Manuel, el número 45 y el 46 son la posición en que se han encontrado, es decir, si hiciéramos una lista de estos números ordenándolos según el momento en que se encontraron ocuparían esas posiciones.

    Luego, curioso, el que fue encontrado después era más pequeño que el anterior.

    Publica una respuesta
  2. Creo que cada computadora de del proyecto GIMPS explora una minúscula parte de la recta númerica. Esa sería la causa por la cual los descubrimientos se hayan dado de esa manera. Lo mismo debe ocurrir con las lagunas entre primos de Mersenne. No se ha verificado que todos los números descubiertos sean consecutivos dentro de la secuencia.
    Cuando el telescopio Hubble apunta hacia un objeto cósmico, puede llegar hasta profundidades extraordinarias pero siempre en una misma dirección a la vez, pues le sería imposible barrer rapidamente todo el firmamento con la misma efectividad.

    Publica una respuesta
  3. METODO DE ELIAN
    Hola gaussianos.
    He descubierto un nuevo método rápido y eficaz para determinar la primalidad de un número de Mersenne.

    g(n) = número de cifras decimales que tiene 1/n
    Ejemplo g(11) = 2 porque 1/11 = 0.090909…
    Para todo Mp, Mp es primo si y sólo si g(Mp) divide a
    Mp – 1.
    Condición necesaria y suficiente.
    Los invito a comprobarlo con sus ordenadores.

    M7 (=127), g(127) = 42, y 42 divide a 127 – 1

    Saludos

    Publica una respuesta
  4. METODO DE ELIAN
    Hola gaussianos.
    He descubierto un nuevo método rápido y eficaz para determinar la primalidad de un número de Mersenne.

    g(n) = número de cifras decimales que tiene 1/n
    Ejemplo g(11) = 2 porque 1/11 = 0.090909…
    Para todo Mp, Mp es primo si y sólo si g(Mp) divide a
    Mp – 1.
    Condición necesaria y suficiente.
    Los invito a comprobarlo con sus ordenadores.

    M7 (=127), g(127) = 42, y 42 divide a 127 – 1

    Saludos

    Publica una respuesta
  5. Jonas, ¿una demostración de tu resultado? Comprobarlo con números sueltos mediante un ordenador no valdría como prueba.

    Publica una respuesta
  6. Jonás: ¿Por qué se hace el cálculo de las cifras decimales? ¿por qué no el de las hexadecimales o las binarias?

    Me parece muy arbitrario…

    Publica una respuesta
  7. Si escribimos los nùmeros 8191, 127, es decir nùmeros con notaciòn decimal; entonces es lògico buscar soluciòn al problema en nuestro sistema decimal de numeraciòn. Talvez en en el sistema decimal està la clave.
    sabemos que la abundante prueba numèrica no prueba una conjetura,sòlo le da fuerza.Pido comprobar resultados con un ordenador, porque trabajo sòlo con lapiz y papel,un ordenador no està a mi alcance y soy casi un “analfabeta informatico”; me gustarìa que se armara un equipo de colaboradores en gaussianos porque tengo cierta esperanza que el resultado sea falso para terminar asì el martirio mental que me atormenta,esto sòlo lo consigue la prueba del contraejemplo.Soy consciente del revuelo que armarìa una noticia de esta y en cierta manera quisiera evitarme la fatiga.

    No podemos negar la relaciòn que existe entre un nùmero primo y la cantidad de cifras que tiene el periodo decimal de su recìproco.No sè si este sea un campo vìrgen o bastante explorado en las matemàticas.
    He estudiado la funciòn g(n) tratando de hallar un test general de primalidad, hallando algunos resultados curiosos, pero los nùmeros primos de Mersenne parecen un caso especial.
    Aqui dos propiedades de g(n):
    Si p es un nùmero primo, entonces g(p) divide a P-1.
    Algunos nùmeros compuestos tambien la cumplen.
    Si p, q, r,… son nùmeros primos entonces g(p*q*r…) igual a mcm de (gp),g(q),g(r),…

    LA PRUEBA DE ELIAN actualmente està siendo estudiada por el Departamento de Matemàticas de una Universidad en mi paìs desde el año pasado.
    ^DiAmOnD^ tal vez consigas que un experto en teorìa de nùmeros en España se interese en el asunto.
    La colaboraciòn y el espìritu de hermandad han sido cruciales en el desarrollo de las matemàticas a travès de los siglos.No existen barreras raciales,ni culturales, ni de ninuna indole en las matemàticas, que lindo esto para un romàntico perdido como yo!!

    Tengo una demostraciòn, pero el margen de este post es demasiado estrecho para contenerla. ( bueno, un poco de humor al asunto..
    Saludos a la comunidad gaussiana.

    Jonas Castillo Toloza
    phimilenario@hotmail.com

    Publica una respuesta
  8. Calma Jonás, las conjeturas pueden refutarse o confirmarse rapidamente o tardar un poco más de lo esperado. Tal vez la que tú has propuesto ya sea conocida. Si algún crak de gaussianos te presta atención tal vez recibas pronto la solución. Mientras tanto podrías poner a nuestra disposición una tabla ordenada de la manera más clara posible, con los resultados que has obtenido. Si dispones de ella, claro.

    Publica una respuesta
  9. Hola Jonas,

    ante todo gracias por compartir tus resultados con nosotros.

    La verdad es que me ha sorprendido la propiedad que comentas, sobre todo por la extraña relación con la base de numeración, como comentaba Manuel, es decir, que la cantidad de decimales del periodo en base 10 sea un divisor del primo de Mersenne menos uno.

    Lo he comprobado por ordenador hasta el número 8 de Mersenne (es el 2147483647 y su inversa tiene un periodo de 195225786 decimales) y he visto que en todos los casos se cumple. No son muchos casos pero lo suficiente como para analizar qué está pasando y ver si se cumple en general.

    Seguiré investigando y si obtengo algún resultado o explicación lo expondré.

    Si el resultado fuera cierto pero desconocido para los matemáticos, otra cuestión interesante sería analizar si mediante este resultado es posible obtener primos de Mersenne de manera más eficiente que con el test Lucas-Lehmer que se utiliza actualmente.

    Publica una respuesta
  10. Me parece que he conseguido demostrar parte de la conjetura de Jonas. Concretamente demuestro que para todo primo p distinto de 2 y 5 (no producen periodo), g(p) divide p-1. Recordemos que g(p) es el número de cifras en base 10 del periodo de 1/p.

    Esto incluye a los primos de Mersenne, pero no demuestra la implicación inversa, es decir, que si dado un número de Mersenne (n) tenemos que g(n) divide n-1, entonces n es primo (esto sería lo siguiente a estudiar).

    Para empezar lo mejor es coger lápiz y papel y ver cómo se obtienen los decimales cuando calculamos 1/p. Lo primero que vemos es que en cuanto en una operación el resto nos dé 1, ahí se acaba el periodo porque volveremos a obtener los mismos decimales que al principio.

    Para obtener el resto tras la primera operación (primer decimal) en realidad el cálculo que hacemos es K_1 = (10 \bmod p). Para obtener el resto tras el cálculo del segundo decimal lo que hacemos es K_2 = (K_1 \cdot 10 \bmod p) = (K_1^2 \bmod p), utilizando propiedades de la aritmética modular. En general es fácil ver que el enésimo resto viene dado por:

    \displaystyle K_n = (K_1^n \bmod p)

    Con este resultado, aplicando el pequeño teorema de Fermat sabemos que:

    \displaystyle K_1^{p-1} \equiv 1 \bmod p, es decir, como máximo el periodo tendrá p-1 decimales y en cualquier caso el periodo será también p-1.

    Puede haber números para los que el resto 1 se obtenga antes de llegar a los p-1 decimales, con lo cual el periodo sería menor. Supongamos que esto ocurre en el decimal i (notemos que i = g(p)). Pues bien, como en todo caso sabemos que el periodo también es p-1, entonces necesariamente i divide p-1.

    Con lo cual queda demostrado que g(p) divide p-1.

    Publica una respuesta
  11. Vaya, cierto M, planteó y resolvió la cuestión un tal Domingo H.A. 😉
    Al menos tengo la satisfacción de haberlo resuelto por mi cuenta de forma independiente.
    ¿Por lo demás qué opináis de lo que plantea Jonas?
    Aunque fuera cierto la duda que tengo es si aportaría algo a la obtención de primos de Mersenne.

    Publica una respuesta
  12. Gracias Asier por centrar tu atencíón en este asunto.
    Por una propiedad de g(n)
    g(7*13) = mcm de g(7) y g(13)
    = mcm de 6 y 6
    = 6
    En este caso g(91) = 6, y 6 divide a 91-1, sin ser 91 un primo.

    Si un número de Mersenne no es primo entonces para sus divisores primos p, q, r,… tenemos que
    g(#mersenne) = g(p*q*r*…) = mcm de g(p), g(q), g(r),…
    …Bueno, parece que g(#mersenne) nunca divide a #mersenne-1

    Si un número de Mersenne no es primo, y suponiendo que g(#mersenne) divide a #Mersenne-1, entonces sus divisores primos serían de la forma g(#mersenne)X +1; Parece que el primer candidato a primo divisor de #mersenne es menor que raiz de #mersenne, por ser g(#mersenne)un número muy alto.
    Asier,sigue este camino ,quizás des con la demostración.

    Me han comunicado que probados todos los exponentes primos para los números de Mersenne menores que 2.000, no existe un número de mersenne compuesto que pase la prueba, y los que pasan LA PRUEBA DE ELIAN son todos primos.

    Saludos.

    Publica una respuesta
  13. Gracias Asier por centrar tu atencíón en este asunto.
    Por una propiedad de g(n)
    g(7*13) = mcm de g(7) y g(13)
    = mcm de 6 y 6
    = 6
    En este caso g(91) = 6, y 6 divide a 91-1, sin ser 91 un primo.

    Si un número de Mersenne no es primo entonces para sus divisores primos p, q, r,… tenemos que
    g(#mersenne) = g(p*q*r*…) = mcm de g(p), g(q), g(r),…
    …Bueno, parece que g(#mersenne) nunca divide a #mersenne-1

    Si un número de Mersenne no es primo, y suponiendo que g(#mersenne) divide a #Mersenne-1, entonces sus divisores primos serían de la forma g(#mersenne)X +1; Parece que el primer candidato a primo divisor de #mersenne es menor que raiz de #mersenne, por ser g(#mersenne)un número muy alto.
    Asier,sigue este camino ,quizás des con la demostración.

    Me han comunicado que probados todos los exponentes primos para los números de Mersenne menores que 2.000, no existe un número de mersenne compuesto que pase la prueba, y los que pasan LA PRUEBA DE ELIAN son todos primos.

    Saludos.

    Publica una respuesta
  14. La gran duda para muchos es porque el método parece tan fácil para ser creiiible!!

    Publica una respuesta
  15. La gran duda para muchos es porque el método parece tan fácil para ser creiiible!!

    Publica una respuesta
  16. Demostrar
    Si n es un número compuesto, y g(n) divide a n-1, entnces los divisores primos de n son de la forma g(n)*m + 1

    Publica una respuesta
  17. Demostrar
    Si n es un número compuesto, y g(n) divide a n-1, entnces los divisores primos de n son de la forma g(n)*m + 1

    Publica una respuesta
  18. Hola Jonas,

    en cuanto saque tiempo seguiré estudiando el asunto, pero en cualquier caso hay que plantearse si computacionalmente es viable calcular g(n) siendo n un número de Mersenne (es decir un número enorme). Fíjate en que para el octavo número de Mersenne (10 cifras) el periodo es un número de 9 cifras. Para primos grandes de Mersenne (millones de cifras) el periodo posiblemente también tenga millones de cifras

    La conjetura que planteas tiene interés por sí misma pero me temo que posiblemente no pueda traducirse en un método más eficiente que el test de Lucas-Lehmer para descubrir primos de Mersenne. Porque si realmente fuera un método más eficiente, se podría dar por hecho que la conjetura es cierta, obtener los supuestos primos con este método, y compararlos con la lista de los 46 primos de Mersenne que ya se conocen para ver si se han obtenido los mismos. De hecho si realmente fuera más eficiente se podrían obtener muchos más números y luego aplicar a cada uno de ellos el test Lucas-Lehmer para verificarlos, pero que yo sepa no se utiliza este método, y la prueba de que g(p) divide p-1 ya era conocida como nos ha recordado M.

    Publica una respuesta
  19. Hola Asier
    He repasado viejos resultados de la la función g(n) anotados en mi agenda y encuentro cosas interesantes, pero ni idea de la demostración.
    Si n es un número compuesto, podemos expresarlo como producto de dos factores p,q (sean primos o compuestos), pues bien por medio de g(n) hallamos un número S, tal que
    p+q = S. Con estos datos es fácil hallar los valores de
    p y q.

    p*q = n
    p+q = S
    que se resuelve fácil por la fórmula cuadrática.
    Si n es primo, entonces no hallamos valores enteros de
    p y q, es decir he hallado un test general de primalidad, y lo publicaré aquí si ¨DiAmOnD¨ está de acuerdo.

    En cuanto a demostrar la primalidad de un número de Mersenne de manera rápida, te invito Asier a hacer las dos prueba en un mnismo ordenador.Si #mersenne es primo,entonces divide a cierto número muchisimo mas grande obtenido mediante un número grande de pasos (test de Lucas- Lehmer). Pienso que “La Prueba de Elian” no la aplican para hallar primos de mersenne porque alguns números compuestos tambien la pasan.

    Por último quiero expresarme en contra de los cazarecompensas matemáticos, que daño se la hace a las matemáticas proponer recommpensas por hallar primos de mersenne grandes, cuántos primos de mersenne mas pequeños que el último por descubrir?
    Que pensaría Platón, Pitágoras y Euclides del utilitarismo grosero?
    Es la matemática un camino para alguien hacerse rico?
    Pienso que hay algo de sucio en esto.

    ¡Buena esa, Gregori Perelman!

    Para hallar números primos de mersenne con mas de 10.000.000 de cifras decimales sólo probaron con exponentes primos mayores que 9.999.999/Log2. Todo por una recompensa!! Me parece vergonzoso

    Publica una respuesta
  20. Hola Asier
    He repasado viejos resultados de la la función g(n) anotados en mi agenda y encuentro cosas interesantes, pero ni idea de la demostración.
    Si n es un número compuesto, podemos expresarlo como producto de dos factores p,q (sean primos o compuestos), pues bien por medio de g(n) hallamos un número S, tal que
    p+q = S. Con estos datos es fácil hallar los valores de
    p y q.

    p*q = n
    p+q = S
    que se resuelve fácil por la fórmula cuadrática.
    Si n es primo, entonces no hallamos valores enteros de
    p y q, es decir he hallado un test general de primalidad, y lo publicaré aquí si ¨DiAmOnD¨ está de acuerdo.

    En cuanto a demostrar la primalidad de un número de Mersenne de manera rápida, te invito Asier a hacer las dos prueba en un mnismo ordenador.Si #mersenne es primo,entonces divide a cierto número muchisimo mas grande obtenido mediante un número grande de pasos (test de Lucas- Lehmer). Pienso que “La Prueba de Elian” no la aplican para hallar primos de mersenne porque alguns números compuestos tambien la pasan.

    Por último quiero expresarme en contra de los cazarecompensas matemáticos, que daño se la hace a las matemáticas proponer recommpensas por hallar primos de mersenne grandes, cuántos primos de mersenne mas pequeños que el último por descubrir?
    Que pensaría Platón, Pitágoras y Euclides del utilitarismo grosero?
    Es la matemática un camino para alguien hacerse rico?
    Pienso que hay algo de sucio en esto.

    ¡Buena esa, Gregori Perelman!

    Para hallar números primos de mersenne con mas de 10.000.000 de cifras decimales sólo probaron con exponentes primos mayores que 9.999.999/Log2. Todo por una recompensa!! Me parece vergonzoso

    Publica una respuesta

Puedes utilizar código LaTeX para insertar fórmulas en los comentarios. Sólo tienes que escribir
[latex]código-latex-que-quieras-insertar[/latex]
o
$latex código-latex-que-quieras-insertar$.

Si tienes alguna duda sobre cómo escribir algún símbolo puede ayudarte la Wikipedia.

Y si los símbolos < y > te dan problemas al escribir en LaTeX te recomiendo que uses los códigos html & lt; y & gt; (sin los espacios) respectivamente.

Envía un comentario

Tu dirección de correo electrónico no será publicada. Los campos obligatorios están marcados con *